1) O documento discute conceitos básicos de probabilidade, incluindo espaço amostral, eventos e cálculo de probabilidades. 2) Apresenta exemplos de espaços amostrais e eventos em lançamentos de dados e retiradas aleatórias de bolas de urnas. 3) Explica propriedades da probabilidade de eventos e introduz o conceito de probabilidade condicional.

1. Probabilidade – Matemática II
Prof. Jomoaldo – 3º EM
Experimento aleatório
Todo experimento aleatório - os
fenômenos casuais onde as experiências são
repetidas inúmeras vezes sob condições iguais, mas
não apresentam os mesmos resultados - constitui o
conjunto formado por todos os resultados possíveis.
Esse conjunto é denominado de espaço amostral
(Ω)ou (U), e qualquer subconjunto dele é chamado de
evento (E). Portanto, temos que o espaço amostral
constitui todos os resultados possíveis e o evento, os
casos favoráveis. Vamos abordar alguns exemplos
que exploram de forma geral essas definições.
Exemplo 1:
No lançamento simultâneo de dois dados, um branco
e um preto, há um espaço amostral gerado. Vamos
determinar todos os possíveis resultados deste
lançamento.
(1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1)
(1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2)
(1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3)
(1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4)
(1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)
(1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)
O resultado possível no lançamento simultâneo de
dois dados resulta em 36.
Com base nesse espaço amostral, podemos
determinar qualquer evento pertencente ao conjunto
dos possíveis resultados.
Evento A – faces iguais
A = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)}
Evento B – soma maior que 10
B = {(5,6), (6,5), (6,6)}
Evento C – sair soma 6
C = {(1,5), (5,1), (2,4), (4,2), (3,3)}
Evento D – soma 7
D = {(1,6), (6,1), (2,5), (5,2), (3,4), (4,3)}
Evento E – soma menor que 5
E = {(1,1), (1,2), (2,1), (1,3), (3,1), (2,2)}
Exemplo 2:
Uma urna contém uma bola verde e três brancas.
Defina o espaço amostral do experimento “retirar
uma bola ao acaso” e os eventos: retirar bola verde e
retirar bola branca.
Possíveis resultados (espaço amostral): {verde, branca
1, branca 2, branca 3}, constituído de 4 elementos.
Evento retirar bola verde: {verde}, possui 1 elemento.
Evento retirar bola branca: {branca 1, branca 2, branca
3}, possui 3 elementos.
Exemplo 3:
Numa caixa existem fichas numeradas de 1 a 10.
Defina o espaço amostral do experimento “retirar
fichas ao acaso” e defina os eventos: ocorrência de
número ímpar, ocorrência de número primo e
ocorrência de número maior que 4.
Possíveis resultados (espaço amostral):
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
Evento ocorrência de número ímpar:
{1, 3, 5, 7, 9}
Evento ocorrência de número primo:
{2, 3, 5, 7}
Evento ocorrência de número maior que 4: {5, 6, 7, 8,
9, 10}

2. Conceito elementar de Probabilidade
Seja U um espaço amostral finito e equiprovável e E
um determinado evento ou seja, um subconjunto de
U. A probabilidade p(E) de ocorrência do evento E será
calculada pela fórmula
p(E) = n(E) / n(U)
onde:
n(E) = número de elementos de E e n(U) = número de
elementos do espaço amostral U.
Vamos utilizar a fórmula simples acima, para resolver
os seguintes exercícios introdutórios:
1. Considere o lançamento de um dado. Calcule a
probabilidade de:
a) sair o número 3:
Temos U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} [n(U) = 6] e E = {3} [n(E) = 1].
Portanto, a probabilidade procurada será igual a p(A)
= 1/6.
b) sair um número par: agora o evento é E = {2, 4, 6}
com 3 elementos; logo a probabilidade procurada
será p(E) = 3/6 = 1/2.
c) sair um múltiplo de 3: agora o evento E = {3, 6} com
2 elementos; logo a probabilidade procurada será p(E)
= 2/6 = 1/3.
d) sair um número menor do que 3: agora, o evento E
= {1, 2} com dois elementos. Portanto,p(E) = 2/6 = 1/3.
e) sair um quadrado perfeito: agora o evento AE= {1,4}
com dois elementos. Portanto, p(E) = 2/6 = 1/3.
2. Considere o lançamento de dois dados. Calcule a
probabilidade de:
a) sair a soma 8
Observe que neste caso, o espaço amostral U é
constituído pelos pares ordenados (i,j), onde i =
número no dado 1 e j = número no dado 2.
É evidente que teremos 36 pares ordenados possíveis
do tipo (i, j) onde i = 1, 2, 3, 4, 5, ou 6, o mesmo
ocorrendo com j.
As somas iguais a 8, ocorrerão nos
casos:(2,6),(3,5),(4,4),(5,3) e (6,2). Portanto, o evento
"soma igual a 8" possui 5 elementos. Logo, a
probabilidade procurada será igual a p(E) = 5/36.
b) sair a soma 12
Neste caso, a única possibilidade é o par (6,6).
Portanto, a probabilidade procurada será igual a p(E) =
1/36.
Uma urna possui 6 bolas azuis, 10 bolas vermelhas e 4
bolas amarelas. Tirando-se uma bola com reposição,
calcule as probabilidades seguintes:
a) sair bola azul
p(E) = 6/20 = 3/10 = 0,30 = 30%
b) sair bola vermelha
p(E) = 10/20 =1/2 = 0,50 = 50%
c) sair bola amarela
p(E) = 4/20 = 1/5 = 0,20 = 20%
Vemos no exemplo acima, que as probabilidades
podem ser expressas como porcentagem. Esta forma
é conveniente, pois permite a estimativa do número
de ocorrências para um número elevado de
experimentos. Por exemplo, se o experimento acima
for repetido diversas vezes, podemos afirmar que em
aproximadamente 30% dos casos, sairá bola azul, 50%
dos casos sairá bola vermelha e 20% dos casos sairá
bola amarela. Quanto maior a quantidade de
experimentos, tanto mais a distribuição do número de
ocorrências se aproximará dos percentuais indicados.
Propriedades da probabilidade de um evento
P1: A probabilidade do evento impossível é nula.Com
efeito, sendo o evento impossível o conjunto vazio (Ø),
teremos:
p(Ø) = n(Ø)/n(U) = 0/n(U) = 0
Por exemplo, se numa urna só existem bolas brancas,
a probabilidade de se retirar uma bola verde (evento
impossível, neste caso) é nula.
P2: A probabilidade do evento certo é igual a unidade.
Com efeito, p(A) = n(U)/n(U) = 1
Por exemplo, se numa urna só existem bolas
vermelhas, a probabilidade de se retirar uma bola
vermelha (evento certo, neste caso) é igual a 1.

3. P3: A probabilidade de um evento qualquer é um
número real situado no intervalo real [0, 1].
Esta propriedade, decorre das propriedades 1 e 2
acima.
P4: A soma das probabilidades de um evento e do seu
evento complementar é igual a unidade.Seja o
evento A e o seu complementar A'. Sabemos
que A U A' = U.
n(A U A') = n(U) e, portanto, n(A) + n(A') = n(U).
Dividindo ambos os membros por n(U), vem:
n(A)/n(U) + n(A')/n(U) = n(U)/n(U), de onde conclui-se:
p(A) + p(A') = 1
Nota: esta propriedade simples, é muito importante
pois facilita a solução de muitos problemas
aparentemente complicados. Em muitos casos, é mais
fácil calcular a probabilidade do evento complementar
e, pela propriedade acima, fica fácil determinar a
probabilidade do evento.
P5: Sendo A e B dois eventos, podemos escrever:
p(A U B) = p(A) + p(B) – p(A B)Observe que se A
B= Ø (ou seja, a interseção entre os conjuntos A e B é
o conjunto vazio), então p(A U B) = p(A) + p(B).
Com efeito, já sabemos da Teoria dos Conjuntos que
n(A U B) = n(A) + n(B) – n(A B)
Dividindo ambos os membros por n(U) e aplicando a
definição de probabilidade, concluímos rapidamente a
veracidade da fórmula acima.
Exemplo:
Em uma certa comunidade existem dois jornais J e P.
Sabe-se que 5000 pessoas são assinantes do jornal J,
4000 são assinantes de P, 1200 são assinantes de
ambos e 800 não lêem jornal. Qual a probabilidade de
que uma pessoa escolhida ao acaso seja assinante de
ambos os jornais?
SOLUÇÃO:
Precisamos calcular o número de pessoas do conjunto
universo, ou seja, nosso espaço amostral. Teremos:
n(U) = n(J U P) + N.º de pessoas que não lêem jornais.
n(U) = n(J) + n(P) – n(J P) + 800
n(U) = 5000 + 4000 – 1200 + 800
n(U) = 8600
Portanto, a probabilidade procurada será igual a:
p = 1200/8600 = 12/86 = 6/43.
Logo, p = 6/43 = 0,1395 = 13,95%.
A interpretação do resultado é a seguinte:
escolhendo-se ao acaso uma pessoa da comunidade,
a probabilidade de que ela seja assinante de ambos
os jornais é de aproximadamente 14%.(contra 86% de
probabilidade de não ser).
Probabilidade condicional - conceito e exemplos
A probabilidade condicional trata da probabilidade
de ocorrer um evento A, tendo ocorrido um evento B,
ambos do espaço amostral S, ou seja, ela é calculada
sobre o evento B e não em função o espaço
amostral S.
A probabilidade de ocorrência de um evento A em
relação a um evento ocorrido B é expressa como:
Para calculá-la podemos nos utilizar da fórmula:
Sabemos que , a probabilidade da
intersecção, é a razão do seu número de elementos,
para o número de elementos do espaço amostral:
A probabilidade de B também é a razão do seu número
de elementos, para o número de elementos do espaço
amostral:
Os substituindo na fórmula original temos:
Para uma melhor compreensão da teoria, vejamos os
exemplos a seguir.
Exemplo 1:
Uma pesquisa realizada entre 1000 consumidores,
registrou que 650 deles trabalham com cartões de
crédito da bandeira MasterCard, que 550 trabalham
com cartões de crédito da bandeira VISA e que 200
trabalham com cartões de crédito de ambas as
bandeiras. Qual a probabilidade de ao escolhermos
deste grupo uma pessoa que utiliza a bandeira VISA,
ser também um dos consumidores que utilizam
cartões de crédito da bandeira MasterCard?

4. Observe a figura abaixo e a compare com as
informações do enunciado. Fazer isto poderá lhe
ajudar na resolução de outros problemas:
De onde tiramos que:
A probabilidade procurada é dada pela fórmula:
Como supracitado a probabilidade da intersecção é a
razão do seu número de elementos, para o número de
elementos do espaço amostral, então a fórmula acima
pode ser reduzida a:
O número de pessoas que utilizam as duas bandeiras,
ou seja, a quantidade de elementos da intersecção é
igual a 200, já o número de consumidores que utilizam
ao menos a bandeira VISA é 550, portanto:
Portanto:
A probabilidade de escolhida uma pessoa que utiliza a
bandeira VISA, ser também um usuário da bandeira
MASTERCARD é 4
/11.
Acima tratamos da probabilidade da ocorrência de um
evento A tendo ocorrido um evento B.
Exemplo 2:
Uma urna possui cinco bolas vermelhas e duas bolas
brancas.
Calcule as probabilidades de:
a) em duas retiradas, sem reposição da primeira bola
retirada, sair uma bola vermelha (V) e depois uma
bola branca (B).
Solução:
p(V B) = p(V) . p(B/V)
p(V) = 5/7 (5 bolas vermelhas de um total de 7).
Supondo que saiu bola vermelha na primeira retirada,
ficaram 6 bolas na urna. Logo:
p(B/V) = 2/6 = 1/3
Da lei das probabilidades compostas, vem finalmente
que:
P(V Ç B) = 5/7 . 1/3 = 5/21 = 0,2380 = 23,8%
b) em duas retiradas, com reposição da primeira bola
retirada, sair uma bola vermelha e depois uma bola
branca.
Solução:
Com a reposição da primeira bola retirada, os eventos
ficam independentes. Neste caso, a probabilidade
buscada poderá ser calculada como:
P(V B) = p(V) . p(B) = 5/7 . 2/7 = 10/49 = 0,2041 =
20,41%
Observe atentamente a diferença entre as soluções
dos itens (a) e (b) acima, para um entendimento
perfeito daquilo que procuramos transmitir.
Exemplo 3:
Em uma pesquisa realizada com 10.000 consumidores
sobre a preferência da marca de sabão em pó,
verificou-se que: 6500 utilizam a marca X; 5500
utilizam a marca Y; 2000 utilizam as duas marcas. Foi
sorteada uma pessoa desse grupo e verificou-se que
ela utiliza a marca X. Qual a probabilidade dessa
pessoa ser também usuária da marca Y?
Solução: Vamos identificar cada um dos eventos.
A: Usuário da marca Y.
B: Usuário da marca X.
Queremos determinar P(A|B) e sabemos que o
número de elementos do espaço amostral é n(S) =
10000.
Temos, também, que:
n(A∩B) = 2000
Segue que:
Mas

5. Da teoria de conjunto, temos que:
n(B) = 6500 – n(A∩B) = 6500 – 2000 = 4500
Assim, teremos:
Logo,
Questões resolvidas de vestibulares sobre
probabilidade
1) Três estudantes A, B e C estão em uma competição
de natação. A e B têm as mesmas chances de vencer
e, cada um, tem duas vezes mais chances de vencer
do que C. Pede-se calcular a probabilidades de A ou C
vencer.
Solução:
Sejam p(A), p(B) e p(C), as probabilidades individuais
de A, B, C, vencerem. Pelos dados do enunciado,
temos:
p(A) = p(B) = 2.p(C).
Seja p(A) = k. Então, p(B) = k e p(C) = k/2. Temos: p(A) +
p(B) + p(C) = 1.
Isto é explicado pelo fato de que a probabilidade de .A
vencer ou B vencer ou C vencer é igual a (evento
certo).
Assim, substituindo, vem:
k + k + k/2 = 1 k = 2/5. Portanto, p(A) = k = 2/5, p(B) =
2/5 e p(C) = 2/10 = 1/5.
A probabilidade de A ou C vencer será a soma dessas
probabilidades, ou seja 2/5 + 1/5 = 3/5.
2) Um cartão é retirado aleatoriamente de um
conjunto de 50 cartões numerados de 1 a 50.
Determine a probabilidade do cartão retirado ser de
um número primo.
Solução:
Os números primos de 1 a 50 são: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,
19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 e 47, portanto, 15 números
primos.
Temos, portanto, 15 chances de escolher um número
primo num total de 50 possibilidades. Portanto, a
probabilidade pedida será igual a p = 15/50 = 3/10.
3) Alguns amigos estão em uma lanchonete. Sobre a
mesa há duas travessas. Em uma delas há 3 pastéis e
5 coxinhas. Na outra há 2 coxinhas e 4 pastéis. Se ao
acaso alguém escolher uma destas travessas e
também ao acaso pegar um dos salgados, qual a
probabilidade de se ter pegado um pastel?
Solução:
A probabilidade de escolhermos 1 dentre 2 travessas
é igual 1
/2. A probabilidade de escolhermos um pastel
na primeira travessa é 3 em 8, ou seja, é 3
/8 e como a
probabilidade de escolhermos a primeira travessa
é 1
/2, temos:
A probabilidade de escolhermos um pastel na segunda
travessa é 4 em 6, isto é 4
/6 e como a probabilidade de
escolhermos a segunda travessa é igual a 1
/2, temos:
Então a probabilidade de escolhermos um pastel é
igual a:
A probabilidade de se ter pegado um pastel é 25
/48.
4) O jogo de dominó é composto de peças retangulares
formadas pela junção de dois quadrados. Em cada
quadrado há a indicação de um número, representado
por uma certa quantidade de bolinhas, que variam de
nenhuma a seis. O número total de combinações
possíveis é de 28 peças. Se pegarmos uma peça
qualquer, qual a probabilidade dela possuir ao menos
um 3 ou 4 na sua face?
Solução:
Chamemos de A o evento da ocorrência de um 3:
A = { (0, 3), (1, 3), (2, 3), (3, 3), (4, 3), (5, 3), (6, 3) }

6. Chamemos de B o evento da ocorrência de um 4:
B = { (4, 0), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6) }
Veja que o elemento (4, 3) integra os dois eventos,
logo .
Calculando as probabilidades de A, B e da intersecção,
temos:
Finalmente para o cálculo da probabilidade desejada
vamos utilizar a fórmula da probabilidade da união de
dois eventos:
Repare que 13 é o número total de peças que
possuem 3 ou 4, desconsiderando-se a ocorrência que
se repete (o (4 ,3) da intersecção dos dois eventos).
A probabilidade de ela possuir ao menos um 3 ou 4
na sua face é 13
/28.
5) Em uma escola de idiomas com 2000 alunos, 500
alunos fazem o curso de inglês, 300 fazem o curso de
espanhol e 200 cursam ambos os cursos.
Selecionando-se um estudante do curso de inglês, qual
a probabilidade dele também estar cursando o curso
de espanhol?
Solução:
Chamemos de A o evento que representa o curso de
espanhol e B o evento que representa o curso de
inglês.
Podemos calcular a probabilidade de ocorrer A tendo
ocorrido B através da fórmula:
Segundo o
enunciado e ,
então:
Note que no caso da probabilidade condicional, ao
invés de calcularmos a probabilidade em função do
número de elementos do espaço amostral, a
calculamos em função do número de elementos do
evento que já ocorreu.
A probabilidade do aluno também estar cursando o
curso de espanhol é 2
/5.
6) Em uma caixa há 2 fichas amarelas, 5 fichas azuis e 7
fichas verdes. Se retirarmos uma única ficha, qual a
probabilidade dela ser verde ou amarela?
Solução:
Na parte teórica vimos que a probabilidade da união de
dois eventos pode ser calculada através da
fórmula
e
no caso da intersecção dos eventos ser vazia, isto é, não
haver elementos em comum aos dois eventos,
podemos simplesmente
utilizar .
Ao somarmos a quantidade de fichas obtemos a
quantidade 14. Esta quantidade é o número total de
elementos do espaço amostral.
Neste exercício os eventos obter ficha verde e obter
ficha amarela são mutuamente exclusivos, pois a
ocorrência de um impede a ocorrência do outro, não
há elementos que fazem parte dos dois eventos. Não
há bolas verdes que são também amarelas. Neste caso
então podemos utilizar a fórmula:
Note que esta fórmula nada mais é que a soma da
probabilidade de cada um dos eventos.
O evento de se obter ficha verde possui 7 elementos
e o espaço amostral possui 14 elementos, que é o
número total de fichas, então a probabilidade do
evento obter ficha verde ocorrer é igual a 7/
14:
Analogamente, a probabilidade do evento obter ficha
amarela, que possui 2 elementos, é igual a 2/
14:
Observe que poderíamos ter simplificado as
probabilidades, quando então 7/
14 passaria
a 1/
2 e 2/
14 a 1/
7, no entanto isto não foi feito, já que para
somarmos as duas probabilidades precisamos que elas
tenham um denominador comum:
Este exercício foi resolvido através da fórmula
da probabilidade da união de dois eventos para que
você tivesse um exemplo da utilização da mesma e
pudesse aprender quando utilizá-la, mas se você
prestar atenção ao enunciado, poderá ver que

7. poderíamos tê-lo resolvido de uma outra forma, que
em alguns casos pode tornar a resolução mais rápida.
Vejamos:
Note que a probabilidade de se obter ficha
azul é 5 em 14, ou seja, 5/
14. Então a probabilidade
de não se obter ficha azul é 9 em 14, pois:
O 1 que aparece na expressão acima se refere à
probabilidade do espaço amostral.
Note que utilizamos o conceito de evento
complementar, pois se não tivermos uma ficha azul,
só poderemos ter uma ficha verde ou uma ficha
amarela, pois não há outra opção.
A probabilidade de ela ser verde ou amarela é 9
/14.
7) De uma sacola contendo 15 bolas numeradas de 1 a
15 retira-se uma bola. Qual é a probabilidade desta
bola ser divisível por 3 ou divisível por 4?
Solução:
Vamos representar por E3 o evento da ocorrência das
bolas divisíveis por 3:
E3 = { 3, 6, 9, 12, 15 }
E por E4 vamos representar o evento da ocorrência das
bolas divisíveis por 4:
E4 = { 4, 8, 12 }
O espaço amostral é:
S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 }
A probabilidade de sair uma bola divisível por 3 é:
A probabilidade de sair uma bola divisível por 4 é:
Como estamos interessados em uma ocorrência ou em
outra, devemos somar as probabilidades, mas como
explicado no tópico união de dois eventos, devemos
subtrair a probabilidade da intersecção, pois tais
eventos não são mutuamente exclusivos. Como
podemos ver, o número 12 está contido tanto
em E3 quanto em E4, ou seja:
A probabilidade da intersecção é:
Portanto:
A probabilidade desta bola ser divisível por 3 ou
divisível por 4 é 7
/15.
8) Uma moeda é viciada, de forma que as coroas são
cinco vezes mais prováveis de aparecer do que as
caras. Determine a probabilidade de num lançamento
sair coroa.
Solução:
5/6 = 83,33%
9) Num clube desportivo 30 meninos praticam futebol.
Doze treinam para o ataque, quinze para a defesa e
cinco para goleiro.
Qual é a probabilidade de escolhendo um desportista
ao acaso ele treinar para a defesa e o ataque?
Solução:
Para ajudar vamos fazer um esquema:
30 - 5 = 25 ......
Não treinam para goleiro.
12 + 15 = 27 ... Treinam para defesa ou ataque.
27 - 25 = 2 ...... Treinam para defesa e
ataque.Casos favoráveis: 2
Casos possíveis: 30
Logo, P = 2/30 = 1/15
10) Extrai-se ao acaso uma bola de uma caixa que
contém 6 bolas vermelhas, 4 brancas e 5 azuis.
Determine a probabilidade de a bola extraída ser:
(a) vermelha;

8. Temos que,
(b) vermelha ou branca;
Temos que,
11) No lançamento de dois dados, calcule a
probabilidade de se obter soma igual a 5.
Solução:
Casos possíveis: 36
Casos favoráveis: (1+4, 2+3, 3+2, 4+1) 4
Probabilidade: 4/36
12) (CESGRANRIO/PETROBRAS/ENGENHEIRO DE
PRODUÇÃO JR/2011/FEVEREIRO)
Um estudo sobre fidelidade do consumidor à
operadora de telefonia móvel, em uma determinada
localidade, mostrou as seguintes probabilidades sobre
o hábito de mudança:
A probabilidade de o 1º telefone de um indivíduo ser
da operadora A é 0,60; a probabilidade de o 1o
telefone ser da operadora B é de 0,30; e a de ser da
operadora C é 0,10. Dado que o 2o telefone de um
cliente é da operadora A, a probabilidade de o 1o
também ter sido é de
(A) 0,75
(B) 0,70
(C) 0,50
(D) 0,45
(E) 0,40
Solução:
Temos uma questão de probabilidade condicional que
pode ser identificada na pergunta: Dado que o 2o
telefone de um cliente é da operadora A, a
probabilidade de o 1o também ter sido é de.
O condicionamento reduz o espaço amostral.
Dados do enunciado:
P(1°A) = 0,6
P(1°B) = 0,3
P(1°C) = 0,1
Então usando a fórmula de probabilidade condicional
de Bayes:
P(1°A/2°A) = [P(1°A) x P(2°A/1°A)] / [P(1°A) x P(2°A/1°A)
+ P(1°B) x P(2°A/1°B) + P(1°C) x P(2°A/1°C)]
P(1°A/2°A) = [0,6 x 0,5] / [0,6 x 0,5 + 0,3 x 0,2 + 0,1 x 0,4]
= 0,75
Gabarito letra A
13) Um jogo consiste em lançar uma moeda honesta
até obter duas caras consecutivas ou duas coroas
consecutivas. Na primeira situação, ao obter duas caras
consecutivas, ganha-se o jogo. Na segunda, ao obter
duas coroas consecutivas, perde-se o jogo. A
probabilidade de que o jogo termine, com vitória, até o
sexto lance, é
(A) 7/16
(B) 31/64
(C) 1/2
(D) 1/32
(E) 1/64
Solução:
Para resolver essa questão montamos um quadro:
Como está pedindo a probabilidade de vitória até o
sexto lance, o jogo pode terminar com vitória do 2° ao
6° lance.

9. A probabilidade será a soma de todas essas
probabilidades, pois o jogo pode terminar com vitória
no 2° ou 3° ou 4° ou 5° ou 6° lances.
= ¼ + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 = 31/64
Gabarito letra B
14) (CESGRANRIO/PETROBRAS/ENG DE
PRODUÇÃO/2005) Uma determinada fábrica produz
peças tipo A e B nas proporções 1/3 e 2/3,
respectivamente. A probabilidade de ocorrência da peça
defeituosa do tipo A é de 20% e do tipo B é 10%. Retirando-
se, ao acaso, uma peça produzida na fábrica, a
probabilidade de ela de ser defeituosa é de:
(A) 1/30
(B) 1/15
(C) 1/10
(D) 1/6
(E) 2/15
Solução:
Probabilidade de ser do tipo A = 1/3
Probabilidade de ser do tipo B = 2/3
Prob. Def. A = 0,2
Prob. Def. B = 0,1
A probabilidade da peça ser defeituosa é a
probabilidade da peça ser do tipo A Edefeituosa OU ser
do tipo B E defeituosa.
Sabe-se que E implica em multiplicação e OU implica
em adição.
Probabilidade da peça ser do tipo A E defeituosa =
(1/3)x(0,2) = 1/15
Probabilidade da peça ser do tipo B E defeituosa = (2/3)
x (0,1) = 1/15
Então, a probabilidade da peça ser defeituosa é (1/15)
+ (1/15) = 2/15
Gabarito letra E.
15) Um grupo de amigos contém 5 torcedores do São
Paulo, 4 torcedores do Flamengo, 2 torcedores do
Grêmio e 1 torcedor do Bahia. Calcule as
possibilidades:
a) Sortearmos um torcedor do Flamengo:
P = 4/12 = 1/3 = 0,3333 ou 33,33%
b) Sortearmos um torcedor do São Paulo ou do Bahia:
P = 6/12 = 1/2 = 0,5 ou 50%
c) Sortearmos os dois torcedores do Grêmio:
P = 2/12 x 1/11 = 1/66 = 0,01515 ou 1,5151%
d) Sortearmos dois torcedores do São Paulo:
P = 5/12 x 4/11 = 0,1515 = 15,15%
16) Um casal planeja ter 5 filhos. Qual a probabilidade
de nascerem 3 meninos e 2 meninas?
Solução:
Primeiramente, devemos observar que não importa a
ordem de nascimento, assim, temos 6 opções:
- 5 meninos
- 4 meninos e 1 menina
- 3 meninos e 2 meninas
- 2 meninos e 3 meninas
- 1 menino e 4 meninas
- 5 meninas
Logo, a probabilidade de nascerem 3 meninos e 2
meninas é:
P = 1/6 = 0,1666 = 16,66%
17) (Fundação Carlos Chagas - Escriturário BB -
2011) Para disputar a final de um torneio internacional
de natação, classificaram-se 8 atletas: 3 norte-
americanos, 1 australiano, 1 japonês, 1 francês e 2
brasileiros. Considerando que todos os atletas
classificados são ótimos e têm iguais condições de
receber uma medalha (de ouro, prata ou bronze), a
probabilidade de que pelo menos um brasileiro esteja
entre os três primeiros colocados é igual a:
Dica: Quando aparecer na questão `pelo menos um`,
devemos encontrar a probabilidade de não acontecer
nenhum, ou seja, de não termos brasileiros no pódio,
e depois diminuirmos de 1.

10. Probabilidades:
De nenhum brasileiro ganhar ouro = 6/8 = 3/4
De nenhum brasileiro ganhar prata = 5/7
(desconsideramos a medalha de ouro)
De nenhum brasileiro ganhar bronze = 4/6 = 2/3
(desconsideramos as medalhas de ouro ou prata)
Então:
P (não termos brasileiros no pódio) = 3/4 x 5/7 x 2/3 =
5/14
P (termos pelo menos um brasileiro no pódio) = 1 -
5/14 = 14/14 - 5/14 = 9/14
18) (CESGRANRIO - BB 2012) Uma moeda não
tendenciosa é lançada até que sejam obtidos dois
resultados consecutivos iguais. Qual a probabilidade
de a moeda ser lançada exatamente três vezes?
(A) 1/8
(B) 1/4
(C) 1/3
(D) 1/2
(E) 3/4
Solução:
Primeira jogada: qualquer resultado serve
(probabilidade 1)
Segunda jogada: só serve o resultado que não
aconteceu da segunda vez (probabilidade ½)
Terceira jogada: só serve o mesmo resultado da
segunda jogada (probabilidade ½)
Logo: 1 x ½ x ½ = ¼
19) (Assessor Legislativo-PA) Um Shopping
Center possui dois sistemas automáticos de proteção
contra incêndios. A eficiência de cada sistema, segundo
o fabricante, é de 99%. Sabendo-se que os sistemas
funcionam de modo totalmente independente e que
ambos permanecem ligados 24 horas por dia, qual é a
probabilidade de que um incêndio seja detectado e
neutralizado?
A) 99,99%
B) 99,00%
C) 98,01%
D) 97,00%
E) 96,66%
Solução:
Nessa questão, devemos lembrar o conceito de
eventos ou sistemas independentes. Na figura abaixo,
imaginemos 3 eventos independentes. Nesse caso,
percebemos que a ocorrência de um não exclui a do
outro, e vice-versa. Em eventos independentes, há
ocorrência simultânea, sem problemas!
Na questão dada, a eficiência
individual de cada um dos sistemas de proteção contra
incêndios é de 99%. Ou seja, a chance de que cada um
venha a falhar é de 1% (100% – 99%). Ou o sistema
funciona, ou falha! Desse modo, a chance de que os
dois venham a falhar será de 1% x 1%. Uma chance
pequena, convenhamos. (1/100) x (1/100) = 1/10.000,
que fica em 0,0001. Multiplicamos esse valor por 100, e
teremos a forma percentual de que os dois sistemas
falhem: 0,01%. Somente nesse caso vai dar furo no
sistema de segurança do Shopping Center. Em
quaisquer outras circunstâncias, o sistema detectará
um possível incêndio. Então, para sabermos a
probabilidade de que um incêndio seja detectado e
neutralizado, basta fazermos 100% – 0,01% = 99,99%.
Somente 0,01% não pode ocorrer, o resto pode!. Letra
A.
21) (PETROBRAS-2012.1) Sabe-se por estudos
estatísticos que as probabilidades de haver num certo
almoxarifado os materiais A, B e C disponíveis para uso
são de, respectivamente, 80%, 80% e 90%.

11. Qual é a probabilidade de, num dado momento,
estar faltando pelo menos um desses materiais no
almoxarifado?
Solução:
Calcule a chance de terem todos, ou seja:
0,8 * 0,8 * 0,9 = 0,576 = 57,6% de terem os tres ao
mesmo tempo.
A chance de estar faltando pelo menos um, é o total
menos a chance de ter todos:
P(falta) = 100% - 57,6%
P(falta) = 42,4%
22) (UFSCar) Dois dados usuais e não viciados são
lançados. Sabe-se que os números observados são
ímpares. Então, a probabilidade de que a soma deles
seja 8 é:
a) 2/36
b) 1/6
c) 2/9
d) 1/4
e) 2/18
Solução:
No lançamento de dois dados temos que a soma
entre as faces ímpares em que o resultado seja 8 é
dado pelos pares (5, 3) e (3, 5). Somente 2 eventos dos
36 pertencentes ao espaço amostral satisfazem a
situação proposta. Portanto:
Temos que o item a fornece a resposta correta.
23) (FUVEST) Um dado cúbico, não viciado, com faces
numeradas de 1 a 6, é lançado três vezes. Em cada
lançamento, anota-se o número obtido na face
superior do dado, formando-se uma sequência (a, b, c).
Qual é a probabilidade de que b seja sucessor de a ou
que c seja sucessor de b?
a) 4/27
b) 11/54
c) 7/27
d) 10/27
e) 23/54
24) (FGV) Uma urna contém cinco bolas numeradas
com 1, 2, 3, 4 e 5. Sorteando-se ao acaso, e com
reposição, três bolas, os números obtidos são
representados por x, y e z . A probabilidade de que xy
+ z seja um número par é de
(A) 47/125
(B) 2/5
(C) 59/125
(D) 64/125
(E) 3/5
25) (PUCCAMP) Numa certa população são daltônicos
5% do total de homens e 0,05% do total de mulheres.
Sorteando-se ao acaso um casal dessa população, a
probabilidade de ambos serem daltônicos é
(A) 1/1.000.
(B) 1/10.000.
(C) 1/20.000.
(D) 1/30.000.
(E) 1/40.000.
26) (ESPM) Uma urna contém 1 bola branca, 1 bola
preta e 8 bolas verdes, distinguíveis apenas pela cor.
Essas bolas vão sendo retiradas uma a uma,
aleatoriamente e sem retorno, observando-se suas
cores. A probabilidade de que a cor branca seja a
primeira cor a se esgotar nessa urna é de:
a) 22/45.
b) 43/90.
c) 49/100.
d) 12/25.
e) 7/15.
27) (PUC-03) De sua turma de 30 alunos, é escolhida
uma comissão de 3 representantes. Qual a
probabilidade de você fazer parte da comissão?
A) 1/10
B) 1/12
C) 5/24
D) 1/3
E) 2/9

12. 28) Uma carta é retirada de um baralho comum, de 52
cartas, e, sem saber qual é a carta, é misturada com as
cartas de um outro baralho idêntico ao primeiro.
Retirando, em seguida, uma carta do segundo
baralho, a probabilidade de se obter uma dama é:
A) 3/51
B) 5/53
C) 5/676
D) 1/13
E) 5/689
29) Três pessoas A, B e C vão participar de um
concurso num programa de televisão. O apresentador
faz um sorteio entre A e B e, em seguida, faz um
sorteio, para decidir quem iniciará o concurso. Se em
cada sorteio as duas pessoas têm a mesma "chance"
de ganhar, qual é a probabilidade de A iniciar o
concurso?
A) 12,5%
B) 25%
C) 50%
D) 75%
E) 95%
30) (UNI- RIO) As probabilidades de três jogadores
marcarem um gol cobrando pênalti são,
respectivamente, 1/2, 2/5, e 5/6. Se cada um bater um
único pênalti, a probabilidade de todos errarem é
igual a:
a) 3%
b) 5%c) 17%
d) 20%
e) 25%
31) (GV) Cada dia em que uma pessoa joga numa
loteria, ela tem uma probabilidade de ganhar igual a
1/1000, independentemente dos resultados
anteriores.
a) Se ela jogar 30 dias, qual a probabilidade de ganhar
ao menos uma vez?
1 - (0,999)30
b) Qual o número mínimo de dias em que ele deverá
jogar para que a probabilidade de que ela ganhe ao
menos uma vez seja maior do que 0,3%?
o menor número inteiro n tal que n >
log0,9990,997.
32) Numa pesquisa sobre preferência entre dois
refrigerantes, Coca-Cola e guaraná, obtivemos o
seguinte resultado:
20 tomam guaraná
15 tomam Coca-Cola
08 tomam os dois
03 não tomam nenhum dos dois.
Sorteando-se uma pessoa ao acaso, calcule a
probabilidade de ela tomar guaraná ou Coca-Cola?
a) 5/6
b) 10/5
c) 10/6
d) 5/3
e) 5/12
33) Lançado simultaneamente dois dados, qual
a probabilidade de que a soma seja 7?
a) 32%
b) 16,66%
c) 32,22%
d) 8,88%
e) 28,88%