1. O documento discute testes de hipóteses e o valor-p, apresentando conceitos iniciais como hipótese nula, hipótese alternativa, estatística do teste, região de rejeição e erros tipo I e II. 2. Exemplos ilustram o cálculo da estatística de teste para a média e proporção e a tomada de decisão com base na região de rejeição. 3. Métodos estatísticos como testes Z e t são apresentados para a comparação de uma ou duas amostras com

1. Teste de Hip´oteses &
Valor-P
Matias Rom´ario
&
Gabriel
Universidade Federal do Cear´a
matiasromariop2@gmail.com
03/06/2016
Matias Rom´ario & Gabriel (UFC) Teste de Hip´oteses e valor-P 03/06/2016 1 / 34

2. Sum´ario
1 Introdu¸c˜ao
Defini¸c˜ao
Aplica¸c˜ao
Teoremas
Estat´ıstica de Testes
Decis˜ao
2 Exemplos
C´alculo do valor-p
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3. M´etodos Estat´ısticos
Testes de Hip´oteses consiste em verificar se a informa¸c˜ao estat´ıstica ´e
suficientemente significante para rejeitar uma dada hip´otese em favor de
outra (que ´e, de fato, o que se pretende comprovar estatisticamente).
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4. Introdu¸c˜ao a Hip´oteses e Nota¸c˜ao
S˜ao fundamentais os seguintes conceitos para realizar um teste de hip´otese:
Hip´otese nula (H0: θ ∈ Θ):
´E a hip´otese que assumimos como verdade para a constru¸c˜ao do teste.
´E o efeito, teoria, alternativa que estamos interessados em testar.
Hip´otese alternativa (H1:θ ∈ Θ):
´E o que consideramos caso a hip´otese nula n˜ao tenha evidˆencia
estat´ıstica que a defenda.
Estat´ıstica do Teste: T(X)
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5. Introdu¸c˜ao a Hip´oteses e Nota¸c˜ao
Continuando
Regi˜ao de rejei¸c˜ao: RR (a hip´otese nula ´e rejeitada quando T(X) ∈
RR).
Erro do tipo I:
A probabilidade de rejeitarmos a hip´otese nula quando ela ´e
efetivamente verdadeira (α)
Erro do tipo II:
A probabilidade de rejeitarmos a hip´otese alternativa quando ela ´e
efetivamente verdadeira (β).
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6. Conceitos iniciais
A id´eia geral que temos a partir do slides atenriores ´e de que:
1 Faz-se uma suposo¸c˜ao inicial
2 Coleta-se evidˆencias (dados) em uma popula¸c˜ao
3 Baseado na avalia¸c˜ao das evidˆencias, decide se aceita ou rejeita a
hip´otese inicial
*Em um Teste de Hip´otese - Indepedente dos parˆametros da popula¸c˜ao
envolvida - Os trˆes passos anteriores devem ser obedecidos.
*Em estat´ıstica, n´os sempre assumimos que a hip´otese nula ´e verdadeira,
ou seja, a hip´otese nula ´e sempre o nosso pressuposto inicial.
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7. Exemplos de Erros
Como pela lei uma pessoa ´e inocente at´e que se prove o contr´ario, as
hip´oteses s˜ao:
H0 : A pessoa ´e inocente.
H1 : A pessoa ´e culpada.
Erro I: A pessoa ´e condenada apesar de ser inocente.
Erro II: A pessoa ´e absolvida apesar de ser culpada.
Naturalmente, a Justi¸ca procura reduzir a possibilidade de ocorrer o Erro I,
pois entende-se que ´e mais grave condenar inocentes do que absolver
criminosos.
Verdade
Decis˜ao Hip´otese nula Hip´otese alternativa
N˜ao rejeita a nula OK Erro tipo II
Rejeitar nula Erro tipo I OK
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8. Observa¸c˜oes
Fixamos H0 :µ=µ0. Dependendo da informa¸c˜ao que fornece o problema
que estamos estudando, a hip´otese alternativa pode ter uma das trˆes
formas abaixo:
H1 :µ = µ0 (teste bilateral);
H1 :µ > µ0 (teste unilateral `a direita);
H1 :µ < µ0 (teste unilateral `a esquerda).
Fixar o n´ıvel de significˆancia α.
Teste
σ S
n≥ 30 z z
n<30 z t
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9. Introdu¸c˜ao a Matem´atica do Teste
A estat´ıstica de teste ´e um valor calculado a partir da amostra, e que ´e
usado para tomar a decis˜ao acerca de rejeitar ou n˜ao a hip´otese nula.
para propor¸c˜oes:
T =
X − np0
√
np0 q0
Estat´ıstica de teste para a m´edia (σ conhecido):
T =
¯X − µ0
σ/
√
n
Estat´ıstica de teste para a m´edia da amostra:
Z =
¯X − µ0
s/
√
n
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10. Exemplo Ilustrativo
Uma linha de produ¸c˜ao opera com um peso m´edio de enchimento
de 16 ml por recipiente. Sobrenchimento e Subenchimento s˜ao
problemas s´erios e a linha de produ¸c˜ao deve ser paralisada se algum
deles ocorrer. De dados passados sabe-se que o Desvio Padr˜ao ´e
0,8ml. Um inspetor de qualidade analisa uma amostra de 30
unidades a cada duas horas, e nesse intervalo ele toma a decis˜ao.
Se a m´edia amostral foi de 15,82 ml, qual atitude tomar?
Temos:
µ0 = 16 ml
H0 = 16
H1 = 16
Supomos a confiˆancia do teste em 95 ←− α = 0,05
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11. Solu¸c˜ao para uma amostra
Atrav´es da tabela, podemos observar que se trata de um teste do tipo Z.
Trata-se de um teste bilateral, pois valores diferentes de 16 s˜ao rejeitados.
Ent˜ao ambos os lados da cauda de nosso gr´afico recebem 0,025, e
notamos que na nossa tabela Z e encontramos o valor -1,96.
Temos: σ = 0, 8, n = 30, ¯x = 15,82 e µ0 = 16
Z =
¯X − µ0
σ/
√
n
=
Z =
15, 82 − 16
0, 8/
√
30
= 1, 23
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12. Exemplo 2
Um fabricante de conservas anuncia que o conte´udo de seu produto ´e, em
m´edia, 2000 gramas, com desvio padr˜ao de 40 gramas. A fiscaliza¸c˜ao de
pesos e medidas investigou uma amostra aleat´oria de 64 latas, verificando
uma m´edia de 1990 gramas. Fixando o nivel de significˆancia em 0,05,
dever´a o fabricante ser multado?
µ0 = 2000 gramas
H0 = 2000
H1 < 2000
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13. Solu¸c˜ao
Temos a situa¸c˜ao em que se apresenta um H1 < µ0 . Logo, temos um teste
unilateral a esquerda. Utilizando a tabela Z, encontramos o valor -1,64,
temos tamb´em:
n = 64, x = 1990 e µ0 = 2000 e σ = 40
Z =
¯X − µ0
σ/
√
n
=
Z =
1990 − 2000
40/
√
64
= −2
Encontra-se dentro da ´area de H1 , logo o fabricante tem que ser multado
por colocar menos que o anuciado.
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14. Exemplo 3
Considere que uma ind´ustria compra de um certo fabricante, pinos cuja
resistˆencia m´edia `a ruptura ´e especificada em 60 kgf (valor nominal da
especifica¸c˜ao). Em um determinado dia, a ind´ustria recebeu um grande
lote de pinos e a equipe t´ecnica da ind´ustria deseja verificar se o lote
atende as especifica¸c˜oes.
H0 : O lote atende as especifica¸c˜oes (Hip´otese Nula)
H1 : O lote n˜ao atende as especifica¸c˜oes (Hip´oteses alternativa)
Seja a V.A(vari´avel aleat´oria) X : resistˆencia `a ruptura X∼N(µ; 25)
H0 : µ = 60 (Hip´oteses simples)
H1 : µ = 60 (Hip´oteses Composta bilateral)
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15. Forma Alternativa
Defini¸c˜ao Alternativa 1 do Teste de Hip´oteses
Uma hip´oteses estat´ıstica ´e uma afirma¸c˜ao ou conjetura sobre o parˆametro, ou
parˆametros, da distribui¸c˜ao de probabilidades de uma caracter´ıstica, X, da
popula¸c˜ao ou de uma v.a.
Defini¸c˜ao Alternativa 2 do Teste de Hip´oteses
Um teste de uma hip´oteses estat´ıstica ´e o procedimento ou regra de decis˜ao que
nos possibilita decidir por H0 ou H1 , com base a informa¸c˜ao contida na amostra.
Suponha que a equipe t´ecnica da ind´ustria tenha decidido retirar uma amostra
aleat´oria de tamanho n=16, do lote recebido, medir a resistˆencia de cada pino e
calcular a resistˆencia m´edia ¯X (estimador de µ)
¯X ∼ N µ,
25
16
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16. Resolu¸c˜ao
Para quais valores de X a equipe t´ecnica deve rejeitar H0 e portanto
n˜ao aceitar o lote?
Se o lote est´a fora de especifica¸c˜ao, isto ´e, H1 :µ = 60, espera-se que a
m´edia amostral seja inferior ou superior a 60 kgf .
Suponha que equipe t´ecnica tenha decidido adotar a seguinte regra:
rejeitar H0 se ¯x for maior que 62.5 kgf e ou menor que 57.5 kgf .
RR
= (¯x > 62,5 ou ¯x < 57,5) −→Regi˜ao de rejei¸c˜ao de H0 .
Rc = Ra =(¯x ≤ 57,5 ¯x ≤ 62,4) −→Regi˜ao de aceita¸c˜ao de H0 .
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17. Exemplo 2
Considerando o exemplo 1.
H0 : Aceitar o lote.
H1 : N˜ao aceitar o lote.
Erro tipo I: N˜ao aceitar o lote sendo que ela est´a dentro das
especifica¸c˜oes.
Erro tipo II: Aceitar o lote sendo que ela est´a fora das especifica¸c˜oes.
P(Erro Tipo I) = α(N´ıvel de Significˆancia)
α = P( Rejeitar H0 | H0 verdadeira)
P(Erro Tipo II) = β = P(N˜ao rejeitar H0 | H0 falso)
1 − β = P(Rejeitar |H0 Falso) →Poder do teste
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18. Continua¸c˜ao...
Considerando as hip´oteses do exemplo 1: H0 : µ = 60 contra H1 : µ = 60.
α = P(¯x > 62.5 ou ¯x < 57.5 | H0 :µ = 60) → sob H0 , ¯x ∼ N(60, 25/16).
α = P(¯x > 62.5 | H0 : µ = 60) + P(¯x < 57.5 | H0 : µ = 60)=
P= ¯x−60√
25/16
> 62.5−60√
25/16
+ P ¯x−60√
25/16
< 57.5−60√
25/16
=
P[Z > 2] + P[Z < -2] = 0.02275 + 0. 02275 = 0.0445
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19. Para duas amostras populacionais
Seja X uma vari´avel aleat´oria cont´ınua, para uma popula¸c˜ao 1 temos a
m´edia de X igual a µ1 e para uma popula¸c˜ao 2 temos µ2. O objetivo ´e
compara a m´edia populacional µ1 e µ2
A hip´otese nula e a alterantiva do teste s˜ao respectivamente:
H0 : µ1 = µ2
H1 : µ1 = µ2
Matias Rom´ario & Gabriel (UFC) Teste de Hip´oteses e valor-P 03/06/2016 19 / 34

20. Exemplo
Um estudo objetivou analisar a associa¸c˜ao entre diversas vari´aveis com a
s´ındrome metab´olica (SM) em indiv´ıduos de origem japonesa, com 30 anos
de idade ou mais.
Pergunta: Indiv´ıduos com SM e sem SM possuem, em m´edia, valores
iguais para press˜ao sist´olica?
Temos duas popula¸c˜oes, uma com SM(µ1: m´edia de PAS para P.1) e
outra sem SM(µ2)
σ1 seria o desvio para a P.1 e σ2 para a P.2
Existe uma vers˜ao do teste de compara¸c˜ao que pressup˜oe σ1 = σ2 e outra
que n˜ao faz esse pressuposto.
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21. Matem´atica do Teste para duas popula¸c˜oes
Quando σ1 e σ2 s˜ao conhecidos
Z =
¯X1 − ¯X2
σ2
1
n + σ2
2
n
=
Quando σ2
1 = σ2
2 = σ2 S˜ao desconhecidos
T =
¯X1 − ¯X2 − (µ1 − µ2)
S2
p
1
n + 1
n
=
Onde S2
p ´e uma m´edia entre as variˆancias amostrais ponderada pelo grau
de liberdade n1-1 e n2-1:
S2
p =
(n1 − 1)S2
1 + (n2 − 1)S2
2
n1 + n2 − 2
Matias Rom´ario & Gabriel (UFC) Teste de Hip´oteses e valor-P 03/06/2016 21 / 34

22. Continua¸c˜ao
Lembramos que H0 ´e verdadeira, t0 ´e um valor de uma vari´avel aleat´oria
que segue a distribui¸c˜ao t de Student com n1+n2 -2 graus de liberdade.
Utilizando P(rejeita H0 | H0 ´e verdadeira) = 0.05 = α
Temos um gr´afico bipartido com 0.025 em ambas as caldas. Ent˜ao
supomos que retiramos duas amostras, n1 = 50 e n2 = 52.
Grau de liberdade = n1+n2 -2 = 50 + 52 - 2 = 100, α = 0.05, logo
1-α = 0.95
Vamos agora encontrar o valor de t∗ na tabela de distribui¸c˜ao t Student
(t∗ = 1,984)
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23. Resolu¸c˜ao
Considerando:
n1 =52 n2 = 50
¯x1 = 142,1 mmHg ¯x2 = 121,6 mmHg
s1 = 23,0 mmHg s2 = 21,3 mmHg
S2
p =
(n1 − 1)S2
1 + (n2 − 1)S2
2
n1 + n2 − 2
=
S2
p =
51 ∗ 232 + 49 ∗ 21, 32
52 + 50 − 2
= 492, 0981
T =
¯X1 − ¯X2
S2
p
1
n + 1
n
=
142, 1 − 121
492, 0981 1
52 + 1
50
=
20, 5
4, 39379
= 4, 67
Valor t0 > t∗, logo rejeitamos H0
Matias Rom´ario & Gabriel (UFC) Teste de Hip´oteses e valor-P 03/06/2016 23 / 34

24. Tomada de Decis˜ao
Nas estat´ısticas, existem duas maneiras de determinar se a evidˆencia ´e
prov´avel ou improv´avel dada a suposi¸c˜ao inicial:
Podemos tomar a “abordagem de valor cr´ıtico” (Apresentado em
muitos dos livros mais antigos).
Podemos tomar a “abordagem do P-value” (que ´e usado na maioria
das vezes em pesquisa, artigos de revistas e software estat´ıstico).
Matias Rom´ario & Gabriel (UFC) Teste de Hip´oteses e valor-P 03/06/2016 24 / 34

25. Valor-P
A escolha do n´ıvel de significˆancia do teste ´e completamente arbitr´aria,
uma forma alternativa para resolver esse problema ´e:
Calcular uma quantidade chamada n´ıvel cr´ıtico, probabilidade de
significˆancia ou valor-p
A abordagem P-value consiste em determinar o “prov´avel” ou
“improv´avel”, determinando a partir de probabilidade, assumindo que a
hip´otese nula ´e verdadeira. Se o valor P ´e pequeno, digamos P ≤ α, ent˜ao
´e “prov´avel”, e se o valor P ´e grande, digamos mais do que α (P > α),
ent˜ao ´e “improv´avel”.
Se o valor P < α, a hip´otese nula ´e rejeitada em favor da hip´otese
alternativa. Se o valor P > α, a hip´otese nula n˜ao ´e rejeitada .
Matias Rom´ario & Gabriel (UFC) Teste de Hip´oteses e valor-P 03/06/2016 25 / 34

26. Teoremas
Valor P
o p-valor ´e a probabilidade de observar resultados extremos quanto aqueles
que foram obtidos se a hip´otese nula for verdadeira. A id´eia ´e que se o
valor-p for grande ele fornece evidˆencia de que H0 ´e verdadeira, enquanto
que um valor-p ´e pequeno, indica que existe evidˆencia nos dados contra
H0.
Matias Rom´ario & Gabriel (UFC) Teste de Hip´oteses e valor-P 03/06/2016 26 / 34

27. Heur´ıstica
Podemos considerar, especificamente quatro passos para resolver qualquer
problema de teste de hip´oteses com o valor-P.
1 Especificar as Hip´oteses nula e alternativas.
2 Usando os dados de exemplo e assumindo que a hip´otese nula ´e verdadeira,
calcular o valor da estat´ıstica de teste (T-test). Para realizar o teste de
hip´otese para a m´edia da popula¸c˜ao µ, usamos a estat´ıstica T.
T =
¯X − µ
s
√
n
3 Usando a distribui¸c˜ao conhecida da estat´ıstica de teste, calcular o valor P:
“Se a hip´otese nula ´e verdadeira, qual ´e a probabilidade de que n´os
observamos uma estat´ıstica de teste mais extremo na dire¸c˜ao da hip´otese
alternativa”
4 Definir o n´ıvel de significˆancia, α, a probabilidade de ter um erro de tipo I
ser pequeno - 0,01, 0,05 ou 0,10 . Compare o valor P para α. Se o valor P
≤ α, rejeitar a hip´otese nula em favor da alternativa. Se o valor P > α,
n˜rejeitar a hip´otese nula.
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28. Probabilidade de Significˆancia Valor-p
Valores Significados
P ≥ 0,10 N˜ao existe evidˆencia contra H0
0,05 ≤ P < 0,10 Fraca evidˆencia contra H0
0,01 ≤ P < 0,05 Evidˆecia significativa...
0,001 ≤ P < 0,01 Evidˆencia altamente significativa
P < 0,001 Evidˆencia extremanente significativa
Amostras de valores
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29. Exemplo 1
Um neurologista est´a testando o efeito de uma nova droga no tempo de
resposta injetando em 100 ratos uma dose da droga, sujeitando cada um a
est´ımulos neurol´ogicos, e anotando o tempo de resposta. O neurologista
sabe que a m´edia do tempo de resposta para os ratos n˜ao injetados com a
droga ´e de 1,2 segundos. A m´edia do tempo de resposta dos 100 ratos
injetados ´e de 1,05 segundos, com um desvio padr˜ao amostral de 0,5
segundos.
Vocˆe acha que a droga tem efeito no tempo de resposta?
Matias Rom´ario & Gabriel (UFC) Teste de Hip´oteses e valor-P 03/06/2016 29 / 34

30. Resolu¸c˜ao
Temos que:
H0: Droga n˜ao ter efeito =⇒ µ0 = 1,2 segundos.
H1: Droga faz efeito =⇒ µ = 1,2s quando a droga ´e dada.
considere H0
σx =
σ
√
100
=
S
√
100
=
0, 5
100
σx = 0.005
z =
1, 2 − 1, 05
0, 05
=
0, 15
0, 05
= 3
Matias Rom´ario & Gabriel (UFC) Teste de Hip´oteses e valor-P 03/06/2016 30 / 34

31. Valor-P
Temos que Z=3 na Tabela de Distribui¸c˜ao Normal Padronizada(tabela Z) equivale
a 0,4987, isso multiplicando por dois (j´a que ´e bilateral) d´a 0,9974 = 99,7%
Nosso p-value equivale a 0.003
0.97
x
Matias Rom´ario & Gabriel (UFC) Teste de Hip´oteses e valor-P 03/06/2016 31 / 34

32. Simula¸c˜ao
Os sistemas de escapamento de uma aeronave funcionam devido a um
propelente s´olido. A taxa de queima desse propelente ´e uma caracter´ıstica
importante do produto. As especifica¸c˜oes requerem que a taxa m´edia de
queima tem de ser 50 cent´ımetros por segundo. Sabemos que o desvio
padr˜ao da taxa de queima ´e σ=2 cent´ımetros por segundo. O
experimentalista decide especificar uma probabilidade do erro tipo I, ou
n´ıvel de significˆancia, de α=0,05. Ele seleciona uma amostra aleat´oria de
n=25 e obt´em uma taxa m´edia amostral de queima de x = 51,3
cent´ımetros por segundo. Que conclus˜oes poderiam ser tiradas?
Matias Rom´ario & Gabriel (UFC) Teste de Hip´oteses e valor-P 03/06/2016 32 / 34

33. Referˆencias
B. Burt Gerstman (2008)
Basic Biostatistics; Statistics for public Health Practice
cap.9
Ricardo S. Ehlers (2011)
Teste de Hip´otese. Notas de aulas - USP dispon´ıvel em
http://www.icmc.usp.br/ ehlers/inf/cap6.pdf
V´ıctor H. L. D´avila (2012)
Teste de Hip´otese, IME-UNICAMP. Dispon´ıvel em
http://www.ime.unicamp.br/ hlachos/Inferencia Hipo1.pdf
Entre outros dispon´ıveis na internet
Matias Rom´ario & Gabriel (UFC) Teste de Hip´oteses e valor-P 03/06/2016 33 / 34

34. D´uvidas?
Matias Rom´ario & Gabriel (UFC) Teste de Hip´oteses e valor-P 03/06/2016 34 / 34