Estatística Aplicada a 
Administração 
ADMINISTRAÇÃO – EAADM 
PROF. ENIO JOSÉ BOLOGNINI 
2º SEMESTRE / 2014 
AULA 11 – PRO...
INTRODUÇÃO A PROBABILIDADES 
É o estudo dos fenômenos de observação, sendo possível a explicação de um dado 
problema, e d...
ESPAÇO AMOSTRAL 
Existem dois tipos: 
 Determinístico: Sempre tem os mesmos resultados, qualquer 
que seja o número de oc...
ESPAÇO AMOSTRAL 
Em números aleatórios o espaço amostral do conjunto S, são todos 
resultados possíveis do experimento. 
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ESPAÇO AMOSTRAL 
Em um experimento aleatório o conjunto de resultados de 
experimentos, depende dos elementos que serão ch...
ESPAÇO AMOSTRAL 
Exemplo 4: 
Lançando dois dados enumeramos os seguintes eventos: 
A: Saída das faces iguais; 
B: Saída de...
ESPAÇO AMOSTRAL 
D1D2 1 2 3 4 5 6 
1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) 
2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (1,6) 
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DEFINIÇÃO DE PROBABILIDADE 
Estudo estatístico que obtêm-se a partir de uma amostra, as conclusões 
sobre uma população. E...
DEFINIÇÃO DE PROBABILIDADE 
 Evento Simples: É um resultado, ou um evento, que não comporta 
mais decomposições. 
Exemplo...
EVENTOS 
Exemplo 1: 
a) Seja o experimento A: Jogar três moedas e observar os resultados: 
S = {(c, c, c), (c, c, k), (k, ...
EVENTOS EM ÁRVORES 
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A: Saída de cara na 1º moeda...
TEORIA DAS PROBABILIDADES 
Intuitivamente pode-se definir probabilidade como: 
número de casos favoráveis a ( A ) 
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TEORIA DAS PROBABILIDADES 
Exemplo 1: A pesquisa de um jornal de São Paulo revelou que 200 brasileiros 
foram mortos por r...
TEORIA DAS PROBABILIDADES 
Exemplo 2: Uma pesquisa do PC world foi realizada com 4.000 proprietários 
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TEORIA DAS PROBABILIDADES 
Exemplo 3: O RH de uma empresa é composto de 15 homens e 35 mulheres. É 
feito o sorteio aleató...
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
Ex. 1) Probabilidade de se obter um número par como resultado de um 
lançamento de um dado: 
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REGRAS PARA CÁLCULO DE 
PROBABILIDADES (EVENTOS) 
AULA 12 
PROF. ENIO JOSÉ BOLOGNINI 
CENTRO UNIV. NORTE PAULISTA - UNORP ...
EVENTOS 
Classificar eventos é discutir resultados representados por conjuntos, 
subconjuntos e conjuntos vazios. Sendo as...
EVENTOS MUTUAMENTE 
EXCLUSIVOS 
São a maneira de demonstrar entre A e B que são mutuamente exclusivos, caso 
se os mesmos ...
EVENTOS MUTUAMENTE 
EXCLUSIVOS 
Estas definições são probabilísticas, pois em um experimento aleatório 
do espaço amostral...
EVENTOS MUTUAMENTE 
EXCLUSIVOS 
Estas definições são probabilísticas, pois em um experimento aleatório 
do espaço amostral...
Referências Bibliográficas 
BÁSICA: 
CRESPO, A. A. Estatística fácil. São Paulo: Saraiva, 19--, 20--. 
SILVA, E. M. et al....
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Aula 11 probabilidades.espaços amostrais e eventos

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Aula 11 probabilidades.espaços amostrais e eventos

  1. 1. Estatística Aplicada a Administração ADMINISTRAÇÃO – EAADM PROF. ENIO JOSÉ BOLOGNINI 2º SEMESTRE / 2014 AULA 11 – PROBABI LIDADES: ESPAÇOS AMOSTRAIS E EVENTOS
  2. 2. INTRODUÇÃO A PROBABILIDADES É o estudo dos fenômenos de observação, sendo possível a explicação de um dado problema, e distinguir um método determinístico ou probabilístico. 퐴1: 푅푒푡푖푟푎푟 푢푚푎 푐푎푟푡푎 푑푒 푢푚 푏푎푟푎푙ℎ표 푐표푚 52 푐푎푟푡푎푠 푒 표푏푠푒푟푣푎푟 푠푒푢 naipe; 퐴2: 퐽표푔푎푟 푢푚푎 푚표푒푑푎 10 푣푒푧푒푠 푒 표푏푒푟푣푎푟 표 푛ú푚푒푟표 푑푒 푐표푟표푎푠 표푏푡푖푑푎푠; 퐴3: 푅푒푡푖푟푎푟 푐표푚 표푢 푠푒푚 푟푒푝표푠푖çã표, 푏표푙푎푠 푑푒 푢푚푎 푢푟푛푎 푞푢푒 푐표푛푡é푚 5 푏표푙푎푠 푏푟푎푛푐푎푠 푒 6 푝푟푒푡푎푠; 퐴4: 퐽표푔푎푟 푢푚 푑푎푑표 푒 표푏푠푒푟푣푎푟 표 푛ú푚푒푟표 푚표푠푡푟푎푑표 푛푎 푓푎푐푒 푑푒 푐푖푚푎; 퐴5: Contar o número de peças defeituosas da produção diária da máquina A. Cada observação entre A1,A2,A3,A4 e A5, pode ser repetido indefinidamente, descreve todos resultados possíveis , havendo uma regularidade, o que surgirá uma frequência relativa dos resultados esperados. PROF. ENIO JOSÉ BOLOGNINI CENTRO UNIV. NORTE PAULISTA - UNORP 2
  3. 3. ESPAÇO AMOSTRAL Existem dois tipos:  Determinístico: Sempre tem os mesmos resultados, qualquer que seja o número de ocorrências. Ex. 1: Um sólido será a uma certa temperatura a passagem do estado sólido para o líquido.  Aleatórios: São resultados previsíveis, mesmo havendo um grande número de repetições. Ex. 2: Considerando um pomar de laranjeiras, as produções de cada planta serão diferentes e não previsíveis, mesmo que as condições de temperatura, pressão, umidade, solo etc. sejam as mesmas para todas as árvores.
  4. 4. ESPAÇO AMOSTRAL Em números aleatórios o espaço amostral do conjunto S, são todos resultados possíveis do experimento. Exemplo 3: a) A: Jogar um dado e observar o nº da face de cima. Assim, S = {1,2,3,4,5,6} a) Seja A: Jogar duas moedas e observar o resultado; Assim, S = {(cara, cara), (cara, coroa), (coroa, cara), (coroa, coroa)} Ou simplificar S = {(c, c), (c, k), (k, c), (k, k)} c = cara e k = coroa; PROF. ENIO JOSÉ BOLOGNINI CENTRO UNIV. NORTE PAULISTA - UNORP 4
  5. 5. ESPAÇO AMOSTRAL Em um experimento aleatório o conjunto de resultados de experimentos, depende dos elementos que serão chamados de pontos amostrais, a representação do espaço amostral é dada por Ω, veja o exemplo logo abaixo: Ω = {c, r}; Ω = {1,2,3,4,5}; Ω = {(c, r), {(c, c), {(r, c), {(r, r)}; Ω = {퐴0 … 퐾0, 퐴푝 … 퐾푝, 퐴퐸 … 퐾퐸 , 퐴푐 … 퐾푐 }; Ω = {t ∈ ℝ | 푡 ≥ 0}; Podendo ser único o ponto amostral ou em reunião.
  6. 6. ESPAÇO AMOSTRAL Exemplo 4: Lançando dois dados enumeramos os seguintes eventos: A: Saída das faces iguais; B: Saída de faces cuja soma seja igual a 10; C: Saída de faces cuja soma seja menor que 2; D: Saída de faces cuja soma seja menor que 15; E: Saída de faces onde uma face é o dobro da outra. Determine o espaço amostral por uma tabela de dupla entrada (Produto Cartesiano):
  7. 7. ESPAÇO AMOSTRAL D1D2 1 2 3 4 5 6 1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (1,6) 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (1,6) 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (1,6) 5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (1,6) 6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (1,6) Os eventos pedidos são: A = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)} B = {(4,6), (5,5), (6,4)} C = ∅ (Evento impossível) D = Ω (evento certo) E = {(1,2), (2,1), (2,4), (3,6), (4,2), (6,3)}
  8. 8. DEFINIÇÃO DE PROBABILIDADE Estudo estatístico que obtêm-se a partir de uma amostra, as conclusões sobre uma população. Este fenômeno de probabilidade são chances dos eventos ocorrerem. O conceito básico é baseado em experimentos, evento, evento simples e espaço amostral de um experimento.  Experimento: É qualquer processo que permite ao pesquisados fazer observações. Exemplo: A ocorrência de um raio, uma viagem aérea, o lançamento de uma moeda entre outros.  Evento: É o resultado de um conjunto de ocorrências no experimento. Exemplo: O raio atingir (ou não) um pessoa; O aviação chegar (ou não) no horário correto; entre outros. PROF. ENIO JOSÉ BOLOGNINI CENTRO UNIV. NORTE PAULISTA - UNORP 8
  9. 9. DEFINIÇÃO DE PROBABILIDADE  Evento Simples: É um resultado, ou um evento, que não comporta mais decomposições. Exemplo: Ao jogar o dado, o evento foi o número cinco;  Evento não simples: O evento não simples pode ser decomposto em dois (ou mais) eventos simples. Exemplo: Ao jogar dois dados o evento foi o número oito; não é um evento simples, pois é composto por mais de um evento simples, tal como “dois e seis” ou “três e cinco”; PROF. ENIO JOSÉ BOLOGNINI CENTRO UNIV. NORTE PAULISTA - UNORP 9
  10. 10. EVENTOS Exemplo 1: a) Seja o experimento A: Jogar três moedas e observar os resultados: S = {(c, c, c), (c, c, k), (k, c, c), (c, k, c), (k, k, k), (k, k, c), (k, c, k), (c, k, k)} Seja A o evento: Ocorrer pelo menos 2 caras. Então, A = {(c, c, c), (k, c, c), (c, k, c), (c, c, k)} b) Seja o experimento A: Lançar um dado e observar o número de cima. Então S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Seja B o evento: Ocorrer múltiplo de 2. Então, B = {2, 4, 6}. PROF. ENIO JOSÉ BOLOGNINI CENTRO UNIV. NORTE PAULISTA - UNORP 10
  11. 11. EVENTOS EM ÁRVORES c k c k c k c k c k c k c k Exemplo 2: Lançam-se 3 moedas: A: Saída de cara na 1º moeda; B: Saída de coroa na 2º e 3º moedas. PROF. ENIO JOSÉ BOLOGNINI CENTRO UNIV. NORTE PAULISTA - UNORP 11
  12. 12. TEORIA DAS PROBABILIDADES Intuitivamente pode-se definir probabilidade como: número de casos favoráveis a ( A ) p(A) = -------------------------------------- ------- número total de casos possíveis ( S ) Ao conjunto desses casos possíveis dá-se o nome de espaço amostral (S). E ao conjunto de casos favoráveis a A dá-se o nome de evento A. PROF. ENIO JOSÉ BOLOGNINI CENTRO UNIV. NORTE PAULISTA - UNORP 12
  13. 13. TEORIA DAS PROBABILIDADES Exemplo 1: A pesquisa de um jornal de São Paulo revelou que 200 brasileiros foram mortos por raios no período de um ano (ano 2000). Qual a probabilidade de uma pessoa ser atingida por um raio, sabendo-se que a população brasileira está em torno de 170 milhões? PROF. ENIO JOSÉ BOLOGNINI CENTRO UNIV. NORTE PAULISTA - UNORP 13 푃 퐴 = 푛(퐴) 푛(푆) = 200 170.000.000 = 0,0000012
  14. 14. TEORIA DAS PROBABILIDADES Exemplo 2: Uma pesquisa do PC world foi realizada com 4.000 proprietários de computadores pessoais, e verificou que 992 dos computadores apresentaram falhas num intervalo de dois anos após a compra. Tomando como base estes resultados, qual a probabilidade de você comprar um computador pessoal e ele apresentar problema nos próximos dois anos? PROF. ENIO JOSÉ BOLOGNINI CENTRO UNIV. NORTE PAULISTA - UNORP 14 푃 퐴 = 푛(퐴) 푛(푆) = 992 4.000 = 0,248
  15. 15. TEORIA DAS PROBABILIDADES Exemplo 3: O RH de uma empresa é composto de 15 homens e 35 mulheres. É feito o sorteio aleatório de um funcionário, qual a probabilidade de não ser mulher? Evento favorável: A {não ser mulher} Número de elementos do evento favorável: n(A) = 15; Espaço amostral: S = {15 homens mais 35 mulheres}; Número de elementos do espaço amostral: n(S) = 50. PROF. ENIO JOSÉ BOLOGNINI CENTRO UNIV. NORTE PAULISTA - UNORP 15 푃 퐴 = 푛(퐴) 푛(푆) = 15 50 = 0,3
  16. 16. EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO Ex. 1) Probabilidade de se obter um número par como resultado de um lançamento de um dado: S = {1,2,3,4,5,6} e A = {2,4,6} Ex. 2) Probabilidade de se obter o número 4 como resultado de um lançamento de um dado: S = {1,2,3,4,5,6} e A = {4} Ex. 3) Probabilidade de se obter um número diferente de 4 no lançamento de um dado: S = {1,2,3,4,5,6} e A = {1,2,3,5,6} PROF. ENIO JOSÉ BOLOGNINI CENTRO UNIV. NORTE PAULISTA - UNORP 16
  17. 17. REGRAS PARA CÁLCULO DE PROBABILIDADES (EVENTOS) AULA 12 PROF. ENIO JOSÉ BOLOGNINI CENTRO UNIV. NORTE PAULISTA - UNORP 17
  18. 18. EVENTOS Classificar eventos é discutir resultados representados por conjuntos, subconjuntos e conjuntos vazios. Sendo assim, eventos certos e eventos impossíveis. a) 퐴 ∪ 퐵 → é 표 푒푣푒푛푡표 푞푢푒 표푐표푟푟푒 푠푒 퐴 표푐표푟푟푒 표푢 B 표푐표푟푟푒 표푢 푎푚푏 표푠 표푐표푟푟푒푚; b) 퐴 ∩ 퐵 → é 표 푒푣푒푛푡표 푞푢푒 표푐표푟푟푒 푠푒 퐴 e B 표푐표푟푟푒푚; c) 퐴 → é 표 푒푣푒푛푡표 푞푢푒 표푐표푟푟푒 푠푒 퐴 não ocorre; PROF. ENIO JOSÉ BOLOGNINI CENTRO UNIV. NORTE PAULISTA - UNORP 18
  19. 19. EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS São a maneira de demonstrar entre A e B que são mutuamente exclusivos, caso se os mesmos não ocorrer simultaneamente, então 퐴 ∩ 퐵 = ∅, exemplo: A: Jogar um dado e observar o resultado. S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Sejam os eventos: A = ocorrer nº par, e B = ocorrer nº impar. Portanto, A ={2, 4, 6} e B = {1, 3, 5}, 퐴 ∩ 퐵 = ∅. PROF. ENIO JOSÉ BOLOGNINI S 퐴 ∩ 퐵 = ∅ A B 2 4 6 1 5 7 CENTRO UNIV. NORTE PAULISTA - UNORP 19
  20. 20. EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS Estas definições são probabilísticas, pois em um experimento aleatório do espaço amostral de A e S, temos o evento A – P (A) – é a definição de S que associou-se em um número real de cada evento, portanto satisfaz as seguintes axiomas: A. 0 ≤ 푃 퐴 ≤ 1 B. 푃 푆 = 1 C. Se A e B forem eventos mutuamente exclusivos, (퐴 ∩ 퐵 = ∅), então P(퐴 ∪ 퐵) = 푃(퐴) + 푃(퐵). PROF. ENIO JOSÉ BOLOGNINI CENTRO UNIV. NORTE PAULISTA - UNORP 20
  21. 21. EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS Estas definições são probabilísticas, pois em um experimento aleatório do espaço amostral de A e S, temos o evento A – P (A) – é a definição de S que associou-se em um número real de cada evento, portanto satisfaz as seguintes axiomas: A. 0 ≤ 푃 퐴 ≤ 1 B. 푃 푆 = 1 C. Se A e B forem eventos mutuamente exclusivos, (퐴 ∩ 퐵 = ∅), então P(퐴 ∪ 퐵) = 푃(퐴) + 푃(퐵). PROF. ENIO JOSÉ BOLOGNINI CENTRO UNIV. NORTE PAULISTA - UNORP 21
  22. 22. Referências Bibliográficas BÁSICA: CRESPO, A. A. Estatística fácil. São Paulo: Saraiva, 19--, 20--. SILVA, E. M. et al. Estatística: para os cursos de economia, administração e ciências contábeis. São Paulo: Atlas, 19--. TIBONI, C. G. R. Estatística Básica: para os cursos de administração, ciências contábeis, tecnológicos e de gestão. São Paulo: Atlas, 20--. COMPLEMENTAR: HOFFMANN, R. Estatística para economistas. São Paulo: Pioneira, 19--. MARTINS, G. A; DONAIRE, D. Princípios de estatística. São Paulo: Atlas, 19--. MORETTIN, P. A; BUSSAB, W. O. Estatística básica. São Paulo: Saraiva, 19--, 20--. FONSECA, J. S; MARTINS, G. A. Curso de estatística. São Paulo: Atlas, 19--. SPIEGEL, M. R. Estatística. São Paulo: Makron Books do Brasil, 19--. PROF. ENIO JOSÉ BOLOGNINI CENTRO UNIV. NORTE PAULISTA - UNORP 22

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