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Probabilidades - 9º ano 
Elaborado por Sandra Coelho
Em 1651 o Conde de Méré (viciado no jogo) viajava com Pascal ( homem 
que estudava religião e Matemática – inventor da máquina de calcular) e 
colocou-lhe a seguinte questão: 
“ Eu e um amigo estávamos a jogar quando uma mensagem urgente 
nos obrigou a interromper o jogo. Tínhamos colocado em jogo 30 
pistolas cada um ( 1 pistola = 2,5 € ). Ganharia as 60 pistolas o 
primeiro que obtivesse 3 vezes o número que escolheu no 
lançamento de um dado. Eu tinha escolhido o 6 e quando o jogo foi 
interrompido já tinha saído o 6 duas vezes. O meu amigo tinha 
escolhido o 1 que apenas tinha saído uma vez”. 
Como dividir as 60 pistolas?
Pascal interessou-se por este problema e iniciou uma 
correspondência com o seu amigo Fermat para analisar a 
situação. Essa correspondência marca o início da Teoria 
das Probabilidades. 
Fermat Pascal
A importância das probabilidades na sociedade 
METEREOLOGIA 
É pouco provável que chova durante esta semana. 
SEGUROS 
Porque é que um condutor com pouco tempo de carta 
paga mais seguro? 
JOGOS 
Porque é que o totoloto tem 49 números e não 10 ou 20?
Termos e conceitos 
Experiência 
• Lançamento de uma moeda 
• Lançamento de um dado 
• Totoloto 
• Estado do tempo para a semana 
• Extracção de uma carta 
• Tempo que uma lâmpada irá durar 
• Furar um balão cheio 
• Deixar cair um prego 
num copo de água 
• Calcular a área de 
quadrado de lado 9 cm 
À partida o resultado é 
desconhecido 
À partida já conhecemos 
o resultado
Termos e conceitos 
Espaço de Resultados ou Espaço Amostral 
Espaço Amostral é o conjunto de todos os resultados 
possíveis de uma experiência aleatória. 
EXPERIÊNCIA 1: Lançamento de um dado 
Espaço Amostral = S = {1, 2, 3, 4, 5, 6 } 
EXPERIÊNCIA 2: Jogo de futebol 
Espaço Amostral = S = {Vitória, Empate, Derrota } 
EXPERIÊNCIA 3: tirar uma bola de Totoloto 
Espaço Amostral = S = {1, 2, 3, ... ,47, 48, 49 }
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Acontecimentos 
Um acontecimento é um subconjunto do espaço amostral 
EXPERIÊNCIA 1: Lançamento de um dado 
Espaço Amostral = S = {1, 2, 3, 4, 5, 6 } 
Acontecimento A: “Sair um nº par” 
A = { 2, 4, 6 } 
Acontecimento B: “ Sair um nº maior que 2” 
B = { 3, 4, 5, 6 }
Termos e conceitos 
EXPERIÊNCIA: Lançamento de um dado equilibrado 
Espaço Amostral = S = {1, 2, 3, 4, 5, 6 } 
Acontecimento 
ELEMENTAR COMPOSTO 
A: “ Sair o nº 3 ” 
A={ 3 } 
Só tem um elemento 
B: “ Sair o nº ímpar ” 
B={ 1, 3, 5 } 
Tem mais do que um 
elemento
Termos e conceitos 
EXPERIÊNCIA: Lançamento de um rapa 
Espaço Amostral = S = { R, T, D, P } 
Acontecimento 
IMPOSSÍVEL CERTO 
“ Sair a letra X ” “ Sair uma 
consoante ” 
POSSÍVEL 
“ Sair a letra T ”
Modos de definir probabilidade de um acontecimento 
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Lei de LAPLACE 
1749 - 1827
Lei de LAPLACE 
EXPERIÊNCIA: Lançamento de uma moeda 
A moeda tem duas faces: F – frente; V - verso 
S = { F, V } 
Qual é a probabilidade de sair F no lançamento de uma moeda? 
P ( F ) 
= Número de casos favoráveis 
Número de casos possíveis 
P F = 1 = = 
Nº casos favoráveis = 1 
Nº casos possíveis = 2 ( ) 0,5 50% 
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probabilidade
Cálculo de Probabilidades 
EXPERIÊNCIA: Lançamento de um dado equilibrado 
Calcula a probabilidade de cada um dos acontecimentos: 
1) A: “ Sair o número 5 “ Só há uma 
P A = nº de casos favoráveis = 
( ) 
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Um dado 
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: 
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S· oLbarmemperseaia: 
· Fruta da época 
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Entrada Prato Sobremesa Refeição 
S 
C 
A 
B 
L 
A 
B 
L 
FP 
FPFP 
FPFPFP 
( S,A,F ) 
( S,A,P ) 
( S,B,F ) 
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1 
3 
P = 4 = 
12
Como determinar a probabilidade de um 
acontecimento a partir da experiência 
 Lançamento de um dado perfeito 100 
vezes 
Frequência absoluta ou 
efectivo de um 
acontecimento é o 
número de vezes que 
esse acontecimento se 
verifica
Frequência absoluta ou 
efectivo 
 E se o número de efectivos aumentar? 
 Vamos investigar o que se passa: 
 * lançando o dado perfeito um maior nº de vezes. 
 * comparando os resultados obtidos 
Frequência relativa de um 
acontecimento é o 
quociente entre a frequência 
absoluta e o nº total de 
observações.
Lei dos grandes números 
Esta experiência entre outras confirmam 
a LEI DOS GRANDES NÚMEROS: 
 Para um grande nº de experiências a 
frequência relativa de um 
acontecimento A é um valor 
aproximado da sua probabilidade: 
p(A)= Frequência relativa de A
Conclusão 
 Se numa experiência aleatória os resultados 
se prevêem equiprováveis, podes determinar 
a probabilidade de um acontecimento: 
 Previamente (antes de realizar a 
experiência), aplicando a Lei de Laplace. 
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Probabilidades - Teoria e Cálculo

  • 1. Probabilidades - 9º ano Elaborado por Sandra Coelho
  • 2. Em 1651 o Conde de Méré (viciado no jogo) viajava com Pascal ( homem que estudava religião e Matemática – inventor da máquina de calcular) e colocou-lhe a seguinte questão: “ Eu e um amigo estávamos a jogar quando uma mensagem urgente nos obrigou a interromper o jogo. Tínhamos colocado em jogo 30 pistolas cada um ( 1 pistola = 2,5 € ). Ganharia as 60 pistolas o primeiro que obtivesse 3 vezes o número que escolheu no lançamento de um dado. Eu tinha escolhido o 6 e quando o jogo foi interrompido já tinha saído o 6 duas vezes. O meu amigo tinha escolhido o 1 que apenas tinha saído uma vez”. Como dividir as 60 pistolas?
  • 3. Pascal interessou-se por este problema e iniciou uma correspondência com o seu amigo Fermat para analisar a situação. Essa correspondência marca o início da Teoria das Probabilidades. Fermat Pascal
  • 4. A importância das probabilidades na sociedade METEREOLOGIA É pouco provável que chova durante esta semana. SEGUROS Porque é que um condutor com pouco tempo de carta paga mais seguro? JOGOS Porque é que o totoloto tem 49 números e não 10 ou 20?
  • 5. Termos e conceitos Experiência • Lançamento de uma moeda • Lançamento de um dado • Totoloto • Estado do tempo para a semana • Extracção de uma carta • Tempo que uma lâmpada irá durar • Furar um balão cheio • Deixar cair um prego num copo de água • Calcular a área de quadrado de lado 9 cm À partida o resultado é desconhecido À partida já conhecemos o resultado
  • 6. Termos e conceitos Espaço de Resultados ou Espaço Amostral Espaço Amostral é o conjunto de todos os resultados possíveis de uma experiência aleatória. EXPERIÊNCIA 1: Lançamento de um dado Espaço Amostral = S = {1, 2, 3, 4, 5, 6 } EXPERIÊNCIA 2: Jogo de futebol Espaço Amostral = S = {Vitória, Empate, Derrota } EXPERIÊNCIA 3: tirar uma bola de Totoloto Espaço Amostral = S = {1, 2, 3, ... ,47, 48, 49 }
  • 7. Termos e conceitos Acontecimentos Um acontecimento é um subconjunto do espaço amostral EXPERIÊNCIA 1: Lançamento de um dado Espaço Amostral = S = {1, 2, 3, 4, 5, 6 } Acontecimento A: “Sair um nº par” A = { 2, 4, 6 } Acontecimento B: “ Sair um nº maior que 2” B = { 3, 4, 5, 6 }
  • 8. Termos e conceitos EXPERIÊNCIA: Lançamento de um dado equilibrado Espaço Amostral = S = {1, 2, 3, 4, 5, 6 } Acontecimento ELEMENTAR COMPOSTO A: “ Sair o nº 3 ” A={ 3 } Só tem um elemento B: “ Sair o nº ímpar ” B={ 1, 3, 5 } Tem mais do que um elemento
  • 9. Termos e conceitos EXPERIÊNCIA: Lançamento de um rapa Espaço Amostral = S = { R, T, D, P } Acontecimento IMPOSSÍVEL CERTO “ Sair a letra X ” “ Sair uma consoante ” POSSÍVEL “ Sair a letra T ”
  • 10. Modos de definir probabilidade de um acontecimento Definição clássica de probabilidade Lei de LAPLACE 1749 - 1827
  • 11. Lei de LAPLACE EXPERIÊNCIA: Lançamento de uma moeda A moeda tem duas faces: F – frente; V - verso S = { F, V } Qual é a probabilidade de sair F no lançamento de uma moeda? P ( F ) = Número de casos favoráveis Número de casos possíveis P F = 1 = = Nº casos favoráveis = 1 Nº casos possíveis = 2 ( ) 0,5 50% 2 Atenção!!! A regra de Laplace só é aplicável quando os acontecimentos elementares têm a mesma probabilidade
  • 12. Cálculo de Probabilidades EXPERIÊNCIA: Lançamento de um dado equilibrado Calcula a probabilidade de cada um dos acontecimentos: 1) A: “ Sair o número 5 “ Só há uma P A = nº de casos favoráveis = ( ) 1 6 nº de casos possíveis face “5” Um dado tem 6 faces 2) B: “ Sair um número maior que 2 “ Nº casos favoráveis = 4 Nº casos possíveis = 6 P B = 4 = ( ) 2 3 6 B = { 3, 4, 5, 6 }
  • 13. Cálculo de Probabilidades EXPERIÊNCIA: Lançamento de dois dados Qual é o espaço de resultados? 1 2 3 4 5 6 1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) 5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) 6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) Qual é a probabilidade de sair dois números 4 1 maiores que 4? P = = 36 9
  • 14. Cálculo de Probabilidades EXPERIÊNCIA: Ementa de restaurante Quantas refeições diferentes podemos escolher, tendo cada uma, uma entrada, um prato e uma sobremesa? Entrada : · Sopa · Canja Prato: · Arroz de frango · Bife grelhado S· oLbarmemperseaia: · Fruta da época · Pudim Entrada Prato Sobremesa Refeição S C A B L A B L FP FPFP FPFPFP ( S,A,F ) ( S,A,P ) ( S,B,F ) ( S,B,P ) ( S,L,P ) ( S,L,F ) ( C,A,F ) ( C,A,P ) ( C,B,F ) ( C,B,P ) ( C,L,F ) ( C,L,P ) 12 refeições diferentes!
  • 15. Cálculo de Probabilidades Escolhida uma refeição ao acaso qual é a probabilidade de comer arroz ou fruta? 2 3 P = 8 = 12 Qual é a probabilidade de não comer Lampreia nem Pudim? Entrada Prato Sobremesa Refeição S C A B L A B L FP FPFP FPFPFP ( S,A,F ) ( S,A,P ) ( S,B,F ) ( S,B,P ) ( S,L,P ) ( S,L,F ) ( C,A,F ) ( C,A,P ) ( C,B,F ) ( C,B,P ) ( C,L,F ) ( C,L,P ) 1 3 P = 4 = 12
  • 16. Como determinar a probabilidade de um acontecimento a partir da experiência  Lançamento de um dado perfeito 100 vezes Frequência absoluta ou efectivo de um acontecimento é o número de vezes que esse acontecimento se verifica
  • 17. Frequência absoluta ou efectivo  E se o número de efectivos aumentar?  Vamos investigar o que se passa:  * lançando o dado perfeito um maior nº de vezes.  * comparando os resultados obtidos Frequência relativa de um acontecimento é o quociente entre a frequência absoluta e o nº total de observações.
  • 18. Lei dos grandes números Esta experiência entre outras confirmam a LEI DOS GRANDES NÚMEROS:  Para um grande nº de experiências a frequência relativa de um acontecimento A é um valor aproximado da sua probabilidade: p(A)= Frequência relativa de A
  • 19. Conclusão  Se numa experiência aleatória os resultados se prevêem equiprováveis, podes determinar a probabilidade de um acontecimento:  Previamente (antes de realizar a experiência), aplicando a Lei de Laplace.  Empiricamente (realizando a experiência), aplicando a Lei dos Grandes Números.