Eletromagnetismo

1. Introdução ao Eletromagnetismo – Tópicos de Cálculo

A compreensão da teoria de eletromagnética é enormemente facilitada quando o
estudante tem uma boa compreensão da análise vetorial bem como das
operações como gradiente, divergente e rotacional entre outras. Por isso é
imprescindível compreender bem o significado geométrico/matemático dessas
operações.

1. Operador nabla; Gradiente; Divergência; Rotacional.

1.1 Operador nabla
O operador ∇ é um operador vetorial diferencial, denominado nabla ou del, o
qual é definido no sistema de coordenadas cartesiana como:
∂ ∂ ∂
∇=x +y +z . (1)
∂x ∂y ∂z

Este operador não tem significado físico nem geométrico. Por ser um operador,
pode-se à esquerda aplica-lo a uma função à direita.
Eletromagnetismo – Departamento de Engenharia Elétrica – Ano 2000
© Prof. João Antônio de Vasconcelos

Exemplo: Escreva a expressão do operador diferencial f ∇ ; v⋅ ∇ e v× ∇ .

1.2 Gradiente
Considere a função escalar f, contínua e com derivadas pelo menos até primeira
ordem:
f = f (r = f ( x, y, z) .
) (2)
O gradiente da função f, grad f, é um vetor definido por:
∂f ∂f ∂f
∇f = x + y + z . (3)
∂x ∂y ∂z

O grad f é um vetor que dá como resultado a máxima variação da função e a
direção em que esta máxima variação ocorre.

Verificação:
a) Qual o significado geométrico da direção fornecida pelo gradiente?
Considere o vetor posição r=xx+yy+zz. O deslocamento elementar dl = dr é
dado por:

dl = dr = xdx+ydy+zdz. (4)
Realizando o produto escalar entre Eqs. (3) e (4) resulta em:

∂f ∂f ∂f
∇f ⋅ dl = dx + dy + dz = df (5)
∂x ∂y ∂z

Esse resultado nada mais é do que a diferencial df. Se f(x,y,z) = C, onde C é uma
constante, o resultado obtido ao se substituir f(x,y,z) = C em (5) é df = 0. Se
f(x,y,z) não é uma constante, a diferencial de f é nula (df = 0) somente se
∇f ⊥ dl. (6)
Como a diferencial df ao longo da superfície equipotencial é nula (qualquer
deslocamento elementar dl deve ser tangente à superfície equipotencial)
concluímos através de (5) que o gradiente de uma função f(r) é perpendicular à
superfície (equipotencial) f = constante.
∇ f ⊥ f( r) = C . (7)
Da Eq. (5) vemos que a variação df é máxima quando o deslocamento dl for
paralelo ao gradiente. Por outro lado, o gradiente é perpendicular à superfície

f = constante, donde podemos concluir que a direção do gradiente dá a máxima
variação df da função f.
∇f // direção de df max . (8)
b) E o módulo do gradiente? O que ele fornece como informação?
Considere o elemento de arco em coordenadas cartesianas

dl=|dl|=[dx2+dy2+dz2]1/2. (9)

Dividindo membro a membro a Eq. (5) pela (9), obtém-se:

∇f ⋅ dl df
= ∇f ⋅ u = . (10)
| dl| dl

Se dl é paralelo ao gradiente de f, logo u é um vetor unitário na direção do
gradiente e o resultado ∇f ⋅ u = ∇f . Portanto, o módulo do gradiente de f dá como
resultado a máxima taxa de variação da função, isto é:

 df 
∇f =   (11)
 dl  max


grad f(P2)
f = C2

grad f(P1)
f = C1

Assim, podemos repetir: O grad f é um vetor que dá como resultado a máxima
variação da função e a direção em que esta máxima variação ocorre.

Expressões do Gradiente nos Sistemas de Coordenadas:
a) Cartesianas
∂f ∂f ∂f
∇f = x +y +z . (12)
∂x ∂y ∂z

b)Cilíndricas
∂f ∂f ∂f
∇f = +. +z . (13)
∂ρ ρ∂α ∂z


c) Esféricas
∂f ∂f 1 ∂f
∇f = r + +. . (14)
∂r r∂θ rsin(θ ) ∂α

1.3 A Divergência
Seja v = v(r) = vx(x,y,z)x + vy(x,y,z)y + vz(x,y,z)z uma função vetorial contínua
e com derivadas contínuas pelo menos até à primeira ordem. Por definição, o
escalar

∂v x ∂v y ∂v z
∇⋅v ≡ + + (15)
∂x ∂y ∂z

é a divergência do vetor v (div v).

Significado Físico:
A divergência de um campo vetorial v(r), div v(r), dá como resultado o fluxo
líquido (fluxo que sai – fluxo que entra) por unidade de volume.


Obs.: A divergência se aplica a um campo vetorial e dá como resultado um
escalar.

Ilustração Geométrica:

div v(r) 0 div v(r) = 0 div v(r) 0

Dedução:
Considere a lei de Gauss:

∫ D.ds = Q
s
(16)
Vamos aplicá-la à superfície fechada que envolve o volume infinitesimal, com
centro no ponto P, ilustrado a seguir:


z

D = Dxox + Dyoy + Dzoz
P
∆z

∆x
∆y

y

x

A superfície que envolve o volume é o resultado da soma das superfícies laterais.
Logo,

∫ D.ds = ∫ D.ds + ∫ D.ds + ∫ D.ds + ∫ D.ds + ∫ D.ds + ∫ D.ds
s frente atrás esq . dir . topo base
(17)

Vamos considerar separadamente cada uma das integrais do lado direito de (17).


a) Face da Frente

∫ D.ds ≈ D.∆s
frente
frente = D.∆y∆zx = Dx , frente ∆y∆z (18)

O valor de Dx na face frontal pode ser aproximado através da expansão de
Taylor:
∆x ∂Dx
Dx , frente = Dx 0 + (19)
2 ∂x

onde Dx0 é o valor de Dx no ponto central P. Substituindo este resultado em
(18), tem-se:

 ∆x ∂Dx 
∫frente 
D.ds ≈  Dx 0 +
2 ∂x 
 ∆y∆z (20)

b) Face de Trás

∫ D.ds ≈ D.∆s
atrás
atrás = − D.∆y∆zx = − Dx , atrás ∆y∆z (21)
O valor de Dx na face de trás, empregando a expansão de Taylor, é:


∆x ∂Dx
Dx , atrás = Dx 0 − (22)
2 ∂x

Substituindo este resultado em (21), tem-se:

 ∆x ∂Dx 
∫atrás
D.ds ≈ − Dx 0 −
 2 ∂x 
 ∆y∆z (23)

Somando as contribuições das duas faces (Eqs. (20) + (23)) temos:
∂Dx
∫ D.ds + ∫ D.ds ≈
frente atrás ∂x
∆x∆y∆z (24)

Esta equação dá como resultado o fluxo líquido que deixa a superfície na direção
x.

De modo análogo, as contribuições das faces da base + topo e esq.+dir. são:
∂D y
∫ D.ds + ∫ D.ds ≈
esq. dir . ∂y
∆x∆y∆z (25)


∂D z
∫ D .d s + ∫ D . d s ≈
base topo ∂z
∆ x ∆ y∆ z (26)

Estes três resultados somados (Eqs. (24) + (25) + (26)) permitem então avaliar o
fluxo líquido que deixa a superfície fechada envolvendo o cubo, isto é:

∫ D.ds = ∫ D.ds + ∫ D.ds + ∫ D.ds + ∫ D.ds + ∫ D.ds + ∫ D.ds
s frente atrás esq. dir . topo base

 ∂D ∂D y ∂Dz  (27)
≈ x +
 ∂x +  ∆x∆y∆z

 ∂y ∂z 

Dividindo ambos os lados de (27) por ∆x∆y∆z e tomando o limite de
∆v = ∆x∆y∆z 0, tem-se:Æ
lim
∫ D.ds
s  ∂D
= x +
∂D y ∂Dz 
+  = ∇⋅ D
 ∂x
∆x∆y∆z  ∂y ∂z  (28)
∆x∆y∆z → 0


Este resultado é por definicão a divergência do campo vetorial D.

Da lei de Gaus (Eq. (16)) , fica óbvio que
∇ ⋅ D = ρ (x, y, z) (29)

Expressão da Divergência de um Potencial Vetor A nos Sistemas
de Coordenadas:
∂D ∂D ∂D
Cartesianas(x,y,z): ∇⋅ D = + + x y z

∂x ∂y ∂z

1 ∂ ( ρDρ ) 1 ∂Dα ∂Dz
Cilíndricas(ρ,α,z): ∇⋅D = + +
ρ ∂ρ ρ ∂α ∂z

1 ∂(r 2 Dr ) 1 ∂( sinθDθ ) 1 ∂Dα
Esféricas(r,θ,α): ∇⋅D = + +
r 2
∂r rsinθ ∂θ rsinθ ∂α

1.4 Rotacional
Em coordenadas cartesianas, o produto vetorial entre o operador nabla e um
campo vetorial v pode ser escrito da seguinte forma:

x y z
∇ × v = ∂ ∂x ∂ ∂y ∂ ∂z
(30)
vx vy vz

ou

∇ × v = (∂v z ∂y − ∂v y ∂z )x + (∂v x ∂z − ∂v z ∂x )y + (∂v y ∂x − ∂v x ∂y )z (31)
Significado Físico:
O rotacional de um campo vetorial v(r), rot v(r), dá como resultado um vetor
cujos componentes x,y e z dão a circulação desse campo vetorial por unidade de
área respectivamente nos planos normais a esses componentes.
Obs.: O rotacional se aplica a um campo vetorial e dá como resultado um vetor.

Ilustração Geométrica:

z
n
(rot v)n

y

x


Dedução:
Considere a figura abaixo, a qual será utilizada para aplicação da lei de Ampère
ao percurso diferencial fechado.

z
(rot H)n
4 n 3

2
1

H=H0=Hxox + Hyoy + Hz0z

y

x

A integral de linha fechada de H.dl, Eq. (32), é conhecida como Lei de Ampère.


∫ H .dl = ∫ J .ds (32)
É suposto que uma densidade de corrente, não especificada, produza no centro
da face um campo de referência Ho. Aplicando a Eq. (32) ao percurso fechado
1 -2-3-4-1 da figura anterior, obtem-se:
2 3 4 1

∫ H .dl = ∫ H .dl + ∫ H .dl + ∫ H .dl + ∫ H .dl
1 2 3 4
(33)

A integral sobre o lado 1-2 pode ser aproximada por:
2

∫ H .dl ≈ H
1
y,1 - 2 ∆y (34)

O valor de Hy sobre este lado pode ser aproximado por:

∆x ∂H y
H y,1 - 2 = H y0 + (35)
2 ∂x

Substituindo a Eq. (35) em (34) tem-se:


 ∆x ∂H y 
2

∫ H .dl ≈  H y0 +

 2 ∂x 
 ∆y
 (36)
1

Se se considera agora o percurso 3-4, tem-se:

 ∆x ∂H y 
4

∫ H .dl ≈ − H y0 −

 2 ∂x  .
 ∆y
 (37)
3

Somando-se as contribuições dos percuros 1-2+3-4, Eqs. (36) + (37), tem-se:
2 4
∂H y
∫ H .dl + ∫ H .dl ≈ ∂x
∆x∆y . (38)
1 3

De forma análoga, para a contribuição dos percursos 2-3+4-1, tem-se:
3 1
∂H x
∫ H .dl + ∫ H .dl ≈ − ∂y
∆x∆y . (39)
2 4

Com estes resultados, a integral de linha fechada para o elemento de área
diferencial se resume a:

 ∂H y ∂H x 
∫ H .dl ≈ 
 ∂x − ∂y

 ∆x∆y .


(40)

O lado direito da Eq. (32) pode ser avaliado no elemento de área diferencial
como:

∫ J .ds ≈ J ∆x∆y .
z (41)
Assim, a Eq. (32), pode ser reescrita usando (40) e (41):

 ∂H y ∂H x 
∫ H .dl ≈ 
 ∂x − ∂y

∆x∆y ≈ J z ∆x∆y .


(42)

ou

∫ H .dl ≈ ∂H y
−
∂H x
≈ Jz .
∆x∆y ∂x ∂y (43)

Tomando o limite de ∆x∆x tendendo a zero, obtem-se:


lim
∫ H .dl = ∂H y
−
∂H x
= Jz
∆x∆y →0 ∆x∆y ∂x ∂y (44)

Se se escolhe percursos fechados orientados perpendicularmente a x e y,
equações similares à Eq. (44) podem ser obtidas (veja Eqs. (45) e (46)).

lim
∫ H .dl = ∂H z
−
∂H y
= Jx
∆y∆z →0 ∆y∆z ∂y ∂z (45)

lim
∫ H .dl = ∂H x
−
∂H z
= Jy
∆x∆z →0 ∆x∆z ∂z ∂x (46)

As Eqs. (44) a (46) mostram que os componentes da densidade de corrente
podem ser obtidos tomando-se o quociente entre a integral de linha fechada do
campo magnético em um percurso infinitesimal no plano perpendicular a cada
um desses componentes pela área envolvida quando esta tende a zero.

Este resultado recebe o nome de Rotacional.

De uma forma geral, o componente n do rotacional de um campo vetorial A
qualquer, (rot A)n, é dada por:

( rot A) n = lim
∫ A.dl
∆sn →0 ∆sn (47)

Expressão do Rotacional de um Campo Vetorial A nos Sistemas de
Coordenadas:
Cartesianas(x,y,z): ∇ × A =  ∂A − ∂A x +  ∂A − ∂A y +  ∂A − ∂A z

  

z y
  x
z x z

 ∂y ∂z   ∂z ∂x   ∂z ∂x 

 1 ∂A z ∂A α   ∂A ρ ∂A z   1 ∂(ρA α ) 1 ∂A ρ 
Cilíndricas(ρ,α,z):  ρ ∂α − ∂z
∇× A=  + 
  ∂z − ∂ρ . + 
  ρ ∂ρ − ρ ∂α  z 
     
1  ∂ (sin θA α ) ∂A θ  1  1 ∂A r ∂( rA α )  1  ∂( rA θ ) ∂A r 
Esféricas(r,θ,α): ∇× A =  − r +  −  +  − .
rsin θ  ∂θ ∂α  r  sin θ ∂α ∂r  r  ∂r ∂θ 


2. Operadores e Operações de Segunda Ordem.

Pode-se formar com o operador diferencial nabla, dois operadores de segunda
ordem:
∇×∇ (48)
e
∇⋅∇ (49)

As expressões em coordenadas cartesianas são respectivamente:


x y z
∂ ∂ ∂  ∂2 ∂2   ∂2 ∂2   ∂2 ∂2 
∇×∇ =  ∂y∂z − ∂z∂y  + y  ∂z∂x − ∂x∂z  + z  ∂x∂y − ∂y∂x 
= x     
∂x ∂y ∂z       (50)
∂ ∂ ∂
∂x ∂y ∂z

e

∂2 ∂2 ∂2
∇⋅∇ = ∇ = 2 + 2 + 2
2
(51)
∂x ∂y ∂z

A operação dada em (48) não tem um nome específico, entretanto em (49) o
operador é conhecido por Laplaciano.
Expressão do Laplaciano nos Sistemas de Coordenadas:
Cartesianas(x,y,z): ∇ = ∂ + ∂ + ∂
2 2 2
2

∂x 2 ∂y 2 ∂z 2

1 ∂ ∂ 1 ∂2 ∂2
Cilíndricas(ρ,α,z): ∇2 = (ρ ) + 2 + 2
ρ ∂ρ ∂ρ ρ ∂α 2 ∂z

1 ∂ 2 ∂ 1 ∂ ∂ 1 ∂2
Esféricas(r,θ,α): ∇2 = (r )+ 2 (sin θ ) + 2 2
r 2 ∂r ∂r r sin θ ∂θ ∂θ r sin θ ∂α 2


Sendo o operador Laplaciano é um escalar, ele pode ser aplicado a uma função
escalar ou vetorial.

∇ ⋅ ∇f = ∇ 2 f (52)

∇ 2 A = ∇ 2 ( A x x + A y y + A z z) = ∇ 2 A x x + ∇ 2 A y y + ∇ 2 A z z (53)
Em (52), o Laplaciano pode ser interpretado como sendo a divergência do
gradiente. Em (53) esta interpretação não é válida, pois o gradiente não se aplica
a uma função vetorial. Em (53), quando é o sitema de coordenadas cartesianas,
as componentes do Laplaciano de uma função vetorial são os Laplacianos das
componentes cartesianas.

Em sistemas de coordenadas curvilíneas, em geral tem-se:

∇ 2 A = ∇ 2 ( A 1 u 1 + A 2 u 2 + A 3 u 3 ) ≠ ∇ 2 A 1u 1 + ∇ 2 A 2 u 2 + ∇ 2 A 3 u 3 (54)


Isto se deve ao fato de que os unitários curvilíneos são função do ponto e não
podem portanto serem extraídos da operação de diferenciação. As expressões em
coordenadas curvilíneas podem ser encontradas na página 17 do livro
Eletromagnetismo (Annita Macedo).

O operador ∇ × ∇ , dado em (48), aplicado a uma função de ponto será sempre nulo
se a função for contínua e tiver contínuas as derivadas segundas mistas. Isto só
não ocorre com as grandezas do eletromagnetismo [AnnitaMacedo]. A Tabela a
seguir mostra outras operações possíveis com este operador.

Operações com o Operador Nabla
( ∇ × ∇ )f = ∇ × ( ∇ f ) = 0 (55)
(∇ × ∇) ⋅ A = 0 (56)
(∇ × ∇) × A = 0 (57)
∂Ax ∂Ay ∂A
∇ (∇ ⋅ A) = ∇( ) + ∇( ) + ∇( z ) (58)
∂x ∂y ∂z


∇ ⋅ (∇ × A ) = 0 (59)
∇ × (∇ × A) = ∇ (∇ ⋅ A) − ∇ 2 A (60)

De (55), pode-se concluir que se o campo é irrotacional, então ele pode ser
escrito como sendo o gradiente de um escalar:
∇×A = 0 ⇒ A = ∇f . (61)

Se além de ser irrotacional, o campo for soleinodal (div A = 0), então:

∇⋅A = 0 ⇒ ∇2f = 0 . (62)

Se o gradiente de uma função for irrotacional e solenoidal, ela é dita ser
harmônica.


3. Teoremas em Eletromagnetismo (Gauss e Stokes)

O teorema da divergência ou de Gauss estabelece que a integral de volume da
divergência de qualquer campo vetorial é igual à integral de superfície fechada
da componente normal desse campo à superfície S.

∫∫∫ ∇ ⋅ Adv = ∫∫ A ⋅ ds (63)

n

s
V


O teorema de Stokes estabelece que a integral de superfície aberta da
componente normal do rotacional de qualquer campo vetorial à superfície S é
igual à integral desse campo ao longo do percurso fechado que limita S.

∫∫ ∇ × A ⋅ ds = ∫ A ⋅ d l
s (64)

(rot H)n
n

s

l


4. Função Delta de Dirac
Essa função embora possa parecer um pouco estranha, ela é muito útil em
eletromagnetismo. Considere a função abaixo:

0 se | x − x 0 | 1
 2m
δm ( x − x 0 ) = 
1 se | x − x 0 | 1 (65)
 2m
onde m é um escalar positivo com dimensão m-1. A figura abaixo ilustra esta
função.

Considere agora uma região qualquer R sobre o eixo x. Se R conter o intervalo
x-1/2m x x+1/2m, então a integral de δm(x-x0) sobre esta região será sempre
igual a unidade. Caso contrário será nula.


δm(x-x0)

m

x0-1/2m x0 x0+1/2m
x
1/m

Isto é:

0 se | x − x 0 | 1 / 2m ∉ R
∫ δm (x − x 0 )dx = 1
R  se | x − x 0 | 1 / 2m ∈ R (66)


Numericamete, essa integral é a área hachurada da figura anterior, a qual tem
valor unitário independente do valor de m.

A função delta de Dirac pode agora ser definida como:

δ( x − x 0 ) ≡ lim δ m ( x − x 0 ) (67)
m→∞

Com essa definição, verifica-se que δ( x − x 0 ) = 0 se x≠x0, e

0 se x 0 ∉ R
∫ δ(x − x 0 )dx = 1
R  se x 0 ∈ R (68)


δ (x-x0)

x0 x

As propriedades desta distribuição que nos interessam são dadas a seguir: Esta
distribuição é simétrica em relação a seu ponto singular e seu produto por uma
função finita será sempre igual a zero, exceto para o ponto singular, o que mostra
a equação.

δ( x − x 0 ) = δ( x 0 − x ) (69)

f ( x )δ( x − x 0 ) = f ( x 0 )δ( x − x 0 ) (70)

0 se x 0 ∉ R
∫ f (x)δ(x − x 0 )dx = f (x 0 ) se x 0 ∈ R
R  (71)

De forma sucinta, essa última equação estabelece que a integral do produto de
uma função pela delta de Dirac é igual ao valor da função no ponto que anula o
argumento da delta.

Para duas e três dimensões, análises similares podem ser feitas. Em duas e três
dimensões, a delta de Dirac é definida como:

δ(r − r0 ) = δ( x − x 0 )δ( y − y 0 ) Æ em 2D (72)

δ(r − r0 ) = δ( x − x 0 )δ( y − y 0 )δ(z − z 0 ) Æ em 3D (73)
As propriedades da delta em 2D e 3D são similares àquelas em 1D. Finalmente,
as expressões para a delta de Dirac em coordenadas cartesianas e esféricas são
dadas na pág. 28 do livro Eletromagnetismo (Annita Macedo).

LISTA DE EXERCÍCIOS 01
DISCIPLINA: ELETROMAGNETISMO
PROF. JOÃO ANTÔNIO DE VASCONCELOS

1) Usando coordenadas e componentes cartesianas, demonstre as equações A.1.56 e A.1.57 (pág. 624) do livro
texto.

2) Resolva o problema 1.3.5 da página 10 do livro texto.

3) Explique em poucas palavras o significado do gradiente, da divergência e do rotacional.

4) O que é um campo solenoidal? E irrotacional?

5) Explique o teorema de Stokes e da Divergência?

6) Resolva o problema 1.5.3 da página 19 do livro texto.

7) Resolva o problema 1.5.6 da página 19 do livro de eletromagnetismo.

.


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