Operações com números naturais potenciação.ppt

Matemática e suas
Tecnologias - Matemática
Ensino Fundamental, 6º Ano
Operações com números naturais:
potenciação

Um dos objetivos da Matemática para o terceiro ciclo do Ensino Fundamental,
visando ao desenvolvimento do pensamento numérico por meio da exploração de situações
de aprendizagem, é “resolver situações-problema envolvendo números naturais, inteiros,
racionais e a partir delas ampliar e construir novos significados da adição, subtração,
multiplicação, divisão, potenciação e radiciação”(PCN, terceiro e quarto ciclos do Ensino
Fundamental, Matemática, 1998, página 64).
CONCEITOS E PROCEDIMENTOS
-Compreensão da potência com expoente inteiro positivo como
produto reiterado de fatores iguais, identificando e fazendo uso das
propriedades da potenciação em situações-problema.
- Atribuição de significado à potência de expoente nulo e negativo pela
observação de regularidades e pela extensão das propriedades das
potências com expoente positivo.(PCN, terceiro e quarto ciclos do Ensino
Fundamental, Matemática, página 72,1998)
O que se espera do educando durante o desenvolvimento do conceito de potência no
6º Ano do Ensino Fundamental :
MATEMÁTICA, 6º Ano
Operações com números naturais: potenciação

LEIA O TEXTO COM MUITA ATENÇÃO E TENTE SOLUCIONAR OS PROBLEMAS
PROPOSTOS
O professor de Matemática convidou seus alunos a
participarem de um jogo composto por 3 fases, e cada uma possui
um problema a ser solucionado:
1ª FASE:
Dois amigos, Petrúcio e Pedro, estão doentes e
foram ao médico, que prescreveu a seguinte medicação:
Petrúcio precisa tomar dois comprimidos durante seis
dias, e Pedro, três comprimidos durante três dias.
Quantos comprimidos cada um deve tomar?
Problema inspirado em um problema dos PCN, Ensino Fundamental, Matemática, Página 109.

SOLUÇÃO
PETRÚCIO:
2 COMPRIMIDOS DURANTE 6 DIAS
2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 12
ou
6 X 2 = 12
ou
6 . 2 = 12
PEDRO:
3 COMPRIMIDOS DURANTE 3 DIAS
3 + 3 + 3 = 9
ou
3 X 3 = 9 ou 3 . 3 =9
Observação:
1- No contexto do problema que foi apresentado, apenas a escrita 6 x 2 traduz o problema, embora 2 x 6 = 6 x 2.
2-Essa atividade é uma boa oportunidade para se refletir sobre a seguinte pergunta: Por que os médicos utilizam em
suas prescrições de medicamentos intervalos de hora do tipo: de 4 em 4 horas, 6 em 6 horas, 8 em 8 horas, 12 em 12
horas?
RESPOSTA: Petrúcio deve tomar 12 comprimidos, e Pedro, 9.

2ªFASE:
Para se preparar para os jogos escolares, Robério
precisa melhorar seu condicionamento físico, por isso pediu
ajuda a Issac, seu professor de Educação Física. Este lhe
recomendou um programa de condicionamento físico que é
iniciado com uma caminhada, durante 5 semanas, na pista do
campo de futebol próximo à casa de Robério, de modo que o
número de voltas deve dobrar a cada semana.
Quantas voltas Robério dará na 5ª semana?
Observação:
As atividades fí-
sicas devem ser
orientadas por
um profissional
da área de Edu-
cação Física,
que determina-
rá a frequência
e a intensidade
dos exercícios .
PERÍODO NÚMERO DE VOLTAS NA PISTA
1ª semana 2
2ª semana 2.2 = 4
3ª semana 2.2.2 = 8
4ª semana 2.2.2.2 = 16
5ª semana ?

SOLUÇÃO
Continuando o raciocínio da tabelas, temos:
5ª semana = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 32
Portanto, na 5ª semana, Robério dará 32 voltas.
PERÍODO NÚMERO DE VOLTAS NA PISTA
1ª semana 2
2ª semana 2.2 = 4
3ª semana 2.2.2 = 8
4ª semana 2.2.2.2 = 16

3ª FASE:
Kleison é um estudante muito aplicado e sempre faz suas tarefas
de casa. Ele gosta bastante das tarefas relacionadas às operações
matemáticas. Seu professor de Matemática, sabendo disso, chamou-o
para resolver, no quadro da sala de aula, as seguintes operações:
10.10.10.10 =
2.3.4.5 =
Quais foram os resultados encontrados por Kleison?
(A) 40 e 14 respectivamente
(B) 100 e 29 respectivamente
(C) 10000 e 120 respectivamente

SOLUÇÃO
Para resolver esse problema, Kleison realizou as multiplicações da seguinte forma:
10 . 10 . 10 . 10 =
= 100 . 10 . 10 =
= 1000 . 10 =
10000
2 . 3 . 4 . 5 =
= 6 . 4 . 5 =
= 24 . 5 =
= 120
Resposta: 10000 e 120. Letra c.

Ao término do desafio, o professor apresentou aos estudantes um quadro com as
multiplicações que apareceram durante a solução de cada uma das 3 fases.
1ªFASE: 6 . 2 e 3 . 3
2ªFASE: 2 . 2 . 2 . 2 . 2
3ªFASE: 10. 10. 10 .10
e
2 . 3 . 4 . 5
Em seguida, fez o seguinte
questionamento:
- Poderíamos separar essas
operações em dois grupos? O que
seria levado em consideração nessa
separação?
Parabéns! Observa-se que o 1º grupo é formado por multiplicações com fatores
diferentes, e o 2º grupo é formado por MULTIPLICAÇÕES DE FATORES IGUAIS.
1º GRUPO
6 . 2
2 . 3 . 4 . 5
2º GRUPO
3 . 3
2 . 2 . 2 . 2 . 2
10.10.10.10
Após o
debate,
tem-se:

Em seguida, o
professor lançou
mais um desafio:
- Vamos criar uma
maneira mais
sucinta, ou seja,
simples , de
representar as
multiplicações
apresentadas no 2º
grupo?
- Para iniciar, disse o
professor com intenção
de ajudar os alunos
nesse desafio, vou fazer
algumas observações.
- No segundo grupo, está acontecendo uma coisa muito
especial, diz o professor. Em cada multiplicação, TODOS
OS FATORES SÃO IGUAIS.

Cada multiplicação está baseada em um
único número, ou seja, tem como BASE
apenas um número.
Exemplo: 3 . 3 ( tem como BASE o número 3)
2 . 2 . 2 . 2 ( tem como BASE o número 2)
10.10.10.10.10 ( tem como BASE o número 10)

Exemplo:
3 . 3 Expõe dois fatores
2 . 2 . 2 . 2 . 2 Expõe cinco fatores
10.10.10.10 Expõe quatro fatores
Cada multiplicação nos EXPÕE uma certa
quantidade de fatores.

Em seguida, o professor analisou:
Se tem como BASE o número 3,
3 . 3
nos EXPÕE dois fatores.
2 . 2 . 2 . 2 . 2
nos EXPÕE cinco fatores.
10.10.10.10
nos EXPÕE quatro fatores.

- Então, diz o professor, podemos representar essas
multiplicações assim:
3 . 3 = 3²
3 é o número BASE dessa
multiplicação, e o 2, a
quantidade de fatores que ela
nos EXPÕE.
2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 2
O número 2 é a BASE dessa multiplicação, e o
número 5 é a quantidade de fatores EXPOSTO
por essa operação
10.10.10.10= 10
10 é a BASE e 4, o EXPOENTE.
5
4

Seguindo, o professor questiona: - Quem pode dar
outros exemplos aqui no quadro? Qual a quantidade mínima
de fatores? E a máxima?
Nota:
Preparando para
generalizar a
ideia .
7.7.7 = 7³
5.5.5.5 = 5
12.12.12.12.12 = 12
5
MAIS EXEMPLOS:
0.0 = 0²
1.1.1.1.1.1 = 1
4
6

O professor conclui:
- Essa multiplicação de fatores iguais é uma operação
matemática que recebe o nome de POTENCIAÇÃO. O símbolo que
representa essa multiplicação é denominado POTÊNCIA.
EXPOENTE
5²
BASE
EXEMPLO:
5 . 5 = 5² = 25
POTENCIAÇÃO
RESULTADO ou
POTÊNCIA DE 5
Pesquisa na
Internet: Qual(is)
o(s) matemático(s)
responsável (is)pela
criação da potência?
Sugestão de sites:
http://www.educ.fc.
ul.pt/docentes/jpon
te/artigos_pt.htm
Nota:
Consultar
no
dicionário o
significado
da palavra
potência.
POTÊNCIA

LEITURA DAS POTÊNCIAS
3 Lê-se: Três elevado à segunda potência.
2 Lê-se: Dois elevado à quinta potência.
10 Lê-se: Dez elevado à quarta potência.
7 Lê-se: Sete elevado à décima potência.
5
4
Agora é sua vez, leia as potências:
5² 10 20³ 18
0 8 4 34
10
12
13
6
20
7
- Agora
surgiu uma
dúvida, diz
o professor,
como essas
potências
são lidas?
18
2
8

Vamos agora escrever uma potência de um modo
mais amplo, generalizado, isto é, vamos defini-la.
Considerando p e n números naturais, sendo n
maior que 1, temos:
p é o produto de n fatores iguais a p.
n
p = p . p . p . p . ... . p
n vezes
Lê-se: p elevado a n
n

O estudante Antônio Luiz, pedindo licença,
indagou: - Professor, o que acontece se o
expoente for 0 ou 1?
O professor respondeu: - Antônio Luiz, para
saber o que acontece quando o expoente é 0
ou 1, observe ATENTAMENTE a tabela a seguir
e tente completar as células vazias com o
auxílio de seus colegas.

POTÊNCIA RESULTADO
2 16
2 8
2 4
2 ?
2 ?
4
3
2
1
0
POTÊNCIA RESULTADO
3 81
3 27
3 9
3 ?
3 ?
De acordo com o que observamos nas tabelas,
podemos concluir que:
4
3
2
1
0
16 dividido por 2 = 8
8 dividido por 2 = 4
2
1
Dividido por 3
Dividido por 3
3
1

Toda potência com base diferente de zero e
expoente zero é igual a 1.
Exemplos: 2°=1 3°=1 4°=1 8°=1
Toda potência de expoente 1 é igual à própria
base.
Exemplos: 2¹=2 5¹=5 14¹=14 0¹=0

De um modo geral, para todo número natural p diferente
de zero (p ǂ 0) e n menor que 2 (n < 2), temos:
p¹ = p p° = 1
OBSERVAÇÃO:
0° = INDETERMINAÇÃO
Leia mais sobre
indeterminação
no endereço
eletrônico:
pt.wikipedia.org
Sugestão para revisão: assista aos 9 primeiros minutos do Novo
telecurso 2000, Ensino fundamental, Matemática, Aula 53.

O professor segue apresentando POTÊNCIAS
ESPECIAIS.
Há potências que podem ser representadas por uma figura.
Exemplos:
Por estar associada a essas
figuras ao lado, as potências
de expoente 2 e de expoente 3
são lidas de uma forma
diferente, especial:
3² Lê-se: Três elevado ao
quadrado ou quadrado de
3.
5³ Lê-se: Cinco elevado ao
cubo ou cubo de 5.

DICA DE AULA AO AR LIVRE
Como atividade complementar, pode ser desenvolvida uma
situação-problema ao ar livre, a qual consiste em medir os lados
de quadrados de tamanhos variados formados no chão com fita
crepe e, em seguida, calcular suas respectivas áreas. Nessa
atividade, os alunos devem perceber que todas as áreas das
figuras podem ser escritas por uma potência cuja base é igual à
medida do lado do quadrado e, na sequência, devem generalizar
essa ideia, escrevendo a fórmula da área de um quadrado.
Em seguida, farão uma atividade que consiste em formar
quadrados com grãos (sementes) separados com a mesma
distância (malha pontilhada), para que entendam porque os
resultados das potências que representam as áreas dos
quadrados são chamados de “quadrados perfeitos” e também
porque a potência de expoente 2 pode ser lida de forma diferente,
especial (elevado ao quadrado).

DICA DE AULA EM LABORATÓRIO
Com os blocos de cubos, os alunos devem construir
cubos partindo de um único cubinho, que será tomado como
unidade de volume, e assim observar os volumes, ao
construírem cubos com oito cubinhos e 27 cubinhos. Nessa
atividade, os alunos devem perceber que todos os volumes
das figuras espaciais podem ser escritos por uma potência
cuja base é igual à medida da aresta do cubo. Em seguida,
devem generalizar essa ideia, escrevendo a fórmula de
volume de um cubo e percebendo, assim, porque os
resultados das potências que representam os volumes dos
cubos são chamados de “cubos perfeitos” e também porque
a potência de expoente 3 pode ser lida de forma diferente,
especial (elevado ao cubo).

Exemplo de aplicabilidade de potência na Informática.
Nota: Utilizar
calculadora
simples ou
de celular,
para verificar
alguns desses
números (os
de expoente
menores ou
iguais a 7).
As potências são muito utilizadas para representar
números grandes:
1.000.000.000 = 10.10.10.10.10.10.10.10.10 = 10
100.000.000 = 10.10.10.10.10.10.10.10 = 10
10.000.000 = 10.10.10.10.10.10.10 = 10
1.000.000 = 10.10.10.10.10.10 = 10
100.000 = 10.10.10.10.10 = 10
10.000 = 10.10.10.10 = 10
9
8
7
6
5
Observe que o número de zeros determina o valor do expoente:
1.000.000.000.000 = 10
12
12 zeros
Lê-se: Um trilhão
4

Nota: Pesquisar:
a)em revistas,
jornais, etc, outras
configurações de
computadores e
fazer um debate:
qual o melhor
computador a ser
comprado? O que
influencia o preço?
Etc.
b)Como é medida a
polegada no
monitor?
c)O que é
configuração de um
computador?
O computador é bastante utilizado para
armazenamento e processamento de informações de
maneira precisa e rápida e tem como unidade de medida
de informação o byte (lê-se: baite).
Kb = 1.000 bytes
Mb = 1.000.000 bytes
Gb = 1.000.000.000 bytes
VEJA ALGUNS MÚLIPLOS DO
BYTE:
Processador de 2 GHz, memória de 128Mb,
HD de 120 Gb, monitor de 18”, placa de vídeo
de 8Mb.
Observe uma configuração básica de um computador:

Passando para forma de potência, temos:
Agora, vamos ler:
MEDIDA LÊ-SE
2 GHz Dois gigahertz ou dois bilhões de hertz.
120 GB Cento e vinte gigabytes ou cento e vinte bilhões de bytes.
128 MB Cento e vinte e oito megabytes ou cento e vinte e oito
milhões de bytes.
8 MB Oito megabytes ou oito milhões de bytes.

Para agilizar cálculos com potências, utilizamos
algumas propriedades da potenciação.
PRODUTO DE POTÊNCIAS DE MESMA BASE:
2³ . 2 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 2
4 7 Outro modo:
2³ . 2 = 2 = 2
4 3+4 7
3 fatores 4 fatores
Observe que, para multiplicar potências de bases iguais,
conservamos a base e somamos os expoentes.
Outro exemplo: 5² . 5³ . 5 = 5 = 5
(2+3+1) 6
Atenção!
5 = 5
4 = 4
1
1

DIVISÃO DE POTÊNCIAS DE MESMA BASE
Observe que, para dividir potências de bases iguais,
não-nulas, conservamos a base e subtraímos os
expoentes.
Outro exemplo: 5³ : 5 = 5 = 5²
2 : 2 = (2 . 2 . 2 . 2 . 2) : (2 . 2) = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 2 . 2 . 2 = 2
2 . 2
5 2
5 fatores 2 fatores
3
(3-1)
Outro modo:
2 : 2² = 2 = 2³
5 (5-2)

POTÊNCIA DE UMA POTÊNCIA
OUTRO MODO:
(3³)² = 3 = 3
3 . 2 6
Para elevar uma potência a um expoente, conservamos
a base e multiplicamos os expoentes.
Outro exemplo: [(5³)²] = 5 = 5
3 . 2. 5
5 30
3 + 3
36

POTÊNCIA DE UMA PRODUTO:
(2 . 5)³ = (2 . 5) . (2 . 5) . (2 . 5) =
= (2 . 2 . 2) . (5 . 5 . 5) = 2³
Para elevar um produto a um expoente,
basta elevarmos cada um dos fatores do
produto a esse expoente.
3 fatores 3 fatores
. 5³
Aplicando a
propriedade
comutativa da
multiplicação,
temos:

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
-Behrens, Marilda Aparecida, O paradigma emergente e a prática pedagógica, 4ª edição,
Petrópolis-RJ, Vozes, 2010.
-Parâmetros curriculares nacionais: Matemática /Secretaria de Educação Fundamental. –
Brasília : MEC /SEF, 1998.148 p.1.
-Projeto Araribá, Matemática/obra coletiva, Editora responsável: Juliane Matsubara, São Paulo,
Moderna, 2006.
-Logen, Adilson, Matemática em movimento, 5ª série, São Paulo, Editora do Brasil, 1999.
-www.somatematica.com.br
-Novo telecurso, ensino fundamental, Matemática, aula 09( Propriedades da multiplicação).
-http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/jponte/artigos_pt.htm
-http://tvescola.mec.gov.br/

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