O documento discute a noção de continuidade de funções. Apresenta exemplos de funções contínuas e descontínuas em pontos e intervalos. Define formalmente a continuidade à direita e à esquerda e apresenta o teorema do valor intermediário.

1. CONTINUIDADE DE FUNC¸ ˜AO
Prof. Dr. Carlos A. P. Campani
1 Processo cont´ınuo
Um processo cont´ınuo ´e aquele que ocorre gradualmente, sem interrup¸c˜oes
ou mudan¸cas abruptas.
EXEMPLOS
• Uma m´aquina de uma f´abrica que funciona 24h por dia, 7 dias por
semana, tendo apenas suaves mudan¸cas na velocidade de seu funcio-
namento, durante per´ıodos de altera¸c˜ao da atividade produtiva, ´e um
exemplo de um processo cont´ınuo
• O movimento de um sat´elite de comunica¸c˜oes, em ´orbita, cuja veloci-
dade angular ´e relativamente constante durante seu per´ıodo ´util, ´e um
exemplo de um processo cont´ınuo
2 Defini¸c˜ao de continuidade em um ponto
Uma fun¸c˜ao f ´e cont´ınua em um n´umero a se
lim
x→a
f(x) = f(a)
Esta defini¸c˜ao implica:
1. f(a) est´a definida
2. limx→a f(x) existe
3. limx→a f(x) = f(a)
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2. EXEMPLO
Seja o seguinte gr´afico de fun¸c˜ao
• Observe que nos pontos a e d, a fun¸c˜ao ´e cont´ınua
• No ponto c, a fun¸c˜ao n˜ao ´e cont´ınua pois n˜ao satisfaz o primeiro ´ıtem,
porque ela n˜ao est´a definida neste ponto
• No ponto b, os limites laterais s˜ao diferentes, assim, n˜ao existe o limite
pontual e a fun¸c˜ao n˜ao ´e cont´ınua pois n˜ao satisfaz a segunda condi¸c˜ao
• No ponto e, o valor da fun¸c˜ao ´e f(e) = z, mas o limite ´e limx→e f(x) =
k, com z = k, e a fun¸c˜ao n˜ao ´e cont´ınua pois n˜ao satisfaz a terceira
condi¸c˜ao da defini¸c˜ao de continuidade
Uma fun¸c˜ao f ´e cont´ınua `a direita em um n´umero a se
lim
x→a+
f(x) = f(a)
e f ´e cont´ınua `a esquerda em a se
lim
x→a−
f(x) = f(a)
Estas ´ultimas defini¸c˜oes abrandam as exigˆencias da primeira defini¸c˜ao.
Devemos rever o exemplo dado, considerando estas novas defini¸c˜oes. Neste
caso, a fun¸c˜ao dada no gr´afico ´e cont´ınua `a direita em x = b, mas n˜ao ´e
cont´ınua `a esquerda neste mesmo ponto.
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3. 3 Exemplos de determina¸c˜ao de continuida-
de em um ponto
1. A fun¸c˜ao
f(x) =
x2
− x − 2
x − 2
apresenta descontinuidade em x = 2 e ´e cont´ınua em todos os demais
n´umeros de R. Isso ocorre porque a fun¸c˜ao n˜ao est´a definida no n´umero
x = 2.
2. Seja a fun¸c˜ao
f(x) =
1
x2 se x = 0
1 se x = 0
cujo gr´afico ´e mostrado a seguir.
Neste caso, a fun¸c˜ao est´a definida no n´umero x = 0, f(0) = 1. No
entanto, o limite limx→0 1/x2
n˜ao existe (n˜ao ´e limitado, ´e um valor
infinito). Logo, a fun¸c˜ao apresenta descontinuidade no n´umero 0.
3. Seja f(x) = x , chamada de fun¸c˜ao piso. O valor de x ´e dado pelo
maior inteiro que ´e menor ou igual a x.
O gr´afico desta fun¸c˜ao ´e apresentado na figura a seguir.
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4. Esta fun¸c˜ao apresenta descontinuidade em todos os n´umeros inteiros,
onde ela ´e cont´ınua `a direita, mas n˜ao `a esquerda.
4 Continuidade em um intervalo
Uma fun¸c˜ao f ´e cont´ınua em um intervalo se for cont´ınua em todos os
n´umeros deste intervalo. Caso f seja definida somente em um lado da ex-
tremidade do intervalo, entenderemos continuidade na extremidade como
continuidade `a direita ou `a esquerda.
EXEMPLO
Seja f(x) = 1 −
√
1 − x2, no intervalo [−1, 1]
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5. • Para −1 < a < 1
lim
x→a
f(x) = lim
x→a
(1 −
√
1 − x2) = 1 − lim
x→a
√
1 − x2 = 1 − lim
x→a
(1 − x2) =
1 − 1 − lim
x→a
x2 = 1 − 1 − (lim
x→a
x)2 = 1 −
√
1 − a2 = f(a)
Observe que o passo 1 − limx→a
√
1 − x2 = 1 − limx→a(1 − x2) pode
ser feito pois no intervalo (−1, 1), 1 − x2
> 0.
• Para as extremidades do intervalo (a = −1 e a = 1)
lim
x→−1+
f(x) = 1 = f(−1)
lim
x→1−
f(x) = 1 = f(1)
Logo, f ´e cont´ınua `a direita em −1 e cont´ınua `a esquerda em 1. Assim,
f ´e cont´ınua em [−1, 1].
5 Propriedades das fun¸c˜oes cont´ınuas
1. Se f e g forem fun¸c˜oes cont´ınuas em a e c ∈ R, ent˜ao tamb´em s˜ao
cont´ınuas em a:
(a) f + g
(b) f − g
(c) f.g
(d) f/g, se g(a) = 0
Observa¸c˜ao:
(a) (f + g)(x) = f(x) + g(x)
(b) (f − g)(x) = f(x) − g(x)
(c) (f.g)(x) = f(x).g(x)
(d) (f/g)(x) = f(x)
g(x)
com g(x) = 0
2. Qualquer polinˆomio ´e cont´ınuo em R.
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6. 3. Qualquer fun¸c˜ao racional ´e cont´ınua em todos os pontos a em que ela
est´a definida, ou seja, cont´ınua em seu dom´ınio.
4. As fun¸c˜oes exponencial, logar´ıtmica e as fun¸c˜oes trigonom´etricas s˜ao
cont´ınuas em todo seu dom´ınio.
5. Se f ´e cont´ınua em b e limx→a g(x) = b, ent˜ao
lim
x→a
(f ◦ g)(x) = lim
x→a
f(g(x)) = f(b)
6. Se f ´e cont´ınua, ent˜ao
lim
x→a
f(g(x)) = f(lim
x→a
g(x))
7. Se g for cont´ınua em a e f for cont´ınua e g(a), ent˜ao f ◦ g ´e cont´ınua
em a. Ou seja, a composi¸c˜ao de duas fun¸c˜oes cont´ınuas resulta em uma
fun¸c˜ao cont´ınua.
6 Teorema do valor intermedi´ario
Suponha que f seja cont´ınua em um intervalo fechado [a, b] e seja v um
valor qualquer entre f(a) e f(b), f(a) ≤ v ≤ f(b), em que f(a) = f(b).
Ent˜ao, existe um n´umero c ∈ (a, b) tal que f(c) = v,
O teorema garante a existˆencia de um valor intermedi´ario no intervalo
em que a fun¸c˜ao f ´e cont´ınua.
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7. EXEMPLOS
1. Seja f(x) = ex
no intervalo [−1, 1].
O gr´afico desta fun¸c˜ao ´e mostrado a seguir.
Observe que se tomarmos qualquer valor v, e−1
< v < e, poderemos
encontrar um n´umero c tal que f(c) = v, pois a fun¸c˜ao ´e cont´ınua no
intervalo dado.
2. Seja
f(x) =
−x2
se x < 1
x2
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se x ≥ 1
no intervalo [−1, 2].
O gr´afico desta fun¸c˜ao ´e mostrado a seguir.
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8. Observe que a fun¸c˜ao n˜ao satisfaz o enunciado do teorema, pois ela apre-
senta uma descontinuidade em x = 1. Isso significa que a conclus˜ao do
teorema n˜ao ´e v´alida, ou seja, n˜ao poderemos aplicar o teorema. Basta ver
que a imagem desta fun¸c˜ao ´e img(f) = (−∞, 0]∪[1/3, +∞). Podemos tomar
qualquer valor v no intervalo (0, 1/3), que est´a contido no intervalo do enun-
ciado do teorema, −1 < v < 4/3, e n˜ao poderemos encontrar um c ∈ (−1, 2)
tal que f(c) = v.
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