1) O documento discute integrais impróprias, que são integrais cujos intervalos de integração incluem infinito ou têm descontinuidades. 2) Existem dois tipos de integrais impróprias: aquelas com intervalos infinitos, e aquelas com descontinuidades no intervalo. 3) Fornece estratégias para calcular cada tipo de integral imprópria, determinando se convergem ou divergem.

1. Integrais impr´oprias
Integral impr´opria do tipo 1: intervalos de integra¸c˜ao infinitos (envolvendo −∞ ou ∞).
(a) Se f est´a definida em [a, ∞) e se
t
a
f(x)dx existe para cada t ≥ a, definimos
∞
a
f(x)dx = lim
t→∞
t
a
f(x)dx, desde que esse limite exista.
(b) Se f est´a definida em (−∞, b] e se
b
t
f(x)dx existe para cada t ≤ b, definimos
b
−∞
f(x)dx = lim
t→−∞
b
t
f(x)dx, desde que esse limite exista.
As integrais impr´oprias
∞
a
f(x)dx e
b
−∞
f(x)dx s˜ao ditas convergentes se os respectivos limites
existem e ditas divergentes se os limites n˜ao existem.
(c) Se ambas
∞
c
f(x)dx e
c
−∞
f(x)dx s˜ao convergentes (onde c pode ser qualquer n´umero real), definimos
∞
−∞
f(x)dx =
c
−∞
f(x)dx +
∞
c
f(x)dx
Integral impr´opria do tipo 2: descontinuidade infinita no intervalo de integra¸c˜ao.
(a) Se f ´e cont´ınua em [a, b) e descont´ınua em b, definimos
b
a
f(x)dx = limt→b−
t
a
f(x)dx, se esse limite existir.
(b) Se f ´e cont´ınua em (a, b] e descont´ınua em a, definimos
b
a
f(x)dx = limt→a+
b
t
f(x)dx, se esse limite existir.
A integral impr´opria
b
a
f(x)dx ´e dita convergente se o respectivo limite existe e divergente se n˜ao existe.
(c) Se f ´e descont´ınua em c, onde a < c < b, e ambas
c
a
f(x)dx e
b
c
f(x)dx s˜ao convergentes, definimos
b
a
f(x)dx =
c
a
f(x)dx +
b
c
f(x)dx.
Estrat´egia para calcular
∞
a
f(x)dx (integrais impr´oprias do tipo 1, caso (a))
(1) Escreva a integral em termos de limites:
∞
a
f(x)dx = lim
t→∞
t
a
f(x)dx = lim
t→∞
I(t), onde I(t) =
t
a
f(x)dx
(2) Calcule a integral I(t) =
t
a
f(x)dx, para t qualquer, t ≥ a
(3) Calcule o limite limt→∞ I(t) (se este existir, caso contr´ario a integral ´e divergente), denotando
∞
a
f(x)dx = lim
t→∞
I(t) = lim
t→∞
t
a
f(x)dx
Exemplo (p-integrais). Para quais valores de p a integral
∞
1
1
xp dx converge? E para quais a integral diverge?
Para p = 1 ,
∞
1
1
x dx = limt→∞
t
1
1
x dx = limt→∞ (ln |t| − ln 1) = +∞, i.e. a integral ´e divergente.
Para p = 1, o c´alculo do limite (para t → ∞) depende do sinal do expoente de t1−p
.
Para p < 1 , o expoente 1 − p > 0, assim limt→∞ t1−p
= ∞,
p < 1,
∞
1
1
xp
dx = lim
t→∞
t
1
1
xp
dx = lim
t→∞
1
1 − p
x1−p
t
1
= lim
t→∞
1
1 − p
t1−p
−
1
p − 1
= ∞, i.e. a integral ´e divergente.
Para p > 1 , o expoente 1 − p < 0, assim limt→∞ t1−p
= 0,
p > 1,
∞
1
1
xp
dx = lim
t→∞
t
1
1
xp
dx = lim
t→∞
1
1 − p
t1−p
−
1
p − 1
= 0 −
1
1 − p
=
1
p − 1
, i.e. a integral converge.