2. Grafos
Imagem de un conjunto por un grafo
Projeções de um Grafo
Operações com Grafos
Grafo Recı́proco
Imagem de un conjunto por un grafo
Grafos
Definição
Dá-se o nome de grafo a todo conjunto cujos elementos são pares
ordenados.
Portanto, se G é um grafo e z ∈ G, então existe x e existe y tais
que z = (x, y), isto é, simbolicamente
G é um grafo ⇔ (∀z)(z ∈ G ⇒ (∃x)(∃y)(z = (x, y)))
Se G é um grafo e o par ordenado (x, y) ∈ G, diz-se que “y é
correspondente de x por G”.
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3. Grafos
Imagem de un conjunto por un grafo
Projeções de um Grafo
Operações com Grafos
Grafo Recı́proco
Imagem de un conjunto por un grafo
Grafos
Exemplo
São exemplos de grafos os conjuntos:
1 G1 = {(a, 1), (3, (3, 4))}
2 G2 = {(1, 2), (2, 3), (1, 4)}
3 G3 = {(a, (1, 2)), (b, (2, 3))}
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4. Grafos
Imagem de un conjunto por un grafo
Projeções de um Grafo
Operações com Grafos
Grafo Recı́proco
Imagem de un conjunto por un grafo
Projeções de um Grafo
Definição
Chama-se primeira projeção de um grafo G o conjunto de todos os
elementos x apara os quais existe y tal que (x, y) ∈ G.
Este conjunto representa-se pela notação pr1G. Portanto,
pr1G = {x | (∃y)((x, y) ∈ G)}
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5. Grafos
Imagem de un conjunto por un grafo
Projeções de um Grafo
Operações com Grafos
Grafo Recı́proco
Imagem de un conjunto por un grafo
Projeções de um Grafo
Definição
Chama-se segunda projeção de um grafo G o conjunto de todos os
elementos y apara os quais existe x tal que (x, y) ∈ G.
Este conjunto representa-se pela notação pr2G. Portanto,
pr2G = {y | (∃x)((x, y) ∈ G)}
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6. Grafos
Imagem de un conjunto por un grafo
Projeções de um Grafo
Operações com Grafos
Grafo Recı́proco
Imagem de un conjunto por un grafo
Projeções de um Grafo
Teorema
Todo grafo G é subconjunto do produto cartesiano das suas duas
projeções.
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7. Grafos
Imagem de un conjunto por un grafo
Projeções de um Grafo
Operações com Grafos
Grafo Recı́proco
Imagem de un conjunto por un grafo
Projeções de um Grafo
Exemplo
O produto cartesiano A × B de dois conjuntos A e B é um
grafo tal que pr1(A × B) = A e pr2(A × B) = B.
O conjunto G = {(a, 1), (b, 1), (c, 1), (c, 2)} é um grafo cujas
projeções são:
pr1G = {a, b, c}, pr2G = {1, 2}
Observe-se:
G ⊂ pr1G × pr2G = {(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2)}
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8. Grafos
Imagem de un conjunto por un grafo
Projeções de um Grafo
Operações com Grafos
Grafo Recı́proco
Imagem de un conjunto por un grafo
Projeções de um Grafo
Exemplo
O conjunto G = {(x, y) | x ∈ N e y = 2x} é um grafo cuja
primeira projeção é o conjunto N dos números naturais e cuja
segunda projeção é o conjunto dos números naturais pares, isto é:
pr1G = N, pr2G = {2, 4, 6, . . . , 2n, . . .}
O conjunto G = {(a, (1, 2)), (b, (3, 5))} é um grafo cujas projeções
são:
pr1G = {a, b}, pr2G = {(1, 2), (3, 5)}
Observe-se que a segunda projeção de G também é um grafo cujas
projeções são:
pr1(pr2G) = {1, 3}, pr2(pr2G) = {2, 5}
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9. Grafos
Imagem de un conjunto por un grafo
Projeções de um Grafo
Operações com Grafos
Grafo Recı́proco
Imagem de un conjunto por un grafo
Operações com Grafos
Sejam G e H dois grafos. Como G e H são conjuntos, podemos
efetuar sobre G e H as operações usuais de interseção, reunião e
diferença, isto é determinar G ∩ H, G ∪ H e G − H, que também
são grafos. Simbolicamente, temos:
G ∩ H = {(x, y) | (x, y) ∈ G e (x, y) ∈ H}
G ∪ H = {(x, y) | (x, y) ∈ G ou (x, y) ∈ H}
G − H = {(x, y) | (x, y) ∈ G e (x, y) /
∈ H}
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10. Grafos
Imagem de un conjunto por un grafo
Projeções de um Grafo
Operações com Grafos
Grafo Recı́proco
Imagem de un conjunto por un grafo
Operações com Grafos
Exemplo
Sejam os grafos:
G = {(1, 3), (1, 4), (2, 4)} e H = {(1, 3), (1, 4), (3, 3)}
Temos:
G ∩ H = {(1, 3), (1, 4)}
G ∪ H = {(1, 3), (1, 4), (2, 4), (2, 3)}
G − H = {(2, 4)}
G∆H = {(2, 4), (3, 3)}
onde G∆H = (G − H) ∪ (H − G)
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11. Grafos
Imagem de un conjunto por un grafo
Projeções de um Grafo
Operações com Grafos
Grafo Recı́proco
Imagem de un conjunto por un grafo
Grafo Recı́proco
Definição
Chama-se grafo recı́proco de um grafo G o grafo cujos elementos
são todos os pares ordenados (y, x) tais que (x, y) ∈ G.
Representa-se pela notação G−1, que se lê: “G menos um”.
Portanto, simbolicamente:
G−1
= {(y, x) | (x, y) ∈ G}
É imediato:
pr1G−1
= pr2G, pr2G−1
= pr1G
O grafo recı́proco de G−1 é o grafo G, isto é, (G−1)−1 = G
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12. Grafos
Imagem de un conjunto por un grafo
Projeções de um Grafo
Operações com Grafos
Grafo Recı́proco
Imagem de un conjunto por un grafo
Grafo Recı́proco
Em particular, se X e Y são dois conjuntos, então
(X × Y )−1 = Y × X.
Um grafo G que coincide com o seu recı́proco (G = G−1) diz-se
simétrica.
Exemplo
O grafo recı́proco de G = {(1, 1), (1, 2), (2, 3), (3, 5)} é:
G−1
= {(1, 1), (2, 1), (3, 2), (5, 3)}
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13. Grafos
Imagem de un conjunto por un grafo
Projeções de um Grafo
Operações com Grafos
Grafo Recı́proco
Imagem de un conjunto por un grafo
Imagem de un conjunto por un grafo
Sejam G um grafo e X um conjunto.
Definição
Chama-se imagem de X por G o conjunto de todos os elementos y
para os quais existe x ∈ X tal que (x, y) ∈ G.
Este conjunto representa-se por G(X). Portanto, simbolicamente:
G(X) = {y | (∃x)(x ∈ X e (x, y) ∈ G)}
Em particular, é imediato:
G(pr1G) = pr2G, G(∅) = ∅
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14. Grafos
Imagem de un conjunto por un grafo
Imagem recı́proca de um conjunto por um grafo
Composição de Grafos
Propriedades da composição de grafos
Imagem de un conjunto por un grafo
Temos:
y ∈ G(X) ⇒ (x, y) ∈ G ⇒ y ∈ pr2G
o que demonstra: G(X) ⊂ pr2G, isto é, a imagem de um conjunto
por um grafo é um subconjunto da segunda projeção do grafo.
Exemplo: Sejam o grafo:
G = {(2, 10), (3, 3), (5, 10), (7, 7), (11, 11)}
e os conjuntos: X = {3, 5, 7}, Y = {2, 3, 11}. Temos:
G(X) = {3, 10, 7}, G(Y ) = {10, 3, 11}
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15. Grafos
Imagem de un conjunto por un grafo
Imagem recı́proca de um conjunto por um grafo
Composição de Grafos
Propriedades da composição de grafos
Imagem recı́proca de um conjunto por um grafo
Seja G um grafo e Y um conjunto.
Definição
Chama-se imagem recı́proca de Y por G a imagem G−1(Y ) de Y
pelo grafo recı́proco G−1 de G. Simbolicamente,
G−1
(Y ) = {x | (∃y)(y ∈ Y e (x, y) ∈ G}
Exemplo
Seja o grafo G = {(a, 3), (b, 1), (c, 1)}. Temos:
G−1
({1, 2}) = {b, c}, G−1
({1, 3}) = {a, b, c}
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16. Grafos
Imagem de un conjunto por un grafo
Imagem recı́proca de um conjunto por um grafo
Composição de Grafos
Propriedades da composição de grafos
Composição de Grafos
Sejam G e H dois grafos.
Definição
Chama-se grafo composto de G e H o grafo cujos elementos são
todos os pares ordenados (x, y) para os quais existe z tal que
(x, z) ∈ H e (z, y) ∈ G.
Este grafo representa-se por G ◦ H, que se lê: “G cı́rculo H”.
Portanto, simbolicamente:
G ◦ H = {(x, y) | (∃z)((x, z) ∈ H e (z, y) ∈ G)}
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17. Grafos
Imagem de un conjunto por un grafo
Imagem recı́proca de um conjunto por um grafo
Composição de Grafos
Propriedades da composição de grafos
Composição de Grafos
Exemplo
Sejam os grafos:
G = {(2, 5), (3, 4), (6, 2), (3, 0), (2, 7)}
H = {(4, 8), (5, 3), (0, 9), (2, 2), (7, 4), (5, 10)}
Temos:
G ◦ H = {(5, 4), (5, 0), (2, 5), (2, 7)}
H ◦ G = {(2, 3), (2, 10), (3, 8), (6, 2), (3, 9), (2, 4)}
Observe-se que G ◦ H ̸= H ◦ G, isto é, a operação de composição
de grafos não goza da propriedade comutativa.
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18. Grafos
Imagem de un conjunto por un grafo
Imagem recı́proca de um conjunto por um grafo
Composição de Grafos
Propriedades da composição de grafos
Composição de Grafos
Sejam G, H e J grafos.
(P1) O grafo recı́proco de G ◦ H é H−1 ◦ G−1, isto é:
(G ◦ H)−1
= H−1
◦ G−1
(P2) Associativa: (G ◦ H) ◦ J = G ◦ (H ◦ J) = G ◦ H ◦ J
(P3) Para todo conjunto X, tem-se: (G ◦ H)(X) = G(H(X))
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