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SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES POLINOMIAIS
Para a solução de equações polinomiais de grau n:
anxn
+ an−1xn−1
+ · · · + a0 = 0 an 6= 0
Devemos considerar:
• Para n = 1, ax + b = 0, com a 6= 0, e a solução é −b
a
• Para n = 2, ax2
+ bx + c = 0, com a 6= 0, e podemos usar a fórmula
de Bhaskara para determinar uma, duas ou nenhuma raiz real, depen-
dendo do valor do discriminante ou determinante (∆ = b2
− 4ac):
1. ∆ > 0: duas raı́zes reais;
2. ∆ = 0: uma raiz real;
3. ∆ < 0: nenhuma raiz real.
• Para n > 2 a situação é bem mais complicada. O teorema fundamen-
tal da álgebra afirma que qualquer equação polinomial de grau n tem
exatamente n raizes complexas (incluindo as repetidas), mas o número
das raizes reais depende da forma especı́fica da equação. Quanto a
resolução prática de equações de grau superior, no caso de n = 3 e
n = 4, ainda existem as fórmulas gerais de obtenção das raı́zes, mas
a sua forma é bastante complicada e usualmente não é considerada no
ensino de Cálculo. No caso n ≥ 5 a resolução da equação, em geral,
não existe em radicais, ou seja, não existe um algoritmo álgebrico que
possibilita resolver qualquer equação do grau n ≥ 5.
• No entanto, podemos, por tentativa e erro, tentar encontrar uma raiz
k, ou seja, um fator x−k, em relação ao qual o polinômio seja divisı́vel,
de forma a reduzir o grau do polinômio. Neste caso, já sabemos que k é
uma raiz da equação, e a solução da equação resultante é mais simples
pois o polinômio será um polinômio de grau n − 1.
1
EXEMPLO
Solucione a equação 2x3
+ x2
− 7x − 6 = 0.
Verificando uma raiz k por tentativa e erro:
1. k = 1: 2.(1)3
+(1)2
−7.(1)−6 = −10. Portanto 1 não é raiz da equação.
2. k = 3: 2.(3)3
+(3)2
− 7.(3) − 6 = 36. Portanto 3 não é raiz da equação.
3. k = −1: 2.(−1)3
+ (−1)2
− 7.(−1) − 6 = 0. Portanto −1 é uma das
raı́zes da equação.
Usando divisão horizontal para efetuar a divisão do polinômio por x+1:
2x3
+ x2
− 7x − 6 x + 1
−2x3
− 2x2
2x2
0 − x2
−x2
− 7x −x
+x2
+ x
0 − 6x
−6x − 6 −6
6x + 6
0
Logo, resto é 0 e (2x3
+ x2
− 7x − 6) ÷ (x + 1) = 2x2
− x − 6
Usando o dispositivo de Briot-Ruffini para efetuar a divisão do po-
linômio por x + 1:
-1 2 1 -7 -6
2 -2+1=-1 1-7=-6 6-6=0
-1.2=-2 -1 -6 0
(-1)(-1)=1 (-1)(-6)=6
Logo, resto é 0 e (2x3
+ x2
− 7x − 6) ÷ (x + 1) = 2x2
− x − 6
Solucionando e obtendo as outras duas raı́zes:
2x2
− x − 6 = 0
∆ = 1 − 4.2.(−6) = 49
x =
1 ± 7
2.2
= 2 e −
3
2
Portanto, S = {−3/2, −1, 2}
2

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Equações polinomiais

  • 1. SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES POLINOMIAIS Para a solução de equações polinomiais de grau n: anxn + an−1xn−1 + · · · + a0 = 0 an 6= 0 Devemos considerar: • Para n = 1, ax + b = 0, com a 6= 0, e a solução é −b a • Para n = 2, ax2 + bx + c = 0, com a 6= 0, e podemos usar a fórmula de Bhaskara para determinar uma, duas ou nenhuma raiz real, depen- dendo do valor do discriminante ou determinante (∆ = b2 − 4ac): 1. ∆ > 0: duas raı́zes reais; 2. ∆ = 0: uma raiz real; 3. ∆ < 0: nenhuma raiz real. • Para n > 2 a situação é bem mais complicada. O teorema fundamen- tal da álgebra afirma que qualquer equação polinomial de grau n tem exatamente n raizes complexas (incluindo as repetidas), mas o número das raizes reais depende da forma especı́fica da equação. Quanto a resolução prática de equações de grau superior, no caso de n = 3 e n = 4, ainda existem as fórmulas gerais de obtenção das raı́zes, mas a sua forma é bastante complicada e usualmente não é considerada no ensino de Cálculo. No caso n ≥ 5 a resolução da equação, em geral, não existe em radicais, ou seja, não existe um algoritmo álgebrico que possibilita resolver qualquer equação do grau n ≥ 5. • No entanto, podemos, por tentativa e erro, tentar encontrar uma raiz k, ou seja, um fator x−k, em relação ao qual o polinômio seja divisı́vel, de forma a reduzir o grau do polinômio. Neste caso, já sabemos que k é uma raiz da equação, e a solução da equação resultante é mais simples pois o polinômio será um polinômio de grau n − 1. 1
  • 2. EXEMPLO Solucione a equação 2x3 + x2 − 7x − 6 = 0. Verificando uma raiz k por tentativa e erro: 1. k = 1: 2.(1)3 +(1)2 −7.(1)−6 = −10. Portanto 1 não é raiz da equação. 2. k = 3: 2.(3)3 +(3)2 − 7.(3) − 6 = 36. Portanto 3 não é raiz da equação. 3. k = −1: 2.(−1)3 + (−1)2 − 7.(−1) − 6 = 0. Portanto −1 é uma das raı́zes da equação. Usando divisão horizontal para efetuar a divisão do polinômio por x+1: 2x3 + x2 − 7x − 6 x + 1 −2x3 − 2x2 2x2 0 − x2 −x2 − 7x −x +x2 + x 0 − 6x −6x − 6 −6 6x + 6 0 Logo, resto é 0 e (2x3 + x2 − 7x − 6) ÷ (x + 1) = 2x2 − x − 6 Usando o dispositivo de Briot-Ruffini para efetuar a divisão do po- linômio por x + 1: -1 2 1 -7 -6 2 -2+1=-1 1-7=-6 6-6=0 -1.2=-2 -1 -6 0 (-1)(-1)=1 (-1)(-6)=6 Logo, resto é 0 e (2x3 + x2 − 7x − 6) ÷ (x + 1) = 2x2 − x − 6 Solucionando e obtendo as outras duas raı́zes: 2x2 − x − 6 = 0 ∆ = 1 − 4.2.(−6) = 49 x = 1 ± 7 2.2 = 2 e − 3 2 Portanto, S = {−3/2, −1, 2} 2