Semana 11

Conjuntos
Disciplina: Estruturas Lógico - Dedutivas

Operações com Conjuntos
Propriedades
Reunião de Conjuntos
Interseção de dois conjuntos
Conjuntos Disjuntos
Definição
Chama-se interseção de dois conjuntos A e B ao conunto de todos
os elementos que pertencem simultaneamente a A e B.
Esse conjunto indica-se pela notação: A ∩ B, que se lê: “A
interseção B”.
Simbolicamente, temos:
A ∩ B = {x | x ∈ A e x ∈ B}
Prof. Liliana Jurado Semana 11

Propriedades
Conjuntos Disjuntos
Exemplo
1 {3, 5, 7} ∩ {2, 4, 6, 8} = ∅
2 N ∩ Z = N Z ∩ Q = Z Q ∩ R = Q
3 Sejam os conjuntos:
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
B = {2, 4, 6, 8}
C = {1, 3, 5, 7, 9}
Temos:
A ∩ B = B A ∩ C = C B ∩ C = ∅

Propriedades
Conjuntos Disjuntos
Conjuntos Disjuntos
Definição
Dois conjuntos A e B dizem-se disjuntos se, e somente se, não tem
elementos comuns.
Portanto, A e B são disjuntos se, e somente se, a intersção de A e
B é o conjunto vazio: A ∩ B = ∅. Simbolicamente:
A e B disjuntos ⇔ A ∩ B = ∅
Se, ao invés, A ∩ B ̸= ∅, então diz-se que os conjuntos A e B se
cortam ou que os conjuntos A e B se interceptam, o que se indica
pela notação: A ≬ B, que se lê: “A corta B”. Portanto,
simbolicamente:
A ≬ B ⇔ A ∩ B ̸= ∅

Propriedades
Conjuntos Disjuntos
Conjuntos Disjuntos
Exemplo
1 Os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {5, 6} são disjuntos, porque
A ∩ B = ∅.
2 Os conjuntos A = {1, 2, 5} e B = {3, 4, 5}se cortam ou se
interceptam porque A ∩ B = {5}.
3 O conjunto A dos triângulos retângulos e o conjunto B dos
triângulos equiláteros são disjuntos, pois nenhum triângulo
pode ser ao mesmo tempo retângulo e equilátero.

Propriedades
Propriedades da inclusão e da interseção
Propriedades da interseção
Propriedades da inclusão e da interesção
(P1) A ∩ B ⊂ A e A ∩ B ⊂ B
De fato.
1) x ∈ A ∩ B
2) x ∈ A e x ∈ B
3) x ∈ A
4) A ∩ B ⊂ A
De maneira analoga:
5) A ∩ B ⊂ B
Conclusão: A interseção de dois conjntos está contido em cada um
dos conjuntos.
(P2) A ⊂ B ⇔ A ∩ B = A

Propriedades
(P3) C ⊂ A e C ⊂ B ⇔ C ⊂ A ∩ B
De fato.
1) x ∈ C
2) x ∈ A e x ∈ B
3) x ∈ A ∩ B
4) C ⊂ A ∩ B
Suponhamos, agora, C ⊂ A ∩ B. Então, á vista da
Propriedade P1:
C ⊂ A ∩ B e A ∩ B ⊂ A ⇒ C ⊂ A
C ⊂ A ∩ B e A ∩ B ⊂ B ⇒ C ⊂ B
Conclusão: Um conjunto está contido em dois outros se, e
somente se, está contido na iterseção de ambos.

Propriedades
(P4) A ⊂ B ⇔ A ∩ C ⊂ B ∩ C
Conclusão: Se um conjunto está contido num outro, então a
interseção do primeiro com um terceiro conjunto está contida
na interseção do segundo com o terceiro conjunto.

Propriedades
Sejam A, B e C conjuntos
(P1) Interseção com o conjunto vazio: ∅ ∩ A = ∅
(P2) Interseção com o universo: A ∩ U = A
Com efeito, A ⊂ U e, portanto, A ∩ U = A.
(P3) Interseção com o complementar: A ∩ A′ = ∅

Propriedades
(P4) Idempotente: A ∩ A = A
Com efeito, A ⊂ A e , portanto, A ∩ A = A.
(P5) Comutativa: A ∩ B = B ∩ A
Com efeito,
A ∩ B = {x | x ∈ A e x ∈ B} = {x | x ∈ B e x ∈ A} = B ∩ A
(P6) Associativa: (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
Com efeito,
(A ∩ B) ∩ C = {x | x ∈ A ∩ B e x ∈ C}
= {x | x ∈ A e x ∈ B e x ∈ C}
= {x | x ∈ A e x ∈ B ∩ C} = A ∩ (B ∩ C)

Propriedades
Observação
Segundo a igualdade (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C), as duas maneiras
de colcoar os parêntesis na expressão A ∩ B ∩ C conduzem ambas
ao mesmo resultado, e daı́ a convenção de indicar-se o conjunto
(A ∩ B) ∩ C ou A ∩ (B ∩ C) por A ∩ B ∩ C, sem os parêntesis, isto
é, escreve-se:
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) = A ∩ B ∩ C

Propriedades
Reunião de dois conjuntos
Propriedades da inclusão e da reunião
Propriedades da Interseção
Definição
Chama-se reunião (ou união) de dois conjuntos A e B ao conjunto
de todos os elementos que pertencem a A ou a B.
Esse conjunto indica-se pela notação: A cupB, que se lê:“A renião
B”ou, abreviadamente, “A ∪ B”.
Simbolicamente, temos:
A ∪ B = {x | x ∈ A ou x ∈ B}
Portanto:
x ∈ A ∪ B ⇔ x ∈ A ou x ∈ B

Propriedades
Se os conjuntos A e B não forem disjuntos, os seus elementos
comuns figuram uma só vez em A ∪ B.
Exemplo
1 {1, 2, 3, 4} ∪ {3, 4, 5, 6} = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
2 {1, 2} ∪ {{1, 2}} = {1, 2, {1, 2}}
3 Sejam os conjuntos:
A = {x ∈ N | x < 5}, B = {y ∈ N | 10 < y < 13}
Temos:
A ∪ B = {z ∈ N | z < 5 ou 10 < z < 13} = {1, 2, 3, 4, 11, 12}

Propriedades
(P1) A ⊂ A ∪ B e B ⊂ A ∪ B
De fato.
1) x ∈ A
2) x ∈ A ou x ∈ B
3) x ∈ A ∪ B
4) A ⊂ A ∪ B
De maneira analoga
1) B ⊂ A ∪ B
(P2) A ⊂ B ⇔ A ∪ B = B
(P3) A ⊂ C e B ⊂ C ⇔ A ∪ B ⊂ C
(P4) A ⊂ B ⇒ A ∪ C ⊂ B ∪ C

Propriedades
Propriedades da reunião
Sejam A, B e C conjuntos quaisquer num universo U.
(P1) Reunião com o conjunto vazio: ∅ ∪ A = A
(P2) Reunião com o universo: A ∪ U = U
(P3) Reunião com o complementar: A ∪ A′ = U

Propriedades
Propriedades da reunião
(P5) Comutativa: A ∪ B = B ∪ A
Com efeito,
A∪B = {x | x ∈ A ou x ∈ B} = {x | x ∈ B ou x ∈ A} = B∪A
(P6) Associativa: (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
Com efeito,
(A ∪ B) ∪ C = {x | x ∈ A ∪ B ou x ∈ C}
= {x | x ∈ A ou x ∈ B ou x ∈ C}
= {x | x ∈ A ou x ∈ B ∪ C} = A ∪ (B ∪ C)
Note que :
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) = A ∪ B ∪ C

Propriedades
Sejam A, B e C conjuntos quaisquer num universo U.
(P1) Leis de absorção: A ∩ (A ∪ B) = A, A ∪ (A ∩ B) = A Com
efeito,
A ⊂ A ∪ B ∴ A ∩ (A ∪ B) = A;
A ∩ B ⊂ A ∴ A ∪ (A ∩ B) = A
Estas fórmulas são denominadas “leis de absorção”porque na
passagem do 1◦ para o 2◦ membro há “ desaparição”do
conjunto B.

Propriedades
(P2) Distributividade da interseção em relação à reunião:
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
Com efeito:
A ∩ (B ∪ C) = {x | x ∈ A e x ∈ B ∪ C}
= {x | x ∈ A e (x ∈ B ou x ∈ C)}
= {x | (x ∈ A e x ∈ B) ou (x ∈ A e x ∈ C)}
= {x | x ∈ A ∩ B ou x ∈ A ∩ C}
= (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

Propriedades
(P3) Distributividade da interseção em relação à interseção:
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
Com efeito:
A ∪ (B ∩ C) = {x | x ∈ A ou x ∈ B ∩ C}
= {x | x ∈ A ou (x ∈ B e x ∈ C)}
= {x | (x ∈ A ou x ∈ B) e (x ∈ A ou x ∈ C)}
= {x | x ∈ A ∪ B e x ∈ A ∪ C}
= (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

Propriedades
(P4) Leis de DE MORGAN: (A ∩ B)′ = A′ ∪ B′ , (A ∪ B)′ = A′ ∩ B′
(A ∩ B)′ = {x | x ∈ U e x /
∈ A ∩ B}
= {x | x ∈ U e (x /
∈ A ou x /
∈ B)}
= {x | (x ∈ U e x /
∈ A) ou (x ∈ U) e x /
∈ B)}
= {x | (x ∈ A′ ou x ∈ B′) = A′ ∪ B′;
(A ∪ B)′ = {x | x ∈ U e x /
∈ A ∪ B}
= {x | x ∈ U e (x /
∈ A e x /
∈ B)}
= {x | (x ∈ U e x /
∈ A) e (x ∈ U) e x /
∈ B)}
= {x | (x ∈ A′ e x ∈ B′) = A′ ∩ B′;

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