Semana 10

Semana 10: Conjuntos
Disciplina: Estruturas Lógico - Dedutivas

Igualdade de conjuntos
Relação de Inclusão
Subconjuntos
Propriedades da igualdade de conjuntos
Exprime-se que o conjunto A não é igual ao conjunto B pela
notação usual: A ̸= B, que se lê: “A é diferente de B”.
Simbolicamente:
A ̸= B ⇔ ((∃x) (x ∈ A e x /
∈ B) ou (∃y) (y ∈ B e y /
∈ A))
Prof. Liliana Olga Jurado Cerron Semana 10

Subconjuntos
Exemplo
1 {5, 6, 7} = {7, 6, 5}
2 {x | x2 − 3x + 2 = 0} = {1, 2}
3 {x ∈ N | 5 < x < 9, x ̸= 7} = {x ∈ N | 5 < x < 9, x é par}
4 {1, 2} ̸= {1, 2, 3, 4}

Subconjuntos
A igualdade de conjuntos possui as seguintes propriedades:
(P1) Reflexiva: A = A
De fato:
1) (∀x)(x ∈ A ⇒ x ∈ A)
2) (∀x)(x ∈ A ⇒ x ∈ A)
3) (∀x)(x ∈ A ⇔ x ∈ A) [≡I 1, 2]
isto é A = A
(P2) Simétrica: A = B ⇒ B = A

Subconjuntos
(P3) Transitiva: A = B e B = C ⇒ A = C
De fato.
1) (∀x)(x ∈ A ⇒ x ∈ B) [P]
2) (∀x)(x ∈ B ⇒ x ∈ C) [P]
3) A(a) ⇒ B(a) [EU1]
4) B(a) ⇒ C(a) [EU2]
5) A(a) ⇒ C(a)
6) (∀x)(x ∈ A ⇒ x ∈ C) [≡IU 5]
Analogamente
7) (∀x)(x ∈ C ⇒ x ∈ A)
8) (∀x)(x ∈ C ⇔ x ∈ A) [≡I 6, 7]

Subconjuntos
Propriedades da Relação de Inclusão
Dois conjuntos quaisquer podem ser comparados pela relação de
inclusão.
Definição
Diz-se que um conjunto A está contido num conjunto B se, e
somente se, todo elemento de A também é um elemento de B.
Indica-se que A está contido em B pela notação A ⊂ B, que se lê:
“A está contido em B”.
Simbolicamente,temos:
A ⊂ B ⇔ (∀x)(x ∈ A ⇒ x ∈ B)

Subconjuntos
Quando A está contido em B também se diz que B contém A, o
que se indica pela notação B ⊃ A, que se lê: “B contém A”.
A negação de A ⊂ B indica-se pela notação A ⊂
/B, que se lê: “A
não está contido em B”.
É evidente que A ⊂
/ B se, e somente se, existe ao menos um
elemento de A que não é elemento de B, isto é , simbolicamente:
A ⊂
/ B ⇔ (∃x)(x ∈ A e x /
∈ B)
Com o mesmo significado de A ⊂
/ B, escreve-se B ⊃
/ A, que se lê
“B não contém A”.

Subconjuntos
Exemplo
1 {1, 2} ⊂ {1, 2, 5} ; {1, 5, 7} ⊂ {7, 1, 5}
2 O conjunto P dos números naturais pares está contido no
conjunto N dos números naturais: P ⊂ N.
3 O conjunto A dos números naturais terminados por 5
estácontido no conjunto B dos números naturais divisı́veis por
5: A ⊂ B.

Subconjuntos
A relação de inclusão possui as seguintes propriedades:
(P1) Reflexiva: A ⊂ A
(∀x)(x ∈ A ⇒ x ∈ A), isto é A ⊂ A
A inclusão não exclui, pois a igualdade. Se A ⊂ B e A ̸= B,
diz-se que a inclusão é estrita e que A está contido
estritamente em B.
(P2) Transitiva:A ⊂ B e B ⊂ C ⇒ A ⊂ C

Subconjuntos
(P3) Anti-simétrica: A ⊂ B e B ⊂ A ⇒ A = B Reciprocamente, é
óbvio: A = B ⇒ A ⊂ B e B ⊂ A

Subconjuntos
(P4) O conjunto vazio está contido em qualquer conjunto A, isto é,
(∀A)(∅ ⊂ A).
Com efeito, suponhamos que ∅ ⊂
/ A. Então, existe x tal que
x ∈ ∅ e x /
∈ A. Mas, qualquer que seja x, x /
∈ ∅. Assim sendo,
temos a contradição: x ∈ ∅ e x /
∈ ∅. Logo, ∅ ⊂ A.

Subconjuntos
(P5) Qualquer que seja o conjunto A num universo U, A está
contido em U, isto é, (∀A)(A ⊂ U).
Com efeito, obviamente:
(∀x)(x ∈ A ⇒ x ∈ U), isto é A ⊂ U

Subconjuntos
Observação
(I) A propriedade anti-simétrica da relação de inclusão fornece o
método usual de demonstração da igualdade de dois
conjuntos. Para demonstrar que um conjunto A é igual a um
conjunto B, basta estabelecer sucesivamente que A está
contido em B (A ⊂ B) e que B está contido em A (B ⊂ A),
isto é, estabelecer que verificam simultaneamente as inclusões
A ⊂ B e B ⊂ A.

Subconjuntos
Observação
(II) Importa distinguir cuidadosamente a relação de pertinência
(∈) da relação de inclusão (⊂). A pertinência é uma relação
entre elemento e conjunto e a inclusão é uma relação entre
conjuntos.
Assim, por exemplo, as sentenças:
2 ∈ {1, 2, 3} e {2} ⊂ {1, 2, 3}
são verdadeiras (V), mas as sentenças:
2 ⊂ {1, 2, 3} e {2} ∈ {1, 2, 3}
são falsas (F).

Subconjuntos
Complementar de um subconjunto
Definição
Chama-se complemetar de A, o conjunto de todos os elementos de
U que não pertencem a A
A
′
= {x : x ∈ U e x /
∈ A}

Subconjuntos
Subconjuntos
Definição
Todo conjunto A que está contido num conjunto B ( A ⊂ B),
diz-se subconjunto.

Subconjuntos
Subconjuntos
Se, em particular, A ⊂ B e, além disso, A não é vazio e é diferente de B
(A ̸= ∅ e A ̸= B), então diz-se que A é subconjunto próprio de B ou que
A é a parte própria de B. Neste caso, todo elemento de A é elemento de
B e existe ao menos um elemento de B que não pertence a A.
Exemplo
1 O conjunto A = {1, 2, 3} é subconjunto próprio do conjunto
B = {1, 2, 3, 5, 7}.
2 Todo número natural que é múltiplo de 6. ( por exemplo,
6, 12, 18, . . .) também é múltiplo de 3, mas há números naturais
múltiplos de 3 que não são múltiplos de 6. (por exemplo,
3, 9, 15, . . .). Logo, o conjunto M(6) dos números naturais múltiplos
de 6 é subconjunto próprio do conjunto M(3) dos números naturais
múltiplos de 3.

Subconjuntos
Subconjuntos de um conjunto finito
Dado um conjunto finito com n elementos, os seus subconjuntos
são todos finitos e encerram, quando muito n elementos.
Exemplo
Todos os subconjuntos do conjunto {1, 2, 3} são:
∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}
Observe-se que o conjunto {1, 2, 3}, com três elementos, tem
exatamente 8 = 23 subconjuntos, dos quais 23 − 2 = 6 são
subconjuntos próprios.

Subconjuntos
Conjunto das partes de um conjunto
Definição
Chama-se conjunto das partes de um conjunto E o conjunto cujos
elementos são todas as partes de E, inclusive a parte cheia E e a
parte vazia ∅ ( partes triviais de E).
O conjunto das partes de E representa-se por P(E) e, por
definição, os seus elementos são todos os conjuntos X tais que
X ⊂ E, isto é, simbolicamente:
P(E) = {X | X ⊂ E}

Subconjuntos
Subsistem, pois, as propriedades:
X ⊂ E ⇔ X ∈ P(E)
a ∈ E ⇔ {a} ⊂ P(E)
e as relações:
∅ ∈ P(E), E ∈ P(E)

Subconjuntos
Exemplo
1 P({a}) = {∅, {a}}
2 P({a, b}) = {∅, {a}, {b}, {a, b}}
3 P(∅) = {∅}; P({∅}) = {∅, {∅}}

Subconjuntos
Teorema
Quaisquer que sejam os conjuntos E e F, tem-se:
E ⊂ F ⇔ P(E) ⊂ P(F)

Subconjuntos
Seja A uma parte de um conjunto E ( A ⊂ E).
Definição
Chama-se complementar de A em relação a E ou complemento de
A em relação a E, o conjunto de todos os elementos de E que não
pertencem a A.
O complementar de A em relação a E é, pela sua definição, um
subconjunto de E ( CE A ⊂ E).
O conjunto E, em relação ao qual se determina o complementar,
chama-se conjunto de referência ou referencial.

Subconjuntos
Dado um conjunto A, a passagem de A ao seu complementar é
uma operação cujo resultado depende do referencial considerado,
pois a mudança deste implica modificação no complementar de A.
Num dado universo U, pode-se falar simplesmente em
complementar de um conjunto A, ficando subentendido que se
trata do complementar em relação a U, e representá-lo pela
notação usual A′ ( A′ = CUA).

Subconjuntos
Exemplo
1 Sejam os conjuntos:
E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} A = {2, 4, 6, 8}
B = {1, 3, 5, 7, 9} C = {2, 3, 5, 7}
Temos: CE A = B; CE B = A; CE C = {1, 4, 6, 8, 9}.
2 Seja E o conjunto dos números naturais divisı́veis por 5 e A o
conjunto dos números naturais terminados por 5. Temos
CE A = {x ∈ N | x termina por 0}
3 Os complementares respectivos do conjunto unitário {0} em
relação aos conjuntos Z, Q e R são os conjuntos Z∗, Q∗ e R∗

Subconjuntos
Propriedades do complementar
Sejam A e B partes de um conjunto E (A, B ⊂ E).
(P1) CE ∅ = E
(P2) CE E = ∅
(P3) CE (CE A) = A
(P4) A ⊂ B ⇔ CE A ⊃ CE B

Subconjuntos
Propriedades do complementar
Observação
Para conjuntos quaisquer A e B num universo U, temos:
∅′
= U, U′
= ∅, (A′
)′
= A, A ⊂ B ⇔ A′
⊃ B′

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