15 circuitos elétricos de 2a ordem

Análise de circuitos elétricos CC e CA Pedro Barros Neto
15 - CIRCUITO LC NO REGIME NATURAL
Quando estudamos separadamente os processos de carga e descarga de circuitos RC e RL no regime
natural, formados respectivamente por capacitores ou indutores conectados a um resistor limitador
de corrente, vimos que a corrente I e a tensão V variam exponencialmente com o tempo
(t) .
Agora vamos observar que, se interligarmos um capacitor C e um indutor L num circuito
fechado LC , também chamado de “circuito tanque”, as grandezas elétricas vão variar
sinusoidalmente no tempo t , dentro de um período T , e com uma frequência linear natural
f =
1
T
em Hertz, ou angular ω0 =
1
2π
em rd/s.
A movimentação das cargas elétricas faz variar o campo elétrico do capacitor e simultaneamente, o
campo magnético do indutor, causando oscilações eletromagnéticas.
Vamos analisar, em regime natural, um ciclo completo num circuito fechado com os dois
componentes interligados e sem
elemento dissipativo, em que haverá a
troca de energia, onde
Ue =energiaelétrica e
Um =energiamagnética (fig 15-
01):
1. Condição anterior t =0
−
:
• Ainda não há corrente no
circuito i(0
−
)=0 A
• O capacitor está plenamente
carregado
Ue (0
−
)max J e o
indutor está totalmente
descarregado
Um(0−
)=0 J .
2. No instante inicial t =0
+
,
quando é feito o fechamento do
circuito, a corrente
convencional vai circular no
sentido positivo i(0
+
) > 0 A ,
indo da placa positiva do
capacitor para o terminal
positivo do indutor, que começa
a se carregar com energia
magnética.
3. No quarto de ciclo ω t =
π
2
rd a corrente é máxima positiva e as energias serão iguais
Ue =U m .
1

4. Na metade do ciclo ω t =π rd o capacitor estará totalmente descarregado Ue =0 J , o
indutor estará a plena carga Um max e a corrente será zero i(t)=0 .
5. A três quartos do ciclo ω t =
3π
2
rd o indutor estará plenamente carregado e o capacitor
totalmente descarregado, então inicia-se a corrente convencional no sentido negativo, indo
do terminal positivo do indutor para o terminal positivo do capacitor.
6. O ciclo se completa ω t = 2π rd quando o indutor estiver totalmente descarregado e o
capacitor totalmente carregado.
Já vimos que vL(t)= L
di(t)
dt
, vC (t)=
Q(t)
C
e a corrente iC (t)=
dQ(t )
dt
(15.01).
Aplicando a LTK no circuito LC: vL(t) + vC (t)=0 ou L
di(t)
dt
+
Q(t)
C
= 0 e substituindo
i(t) pela expressão (15.01), teremos: L
d
2
Q (t)
dt
2
+
Q(t )
C
=0 (15.02) .
Fazendo-se a analogia do circuito elétrico oscilante “LC” com um sistema mecânico oscilante
“massa – mola”, ou oscilador harmônico, teremos (Fig. 15 - 02):
onde as unidades de medida, são: massa m=Kg , distância x=metro e a constante de
elasticidade da mola k =
N
m
.
Como o conceito de massa é associado diretamente à inércia de um corpo, assim, a indutância é a
inércia à variação da corrente elétrica.
Com essa correspondência das grandezas mecânicas e elétricas, teremos também a expressão
(15.01) da corrente instantânea, equivalente à expressão da velocidade instantânea de um móvel:
iC (t)=
dQ(t )
dt
⇔veloc(t )=
dx(t)
dt
.
Como a representação gráfica de um ciclo “T” do movimento harmônico simples é uma curva
sinusoidal (senoide ou cossenoide), e dadas as semelhanças com as grandezas elétricas do circuito
LC, podemos concluir que estas também variam sinusoidalmente no regime natural (Fig. 15-03).
Três coisas a observar neste circuito:
2

• A soma das energias é sempre constante Ue + Um =constante e considerando-se o
sistema sem dissipação, isso significa que Utotal =U e +Um .
• O gráfico das grandezas elétricas x tempo será uma senoide ou uma cossenoide, dependendo
da escolha do instante zero.
• A amplitude instantânea angular a(θ )= AP cos(ω0 tδ ) , onde:
◦ Ap é a amplitude de pico.
◦ θ é a posição angular instantânea em radianos.
◦ δ é o ângulo da fase inicial, em radianos, que pode ser adiantada +δ ou atrasada
−δ em relação à origem.
◦ ω 0 é a frequência natural de ressonância: ω0 =
√ 1
LC
rad/s e seu equivalente
f 0=
ω0
2π
Hz.
15.1 - RESPOSTA DO CIRCUITO RLC EM PARALELO NO REGIME NATURAL
Agora vamos acrescentar um resistor em paralelo, para termos um circuito RLC .
A figura 15-04 deve ser entendida como a representação
do instante t =0
+
em que o circuito é desconectado de
uma fonte CC que o alimentava em regime permanente, e
então inicia-se o processo de descarga, em regime natural,
onde os elementos reativos terão as suas condições
iniciais:
3

• Corrente no indutor iL(0
+
)= I0 ;
• Tensão no capacitor vC (0
+
)=V 0 ;
No circuito em paralelo, a variável a ser acompanhada é a tensão instantânea v(t ) que será a
mesma sobre os três elementos do circuito, a partir do “tempo inicial”, até a dissipação total da
energia eletromagnética que estava armazenada nos elementos reativos.
Aplicando-se a (LCK) no nó “a”, será montada uma EDOH de 2a
ordem com as correntes
individuais instantâneas, definidas em função da tensão instantânea, comum aos elementos.
LCK no nó (a): iC (t)+ iR(t)+ iL (t)=0 . A corrente instantânea no capacitor, em função da
derivada da tensão instantânea (relação constitutiva), é: i(t)=C[dv(t)
dt ] . Como
iR(t )=
v(t )
R
e iL(t)=
1
L
∫
0
t
v(τ )dτ , pela LCK, teremos:
C[dv(t )
dt ]+
v(t)
R
+
1
L
∫
0
t
v(t)dt = 0 aplicar diferenciação:
C
[d
2
v(t)
dt2 ]+
1
R [dv(t)
dt ]+
1
L
v(t)=0 dividir por C para isolar o termo de segunda ordem:
d2
v(t)
dt
2
+
1
RC [dv(t)
dt ]+
1
LC
v(t)=0 (15.04).
Fica evidente que as correntes individuais instantâneas são definidas em função da tensão
instantânea, e como a EDOH não tem o temo forçante, significa que a tensão será amortecida
exponencialmente, dada pela expressão v(t )= A e
r t
(15.05), onde r é uma constante real e
desconhecida, e A a amplitude relacionada com as condições iniciais da tensão. Se fizermos
d2
v(t)
dt
2
=v″ e
dv(t)
dt
= v' , e derivarmos (15.05), teremos: v '(t )= A r er t
e
v ' '(t)= A r2
er t
.
Assim, vamos reescrever a EDOH (15.04) como: ( A r2
erx
)+
1
RC
( A r erx
)+
1
LC
(A erx
)=0 . Se
fizermos a=1 b=
1
RC
e c =
1
LC
, teremos: a( A r
2
e
rx
) + b( A r e
rx
) + c(A e
rx
)=0 .
Colocando o termo comum em evidência A er t
[r2
+( 1
RC )r +( 1
LC )]=0 (15.06) onde a
equação de 2° grau entre parênteses é a “equação característica” da EDO de 2a
. Ordem.
4

As raízes da equação do 2° grau, serão: r1,2 =−
1
2 RC
±
√( 1
2RC )
2
−( 1
LC ) (15.07)
Se fizermos:
• α =
1
2 RC
(15.08) frequência Neperiana (rd/s) ou fator de amortecimento, onde
b=2α =
1
RC
. O resistor é o elemento dissipativo que garante o amortecimento da troca
de energia entre os elementos reativos.
• ω0 =
1
√LC
(15.09) frequência angular de ressonância (rd /s) , o que nos dará a
terceira constante da equação característica c =ω0
2
=
1
LC
.
A equação característica ficará: r
2
+ 2α r +ω0
2
= 0 (15.10) e as raízes serão:
r1,2 =
−2α ±√(2α )
2
−4 ωo
2
2
ou r1,2 =−α ±√α 2
−ω o
2
rd /s (15.11).
As raízes da equação característica, que são os expoentes da função exponencial v(t )= A e
r t
,
são frequências angulares complexas, que dependem de R, L e C, e são dadas em rd/s .
Pelo princípio da linearidade, a EDOH (1) terá tanto as soluções particulares como a soma dessas
soluções: v1(t)= A1 e
r1 t
, v2(t)= A2 e
r2 t
e v(t )= A1 e
r1t
+ A2 e
r2 t
, onde A1 e A2
são constantes Reais, dadas em Volts, e traduzem as condições iniciais: v(0
+
) e
dv(0+
)
dt
.
As três respostas transitórias deste circuito dependerão do fator de qualidade (adimensional)
Q =
ωo
2α
, que por sua vez está correlacionado com as raízes da equação característica:
1. Resposta sobre amortecida (superamortecida) fig. 15-05: quando α > ωo e
0 <Q < 0,5 , teremos duas raízes reais, negativas e distintas.
As raízes negativas indicam que a função exponencial é amortecida.
A seleção do resistor, para atender esta condição é feita por: R <
√LC
2C
(15.12)
A expressão da tensão instantânea, será: v(t )= A1 er1t
+ A2 er2 t
(15.13) .
Quando tivermos a tensão inicial do capacitor, a corrente inicial do indutor e as duas raízes reais,
poderemos determinar A1 e A2 , resolvendo o sistema das equações (15.14) e (15.15), e
5

assim, resolver a tensão instantânea (15.13).
Na expressão (15.13), para t =0 e e0
=1 , teremos v(0+
)= A1 x1 + A2 x 1 ou
v(0+
)= A1 + A2
(15.14).
Derivando (15.13) com
de
rn t
dt
=rn e
rn t
, teremos:
d v(t)
dt
=r1 A1e
r1 t
+ r2 A2 r2 e
r2t
, e para
t =0 e e
0
=1 , teremos
d v(0)
dt
=r1 A1 .1+ r2 A2 .1 .
Como iC (0
+
)=C[dvC (0+
)
dt ] , então
dv(0
+
)
dt
=
iC (0+
)
C
= A1r1 + A2r2 (15.15) .
Em t =0
+
o capacitor carregado passa a ser a fonte de alimentação, tentando manter a tensão
anterior de carga v(0
−
) sobre os outros componentes, e com isso, há uma brusca inversão da sua
corrente, que pode ser representada pela aplicação da LCK do nó “a”:
iC (0
+
)=−iL(0
+
)−iR (0
+
) (15.16).
Quando é dado um circuito RLC em paralelo, com condições iniciais completamente
“zeradas” iL(0
−
)=0 A v(0
−
)=0V , a sua análise mostrará somente o tipo da resposta
transitória.
Se são fornecidos valores iniciais, podemos também determinar as expressões numéricas e
traçar gráficos da tensão e das correntes individuais.
Exemplo 1: circuito com resposta transitória sobre
amortecida.
Com os valores da fig. 15-06, determinar:
a)- Corrente inicial em cada braço.
b)- Valor de
dv(0+
)
dt
.
c)- Demonstrar a expressão de v(t ) .
6

d)- Fazer o gráfico de v(t ) no intervalo 0≤t≤300 μ s .
Resposta (a) - A corrente no resistor será iR(0+
)=
VC (0
+
)
R
ou iR(0+
)=
15
220
iR(0
+
)=0,0682 A .
A inércia do indutor para variação de corrente tende a manter a corrente inicial iL(0
−
)=0,04 A .
A corrente inicial no capacitor é dada pela aplicação da LCK do nó “a”, conforme expressão
(15.16): 0,04+0,0682+iC (0
+
)=0 iC (0
+
)=− 0,04 −0,0682 iC (0
+
)=−0,1082 A .
Resposta (b) - Da expressão (15.15), tiramos
dv(0
+
)
dt
=
iC (0+
)
C
=
−0,1082
0,000.000.1
ou
dv(0
+
)
dt
=−1.082.000 V / s .
Resposta (c) - Com as expressões (15.08) α =
1
2 RC
rd /s , (15.09) ω0 =
1
√LC
rd /s e
(15.11) r1,2 =−α ±√α 2
−ω o
2
rd/s podemos calcular as raízes de equação característica:
α =
1
2∗220∗0,000.000.1
α =
1
0,000.044
α =22.727,27rd/s .
ω0 =
1
√0,04∗0,000.000.1
ω0 =
1
√0,000000004
ω0 =
1
0,000.063.245
ou
ω0 =15.811,52 rd/s .
Com α > ωo já temos a confirmação da resposta sobre amortecida.
Cálculo das raízes: r1 =−22.727,27 + √516.528.801,6529−250.004.164,71
r1 =−22.727,27 + √266.524.636,94 r1 =−22.727,27 +16.325,58
r1 =−6.401,69rd /s .
r12 =−22.727,27−16.325,58 r2 =−39.052,85rd /s .
Os valores de A1 e A2 são definidos resolvendo o sistema com as duas equações
v(0+
)= A1 + A2 (15.14) ou 15= A1 + A2 e
dv(0+
)
dt
=
iC (0
+
)
C
=r1 A1 + r2 A2 (15.15)
−1.082.000=−6.401,69 A1−39.052,85 A2 .
−1.082.000=−6.401,69 A1 −39.052,85 A2
15 = A1 + A2
eliminar A1 para calcular A2 :
7

−1.082.000=−6.401,69 A1 −39.052,85 A2
96.025,35= 6.401,69 A1 + 6.401,69 A2
−985.974,65 =−32.651,16 A2
A2 =
−985.974,65
−32.651,16
ou A2 =30,197 V .
de 15= A1 + A2 , teremos A1 =15 −30,197 ou A1 =−15,197 V .
Agora podemos demonstrar a expressão da tensão instantânea do transitório de descarga dada pela
expressão (15.13): v(t )= A1 e
r1t
+ A2 e
r2 t
ou v(t )=−15,197 e−6.401,69t
+ 30,197 e−39.052,85t
V
(15.17) para t≥0 .
Resposta (d) - o gráfico de v(t ) pode ser feito pela aplicação da expressão (15.17) numa
planilha, com a interpolação de vários valores de tempo no intervalo 0≤t≤300 μ s .
O instante em que v(t )=0 V pode ser calculado fazendo-se t =0 na expressão (15.17):
−15,197 e
−6.401,69 t
=−30,197 e
−39.052,85t
multiplicar por (-1) e aplicar logaritmo natural:
ln(15,197 e
−6.401,69t
)=ln(30,197 e
39.052,85t
) propriedade: ln a.b=lna + lnb
ln(15,197) + ln(e
−6.401,69 t
)=ln (30,197) + ln(e
−39.052,85 t
) propriedade: ln x
b
=b ln x
ln(15,197)−6.401,69t ln(e)=ln(30,197)−39.052,85t ln(e) propriedade: ln e=1
ln(15,197)−6.401,69t =ln(30,197)−39.052,85t
ln(15,197)−ln(30,197)=6.401,69t − 39.052,85t
ln(−15,197)−ln(30,197)=t(−32.651,16 ) propriedade ln(a)−ln(b)= ln
a
b
como
ln
15,197
30,197
=−0,6866 , teremos t =
−0,6866
−32.651,16
ou t =0,000.021 s A tensão chega a “zero
volt” em 21μ s .
8

Demonstrar as expressões de correntes instantâneas, nos três elementos do circuito:
A tensão instantânea, dada na expressão (15.17), será a mesma no nó “a” da fig 15-06 durante a
descarga t ≥0 s : v(t )=−15,197 e−6.401,69t
+ 30,197 e−39.052,85t
V .
• Corrente no resistor iR(t )=
v(t )
R
iR(t )=
−15,197 e
−6.401,69 t
+ 30,197 e
−39.052,85t
220
iR(t )=−0,069 e−6.401,69t
+ 0,137 e−39.052,85t
A .
• Corrente no capacitor iC (t)=C
dv(t )
dt
iC (t)=0,000.000.1
d(−15,197 e−6.401,69t
+30,197 e−39.052,85t
)
dt
iC (t)= 0,000.000.1[−15,197∗(−6.401,69) e
−6.401,69 t
+30,197∗(−39.052,85) e
−39.052,85t
]
iC (t)=0,000.000.1[97.286,483 e
−6.401,69t
− 1.179.278,9 e
−39.052,85t
]
iC (t)=0,0097 e
−6.401,69 t
−0,1179 e
−39.052,85t
A verificando para t =0 s
iC (0
+
)=0,0097 e
0
−0,1179 e
0
ou iC (0
+
)=−0,1082 A o que confirma o resultado
obtido no início do problema.
• Corrente no indutor
◦ abordagem pela LCK no nó “a”, pois já temos duas correntes definidas:
iL(0+
)+ iR(0+
) + iC (0+
)=0 onde iL(t)= −iR(t)−iC (t ) .
iL(t)=−[−0,069 e
−6.401,69t
+ 0,137 e
−39.052,85 t
]−[0,0097 e
−6.401,69t
−0,1179 e
−39.052,85t
]
iL(t)= [0,069 e
−6.401,69t
−0,137 e
−39.052,85t
]−[0,0097 e
−6.401,69 t
− 0,1179 e
−39.052,85t
]
9

onde iL(t)=0,059 e−6.401,69 t
−0,019 e−39.052,85t
A
Verificando para t =0 s : iL(0
+
)=0,059 e
0
−0,019 e
0
iL(0
+
)=40 mA o que confirma o
valor dado neste exemplo.
◦ abordagem em função da tensão instantânea:
iL(t)=
1
L
∫
0
t
vL(t)dt + Io iL(t)=
1
0,04
∫
0
t
(−15,197 e
−6.401,69 t
+ 30,197 e
−39.052,85t
)+ 0,04
iL(t)=25
{| −1
6.401,69
[−15,197 e
−6.401,69 t
]|t
0
+| −1
39.052,85
[30,197 e
−39.052,85 t
]|t
0}+ 0,04
iL(t)=25{| 15,197
6.401,69
[ e−6.401,69 t
]|t
0
+|−30,197
39.052,85
[ e−39.052,85t
]|t
0}+ 0,04
iL(t)=25
{|0,0023739[ e
−6.401,69 t
]|t
0
+|−0,000773[ e
−39.052,85t
]|t
0}+ 0,04
iL(t)=[0,059( e
−6.401,69t
−1)−0,019 ( e
−39.052,85 t
−1)] + 0,04
iL(t)=0,059 e
−6.401,69 t
−0,059− 0,019325 e
−39.052,85 t
+0,019 + 0,04
iL(t)=0,059 e
−6.401,69 t
−0,019 e
−39.052,85 t
A resultado idêntico ao do processo anterior.
2. Resposta subamortecida fig. 15-09: quando ωo > α e Q > 0,5 , teremos duas raízes
complexas e conjugadas.
10

A seleção do resistor, para atender esta condição é feita por: R > √LC
2C
(15.18)
Com ωo > α , a expressão (15.11) r1,2 =−α ±√α 2
−ω o
2
rd/s passa a ser escrita como:
r1, r2 =−α ±√−(ωo
2
−α2
) rd /s . Com o discriminante negativo, sua raiz quadrada só existe
no conjunto dos Complexos. O termo da raiz quadrada do discriminante passa a ser denominado
Frequência angular amortecida (dumpped) : ωd =√(ωo
2
− α2
) rd/ s (15.19). Assim, as raízes
serão:
r1 =−α + jω d rd/ s (15.20) cujo conjugado será: r2 =−α − jωd rd /s (15.21). São
denominadas frequências complexas.
Tomemos a expressão (15.13) v(t )= A1 e
r1t
+ A2 e
r2 t
, da tensão instantânea do circuito
superamortecido, para servir de base na formulação da expressão que vai definir a tensão
instantânea subamortecida, que além de exponencial decrescente, é também sinusoidal, e para isso,
vamos utilizar a identidade de Euler, que descreve esse tipo de sinal e
±jθ
= cosθ ± j senθ .
Assim, teremos: v(t )= A1 e(−α + jωd )t
+ A2 e(−α − jωd)t
v(t )= e
−α t
(A1 e
+ jωd t
+ A2 e
− jω d t
)
v(t )= e
−α t
(A1 cosωd t + j A1 senωd t + A2 cosωd t − j A2 senωd t)
v(t )= e
−α t
[(A1 + A2)cosωd t + j( A1 − A2) senωd t ] .
Fazendo ( A1 + A2)=B1 e j( A1− A2)= B2 , que são constantes Reais (nesta caso, tensão),
então teremos: v(t )= e
−α t
(B1 cosωd t + B2 senωd t) ou
v(t )= B1 e
−α t
cosωd t + B2 e
−α t
senωd t (15.22) . Notar que as raízes da equação característica
estão implícitas nesta expressão.
Os valores das constantes B1 e B2 são obtidos resolvendo-se o sistema com as equações
(15.23) e (15.24), nas condições iniciais dadas.
Aplicando-se t =0
+
na expressão (15.22), com sen 0=0 a constante B2 é anulada, e
teremos: v(0
+
)= B1 (15.23) .
11

Derivar a expressão (15.22)
d
dt
[B1 e
−α t
cosωd t + B2 e
−α t
senωd t ] . Aplicando a Regra da
soma, teremos: B1
d
dt
[ e
−α t
cosωd t ]+ B2
d
dt
[ e
−α t
senωd t ] Aplicar a regra da cadeia,
considerando que
d
dt
e
−α t
=−α e
−α t
:
B1(−α e
−α t
cos ωd t −ωd e
−α t
sen ωd t) + B2(−α e
−α t
sen ωd t +ω d e
−α t
cos ωd t)
Expandir e agrupar:
−α B1 e−α t
cosωd t −α B2 e−α t
senωd t − B1 ω d e−α t
senωd t + B2 ωd e−α t
cosωd t
Resolvendo para t =0+
, e considerando que: sen 0=0 , cos0=1 e e0
=1 , teremos:
−α B1 e
−α 0
cosωd 0 −α B2 e
−α 0
senωd 0− B1 ωd e
−α 0
senωd 0+ B2 ωd e
−α 0
cosωd 0
−α B1 .1. 1−0− 0 + B2 ωd 1.1 ou
dv(0
+
)
dt
=
iC (0
+
)
C
=−α B1 + ωd B2 (15.24).
Exemplo 2
Dados do circuito da figura 15-10 :
R=18 kΩ ; C =0,1 μ F ; L=6 H ;
Condições iniciais: i(0
−
)=−10 mA ; v(0
−
)=Vo =0 V ;
Calcular:
a) – raízes da equação característica;
b)- dv
(0+
)
dt
;
c)- v(t ) para t ≥0 ;
d)- o gráfico de v(t ) para 0≤t ≤10 ms
Cálculos preliminares:
Da expressão (15.08) α =
1
2 x18.000 x0,000.000.1
α =
1
0,0036
α =277,72 rd/s .
Da expressão (15.09) ω0 =
1
√6∗0,000.000.1
ω0 =
1
√0,000.000.6
ω0 =
1
0,000.774.6
ω0 =1.291 rd /s .
12

Da expressão (15.19) ωd =√(1.291
2
−277,72
2
) ωd =√(1.666.666,67−77.128,4)
ωd =√(1.589.538,272) ωd =1.260,76 rd/ s .
Como v(0)=Vo =0 V , iR(0)=
Vo
R
ou iR(0)=0 A .
Resposta (a) - das expressões (15.20) e (15.21):
r1 =−277,72+ j1.260,76 rd/s e r2 =−277,72− j 1.260,76 rd /s
Resposta (b) – Dado iL(0+
)=−0,01 A , a corrente no capacitor será inversa, ou
iC (0
+
)=0,01 A e, da expressão (15.15)
dv(0
+
)
dt
=
iC (0
+
)
C
, teremos
dv(0
+
)
dt
=
0,01
0,000.000.1
ou
dv(0
+
)
dt
=100.000 V /s .
Resposta (c) - Dado Vo =0 V , com a expressão (15.23) B1=0 V e com a expressão
(15.24), teremos:
dv(0+
)
dt
=−α B1 + ωd B2 100.000=0+ 1.260,76B2 B2=
100.000
1.260,76
ou
B2= 79,317 V . Agora, com a expressão (15.22) v(t )= B1 e
−α t
cosωd t + B2 e
−α t
senωd t ,
teremos v(t )=0 + 79,317e−277,72t
sen1.260,76t V , t ≥0 .
Resposta (d) - o gráfico de v(t ) para 0≤t ≤10 ms Fig. 15-11.
13

Este gráfico foi obtido por Planilha, utilizando-se a expressão numérica de v(t ) , onde
atribuímos valores espaçados de 0,000.5 s à variável “t” e obtivemos uma senoide com
frequência angular amortecida ωd .
Neste tipo de resposta, no caso hipotético de R→∞ , teríamos α →0 e ωd→ωo e a
senoide se manteria com a mesma amplitude, mas na frequência de ressonância ωo .
Exemplo 3
Dados do circuito da figura 15-12 :
C= 0,000.001.2 F ; L=0,012 H ;
Condições iniciais: iL(0
−
)=0,075 A e
vC (0
−
)=Vo =9 V ;
Raízes complexas: r1 ,r2=−7.800± j 6.100 rd /s
r1, r2 =−α ± jωd rd /s (15.20) e (15.21), onde
ωd =√(ωo
2
−α2
) rd/ s (15.19).
Dados decorrentes: α =7.800rd /s e ωd =6.100rd/ s
Pedem-se:
a) - Valor de R para as raízes dadas.
b) -
dv(0
+
)
dt
c) - B1 e B2 para determinação de v(t ) .
d) - determinar iR(t ) , iC (t) e iL(t) .
Resposta (a) - da expressão (5) α =
1
2 RC
7.800=
1
2 xRx0,000.001.2
R=
1
2 x7800 x0,000.001.2
R=
1
0,01872
ou R=53,4188 Ω .
Resposta (b) – Para calcular
dv(0
+
)
dt
=
iC (0+
)
C
precisamos determinar a corrente inicial do
capacitor. e para isso é necessário determinar a corrente inicial do resistor: iR(0
+
)=
Vo
R
iR(0
+
)=
Vo
R
iR(0+
)=
9V
53,4188Ω
ou iR(0
+
)=0,168.48 A .
14

Como foi dada a corrente do indutor, e já determinamos a corrente do resistor, a corrente inicial do
capacitor vai ser determinada pela LCK: iL(0
+
)+ iR(0
+
) + iC (0
+
)=0 ou
iC (0
+
)= −iR(0
+
)−iL(0
+
) iC (0
+
)= −(0,168.48)−(0,075) ou iC (0
+
)= −0,243.48 A ,
então
dv(0
+
)
dt
=
−0,243.48 A
0,000.001.2 F
ou
dv(0
+
)
dt
=−202.900V / s .
Resposta (c) - da expressão (15.23) B1= v(0
+
)=Vo ou B1= 9 V .
Da expressão (15.24), teremos:
dv(0
+
)
dt
=−α B1 + ωd B2 −202.900=(−7.800∗9)+ 6.100B2
−202.900=(−70.200)+ 6.100B2 −202.900+70.200 = 6.100B2
−132.700 = 6.100 B2 B2=
−132.700
6.100
ou B2=−21,754 V .
Resposta (d) – para calcular iL(t) temos que determinar iR(t ) e iL(t) , em função de
v(t ) , para então aplicarmos a LCK iL(t)=−iR (t)−iC (t) .
Com os dados já disponíveis e com a expressão (15.22) podemos definir v(t ) :
v(t )=e
−α t
(B1 cosωd t + B2 senωd t) ou v(t )=e
−7.800 t
(9cos 6.100t −21,754 sen6.100t)V .
Definir as correntes instantâneas:
iR(t )=
v(t )
R
iR(t )=
e−7.800t
(9cos6.100t −21,754 sen6.100t )
53,4188
iR(t )=e−7.800t
(0,16848cos 6.100t −0,407 sen6.100t) A .
iC (t)=C
dv(t )
dt
iC (t)=C
d[e−7.800 t
(9cos 6.100t −21,754 sen6.100t)]
dt
Calcular
dv(t)
dt
=
d
dt
[e−7.800 t
(9cos6.100t −21,754 sen6.100t)] .
Aplicando (f . g)’ =f ’.g + f .g’ , teremos a expressão (15.25) :
[d
dt
e
−7.800t
(9cos6.100t −21,754 sen6.100t)
]+ e
−7.800 t
[d
dt
(9cos6.100t − 21,754 sen6.100t)
]
Aplicando diferenciação no primeiro termo da primeira parcela de (15.25)
d
dt
e
−7.800t
=−7.800 e
−7.800t
e reescrevendo a primeira parcela:
15

−7.800 e
−7.800t
(9cos6.100t −21,754 sen6.100t) multiplicando as constantes, teremos:
e
−7.800t
−70.200cos6.100t + 169.681,2 sen6.100t (15.26)
Aplicando diferenciação no segundo membro (f ±g)’ =f ’± g’ .
d
dt
(9cos6.100t)−
d
dt
(21,754 sen6.100t) constantes fora:
9
d
dt
(cos6.100t)−21,754
d
dt
( sen6.100t) (15.27) aplicar regra da cadeia:
d f (u)
dt
=
df
du
x
du
dt
onde f =cos(u) e u=6.100t
Primeira parcela do segundo membro de (15.27):
d f (u)
dt
=
d cos6.100t
d 6.100t
x
d 6.100t
dt
Aplicando
d cos(u)
dt
=−sen(u)
d f (u)
dt
=−sen6.100t x 6.100 .
Segunda parcela do segundo membro de (15.27):
d f (u)
dt
=
d sen6.100t
d 6.100t
x
d 6.100t
dt
Aplicando
d sen(u)
dt
=cos(u)
d f (u)
dt
=cos6.100t x6.100 reescrevendo a segunda parcela
de (15.25) e
−7.800t
{9 [−sen(6.100t)x 6.100] –[21,754 cos(6.100t) x9.100]} ou
e−7.800t
[−54.900 sen(6.100t)−132.699,4 cos(6.100t)] (15.28).
Reescrevendo (15.25):
Primeira parcela (15.26) e
−7.800 t
−70.200cos6.100t + 169.681,2 sen6.100t
Segunda parcela(15.28) e−7.800t
[−54.900 sen(6.100t)−132.699,4 cos(6.100t)]
Simplificando (15.25)
dv(t)
dt
=e
−7.800 t
[(−202.900 cos 6.100t )+(114.781,2 sen6.100t)] .
Determinar iC (t)=C
dv(t )
dt
iC (t)=0,000.001.2{e−7.800t
[(−202.900 cos 6.100t )+(114.781,2 sen6.100t)]}
iC (t)=e
−7.800 t
[− 0,243.48 cos6.100t + 0,1377 sen6.100t] A .
Agora podemos aplicar a LCK para determinar iL(t)=−iR (t)−iC (t)
16

e
−7.800t
[−(0,168.48cos6.100t −0,407 sen6.100t)]
e−7.800t
[−(−0,243.48 cos 6.100t + 0,137.7 sen6.100t)]
iL(t)=e
−7.800t
[(0,075 cos6.100t + 0,269.3 sen6.100t)]
iL(t)= e
−7.800t
[(0,075 cos6.100t + 0,269.3 sen6.100t)] A
3. Criticamente amortecida: quando α =ωo e Q = 0,5 o que deixará o circuito muito
próximo de entrar em oscilação.
A seleção do resistor, para atender esta condição é feita por: R=
√LC
2C
(15.29).
As duas raízes são reais, negativas e iguais, em decorrência de α =ωo anular o discriminante da
equação de 2° grau característica, e a expressão das raízes passa a ser:
r1 =r2=−α =−
1
2 RC
(15.30) . Com isso, a expressão (15.13) v(t )= A1 e
r1t
+ A2 e
r2 t
tende
a ficar: v(t )= (A1 + A2) e
−α t
ou v(t )= Ao e
−α t
.
Ocorre que esta equação tem apenas uma constante Ao que representa a amplitude de pico da
tensão, portanto não admite que se trabalhe com as duas
condições iniciais deste tipo de circuito: iL(0
−
) e
vC (0
−
) . A solução é adaptar a expressão (15.13) para
v(t )= D1 t e
−α t
+ D2 e
−α t
(15.31), onde aparece a variável
“t” multiplicando a primeira exponencial, e os valores das
constantes D1 e D2 são obtidos resolvendo-se o
sistema com as equações (15.32) e (15.33), nas condições
iniciais dadas.
Aplicar t = 0
+
na expressão (15.31) vL(0
+
)= D1 .0.1+ D2.1 ou vL(0
+
)=V 0 = D2 (15.32)
17

d
dt
D1 e
−α t
t + D2 e
−α t
. Aplicar a regra da soma:
d
dt
D1 e
−α t
t +
d
dt
D2 e
−α t
como
d
dt
e
−α t
=−α e
−α t
, aplicar a regra do produto no primeiro
termo: D1 e−α t
−α D1 e−α t
(t )−α D2 e−α t
. Aplicar t =0+
com e0
=1 :
D1 .1− 0−α D2 .1 teremos:
d v(0
+
)
dt
=
iC (0+
)
C
=D1 −α D2 (15.33).
Exemplo 04
Com o circuito da Fig. 15-14:
a) – determinar o valor de R para obter uma resposta criticamente amortecida;
b) – determinar v(t ) para t ≥0 ;
c) - gráfico de v(t ) para 0 <t <20ms ;
Resposta (a) – para calcular R precisamos do valor de α , e como α =ωo , vamos achar
ω0 =
1
√LC
(15.09) ω0 =
1
√6 x0,0000012
ω0 =
1
√0,0000072
ω0 =
1
0,00268
ou
ω0 =α =372,678rd /s . Calcular R a partir de (15.08) α =
1
2 RC
:
372,678=
1
2 xRx0,0000012
372,678=
1
R∗0,0000024
R=
1
372,678∗0,0000024
R=
1
0,00089
ou R=1.118Ω .
Resposta (b) – Para aplicação da expressão (15.31) v(t )= D1 te−α t
+ D2 e−α t
atribuindo valor
numérico à expressão (15.32) D2 = v(0
+
)= Vo = 0V , dado do problema.
Para achar D1 , precisamos calcular
dv(0
+
)
dt
=
iC (0+
)
C
dv(0+
)
dt
=
0,01
0,0000012
ou
dv(0
+
)
dt
=3.333,33V / s e aplicar a expressão (15.33) D1 −α D2=
d v(0+
)
dt
=
iC (0
+
)
C
D1 −372,678∗0V =3.333,33 ou D1 =3.333,33V .
Aplicar a expressão (24) v(t )=3.333,33 t e−372,678 t
+ 0 e−372,678t
ou
v(t )=3.333,33 t e−372,678 t
V .
Resposta (c) – gráfico de v(t ) para 0 <t <20ms obtido no aplicativo Planilha, com os
valores da expressão distribuídos a cada milissegundo no intervalo dado.
18

15.2 – RESPOSTA DO CIRCUITO RLC EM PARALELO SUBMETIDO A UM DEGRAU
A figura 15-16 representa um circuito com elementos ideais em paralelo, alimentado por uma fonte
de corrente, e que deve ser entendido da seguinte forma:
A chave fechada, no instante anterior t =0−
s , fecha um curto circuito, zerando toda a energia
armazenada nos elementos reativos após t ≥5τ .
No instante t =0+
s , em que a chave é aberta, as condições iniciais, serão: iL(0+
)=0 A e
vC (0
+
)= 0V e as correntes em cada braço se relacionarão de acordo com a LCK.
No capacitor, a corrente se altera antes da tensão, e inicia com um pico curto iC (t)= Is .e
−t
τ
que
carrega o capacitor instantaneamente, mas decai rápida e exponencialmente a zero, pois durante
esse pico, as correntes no indutor e no resistor iniciam um incremento exponencial, conforme a
LCK. A tensão no circuito é determinada pela reatância do capacitor, onde
vC (0
+
)=V o = vL (0
+
)=0 V . A variação instantânea da corrente tende a provocar uma elevação
de tensão sobre todos os elementos do circuito, que atingirá o valor máximo de vR(0
+
)=
Is
R
, e
19

no instante seguinte, essa tensão inicia um decremento exponencial que dependerá apenas do
indutor vL(t )= L
d iL(t )
dt
. Se quisermos a corrente inicial em função do indutor, teremos
vL(0
+
)=V o= L
d iL(0+
)
dt
ou
d iL(0+
)
dt
=
Vo
L
.
No indutor, a corrente sempre se altera depois da tensão, por isso inicia com iL(0
+
)=Io =0 A e
vai crescer exponencialmente iL(t)= If (1−e
−t
τ
) , inversamente proporcional ao decremento da
tensão, até alcançar o valor de iL(t)=If . O indutor atingirá sua carga magnética máxima no
final do processo, quando a tensão chegar a zero, e permanecerá carregado pois haverá a corrente
If nas suas espiras, enquanto a chave permanecer aberta.
No resistor, a corrente inicia também com iL(0
+
)=0 A e crescerá rápida e exponencialmente,
simultaneamente à queda do pico de corrente do capacitor, até atingir iR(t )= IS − IL(t )+ iC (t) , e
então vai decrescer exponencialmente, diretamente proporcional ao decremento da tensão, de
acordo com a Lei de Ohm iR(t )=
v(t )
R
.
O processo de carga do indutor é avaliado através da aplicação da LCK nos braços do circuito:
iL(t)+ iR(t)+ iC (t)=Is , e que pode ser escrita como: iL(t)+
v(t)
R
+ C
d vC (t)
dt
= If (15.34) ,
que é uma EDO não homogênea, com termo forçante If . Para trabalharmos apenas com a
corrente, vamos adotar v(t )= L
d iL(t )
dt
e teremos
d v(t )
dt
= L
d2
iL(t)
dt2
. Substituindo os
termos correspondentes na expressão (15.34), teremos: iL(t)+
L
R
d iL(t )
dt
+ LC
d2
iL (t)
dt2
= If
isolando o termo de 2a
ordem e colocando os termos em ordem crescente, teremos uma EDO não
homogênea de 2a
. ordem:
d2
iL (t)
dt2
+
1
RC
d iL(t)
dt
+
1
LC
+iL(t)=
1
LC
I (15.35).
A corrente instantânea deste circuito pode ser abordada de forma indireta, reescrevendo a expressão
(15.31) em função de v(t ) :
1
L
∫
0
t
vL (t)dτ +
v(t)
R
+ C
d vC (t)
dt
=If (15.36). Derivando esta
expressão, vamos transformá-la na EDO de 2a
ordem homogênea, pois
d
dt
IS =0 :
20

vL (t)
L
+
1
R
dv(t)
dt
+ C
d2
vC (t)
dt2
=0 . Esta expressão já foi vista no início do capítulo, e
resultou na expressão (15.04)
d
2
v(t)
dt2
+
1
RC [dv(t)
dt ]+
1
LC
v(t)=0 , e como tal, o valor da
tensão instantânea dependerá das raízes da equação característica, com os três casos possíveis,
também já vistos neste capítulo:
• Resposta superamortecida v(t )= A1 er1t
+ A2 er2 t
(15.13).
• Resposta subamortecida v(t )= B1 e
−α t
cosωd t + B2 e
−α t
senωd t (15.22).
• Resposta criticamente amortecida v(t )= D1 t e−α t
+ D2 e−α t
(15.31).
Abordagem direta
Agora adotaremos as constantes “com linha”, que podem ser definidas a partir das condições
iniciais iL(0
+
) e
d iL(0+
)
dt
e as soluções terão o termo forçante If ou Vf somado à
solução natural.
Cada tipo de resposta do circuito terá sua expressão da corrente instantânea no indutor, fazendo-se
as respectivas substituições de (15.13), (15.22) e (15.31) na expressão (15.34), cujas expressões,
serão:
• Resposta superamortecida iL(t)= If +[ A '1 e
r1 t
+ A '2 e
r2 t
] (15.37).
• Resposta subamortecida iL(t)=If + B'1 e
−α t
cosω d t + B'2 e
−α t
senω d t (15.38) ou
iL(t)=If + e−α t
[ B'1 cosωd t + B'2 senωd t ] .
• Resposta criticamente amortecida iL(t)= If + D'1 t e
−α t
+ D'2 e
−α t
(15.39) ou
iL(t)= If + e
−α t
[ D '1 t + D '2] .
Exemplo 5
Com os dados da Fig. 15-17, e adotando o valor de R=40Ω , pedem-se:
a) - iL(0
+
) .
b) -
d iL(0
+
)
dt
.
c) - raízes da equação característica.
d) - expressão de iL(t) para t ≥0+
.
21

Resposta (a) – a reatância indutiva impede a brusca variação da corrente, e como o indutor estava
em curto circuito pela chave, no instante em que a mesma é aberta a corrente inicial será:
iL(0
+
)=0 A .
Resposta (b) - Considerando a resposta (a), teremos
d iL(0
+
)
dt
=
d 0
dt
=0 →(+∞) .
Resposta (c) - cálculos preliminares para definição das raízes:
1
2 RC
rd /s α =
1
2∗40∗0,000.025
α =
1
0,002
ou
α =500 rd/s .
1
√LC
rd/s ω0 =
1
√0,25∗0,000.025
ω0 =
1
√0,00000625
ω0 =
1
0,0025
ou ω0 =400 rd /s .
Com α > ωo teremos duas raízes reais, negativas e distintas, características da resposta
superamortecida.
Da expressão (15.11) r1,2 =−α ±√α 2
−ω o
2
rd/s r1 =−500 + √5002
− 4002
r1 =−500 + √250.000−160.000 r1 =−500 + √90.000 r1 =−500 +300 ou
r1 =−200 rd/ s .
r2 =−500−300 ou r2 =−800 rd/ s .
Resposta (d) – A expressão numérica de iL(t) para t ≥0
+
é obtida com a expressão (30):
iL(t)= If + A '1 e
r1 t
+ A '2 e
r2 t
. onde as constantes A ’1 e A ’2 são obtidas resolvendo-se o
sistema com as equações (15.40) e (15.41), com os respectivos valores iniciais dados.
Aplicando-se t =0
+
na expressão (15.37), com e
0
=1 , teremos:
iL(0+
)=I f + [ A'1 .1+ A '2 .1] ou iL(0+
)=I f + A'1 + A'2 (15.40).
22

Derivar a expressão (15.37):
d
dt
If + A'1 e
r1 t
+ A'2 e
r2 t
como
d If
dt
=0 ,
d
dt
e
r1t
=r1e
r1 t
e
e
0
=1 , teremos r1 A'1 e
r1t
+ r2 A'2 e
r2 t
resolvendo-se para t =0
+
, teremos
d iL(0
+
)
dt
=r1 A '1 + r2 A '2 (15.41).
Como iL(0
+
)=0 A e
d iL(0
+
)
dt
=0 A , teremos
0=1 + A'1 + A'2
0=−200 A'1 −800 A'2
0=200 +200 A'1 + 200 A'2
0=−200 A'1 −800 A'2
0=200 −600 A2
'
600 A'2=200 ou A '2 =0,33 A .
Da expressão (15.40) 0=1+ A'1 + 0,33 A '1 =−1−0,33 ou A '1 =−1,33 A .
Finalmente teremos a corrente instantânea no indutor, para t ≥0
+
s :
iL(t)=1−1,33 e−200t
+ 0,33 e−800 t
A (15.42).
Exemplo 6
Determinar a expressão numérica da corrente instantânea no indutor do circuito da Fig. 15.A – 13,
para t ≥0
+
e adotando o valor de R=60Ω .
Cálculos preliminares para definição das raízes:
da expressão (15.08) α =
1
2 RC
rd/s α =
1
2∗60∗0,000.025
α =
1
0,003
α =333,33rd/s
Como os elementos reativos são os mesmos, ω0 =400rd/s .
Quando ωo > α teremos duas raízes complexas e conjugadas, características da resposta
subamortecida. Neste caso o discriminante da equação característica é negativo e é denominado de
frequência angular amortecida: da expressão (16) ωd =√(ωo
2
−α2
) rd/ s , teremos:
ωd =√(4002
−333,332
) ωd =√(160.000−111.111,11) ωd =√48.888,88 ou
ωd =221,1 rd/s .
Das expressões (15.20) e (15.21): r1, r2 =−α ± jω d rd/ s r1 =−333,33 + j221,1 rd /s e
r2 =−333,33− j 221,1 rd /s .
A expressão numérica da corrente instantânea no indutor, para t ≥0
+
será dada por (15.38):
iL(t)= If + e
−α t
[ B'1 cosωd t + B '2 senωd t ] , onde os valores das constantes B’1 e B’2
23

são obtidos resolvendo-se o sistema com as equações (15.43) e (15.44), nas condições iniciais
dadas.
Aplicando-se t =0
+
na expressão (15.38), com sen 0=0 a constante B’2 é anulada, e
teremos:
iL(0
+
)=I f + B’1 (15.43) .
d
dt
[If + B'1 e−α t
cosωd t + B'2 e−α t
senωd t ] como
d If
dt
=0 , e
aplicando a Regra da soma, teremos:
B'1
d
dt
[ e
−α t
cosωd t ]+ B'2
d
dt
[ e
−α t
senωd t ] Aplicar a regra da cadeia, considerando que
d
dt
e
−α t
=−α e
−α t
:
B'1(−α e
−α t
cos ωd t −ωd e
−α t
sen ωd t) + B'2(−α e
−α t
sen ωd t + ωd e
−α t
cos ωd t)
Expandir e agrupar:
−α B'1 e−α t
cosωd t −α B'2 e−α t
senωd t − B'1 ωd e−α t
senωd t + B'2 ωd e−α t
cosωd t
Resolvendo para t =0
+
, e considerando que: sen 0=0 , cos0=1 e e
0
=1 , teremos:
−α B'1 e
−α 0
cosωd 0 −α B '2 e
−α 0
senωd 0−B '1 ωd e
−α 0
senωd 0+ B '2 ωd e
−α 0
cosωd 0
−α B'1 .1. 1−0−0 + B'2 ωd 1.1 ou
d iL(0+
)
dt
=−α B’1 +ωd B’2
(15.44) .
Como
d iL(0
+
)
dt
=0 ,o resultado de (15.44) será: −α B’1 +ωd B’2 =0 .
Da expressão (15.43) 0=1+ B'1 B'1=−1 A .
Substituindo o valor de B’1 no resultado da expressão (15.44):
−333,33(−1)+ 221,1B’2 =0 333,33+ 221,1B’2 =0 221,1B’2 =−333,33
B’2 =
−333,33
−221,1
ou B’2 =1,5076 A .
Substituindo os valores encontrados, na expressão (15.38):
iL(t)=1−e
−333,33t
cos 221,1t + 1,5076 e
−333,33 t
sen 221,1t A para t ≥0
+
.
Exemplo 7
Determinar “R” para que a resposta do circuito da Fig. 15.A - 13 seja criticamente amortecida.
24

Solução: fazer com que α =ωo .
Igualar a expressão (15.08) α =
1
2 RC
rd /s com a expressão (15.09) ω0 =
1
√LC
rd /s
1
2 RC
=
1
√LC
1
2 R0,000.025
=
1
√0,250x 0,000.025
1
R0,000.05
=
1
√0,00000625
1
R0,000.05
=
1
0,0025
0,0025=R 0,000.05 R=
0,0025
0,000.05
ou R= 50 Ω .
Conferindo: α =
1
2 x50 x0,000025
α =
1
0,0025
α =400 rd/s .
A expressão numérica da corrente instantânea no indutor, para t ≥ 0
+
será dada por (15.39)
iL(t)=If + D'1 t e−α t
+ D'2 e−α t
, onde os valores das constantes D’1 e D’2 são obtidos
resolvendo-se o sistema com as equações (15.45) e (15.46), nas condições iniciais dadas.
Aplicar t =0+
na expressão (15.39), com e0
=1 , teremos: iL(0+
)=I S + D '1 .0.1+ D '2 .1
iL(0
+
)=I f + D ’2 (15.45).
d
dt
If + D '1 e
−α t
t + D '2 e
−α t
. Como
d If
dt
=0 , aplicar a regra da
soma:
d
dt
D '1 e
−α t
t +
d
dt
D '2 e
−α t
como
d
dt
e
−α t
=−α e
−α t
, aplicar a regra do produto no
primeiro termo:
D’1 e
−α t
−α D ’1 e
−α t
(t)−α D’2 e
−α t
.
Aplicar t = 0
+
com e
0
=1 :
D’1 .1−0−α D ’2 .1 teremos:
d iL(0
+
)
dt
=D ’1 −α D ’2 (15.46) .
Da expressão (15.45) 0=1+ D '2
D'2 =−1 A .
Substituindo o valor de D’2 na
expressão (15.46):
D'1−400(−1)=0 D'1+400=0
ou D’1 =−400 A .
25

Substituindo os valores encontrados, na expressão (15.39): iL(t)=1−400 t e−400 t
−e−400 t
A ,
t ≥0
+
.
Na figura 15-18 está o gráfico das correntes instantâneas para as três respostas de um circuito com
os mesmos elementos reativos, onde a variação do valor de “R” alterou a frequência neperiana
α , conforme exemplos 5, 6 e 7. No circuito subamortecido a corrente cresce mais rápido, e
assim que iL(t)=If , a inércia do indutor tenta manter a corrente crescendo, fazendo com que
ultrapasse um pouco o valor da fonte, para em seguida estabilizar, quando a tensão cai a zero.
Exemplo 8
Com os dados do exemplo 7 : α =ωo =400 rd/ s vamos considerar as condições iniciais
iL(0−
)=0,1 A e vC (0−
)=10 V , portanto há energia eletromagnética armazenada nos
elementos reativos, antes da aplicação da fonte de corrente.
Pedem-se:(a) iL(0
+
) , (b)
diL(0
+
)
dt
, (c) iL(t ≥ 0
+
) e (d) v(t ≥0
+
) .
Resposta (a) – por causa da inércia do indutor, para variação de corrente,
iL(0
+
)=iL(0
−
)=0,1 A .
Resposta (b) – como o indutor está sob a tensão inicial vC (0
+
)=10 V , teremos:
vL(0
+
)=L
d iL (0
+
)
dt
10=0,25
d iL(0
+
)
dt
, então
d iL(0
+
)
dt
=
10
0,25
ou
d (0+
)
dt
=40 A / s .
Resposta (c) - A expressão numérica da corrente instantânea no indutor, para t ≥0
+
será dada
por (15.39) iL(t)=If + D'1 t e−α t
+ D'2 e−α t
e as constantes D’1 e D’2 serão definidas
pelas equações:
iL(0
+
)=I f + D ’2 =0,1 1+ D '2 = 0,1 D'2 =−1+ 0,1 D'2 =−0,9 A .
Substituindo o valor de D’2 na expressão
d iL(0+
)
dt
=D ’1 −α D ’2 =40
D'1−[400(−0,9)]=40 D'1+360=40 D'1 =40−360 ou D’1 =−320 A .
Substituindo os valores encontrados, na expressão (15.39): iL(t)=1−320 t e
−400t
−0,9e
−400 t
A ,
t ≥0
+
, cujo gráfico é mostrado na Fig. 15-19.
26

Resposta (d) - v(t ≥0+
) Como a tensão instantânea do circuito vai depender do indutor, vamos
aplicar v(t )= L
d iL(t )
dt
v(t )=0,25[d (1−320 t e
−400 t
−0,9e
−400t
)
dt ] (15.47)
Processo de diferenciação: primeiro termo
d(1)
dt
=0 .
Segundo termo: constante fora e regra do produto: −320
[d
dt
(t) e−400t
+
d
dt
e−400t
(t)
] como
d(t)
dt
=1 , e pela regra da cadeia
d
dt
e
−400t
=−400 e
−400 t
, teremos −320[e
−400t
−400t e
−400t
]
ou −320e−400t
+128.000t e−400t
.
Terceiro termo −0,9
[d
dt
e
−400t
] , e pela regra da cadeia −400(−0,9) e
−400t
ou 360 e
−400t
.
Juntando os termos −320e
−400t
+128.000t e
−400t
+360e
−400t
e simplificando
128.000t e
−400 t
+40e
−400 t
substituindo na expressão (15.47)
v(t )=0,25(128.000 t e−400 t
+ 40 e−400 t
) ou v(t )=32.000 t e−400t
+ 10 e−400 t
V (15.48) .
Resultado que confirma a tensão inicial vC (0
+
)=10 V . Se fizermos t =0 na expressão
(15.48), teremos: v(0+
)=32.000 x0 x 1+ 10 x1 ou v(0+
)=10 V , conforme gráfico da Fig.
15-20.
27

15.3 - RESPOSTA DO CIRCUITO RLC EM SÉRIE NO REGIME NATURAL
A figura 15-21 deve ser entendida como a
representação do instante t =0
+
em que o circuito é
desconectado de uma fonte CC que o alimentava em
regime permanente, e então inicia-se o processo de
descarga, em regime natural, onde os elementos
reativos terão as suas condições anteriores:
• Corrente no indutor iL(0−
)=I0 ;
• Tensão no capacitor vC (0
−
)=V0 ;
No circuito em série, a variável a ser acompanhada é a corrente instantânea i(t) , que será uma
só através dos três componentes, a partir do “tempo zero”, até a dissipação total da energia
eletromagnética que estava armazenada nos elementos reativos.
Aplicando-se a (LTK) na malha, será montada uma EDO homogênea de 2a
ordem, com as tensões
individuais instantâneas, definidas em função da corrente instantânea, comum aos elementos.
vR (t)+ vL(t)+ vC (t)+ Vo =0 Ri(t )+ L
d i(t)
dt
+
1
C
∫
0
t
i(t)dτ +V o=0 diferenciando
R
d i(t )
dt
+ L
d2
i(t)
dt
2
+
1
C
i(t)=0 dividindo por “L” e ordenando:
d2
i(t)
dt
2
+
R
L
d i(t)
dt
+
1
LC
i(t )=0 (15.49) que tem forma idêntica à expressão (15.04), do
circuito em paralelo.
Fica evidente que as tensões individuais instantâneas serão definidas em função da corrente
instantânea.
28

A função exponencial i(t)= A e
r t
(15.50) é uma solução clássica da equação (15.49), sendo
r uma constante real e desconhecida, e A a amplitude relacionada com as condições iniciais
da corrente.
Se fizermos
d
2
i(t)
dt
2
=i″ e
di(t)
dt
=i' , e derivarmos (15.50), teremos: i' ' (t)= A r
2
e
r t
,
i' (t)= A r e
r t
.
Assim, vamos reescrever a EDOH (15.48) como: a( A r2
erx
) + b( A r erx
) + c(A erx
)=0 ou
[r
2
+(R
L )r +( 1
LC )]A e
r t
=0 (15.51) onde a equação de 2° grau entre parênteses é a “equação
característica” da EDO de 2a
. Ordem, com os coeficientes: a=1 b=
R
L
e c =
1
LC
.
As raízes da equação do 2° grau, serão: r1,2 =−
R
2 L
±
√( R
2 L)
2
−( 1
LC ) (15.52).
Se fizermos:
• α =
R
2 L
rd/ s (15.53) frequência Neperiana ou fator de amortecimento (diferente do
circuito em paralelo), onde o termo “b” da equação característica b=2α =
R
L
. O resistor
é o elemento dissipativo que garante o amortecimento da troca de energia entre os elementos
reativos.
• ω0 =
1
√LC
(15.09) frequência angular de ressonância (rd /s) (idêntica do circuito em
paralelo), onde o termo “c” da equação característica c =ω0
2
=
1
LC
.
A equação característica ficará: r2
+ 2α r +ω0
2
=0 (15.54) e as raízes serão:
r1,2 =
−2α ±√(2α )2
−4 ωo
2
2
ou r1,2 =−α ±√α 2
−ω o
2
rd/s ,idêntica do circuito em paralelo
(15.11).
Assim como no circuito em paralelo, no circuito em série há três respostas possíveis, em função da
relação entre os valores de α e ωo :
1. Resposta sobre amortecida (superamortecida) : quando α > ωo , teremos duas raízes
reais, negativas e distintas (7): r1,2 =−α ± √α 2
−ω o
2
rd /s e a corrente instantânea será dada
por i(t)= A1 e
r1 t
+ A2 e
r2 t
(15.55).
29

Aplicando-se t =0
+
na expressão (48) , com e
0
=1 , teremos: i(0
+
)= A1 .1+ A2 .1 ou
i(0
+
)= A1 + A2 (15.56).
Derivando (15.55)
d
dt
[ A1 e
r1 t
+ A2 e
r2 t
] , sendo
d
dt
e
rn t
=rn e
rn t
e e
0
=1 , teremos:
di(0
+
)
dt
= r1 A1 .1+ r2 A2 .1 ou
di(0
+
)
dt
= r1 A1 + r2 A2 .
Como em t =(0+
) s o indutor carregado passa a ser a fonte de alimentação e tende a manter a
corrente anterior de carga i(0−
) sobre os outros componentes, e com isso, há uma brusca
inversão da sua tensão (f.c.e.m.), que pode ser representada pela aplicação da LTK na malha:
vL(0
+
)=−vR(0
+
)−vC (0
+
) .
Como vL(0+
)=−L
di(0
+
)
dt
, então
di(0+
)
dt
=−
vL (0
+
)
L
=r1 A1 + r2 A2
(15.57).
Quando tivermos a tensão inicial do capacitor, a corrente inicial do indutor e as duas raízes reais,
poderemos determinar A1 e A2 , resolvendo o sistema das equações (15.56) e (15.57), e
assim, resolver a corrente instantânea (15.55).
A seleção do resistor, para atender esta condição é feita por: R>
2L
√LC
(15.58)
2. Resposta subamortecida: quando ωo >α .
A expressão (15.11) r1,2 =−α ±√α 2
−ωo
2
rd/s passa a ser escrita como:
r1 ,r2=−α ±√−( ωo
2
−α2
) rd/ s . Com o discriminante negativo, sua raiz quadrada só existe
no conjunto dos Complexos. O termo da raiz quadrada do discriminante passa a ser denominado
Frequência angular amortecida (dumpped) : ωd =√(ωo
2
−α2
) rd/ s (15.19). Assim, teremos
duas raizes complexas e conjugadas (15.20) e (15.21): r1, r2 =−α ± jωd rd /s e a corrente
instantânea, assim como a tensão instantânea no circuito em paralelo, será dada por:
i(t)=B1 e
−α t
cosω d t + B2 e
−α t
senω dt ou i(t)=e
−α t
[B1 cosωd t + B2 senωd t] (15.59)
onde as constantes B1 e B2 são obtidas resolvendo-se o sistema com as equações (15.60) e
(15.61), com os respectivos valores iniciais dados.
Aplicar t =0+
na expressão (15.59) com cos0=1 e sen 0=0 :
i(0+
)=e−α 0
[B1 cosωd 0+ B2 senωd 0] i(0+
)=1.B1.1 + 0 ou i(0+
)=B1 (15.60).
30

A derivada da expressão (15.59) expandida é idêntica à derivada da expressão (15.38) o que, por
analogia, quando aplicado t =0
+
, nos dará a expressão
di(0+
)
dt
=−
vL (0
+
)
L
=−α B1 +ωd B2 (15.61).
A seleção do resistor, para atender esta condição é feita por: R<
2L
√LC
(15.62).
3. Resposta criticamente amortecida: quando α =ωo , teremos duas raízes rais, negativas e
iguais (15.30) r1 =r2=−α =−
R
2 L
e a corrente instantânea dada por
i(t)= D1 t e
−α t
+ D2 e
−α t
(15.63) onde as constantes D1 e D2 são obtidas resolvendo-se o
sistema com as equações (15.64) e (15.65), com os respectivos valores iniciais dados.
Aplicar t =0+
na expressão (15.63), com e0
=1 i(0+
)=0+ D2 .1 ou i(0+
)= D2
(15.64).
A derivada da expressão (15.63) é idêntica à derivada da expressão (15.39) , o que, por analogia,
quando aplicado t =0+
, nos dará a expressão
di(0
+
)
dt
=
vL (0+
)
L
=D1 −α D2 (15.65).
A seleção do resistor, para atender esta condição é feita por: R=
2 L
√LC
(15.66).
Nos circuitos em série, a tensão instantânea de cada elemento pode ser determinada a partir da
corrente instantânea.
Quando é dado um circuito RLC em série, com condições iniciais completamente “zeradas”
iL(0
−
)=0 A vC (0
−
)= 0V , a sua análise mostrará somente o tipo da resposta
transitória.
Se são fornecidos valores iniciais, podemos também determinar as expressões numéricas e
traçar gráficos da corrente e das tensões individuais.
31

15.4 – RESPOSTA DO CIRCUITO RLC EM SÉRIE SUBMETIDO A UM DEGRAU
A figura 15-22 representa um circuito com elementos ideais em série, com a chave na posição 1,
que representa um instante anterior t =0−
, fechando um curto circuito na malha, zerando toda a
energia armazenada nos elementos reativos após t ≥5τ .
A figura 15-23 representa o instante t =0
+
, em que a chave é comutada para a posição 2,
conectando a fonte, as condições iniciais serão: iL(0
+
)=0 A e vC (0
+
)=0V e as tensões em
cada elemento se relacionarão de acordo com a LTK.
A aplicação do degrau de tensão faz com que o indutor reaja contra a variação de corrente,
mantendo i(0
+
)=0 A , mas a derivada da corrente é altíssima e vai provocar um pico de tensão
autoinduzida (f.c.e.m. - força contra eletromotriz), com sentido contrário à corrente, dada por
32

vL(t )=−L
d i(t)
dt
e pela LTK da malha, com vC (0+
)=0V , teremos −vL(0+
)+ Vf =0 V
ou Vf = vL(0
+
) . Lembrar que a reatância indutiva, que impede a variação rápida da corrente no
indutor, é decorrente da f.c.e.m. (ver capítulo 7 – Indutores).
No instante seguinte, dois eventos ocorrem simultaneamente:
1. A corrente de carga no indutor, com um resistor em série, será a corrente do circuito, que
inicia um incremento: iL (t)=
Vf
R
(1−e
−
t
τ
) onde τ =
L
R
. O indutor integra a
tensão aplicada em seus terminais para incrementar a corrente iL(t)=
1
L
∫
0
t
vL(t)dt , e
estará carregado quando a corrente for máxima e a tensão autoinduzida for zero
−vL(t )=0 V (o indutor carregado é um “curto circuito” para CC). Pela LCK, durante o
processo de carga, teremos iL(t)=
Vf
R
−iC (t) , e quando iC (t)→ 0 A , então
iL(t)→
V f
R
, até que iC (t)=0 A , o que leva ao colapso da corrente, e a tensão estará
totalmente sobre o capacitor.
2. A tensão instantânea de carga do capacitor com um resistor em série, inicia o incremento
exponencial, conforme vC (t )=Vf (1−e
−
t
τ
) , onde τ =RC . O capacitor integra sua
corrente para incrementar sua tensão vC (t )=
1
C
∫
0
t
iC (t)dt , e estará carregado quando a
tensão for máxima e a corrente zerar iC (t)=0 A (o capacitor carregado é um “circuito
aberto” para CC.), o que implicará em vR(t)=0 V e vL(t )+ vC (t)=Vf , e quando
vL(t )=0 V , então vC (t )=Vf .
A relação entre as constantes de tempo do indutor e do capacitor definirá como esse processo
poderá ou não convergir para um estado estacionário.
As expressões para este caso são obtidas também a partir da EDO não homogênea, montada com as
tensões de cada elemento, em função da LTK, e lembrando que α =
R
2 L
rd/s (15.53) e
ω0 =
1
√LC
rd /s (15.09).
A grandeza a ser investigada é a tensão instantânea do capacitor vC (t ) , onde teremos três
expressões, de acordo com a resposta do circuito:
33

• Resposta superamortecida com α > ωo vC (t )=Vf + A'1 er1 t
+ A '2 er2 t
(15.67).
Para t =0+
e sendo e0
=1 , a expressão (15.67) ficará: vC (0+
)=V f + A'1.1+ A '2.1 ou
vC (0
+
)=V f + A'1 + A'2 (15.68) .
Derivando a expressão (15.67) , sendo
d
dt
V f =0 e
d
dt
ern t
=rn ern t
, teremos:
d vC (t )
dt
= A’1 r1er1 t
+ A ’2 r2 er1 t
. Para t =0
+
e sendo e
0
=1 ,
d vC (0+
)
dt
= A’1 r1.1 + A’2 r2.1 ou
d vC (0+
)
dt
= A’1 r1 + A’2r2 (15.69).
se
d vC (0+
)
dt
=0 , então A ’1 r1 − A’2r2=0 ou A ’2 =
A’1r1
r2
Raízes da equação característica: r1,2 =−α ± √α 2
−ω o
2
rd /s (15.11).
• Resposta subamortecida com ωo > α
vC (t )=Vf + B'1 e
−α t
cosωd t + B '2 e
−α t
senωd t (15.70). Notar que as raízes da equação
característica estão implícitas nesta expressão, através de (15.19)
ωd =√(ωo
2
−α2
) rd/ s .
Para t =0+
e sendo e0
=1 , sen 0=0 e cos0=1 , a expressão (15.70) ficará:
vC (0+
)=V f + B'1 .1.1+ B'2 .1.0 ou vC (0+
)=V f + B'1 (15.71) .
A derivada da expressão (15.70) segue o mesmo modelo da derivada da expressão (15.38) o que,
por analogia, quando aplicado t =0+
, nos dará a expressão:
d vC (0+
)
dt
=−α B’1 + ωd B’2 (15.72).
Raízes da equação característica: r1, r2 =−α ± jωd rd /s (15.20) e (15.21)
• Resposta criticamente amortecida vC (t )=Vf + D '1 t e−α t
+ D'2 e−α t
(15.73).
Raízes da equação característica: r1 =r2=−α =−
R
2 L
(15.74)
Para t =0
+
e sendo e
0
=1 , a expressão (15.73) ficará:
34

vC (0+
)=V f + D'1 .0.1 + D '2 .1 ou vC (0+
)=V f + D '2 (15.75).
Derivar a expressão (15.73) segue o mesmo método da derivada da expressão (15.39) e ao
aplicarmos t = 0
+
teremos:
d vC (0+
)
dt
= D ’1 −α D’2 (15.76) .
Exemplo 12
Circuito RLC em série submetido a um degrau
O mesmo circuito da (Fig. 15-22) , com os elementos: Fonte de tensão Vf =1V , R= 1K Ω ,
L=0,01 H e C=1μ F .
−
)=0 A e vC (0
−
)=0V .
R
2 L
rd /s α =
1.000
2 x0,01
α =50.000rd/s .
1
√LC
ω0 =
1
√0,01x 0,000.001
ω0 =
1
√0,000.000.01
ω0 =
1
0,000.1
ω0 =10.000 rd/ s .
Como α > ωo , teremos duas raízes reais, negativas e distintas dadas pela expressão (15.11):
r1,2 =−α ±√α 2
−ω o
2
rd/s .
Solução: r1 =−50.000 + √50.0002
−10.0002
r1 =−50.000 + √2.400.000.000
r1 =−50.000 + 48.989.74 r1 =−1.010,26 rd/ s
r2 =−50.000−48.989,74 r2 =−98.989,74 rd/s
A tensão instantânea sobre o capacitor será obtida com a expressão (15.67):
vC (t )= Vf + A'1 e
r1 t
+ A '2 e
r2 t
.
Constantes dependentes das condições iniciais:
vC (0
+
)=V S + A '1 + A'2 (61). Se vC (0
+
)= 0 ,então A ’1 + A'2=−VS
(15.77) e
A ’1 =−V S − A'2 ou A ’1 =−1− A'2 (15.78).
De
d vC (0+
)
dt
= A’1 r1 + A’2r2 (15.69), se
d vC (0+
)
dt
=0 , então A ’1 r1 + A’2r2 =0 e
substituindo A ’1 , teremos: (−1− A’2)r1 + A’2r2 =0 −r1 − A’2r1 + A’2 r2=0
35

1.010,26+ 1.010,26 A’2 − 98.989,74 A’2 =0 1.010,26−97.979,48 A’2= 0 (-1)
−1.010,26+ 97.979,48 A ’2 =0 A ’2 =
1.010,26
−97.979,48
A ’2 =−0,010.311 substituindo em
(15.78) A ’1 =−1 + 0,010.311 ou A ’1 =−0,989689 .
Comprovando na expressão (15.77): A ’1 + A'2=−VS −0,989689−0,010.311=−1 .
Aplicando os valores na expressão (15.67) vC (t )=1−0,989689 e
−1.010,26t
−0,010311 e
−98.989,74t
.
A corrente do circuito, pela Lei de Ohm, será: i(t)=
vC (t)
R
i(t)=
1−0,989689 e
−1.010,26 t
−0,010311 e
−98.989,74t
1.000
ou
i(t)=0,001−0,000989689 e−1.010,26t
−0,000010311 e−98.989,74 t
.
Exemplo 13
Circuito RLC em série submetido a um degrau.
O mesmo circuito da (Fig. 15-22) , com os elementos: Fonte de tensão Vf =1V , R= 100Ω ,
L=0,01 H e C=1μ F .
−
)=0 A e vC (0
−
)= 0V .
Solução: Repete ω0 =10.000 rd/ s
R
2 L
rd /s α =
100
2 x0,01
α =5.000rd /s
Como ωo > α , a resposta será subamortecida, e a tensão instantânea no capacitor será:
vC (t )=Vf + B'1 e
−α t
cosωd t + B'2 e
−α t
senωd t (15.70). Notar que as raízes da equação
36

característica estão implícitas nesta expressão, através de ωd =√(ωo
2
− α2
) rd/ s (15.19)
ωd =√(10.000
2
−5.000
2
) ωd =√(100.000.000−25.000.000) ωd =√(75.000.000) ou
ωd =8.600,254 rd/ s .
Constantes dependentes das condições iniciais:
vC (0
+
)=V f + B'1 (15.71) . Se vC (0
+
)= 0 , então B’1 =−Vf ou B’1 =−1 V .
d vC (0
+
)
dt
=−α B’1 + ωd B’2 (15.72).
Se
d vC (0+
)
dt
=0 , então −α B’1 + ωd B’2 =0 B’2 =
α B’1
ωd
substituindo
B’1 =−Vf B’2 =
α (−Vs)
ωd
B’2 =
5.000(−1)
8.600,254
B’2 =−0,5813 V
Finalmente, vC (t )=1− e
−5.000 t
cos 8.600,254t −0,5813 e
−5.000t
sen 8.600,254 t ou
vC (t )=1− (cos 8.600,254 t − 0,5813 sen 8.600,254 t)e
−5.000t
V .
Exemplo 14
Circuito RLC em série submetido a um degrau.
O mesmo circuito da (Fig. 15-22) , com os elementos: Fonte de tensão Vf =1V , R=200Ω ,
L=0,01 H e C=1μ F .
Condições iniciais: iL(0−
)=0 A e vC (0−
)=0V .
37

Solução: Repete ω0 =10.000 rd/ s .
R
2 L
rd/s α =
200
2 x0,01
α =10.000rd/s .
Como ωo =α , a resposta será criticamente amortecida, e a tensão instantânea no capacitor
será: vC (t )=Vf + D '1 t e−α t
+ D '2 e−α t
(15.73).
Raízes da equação característica: r1 =r2=−α =−
R
2 L
(15.74) r1 =r2=−10.000 rd /s .
Variáveis dependentes das condições iniciais:
vC (0
+
)=V f + D '2 (15.75). Se vC (0
+
)= 0 , então D’2 =−V S ou D’2 =−1 V .
d vC (0+
)
dt
= D ’1 −α D’2 (15.76) . Se
d vC (0+
)
dt
=0 , D’1−α D ’2 =0
D’1 =α D’2 então D’1 =10.000(−1) ou D’1 =−10.000 V .
Da expressão (15.73) vC (t )=1−10.000 t e
−10.000 t
−1 e
−10.000t
V .
38

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