EQUAÇÕES TRANSCENDENTAIS E A FUNÇÃO LAMBERT

1. Análise de circuitos elétricos CC e CA Pedro Barros Neto
Equações transcendentais e a função Lambert.
São equações nas formas y =x .ex
e y =x ±ex
, ou que possam ser convertidas para essa
forma, com “y” determinado e Real.
A matemática por trás da função Lambert é extremamente complicada por exigir "expansões em
série" incomuns e complexas, e integrais de estilo transcendental que não são possíveis de resolver
sem um computador.
Por isso, não é uma tecla ou botão que pode ser pressionado na maioria das calculadoras. No
entanto, aplicativos de matemática como Symbolab, Wolfram Alpha e Mathematica, resolvem
problemas transcendentais usando a função Lambert “W” em segundo plano, bastando digitar a
expressão inicial dada.
Na figura LB – 01 temos a comparação do gráfico de uma função transcendental f (x)= x ex
(LB.01) com
x≥−1
y =−
1
e
=−0,367879
, comparada com a função exponencial f (x)=ex
, e
temos também a função inversa de Lambert, no ramo principal W0(xe
x
)= f
−1
(xe
x
) (LB.02)
com x ≥−
1
e
=−0,367879
y =−1
, comparada com a função logarítmica f (x)=ln x .
Propriedades que ajudam na manipulação preliminar:
1. W0 (x.e
x
)= x .
2. W0(0)=0 .
1

2. Análise de circuitos elétricos CC e CA Pedro Barros Neto
3. W0 '(0)=1 .
4. W0(1)≅ 0,567143 constante ômega (Ω) Ωe
Ω
=1 .
5. W0(e)=1
6. W e
n−x
=1
7. W0(
−1
e
)=−1 .
8. W0(
(−
1
2
)
ln2
)=− ln2
Os exemplos abaixo demonstram as manipulações preliminares, e o resultado final obtido com os
softwares matemáticos.
Exemplo 1: xe
x
=1 Aplicar a propriedade (1)
W0(xe
x
)=W0(1) ou x=W0(1) e com a propriedade
(4) W0(1)≈0,567143 ou Constante ômega.
Exemplo 2: xe
x
=2
Aplicar a propriedade (1) W0(xe
x
)=W0(2) x=W0(2) ou
x≈ 0,85260 .
2

3. Análise de circuitos elétricos CC e CA Pedro Barros Neto
Exemplo 3: x2
ex
=2 .
Aplicar raiz quadrada nos dois membros:
√x2
.ex
=±√2 . Como o domínio está em
x≥−
1
e
=−0,367879 , isso elimina –√2=−0,707 ,
portanto seguimos com:
x.e
x
2
= √2 . Manipular a expressão para aplicar a
propriedade (1): W0(x
2
.e
x
2
)=W 0(√2
2 ) e então,
teremos:
x
2
=W 0(√2
2 ) x=2W0(√2
2 ) ou
x≈ 0,9012... .
Exemplo 4: x + ex
=2 .
1. Separar a exponencial ex
=2− x (LB.03) e preparar para a forma Lambert, dividindo
(LB.03) pela exponencial:
e
x
ex
=
n− x
ex
ou 1=(n− x)e
−x
.
2. Multiplicar por e2
: 1.e2
=(2− x)e−x
e2
simplificar (2−x)e2− x
=e2
W [(2− x)e
2− x
]=W (e
2
) ou
2e2−x
− xe2−x
e2−x
=2− x e aplicar o operador W:
W [(2− x)e
2−x
]=W (e
2
) .
3. Reescrever a equação com u=(2− x) e
x=−u + 2 : W0[2−(−u+ 2)]eu
=W0 e2
W0[2+ u −2]e
u
=W 0 e
2
, passar para a forma
Lambert eu
u=e2
, aplicar a propriedade (1) para
obter u=W0 e
2
e voltar com a variável original:
(2−x)=W 0e
2
.
4. Isolar “x” x=2−W0(e
2
) ou x≈ 0,44285 .
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