3 Circuitos elétricos - resistores

Análise de circuitos elétricos CC e CA Pedro Barros Neto
3 RESISTORES
Resistor - elemento de circuito, passivo e dissipativo, cujas características elétricas são:
• Resistência Ω para uma determinada temperatura: com valor fixo ou variável.
• Potência W .
• Precisão do valor % .
• Tensão máxima.
• Forma construtiva.
• Material.
Uso em corrente alternada: dependendo da frequência e da forma construtiva, podem apresentar
reatância residual, tanto indutiva como capacitiva, diretamente proporcional à frequência.
Resistores variáveis
Os resistores variáveis podem ser utilizados em duas configurações (figura 3 - 01):
• Reostato – ligado em série com a carga, para controlar a corrente.
• Potenciômetro – ligado em paralelo com a carga, para controlar a tensão.
1a
Lei de Ohm: a queda de tensão sobre um resistor é função direta da corrente pela resistência.
Vd= I R I =
Vd
R
R=
Vd
I
2a
Lei de Ohm: Resistência elétrica (R): Grandeza que depende da resistividade do material a
20°C e das suas dimensões de volume: superfície transversal S em m² e comprimento l
em metro. Unidade de medida: Ohm (Ω) . Não há resistência elétrica negativa. R=ρ
l
S
.
Resistividade ρ (rô minúscula) - característica intrínseca dos materiais em restringir a corrente
elétrica. É definida para cada material, na temperatura de 20°C , e significa a resistência elétrica
de uma amostra com 1m de comprimento e secção de 1 m².
Unidade de medida: Ω.m Ohm * metro.
A resistividade dos materiais é dada em tabelas , assim como os respectivos valores do “Coeficiente
de temperatura” k
−1
, que é um fator a ser aplicado ao valor da resistividade ρ @20° C , caso
se queira o valor preciso da resistência em temperatura diferente.
A resistividade cresce linearmente com o aumento da temperatura, na maioria dos materiais. Os
materiais de exceção, que não variam linearmente, são denominados “não ôhmicos”.
1

Condutividade σ (sigma minúscula) – é o inverso da resistividade 1/ρ e é utilizado para
comparar os materiais condutores de forma diretamente proporcional.
Unidade de medida: S/m . Siemens por metro.
Características elétricas de alguns materiais ρ @20° C :
• Condutor
◦ Prata: ρ=1,6∗10
−8
Ωm σ=6,3∗10
7
Sm k
−1
=0,0038
◦ Cobre 1,68∗10−8
Ωm σ=5,96∗107
Sm k−1
=0,004
• Semicondutor (puro)
◦ Silício: 6,4∗102
Ωm σ=1,56∗10−3
S m k−1
=−0,075
• Isolante
◦ Vidro: 1∗1012
Ω m σ=1∗10−13
Sm
Materiais das resistências elétricas – devem ter baixa condutividade e boa capacidade de
dissipação térmica. Os mais utilizados:
• Composto de Carbono: ρ≈3,5∗10
−5
Ωm .
• Ligas metálicas de Níquel Cromo (Nicrhome): ρ≈1,5∗10−6
Ωm .
Potência do resistor P – Por ser um elemento dissipativo, sua potência é um fator limitador
para sua utilização. Um resistor com potência abaixo do necessário, vai aquecer em demasia e se
danificar, assim como os elementos no seu entorno. Os resistores de potência devem ser construídos
com liga metálica, serem providos de dissipadores e instalados em local ventilado. Se
considerarmos um elemento real de circuito, as expressões para o cálculo da potência em CC
são as mesmas para CA em baixa frequência, para valores eficazes de corrente ou tensão.
Unidade de medida: Watt W .
Potência em função da queda de tensão e do valor absoluto da corrente: P=Vd∗ I .
Potência em função da queda de tensão e da resistência: P=
Vd²
R
.
Potência em função da corrente e da resistência (efeito Joule): P=I
2
R .
3.1 - ASSOCIAÇÃO DE RESISTORES
Resistores em série - Configuração de divisor de tensão
• Resistência equivalente dada pela soma das resistências: REQ =R1+R2+...+Rn . E se as
resistências forem iguais: REQ =nR onde n é o número de resistores.
• Mesma corrente em todos os resistores:
IR1 =I R2= IRn =I
.
• A queda de tensão do resistor equivalente é a soma das quedas de tensão de cada resistor:
VdEQ =VdR1+VdR2+...VdRn ou VdEQ =IREQ .
2

• Queda de tensão sobre determinado resistor: obtida com a equação do divisor de tensão,
cuja dedução se inicia com a expressão da tensão (Lei de Ohm) num resistor qualquer:
VdRX = I RX (3.01) como no circuito com resistores em série, a corrente é única:
I =
VdEQ
REQ
(3.02) Substituindo (3.2) em (3.1), teremos: VdRX =
[VdEQ
REQ
]RX (3.03)
• Potência individual: PRX =I2
RX e PRX =
VdRX
2
RX
.
• Potência equivalente: soma das potências individuais Peq = PR1+PR2+...PRn .
Resistores em paralelo
Condutância G – nos circuitos resistivos em
paralelo a resistência equivalente diminui com o
aumento do número de resistores, ao que chamamos de
Condutância, que é o inverso da resistência. Unidade
de medida: Siemens S .
G =
1
REQ
=
1
R1
+
1
R2
+
1
Rn
Configuração de divisor de corrente:
• Resistência equivalente: REQ =
1
G
ou REQ =
1
1
REQ
será sempre menor do que o
menor valor individual da rede.
• Caso de somente dois resistores em paralelo:
G =
1
REQ
=
1
R1
+
1
R2
→mmc=(R1∗R2)→
1
REQ
=
(R2+R1)
(R1∗R2)
ou REQ =
R1∗R2
R1+R2
.
3

• Caso de todos os resistores iguais: REQ =
R
n
ou GEQ =
n
R
.
• Mesma tensão (V) sobre todas as resistências: V =
I
G
ou V =I REQ
• Como criam-se vários “caminhos” para a corrente, esta tende a crescer proporcionalmente
ao aumento da quantidade de resistores.
I = IR1 + IR2 + ... IRn ou I =
V
R1
+
V
R2
+ ...
V
Rn
como R=
1
G
temos: I =V∗G
• Corrente de determinado resistor: a equação do divisor de corrente é a expressão da
corrente (Lei de Ohm) para um resistor qualquer: IRX =
V
RX
(3.04)
• Potência individual: PRX =IRX
2
RX
• Potência equivalente: soma das potências
individuais Peq = PR1+PR2+... PR n
Associação mista de resistores (figura 3 - 04)
Utilizar os conceitos vistos anteriormente para cada tipo
de associação:
• resolvem-se os resistores em paralelo, e o resultado
soma-se aos resistores em série.
3.2 – SIMPLIFICAÇÃO DE REDES COMPLEXAS DE RESISTORES
3.2.1 - Redes planares - o objetivo é encontrar apenas um resistor equivalente, utilizando
alternadamente as técnicas abaixo:
1) - a partir da extremidade mais afastada da fonte, resolver associações em série ou em paralelo.
2) - verificar se há arranjos triângulo Δ ou estrela Y , e se necessário, transformá-los para
termos uma nova etapa conforme o item anterior.
Exemplo de simplificação de rede de resistores (figura 3 - 05):
Passo 1- resolver as resistências equivalentes
Neste circuito temos dois nós essenciais:
• Nó V1 : A corrente da fonte If 1 se divide em I1 , passando por R1 para o terra, e
I2 passando por R2 para o nó V2 e restante do circuito.
• Nó V2 : A corrente I2 é dividida em I3 passando por R3 para o terra, e I4 que
passa pela série R4+R5 .
Para resolver todas as correntes precisamos conhecer:
4

• A resistência equivalente REQ(V 2) “vista” pelo nó V2 .
• A resistência equivalente REQ(V 1) “vista” pelo nó V1 , que será a resistência
equivalente total, “vista” pela fonte If 1 .
REQ(V 2) =(R4+R5) ∥ R3 REQ(V 2) =(7+8) ∥ 6 REQ(V 2) =15 ∥ 6 ou REQ(V 2) =4,29Ω .
REQ(V 1) =(REQ(3)+R2)∥R1 REQ(V 1) =(4,29+5)∥4 REQ(V 1) =(9,29)∥4 ou REQ(V 1) =2,8Ω .
Passo 2 – calcular a tensão V 1 : V1 =If 1 REQ(V 1) V1 =8 x 2,8 ou V1 =22,4V .
Passo 3 – calcular as correntes I1 e I2 :
utilizando o método do divisor de corrente no
nó V1 , conforme figura 3 - 06, teremos:
I1 =
If 1 REQ(V 1)
R1
I1 =
V1
R1
I1 =
22,4
4
ou I1 =5,59 A .
I2 =
If 1 REQ(V 1)
REQ(V 2) + R2
ou I2 =
22,4
4,29+ 5
I2 =
22,4
9,29
ou I2 =2,41 A .
Aplicando a LCK no nó V1 , teremos: I1 + I2=If 1 ou 5,59 A + 2,41 A =8 A .
Passo 4 – calcular a tensão V2 : V2 =I2 REQ(V 2)
V2 =2,41 x 4,29 ou V2 =10,34V .
Passo 5 – calcular as correntes I 3 e I 4 :
utilizando o método do divisor de corrente no nó V2 ,
conforme figura 3-07, teremos:
I3 =
REQ(V 2) I2
R3
I3 =
V 2
R3
I3 =
10,34
6
ou
5

I3 =1,72 A .
I4 =
REQ(3) I2
(R4+R5)
ou I4 =
V2
(7+8)
I4 =
10,34
15
ou I4 =0,69 A .
Aplicando a LCK no nó V2 , teremos: I3 + I4=I2 ou 1,72 A + 0,69 A=2,41 A
Passo 6 – Com a Lei de Ohm, calcular as quedas de tensão nos resistores
V dR1 =I1 R1 VdR3 =5,6 x 4 ou V dR3 =22,4V , que é o mesmo valor de V1 .
VdR2 =I2 R2 VdR2 =2,41 x5 ou VdR2 =12,05V .
V dR3 = I3 R3 VdR3 =1,72 x6 ou V dR3 =10,3V , que é o mesmo valor de V2 .
VdR4 = I4 R4 VdR4 =0,69 x7 ou VdR4 =4,83V .
V dR5 = I4 R5 VdR5 = 0,69x 8 ou V dR5 =5,5V .
Passo 7 – balanço de potência
Da fonte de corrente na condição de fornecedora: pela LTK da malha 1, considerando a elevação de
tensão sobre a fonte de corrente, será VrIf 1 =−V1 ou VrIf 1 =−22,4 V , e então:
PIf 1=Vr If 1 PIf 1=−22,4 x8 ou PIf 1=−179,2W .
Da resistência equivalente: PREQ(V 1) =I ²RREQ (V 1) PREQ(V 1) =8
2
x 2,8 ou
PREQ (V 1) =179,2W .
O circuito resolvido está na figura 3 – 08:
6

3.2.2 - Ponte de Wheatstone
É um arranjo especial de quatro resistores com a configuração padrão de um losango. Criado por
Charles Wheatstone (Inglaterra) para medir o valor de uma resistência desconhecida. É um circuito
muito utilizado em instrumentação.
Em termos práticos, trata-se do arranjo em paralelo de dois grupos, cada um com dois resistores em
série. Sua característica principal é que se essa rede de resistores tiver uma relação de
proporcionalidade correta, a tensão entre os pontos V2 e V3 , será zero: não haverá corrente
entre eles, e a ponte estará em equilíbrio.
Vamos analisar o circuito da figura 3 – 09,
alimentado por uma fonte de corrente ideal e
independente:
• V1 : ponto comum de junção dos dois
braços em paralelo, onde é aplicada saída
da fonte de corrente.
• V2 : ponto intermediário entre os resistores em série do braço esquerdo.
• V3 : ponto intermediário entre os resistores em série do braço direito.
• ▽ : potencial de “terra”, comum aos dois braços em paralelo e à entrada da fonte de
corrente.
Relação de proporcionalidade entre os resistores
A rede estará em equilíbrio quando: R1×R4 =R2×R3 .
Cálculo de correntes e tensões nos resistores da ponte em equilíbrio
Quando a alimentação é feita por uma fonte de corrente independente, teremos que calcular o valor
da tensão no ponto V1 , e para isso vamos precisar do valor da resistência equivalente REQ da
ponte que é o resultado do paralelo da soma dos resistores dos dois braços:
REQ =(R1 + R3)∥(R2 + R4) .
A tensão no nó V1 , será: V1 =IS REQ .
Nota: Se a alimentação é feita por uma fonte de tensão independente, a tensão no ponto V1 já
estará definida, o que facilitará o cálculo das correntes e respectivas quedas de tensão em cada
braço e em cada resistor.
VdR1 =R1 I1 VdR2 =R2 I2 V dR3 =V2 =R3 I1 VdR4 =V3 =R4 I2 .
Análise de uma ponte alimentada com fonte de corrente (figura 3-10):
Compatibilidade das unidades de medida: os resistores são dados em K Ω e a corrente em
miliampere 10−3
A , assim: 103
Ω x 10−3
A =100
V onde 100
=1 .
7

Passo 1 – Verificar a condição de equilíbrio da ponte:
R1×R4 = R2×R3 4×12=8×6 ou 48=48 .
Passo 2 – Calcular REQ: REQ =(R1 + R3)∥(R2 + R4)
REQ =(4 + 6)∥(8 + 12) REQ =(10)∥(20)
REQ =
10x 20
10+20
REQ =
200
30
ou REQ =6,6667 K Ω .
Passo 3 - Calcular a tensão no ponto V1 :
V1 =I REQ V1 =120mA x 6,6667K Ω ou
V1 =800 V .
Passo 4 – Aplicando a Lei de Ohm, calcular: I1 =
V1
(R1 + R3)
e I2 =
V1
(R2 + R4)
I1 =
800
10.000
ou I1 =80mA e I2 =
800
20.000
ou I2 =40mA .
Prova com a LCK do nó V1 : If 1 =I1 + I2 ou 120 A =80 A + 40 A .
Passo 4 – Calcular as tensões dos nós V2 e V3 (que deverão ser iguais):
V2 =80mA x 6 K Ω=480 V e V3 =40mA x 12 K Ω =480 V .
3.2.3 - Arranjos resistivos Triângulo Δ e Estrela Y
Por serem tripolares, estes dois arranjos de
resistores fogem dos tradicionais arranjos de
dipolos em série, em paralelo ou mistos.
Quando encontrarmos redes complexas de
resistores onde apareçam pontos (nós) de
junção intermediários, aparentemente sem
solução, podemos estar de frente com um
destes arranjos. Sempre é possível simplificar
uma rede com estes arranjos, convertendo o
tipo encontrado no outro tipo.
Para o processo de conversão é necessário ordenar a disposição dos resistores dos dois arranjos (fig.
3 – 11), de forma que os resistores com mesmo número de ordem fiquem opostos e que cada
terminal da estrela fique com a mesma letra de identificação dos terminais do triângulo.
A identificação dos resistores dos dois grupos deve aparecer sempre no mesmo sentido, e pode ser
convencionada como:
• Triângulo: Rn maiúsculo seguido pelo número de ordem.
8

• Estrela: rn minúsculo seguido do número de ordem.
O processo de conversão consiste em encontrar as três resistências equivalentes entre cada dois
terminais consecutivos de cada arranjo, e depois igualar as equações dos dois arranjos.
Arranjo triângulo – cada lado do triângulo fica entre um par de terminais com um resistor, que deve
ser associado em paralelo com o equivalente à soma dos dois resistores opostos. Por isso, o cálculo
da resistência equivalente, de cada lado do triângulo, é feito com a fórmula da associação de dois
resistores em paralelo:
RAB =
R3 x (R1 + R2)
R3 +(R1 + R2)
ou RAB =
(R3 x R1) +(R3 x R2)
R1 + R2 + R3
.
RBC =
R1 x (R2 + R3)
R1 +(R2 + R3)
ou RBC =
(R1 x R2)+(R1 x R3)
R1 + R2 + R3
.
RCA =
R2 x (R3 + R1)
R2 +(R3 + R1)
ou RCA =
(R2 x R3) +(R2 x R1)
R1 +(R2 + R3)
.
Arranjo estrela: - Entre cada dois polos aparece um par de
resistores em série, desprezando-se o terceiro resistor:
rAB =r1 + r2 rBC =r2 + r3 rCA =r3 + r1
Igualando-se as expressões de cada par de terminais, e resolvendo-se os sistemas de equações,
poderemos fazer as respectivas conversões, adotando as seguintes fórmulas e regras práticas:
Conversão triângulo / estrela:
O resistor de cada ponta da estrela é igual ao produto dos dois resistores vizinhos do triângulo,
dividido pela soma dos seus três resistores. Notar que alteram-se apenas os numeradores.
r1 =
(R2 x R3)
R1 + R2 + R3
(3.05) r2 =
(R1 x R3)
R1 + R2 + R3
(3.06) r3 =
(R1 x R2)
R1 + R2 + R3
(3.07).
Conversão estrela / triângulo:
O resistor de cada lado do triângulo é igual à razão entre a “soma dos produtos dos três pares de
resistências da estrela”, e a resistência oposta da estrela. Notar que só alteram-se os denominadores.
R1 =
(r1 xr2)+(r2 xr3)+(r3 xr1)
r1
, R2 =
(r1 xr2)+(r2 xr3)+(r3 xr1)
r2
e
R3 =
(r1 xr2)+(r2 xr3)+(r3 xr1)
r3
.
9

Exemplo 1: Usar a conversão triângulo/estrela para achar a resistência equivalente do circuito dado
na figura 3 – 13:
O circuito dado é uma ponte de Wheatstone com um resistor central, o que dá ao circuito o arranjo
de dois triângulos colaterais. Esta configuração pode ser transformada em duas estrelas opostas, o
que facilitará a simplificação com arranjos em série e paralelo, até achar a resistência equivalente.
Para facilitar a identificação dos resistores,
adotou-se a denominação de Δ A para o
triângulo superior e Δ B para os resistores
do triângulo inferior. Por consequência, as
estrelas também assumem essa sistemática
de identificação. A soma dos resistores do
dois triângulos jé é dada no desenho, para
simplificar os cálculos, com as fórmulas
(3.05), (3.06) e (3.07).
Calcular a resistência equivalente do
circuito dupla estrela:
Estrela “A”
Com a fórmula (3.05): r1 A =
(R2 A x R3 A)
15
r1 A =
(4 x 3)
15
r1 A =
12
15
ou r1 A =0,8Ω .
(R1 A x R3 A)
15
r2 A =
(8 x 3)
15
r2 A =
24
15
ou r2 A =1,6Ω .
(R1 A x R2A)
15
r3 A =
(8 x 4)
15
r3 A =
32
15
ou r3 A =2,133Ω .
Estrela “B”:
Com a fórmula (3.05): r1B =
(R2B x R3B)
19
r1B =
(6 x 5)
19
r1B =
30
19
ou r1B = 1,579Ω .
(R1B x R3B)
19
r2B =
(8 x 5)
19
r2B =
40
19
ou r2B = 2,1Ω .
(R1B x R2B)
19
r3B =
(8 x 6)
19
r3B =
48
19
ou r3B =2,52Ω .
Vamos associar em série, os dois resistores dos braços f e g :
Braço(f )=r3 A +r2B Braço(f )=2,13+ 2,10 ou Braço(f )=4,23Ω .
Braço(g)=(r2 A + r3 B) Braço(g)=1,6 + 2,52 ou Braço(g)= 4,12Ω .
10

Fazer o paralelo dos dois braços: f ∥g=
4,23 x 4,12
4,23 + 4,12
f ∥g=
17,4276
8,35
ou f ∥g=2,08Ω .
A resistência equivalente A→B será a soma de f ∥g com os dois resistores r1 A e r1B :
REQ =r1 A +(f∥g)+ r1 B REQ =0,8 + 2,08+ 1,579 e finalmente: REQ =4,46Ω .
Exemplo 2 (figura 3 - 14): achar REQ entre os pontos a e b da pirâmide de resistores
iguais, com R=2Ω .
Primeiro passo - figura 3 – 15 (1): excluir o triângulo C , com
a técnica de série e paralelo, e achar R( y, z)=(2+2) ∥ 2
R( y, z)=
(4 x2)
(4+2)
R( y, z)=
8
6
R( yz) =1,33Ω .
Segundo passo - figura 3 – 15 (2):
Converter triângulo A em estrela A , onde o resistor de cada
“ponta” da estrela é dado por:
r(pontaY ) =
produtodosresistores dovértice Δ
somadosresistoresΔ
.
soma dos resistores Δ A : 2+2+2=6Ω . Como os resistores dados são iguais, todos os outros
resultados de conversão para estrela serão iguais ao resistor da “ponta” s , y , então:
r(s, y) =
2 x2
6
r(s, y) =
4
6
ou
r(s, y) =0,667Ω .
Resistor da ponta b r(s,b) =0,66Ω
Resistor da ponta x r(s, x)=0,66Ω
Converter triângulo B em estrela B :
Resistor a ponta z r(z,t) =0,66Ω
Resistor da ponta x r(x ,t) =0,66Ω
Resistor da ponta a r(a, t)=0,66Ω
Terceiro passo figura 3 – 15 (3): simplificar a malha entre os nós s e t
R(s,t)=(0,66+1,33+0,66) ∥ (0,66+0,66) R(s,t)=
2,65x 1,32
2,65+1,32
R(s,t)=
3,498
3,97
ou
R(s,t)=0,88Ω .
Quarto passo: simplificar entre (a) e (b) para achar REQ =0,66 + 0,88 + 0,66 ou
11

REQ =2,2Ω .
3.3 - ANÁLISE DE CIRCUITOS RESISTIVOS POR SIMETRIA
Calcular a resistência equivalente entre os nós a e b do circuito dado na figura 3 - 16, onde
todos os resistores são iguais a “R”.
Como os resistores são iguais, vamos focar na técnica da simetria. Se aplicarmos uma tensão Vf
sobre a e b , teremos a mesma queda de tensão sobre os resistores Rac e Rad ,
portanto, a tensão dos nós c e d serão iguais, e não haverá corrente entre esses nós. Isso
permite que o resistor Rcd seja excluído do circuito e os nós c e d fiquem separados ou
em curto, que não haverá diferença no circuito.
Opção 1 – Req(a, b) = R ∥ [(R+R) ∥ (R+R)] Req(a, b) =R ∥ [2 R ∥ 2 R]
Req(a, b) =R ∥ [
2R x 2R
2 R+2 R
] Req(a, b) =R ∥ [
4 R ²
4 R
] Req(a, b) =R ∥ R (1) Req(a, b) =
R x R
2R
Req(a, b) =
R²
2 R
ou Req(a, b) =
R
2
(3.08).
Opção 2 – Req(a, b) =R ∥ 2(R ∥ R) Req(a, b) =R ∥ 2(
R ²
2R
) Req(a, b) =R ∥ (
R²
R
) ou
Req(a, b) =R ∥ R o que nos levará ao mesmo resultado da opção 1.
Para calcular a corrente total: I =
Vf
Req
substituindo REQ da expressão (3.08) I =
2Vf
R
.
12

Na opção 1, a corrente total é dividida em três ramos:
• Ramo a→b , com um só resistor: I(a,b)=
Vf
R
que é a metade da corrente total.
• Ramos a→d→b=a→c→b : R(a, d, b) =2R e I(a,d ,b) =
Vf
2R
Na opção 2, a corrente total é dividida somente em dois ramos:
• Ramo (a,b), com um só resistor: I(a,b)=
Vs
R
• Ramo superior, com o curto entre os nós (c) e (d) e pela expressão (3.16) R(a, cd, b) = R , e
assim, I(a,cd ,b) =
Vs
R
Exemplo: aplicar uma fonte auxiliar de tensão Vf =5V nos vértices a→b , atribuir o valor de
1Ω para cada resistor, e verificar os valores no simulador de circuitos:
Req(a, b) =
R
2
Req(a, b) =
1Ω
2
Req(a, b) =0,5Ω .
I =
2Vs
R
I =
2x 5
1
I =10 A
Nas duas opções do resistor Rcd , vistas acima, teremos
sempre o ramo inferior a→b , com um só resistor:
I(a,b)=
Vs
R
I(a,b)=
5
1
ou I(a,b)=5 A , que é a
metade da corrente total.
Opção 1 e 2 – a corrente em cada um dos dois braços
superiores, tanto separados como em curto entre os nós
c e d , será: I(a,d ,b) =
5
2x 1
I(a,d ,b) =2,5 A .
Por simetria, I(a,c , b) =2,5 A , então a corrente nos dois braços será 5A, que é a soma das duas
correntes.
Lembrar que não há corrente no resistor Rcd .
Queda de tensão sobre os resistores:
Vd(a,c) = I(a,c) R(a, c) Vd(a,c) =2,5 x1 ou Vd(a,c) =2,5V que é a mesma tensão nos outros
resistores.
Balanço de potência
A potência fornecida pela fonte será: PVf =−Vf I PVf =−5V x10 A PVf =−50W .
13

Potência no resistor equivalente Rab : PRab =I2
R(a, b) PRab =102
x 0,5 PRab =50W .
Cubo com resistores iguais a R em todas as arestas
Caso 1 - calcular REQ Entre os nós de uma diagonal principal (Fig. 3 - 19)
Vamos supor que há uma fonte independente de tensão Vf conectada sobre os nós a e f ,
que são as extremidades de uma diagonal principal do cubo de resistores mostrado na figura acima,
e essa distribuição oferece uma simetria perfeita para a rede resistiva.
Pela LCK , a corrente I entra no nó a e de divide igualmente nos três braços: a→b ,
a→d e a→h , portanto, em cada braço de entrada, a corrente será
I
3
A , e com isso a queda
de tensão será igual nos três resistores amarelos, e os nós b , d e h terão o mesmo
potencial.
O mesmo ocorrerá no lado oposto, nos três braços de saída que convergem para o nó f : c→f ,
e→f e g→f , e em cada braço a corrente também será
I
3
A , provocando queda de tensão
igual nos três resistores de cor verde, e com isso, os nós c , e e g terão o mesmo potencial.
Sabe-se que, por simetria, os nós com a mesma tensão podem ser conectados em curto, pois não
haverá corrente entre eles, e isso simplifica a representação planar do circuito, com uma série de
três grupos de resistores em paralelo.
O grupo intermediário tem seis resistores, portanto é fácil perceber que cada resistor intermediário
vai conduzir
I
6
A .
O valor de REQ pode ser encontrado por:
a) A soma das resistências parciais dos três grupos de resistores em paralelo.
b) A perfeita simetria permite utilizar a LTK.
a) – considerando que o resultado de n resistores iguais em paralelo é: Rparc =
R
n
teremos:
14

REQ =
R
3
+
R
6
+
R
3
(m.m.c = 6) REQ =
2 R+R+2 R
6
REQ =
5 R
6
ou REQ =0,8334 R .
b) - pela LTK: Sendo Vf = IREQ
IREQ =
I
3
R+
I
6
R+
I
3
R (m.m.c. = 6) IREQ =
2(IR)+IR+2(IR)
6
6 IREQ =5IR REQ =
5IR
6 I
REQ =
5
6
R ou REQ =0,8334 R .
Exemplo (Fig. 3 – 20) : com R= 2Ω e uma fonte auxiliar de tensão independente de 5V .
REQ =0,833∗2Ω ou
REQ =1,667Ω . Então I =
Vf
Req
I =
5V
1,667Ω
ou I = 3 A
Caso 2 - calcular REQ numa
aresta (Fig. 3 – 21):
Vamos supor que há uma fonte
independente de tensão Vf
conectada sobre os nós b e a ,
que são as extremidades da aresta do
cubo de resistores mostrado na figura
acima. Esta configuração já tem outra
simetria, em relação ao exemplo anterior, portanto, teremos que dar atenção a este aspecto, para
seguir o caminho das correntes, que vai definir o arranjo planar do circuito.
• A corrente I entra no nó b e se divide em três resistores, onde a maior parte vai fluir
no resistor branco, da aresta b→a , que está sob a tensão da fonte.
• O restante da corrente vai fluir pelos outros resistores do cubo, e será dividida igualmente
nos resistores bege b→c e b→e , na face superior do cubo, o que fará com que os nós
c e e tenham a mesma tensão, que chamaremos de V1 , por isso podem ser
colocados em curto, e os dois resistores ficarão em paralelo.
• Por simetria, os nós d e h , na face inferior do cubo, terão tensões iguais, que
chamaremos de V2 e os dois resistores verdes ficarão também em paralelo.
• A tensão de V1 será maior do que a tensão em V2 .
• Entre os nós V1 e V2 teremos dois resistores marrons em paralelo, interligando as
faces superior e inferior do cubo.
15

• Do nó V1 para o nó f , na face superior, teremos dois resistores azuis em paralelo, e
por simetria, do nó V2 para o nó g , na face inferior, teremos dois resistores cinza,
também em paralelo.
• O resistor amarelo, entre os nós f e g , no vértice oposto ao vértice de entrada, ficará
em paralelo com os dois resistores marrons e também com o resistor branco, do vértice de
entrada.
Para calcularmos a REQ , vamos planificar o circuito com as informações acima, iniciando a
simplificação pelo final da malha plana, calculando Rparc entre os nós V1 e V2 .
Considerando que o resultado de dois resistores iguais em paralelo é
R
2
=0,5 R , teremos:
R parc(V 1→V 2)={R(V 1→ f)+R(f → g)+R(g→ V 2)} ∥ R(V 1→V 2) com isso teremos:
R parc(V 1→V 2)={0,5 R+R+0,5R} ∥ 0,5R R parc(V 1→V 2)=2R ∥ 0,5 R
R parc(V 1→V 2)=
2 R x0,5 R
2R+0,5R
R parc(V 1→V 2)=
R
2,5 R
ou R parc(V 1→V 2)=0,4 R . Agora
vamos calcular REQ , entre os nós a e b :
REQ ={R(b→V 1)+R parcial(V 1→V 2) +R(V 2→a)} ∥ R(a→b) REQ =0,5 R+0,4 R+0,5 R ∥ R
REQ =1,4 R ∥ R REQ =
1,4 R
2,4 R
REQ =0,5833 R .
Exemplo (Fig. 3 - 22): com R = 2 Ω e
uma fonte auxiliar de tensão
independente de 5V.
REQ =0,5833 x2Ω ou
REQ =1,1666Ω . Então
16

i=
Vs
Req
i=
5V
1,1666Ω
ou i= 4,285 A .
Corrente no resistor da aresta (b,a): i(b,a) =
Vs
R
i(b,a) =
5V
2Ω
ou i(b,a) =2,5 A .
Caso 3 - calcular REQ Entre os nós de uma diagonal secundária (Fig. 3 – 23):
Vamos supor que há uma fonte independente de tensão Vf conectada sobre os nós a e f ,
que estão na diagonal da face superior do cubo de resistores, mostrado na figura 3 - 23. Para
definirmos a configuração planar deste circuito precisamos seguir o caminho das correntes: um
caminho mais curto, pela face superior, e outro mais longo, pela face inferior.
• A corrente I entra no nó a e se divide em três resistores, onde a maior parte vai fluir
pelos dois resistores amarelos, da face superior, pois estão “mais próximos” dos terminais da
fonte de tensão, e os nós e e b terão a mesma tensão.
• O restante da corrente de entrada vai fluir pelo resistor rosa a→d , para a face inferior,
onde se dividirá em duas correntes iguais nos resistores verdes a→d e d→c , o que
fará com que os nós c e h também tenham a mesma tensão.
• Por simetria, os nós e , b , c e h estão a meio caminho de todas as correntes, o
que implicará que suas tensões terão metade do valor da tensão da fonte, e esses quatro nós
podem ser fechados em curto, formando um nó que denominaremos V /2 . Esse
procedimento vai eliminar os resistores brancos e→h e b→c .
Para calcularmos a REQ , vamos planificar o circuito com as informações acima, iniciando a
simplificação calculando Rparc entre V /2 e f :
Considerando que o resultado de dois resistores iguais em paralelo é
R
2
=0,5 R , teremos:
R parc(V /2→f )=[R(ef ) ∥ R(bf )] ∥ {[ R(hg) ∥ R(cg)]+R(gf )}
R parc(V /2→ f )= [0,5 R] ∥ [0,5 R+R] R parc(V /2→f )= [0,5 R ∥ 1,5R]
R parc(V /2→f )=
(0,5∗1,5)R
(0,5+1,5) R
R parc(V /2→f )=
0,75R
2R
R parc(V /2→ f )=0,375 R
por simetria, R parc(a→V /2)=0,375 R onde REQ = Rparc (a→V /2)+Rparc (V /2→f )
17

REQ =0,375 R+0,375 R ou REQ =0,75 R .
Exemplo da (Fig. 3 – 24): com R=2Ω e uma fonte auxiliar de tensão independente de 5V .
REQ =0,75∗2Ω ou REQ =1,5Ω . Então I =
Vs
REQ
I =
5V
1,5Ω
ou I = 3,33 A .
Malha plana infinita com resistores iguais R da (Fig. 3 – 25):
Vamos supor que há uma fonte de tensão VS conectada sobre os nós +VS e 0V , no centro
da malha infinita de resistores, mostrada na figura (3 – 25). Vamos definir os sentidos das correntes
nos resistores ao redor do resistor sob a tensão da fonte, doravante denominado de RA .
A corrente I1 , que flui nesse resistor tem caminho mais curto, e seu valor sempre será:
I(RA)=
VS
R
.
Em seguida temos a corrente I2 , circulando
simetricamente nas duas malhas vizinhas e
paralelas ao resistor RA . Nessas duas malhas,
os nós simétricos verticalmente ao borne +Vf
serão denominados V1 , e terão a mesma
tensão. O mesmo acontece com os nós simétricos
verticalmente ao borne 0V e denominados
18

V2 , sendo que as tensões de V1 e V2 serão diferentes. Esse comportamento das tensões
simétricas ao resistor RA se estende infinitamente por toda a rede.
Por último, no eixo horizontal do resistor RA teremos a corrente I3 saindo do borne +Vf
para percorrer um longo caminho e retornar ao borne 0V .
A partir dessas observações podemos intuir que a corrente que flui no resistor RA=R será
sempre a metade da corrente total do circuito e a outra metade da corrente estará circulando na
malha resistiva infinita nR→∞ ao seu redor, e isso nos leva a afirmar que essa malha, quanto
maior, mais se aproximará do valor equivalente a R .
Demonstração (figura 3 - 26): numa malha com apenas quatro resistores
iguais R , vamos calcular a resistência equivalente nos terminais do
resistor superior, que chamaremos de RA . Esse resistor está em paralelo
com a soma dos outros três resistores R+R+R= 3 R , e a resistência
equivalente, em relação aos terminais a e b , será: REQ =RA ∥ 3 R
REQ =
3 RxR
3R+R
REQ =
3
4
R REQ =0,75 R .
Agora vamos acrescentar outra malha oposta à primeira, e com o mesmo
raciocínio calcular a resistência equivalente sobre RA na figura 3 - 27:
REQ =[3 R ∥ 3R] ∥ RA REQ ={
3 R x3 R
3R+3R
} ∥ RA
REQ ={
9R
6 R
} ∥ RA REQ =1,5 R ∥ RA REQ =1,5 R ∥ RA
REQ =
1,5R xRA
2,5R+RA
ou REQ =0,6 R que é menor do que o resultado
anterior. Isto confirma que, aumentar infinitamente o número de resistores
ao redor do resistor de referência RA , a resistência equivalente total
tenderá para o valor obtido pelo paralelo da rede Rrede , que está fora
dos terminais a e b , com o resistor de referência RA : REQ =Rrede ∥ RA que, para
resistores iguais, será: REQ =
R
2
ou REQ =0,5 R .
A corrente total será: i =2∗I(RA) ou, pela Lei de Ohm: I =
Vf
REQ
.
Exemplo: com R =2Ω e uma fonte auxiliar de tensão independente de 5V ligada nos
terminais de um resistor qualquer.
REQ =0,5 R Req =0,5∗2=1Ω onde i(RA)=
5V
2Ω
i(RA)=2,5 A e I =
5V
1Ω
I =5 A
19

Rede resistiva Hexagonal com todos os vértices interligados (Fig. 3 – 28):
Calcular a resistência equivalente em qualquer dos lados:
Adotaremos o mesmo princípio dos exemplos anteriores,
onde supomos uma fonte de tensão independente aplicada
nos nós a e b , sobre o resistor RA de valor igual a
todos os resistores R .
A corrente I entra no nó a e se divide da seguinte
forma:
1) - A maior parcela vai circular pelo resistor RA , pois é
o caminho mais curto (menor resistência) entre os bornes
da fonte.
2) – o restante da corrente circulará do vértice a pelos
quatro vértices c , d , e e f , indo por um
resistor e retornando por outro, diretamente ao vértice
b , que é 0V da fonte. Isto faz com que esses quatro vértices fiquem a “meio caminho” entre
os bornes da fonte, o que nos leva a concluir que todos eles estarão com tensões iguais, com valor
de metade da tensão da fonte V(c) =V(d) =V(d) =V(f) =
Vf
2
, e se têm a mesma tensão, podem ser
fechados em curto.
Essa situação vai excluir todos os resistores que interligam esses vértices entre si, num total de seis
resistores (brancos), pois não haverá circulação de corrente por eles, e assim, poderemos desenhar o
circuito planificado mais simples (figura 3-29) e achar a expressão da resistência equivalente.
A resistência equivalente, será: REQ =RA ∥ (
R
4
+
R
4
) ou REQ =R ∥
2 R
4
REQ =R ∥
R
2
REQ =R ∥ 0,5 R REQ =
(1 x0,5)R
(1+0,5)R
REQ =
0,5 R
1,5 R
ou REQ =0,33 R .
A resistência de cada um dos quatro caminhos da corrente é dada por: Rn =2R .
20

Corrente no resistor de entrada: IRA =
Vf
RA
Corrente em cada caminho: In=
Vf
2R
A corrente total, será: I =4 In+IRA .
Exemplo: com R=2Ω e uma fonte auxiliar de tensão independente, de 5V , ligada nos
terminais a e b .
REQ =0,33 R REQ =0,33∗2 ou REQ =0,66Ω .
A corrente no resistor de entrada, será: I(RA)=
5V
2Ω
I(RA)=2,5 A .
A corrente em cada braço n , será In=
5V
4Ω
ou In=1,25 A .
A corrente nos quatro braços será: 4 In =5 A e a corrente total, será: I = 4 In+IRA
I =5+2,5 ou I =7,5 A .
Conferindo a tensão V /2 :
V
2
=In R
V
2
=1,25 Ax2Ω ou
V
2
=2,5V .
Rede resistiva infinita, tipo atenuador balanceado, com resistores iguais R .
Calcular a resistência equivalente na entrada a,b :
Por definição, uma rede infinita não se altera significativamente se adicionarmos ou excluirmos
uma de suas malhas, por isso a resistência equivalente, vista dos bornes de entrada REQ(a,b) ,
terá aproximadamente o mesmo valor, se for medida nos bornes a’ e b’ na segunda malha,
carregada com infinitos resistores (marrons).
Assim, a expressão da resistência equivalente será: REQ(a,b)=2R+[ R ∥ REQ(a' ,b')] ou
REQ =2 R+(
R.REQ
R+REQ
) m.m.c .=R+REQ REQ (R+REQ)=2R(R+REQ)+R.REQ
(R.REQ)+REQ ²=2 R²+(2R.REQ)+(R. REQ) ou REQ²=2R²+(2 R. REQ)+(R.REQ−R. REQ)
21

e agora podemos escrever a expressão do segundo grau: REQ²−(2R.REQ)−2 R²=0 onde:
x =REQ ; a=1 ; b=−2R e c =−2 R ² ; Como valor de resistência só pode ser
positivo, a expressão de Bháskara, ficará:
REQ=
2R+√−(2R)²−[4 x1(−2R²)]
2
REQ=
2R+√4 R²+8 R²
2
REQ=
2R+√12 R²
2
fatorando 12=2
2
(3) , teremos: REQ=
2R+√22
(3)R²
2
REQ=
2R+(√3)2R
2
simplificando:
REQ=R+(R √3) .
Este circuito tem uma tendência finita, pois a partir do nó superior em que a queda de tensão chegar
à metade do valor da tensão da fonte Van =
Vf
2
, não haverá mais corrente nos resistores
seguintes, pois por simetria, a outra metade da tensão será “dispendida” no retorno da corrente,
passando pelos resistores entre o nó inferior bn e o borne de entrada da fonte 0V .
Isso significa que REQ não vai mais se alterar com a inclusão de novas malhas.
Exemplo da figura 3 – 31, com R=2Ω e uma fonte de tensão independente de 5V .
Neste exemplo, a partir da quinta malha Va5 =V b5≈
5V
2
=2,5V , e assim, a queda de tensão no
5° resistor, será : VdR(a5→b5) =0V . Isso significa que os pontos (nós) 5a e 5b podem ser
curto-circuitados, sem qualquer alteração no circuito.
Req=2+(2√3) ou Req=5,46Ω e I =
Vf
Req
I =
5
5,46
ou I =0,915 A .
Rede resistiva infinita, tipo atenuador desbalanceado, com resistores iguais R
Calcular a resistência equivalente na entrada a e b .
Por definição, uma rede infinita não se altera significativamente se adicionarmos ou excluirmos
uma de suas malhas, por isso a resistência equivalente, vista dos bornes de entrada REQ(a,b) ,
22

terá praticamente o mesmo valor se for medida nos bornes a’ e b’ na segunda malha,
carregada com infinitos resistores (marrons).
Assim, a expressão da resistência equivalente será: REQ =R+(R ∥ Req) ou
REQ =R+(
R∗Req
R+ Req
) m.m.c .=(R+REQ) REQ (R+REQ)= R(R+REQ)+R∗REQ
(R∗REQ)+REQ ²= R ²+(R∗REQ)+(R∗REQ) ou REQ²= R²+(R∗REQ)+(R∗REQ−R∗REQ )
e agora podemos escrever a expressão do segundo grau: REQ²−(R∗REQ)−R²=0 onde:
x =REQ ; a=1 ; b=−R e c=−R² ;
Como valor de resistência só pode ser positivo, a expressão de Bhaskara, ficará:
REQ=
R+√(−R)²−4∗1∗(−R²)
2
REQ=
R+√R ²+4 R²
2
REQ=
R+√5 R²
2
REQ=
R+R√5
2
que é a expressão do “número áureo” φ =
1+ √5
2
ou φ =1,618 , representado pela letra grega
“fi” minúscula.
Então: REQ =φ (R) ou Req =1,618(R) .
Exemplo com R=2Ω e uma fonte de tensão independente de 5V .
Este circuito também tem uma tendência finita, pois a partir do nó superior em que “a soma das
quedas de tensão” for igual à tensão da fonte, ou Vd→0V , não haverá mais corrente nos
resistores seguintes, independentemente do valor de R ou da tensão da fonte.
REQ =φ (R) REQ=1,618 x2 ou REQ=3,236Ω .
23

I =
Vs
REQ
I =
5
3,236
ou I =1,545 A .
24

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