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An´alise de circuitos RC, RL e RLC
Eletricidade Aplicada
Profa. Grace S. Deaecto
Instituto de Ciˆencia e Tecnologia / UNIFESP
12231-280, S˜ao J. dos Campos, SP, Brasil.
grace.deaecto@unifesp.br
Novembro, 2012
Profa. Grace S. Deaecto Eletricidade Aplicada ICT / Unifesp 1 / 51
An´alise de circuitos RC, RL e RLC
1 An´alise de circuitos RC, RL e RLC
Apresenta¸c˜ao do cap´ıtulo
Circuito RC
Circuito RL
Circuito com comuta¸c˜oes
Circuito RLC - S´erie e Paralelo
Profa. Grace S. Deaecto Eletricidade Aplicada ICT / Unifesp 2 / 51
An´alise de circuitos RC, RL e RLC
Apresenta¸c˜ao do cap´ıtulo
Apresenta¸c˜ao do cap´ıtulo
Neste cap´ıtulo, trataremos da an´alise de circuitos RC, RL e
RLC autˆonomos e com fontes constantes independentes.
Circuitos autˆonomos s˜ao aqueles que n˜ao possuem fontes
independentes.
Sendo os capacitores e indutores armazenadores de energia, os
circuitos contendo estes dispositivos n˜ao dependem somente
das fontes, mas tamb´em das tens˜oes ou cargas iniciais nos
capacitores ou das correntes ou fluxos iniciais nos indutores.
As equa¸c˜oes que descrevem estes circuitos s˜ao equa¸c˜oes
diferenciais obtidas atrav´es da aplica¸c˜ao das leis de Kirchhoff
considerando a rela¸c˜ao tens˜ao-corrente dos dispositivos
armazenadores.
Profa. Grace S. Deaecto Eletricidade Aplicada ICT / Unifesp 3 / 51
An´alise de circuitos RC, RL e RLC
Circuito RC
Circuito RC autˆonomo
R C v
iR iC
+
−
Aplicando a lei das correntes de Kirchhoff no circuito RC de
primeira ordem com tens˜ao inicial no capacitor v(0) = v0, temos
iC + iR = 0
em que iC = Cdv/dt e iR = v/R. Logo, podemos obter a equa¸c˜ao
diferencial ordin´aria de primeira ordem dada por
C
dv
dt
+
v
R
= 0, v(0) = v0
Profa. Grace S. Deaecto Eletricidade Aplicada ICT / Unifesp 4 / 51
An´alise de circuitos RC, RL e RLC
Circuito RC
Circuito RC autˆonomo
A equa¸c˜ao anterior permite a utiliza¸c˜ao do m´etodo dos coeficientes
a determinar que baseia-se no fato de que a ´unica solu¸c˜ao
proporcional `as suas derivadas ´e a exponencial. Logo, a solu¸c˜ao
procurada ser´a da forma v(t) = κeλt , com κ = 0 e λ = 0
constantes a serem determinadas. Assim,
Cλ +
1
R
κeλt
= 0
como eλt = 0 e v(0) = 0, temos
Cλ +
1
R
= 0
equa¸c˜ao caracter´ıstica
⇒ λ = −
1
RC
e, portanto, a solu¸c˜ao fica
v(t) = κe− 1
RC
t
Profa. Grace S. Deaecto Eletricidade Aplicada ICT / Unifesp 5 / 51
An´alise de circuitos RC, RL e RLC
Circuito RC
Circuito RC autˆonomo
O valor da constante κ ´e determinado de forma a satisfazer a
condi¸c˜ao inicial v(0) = v0. Logo, κ = v0 e a tens˜ao no capacitor ´e
dada por
v(t) = v0e− 1
RC
t
0 1 2 3 4 5 6
0,37
0,14
0,02
1
t/RC
v/v0
O produto RC ´e chamado
de constante de tempo.
Transcorrido 4RC a tens˜ao
se reduz a 2% do seu valor
inicial.
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An´alise de circuitos RC, RL e RLC
Circuito RC
Circuito RC com fontes constantes
R
C
v
iR
E
iC
+
−
Possuem pelo menos uma fonte (entrada).
Se o circuito ´e linear, ´e sempre poss´ıvel represent´a-lo como na
figura acima, em que o estado do capacitor ´e obtido
substituindo-se o restante do circuito pelo seu equivalente de
Th´evenin ou Norton. Procedendo desta forma ter´ıamos
E = Vth e R = Rth.
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An´alise de circuitos RC, RL e RLC
Circuito RC
Circuito RC com fontes constantes
No circuito anterior, temos v = E + RiR e, portanto,
iR =
v − E
R
Aplicando a lei das correntes de Kirchhoff iR + iC = 0 e
C
dv
dt
+
v
R
=
E
R
, v(0) = v0
Como a equa¸c˜ao ´e linear com coeficientes constantes, sua solu¸c˜ao,
ser´a do tipo v(t) = vh(t) + vp(t), em que vp(t) ´e chamada de
solu¸c˜ao particular e vh(t) ´e chamada de solu¸c˜ao homogˆenea. Como
a entrada ´e constante, a solu¸c˜ao particular ser´a do tipo vp(t) = β
com β constante, que substitu´ıda na equa¸c˜ao fornece
vp(t) = β = E.
Profa. Grace S. Deaecto Eletricidade Aplicada ICT / Unifesp 8 / 51
An´alise de circuitos RC, RL e RLC
Circuito RC
Circuito RC com fontes constantes
Para a obten¸c˜ao da solu¸c˜ao homogˆenea, consideramos a equa¸c˜ao
diferencial com entrada nula
C
dv
dt
+
v
R
= 0
cuja solu¸c˜ao ´e vh(t) = κe− t
RC em que κ ´e uma constante qualquer.
A solu¸c˜ao geral ´e dada por
v(t) = κe− t
RC + E
em que κ ´e calculada impondo a condi¸c˜ao inicial v(0) = v0. Logo,
κ = v0 − E e, finalmente, temos
v(t) = E
componente for¸cada
+ v0 − E e− t
RC
componente transit´oria
Profa. Grace S. Deaecto Eletricidade Aplicada ICT / Unifesp 9 / 51
An´alise de circuitos RC, RL e RLC
Circuito RC
A solu¸c˜ao tamb´em poderia ser escrita da forma seguinte
v(t) = v0e− t
RC
resposta `a entrada nula
+ E 1 − e− t
RC
resposta com c.i. nulas
Para E = 10 [V ], v0 = 1 [V ], C = 1 [µF] e R = 1 [kΩ] a tens˜ao
sobre o capacitor est´a apresentada no gr´afico a seguir.
0 1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
t [ms]
v[V]
Profa. Grace S. Deaecto Eletricidade Aplicada ICT / Unifesp 10 / 51
An´alise de circuitos RC, RL e RLC
Circuito RL
Circuito RL autˆonomo
L
i
R
Aplicando a lei de Kirchhoff das tens˜oes no circuito RL de primeira
ordem, com corrente inicial no indutor i(0) = i0, obtemos a
seguinte equa¸c˜ao diferencial
L
di
dt
+ Ri = 0, i(0) = i0
Profa. Grace S. Deaecto Eletricidade Aplicada ICT / Unifesp 11 / 51
An´alise de circuitos RC, RL e RLC
Circuito RL
Circuito RL autˆonomo
Como realizado no caso anterior, utilizaremos o m´etodo dos
coeficientes a determinar para obter a sua solu¸c˜ao. Logo, a solu¸c˜ao
procurada ser´a i(t) = κeλt , com κ = 0 e λ = 0 constantes a serem
determinadas. Substituindo-a na equa¸c˜ao diferencial, temos,
(Lλ + R)κeλt
= 0
como eλt = 0 e i(0) = 0, conclu´ımos que
Lλ + R = 0
equa¸c˜ao caracter´ıstica
⇒ λ = −
R
L
e, portanto, a solu¸c˜ao fica
i(t) = κe− R
L
t
Profa. Grace S. Deaecto Eletricidade Aplicada ICT / Unifesp 12 / 51
An´alise de circuitos RC, RL e RLC
Circuito RL
Circuito RL autˆonomo
O valor da constante κ ´e determinado impondo a condi¸c˜ao inicial
i(0) = i0. Logo, κ = i0 e a corrente no indutor ´e dada por
i(t) = i0e− R
L
t
0 1 2 3 4 5 6
0,37
0,14
0,02
1
(R/L)t
i/i0
O quociente L/R ´e cha-
mado de constante de
tempo.
Transcorrido 4L/R a cor-
rente se reduz a 2% do seu
valor inicial.
Profa. Grace S. Deaecto Eletricidade Aplicada ICT / Unifesp 13 / 51
An´alise de circuitos RC, RL e RLC
Circuito RL
Circuito RL com fontes constantes
i R
LE
+
−
A equa¸c˜ao diferencial que descreve o circuito ´e
L
di
dt
+ Ri = E, i(0) = i0
sendo sua solu¸c˜ao do tipo
i(t) = ih(t) + ip(t)
em que ip(t) ´e a solu¸c˜ao particular e ih(t) ´e a solu¸c˜ao homogˆenea.
Profa. Grace S. Deaecto Eletricidade Aplicada ICT / Unifesp 14 / 51
An´alise de circuitos RC, RL e RLC
Circuito RL
Circuito RL com fontes constantes
A solu¸c˜ao particular ´e dada por ip(t) = E/R. Para a obten¸c˜ao da
homogˆenea, consideramos
L
di
dt
+ Ri = 0
cuja solu¸c˜ao ´e ih(t) = κe− Rt
L , em que a constante κ deve ser
determinada impondo a condi¸c˜ao inicial i(0) = i0 na solu¸c˜ao geral
i(t) = κe− Rt
L +
E
R
Logo, κ = i0 − E/R e, finalmente, temos
i(t) =
E
R
componente for¸cada
+ i0 −
E
R
e− Rt
L
componente transit´oria
Profa. Grace S. Deaecto Eletricidade Aplicada ICT / Unifesp 15 / 51
An´alise de circuitos RC, RL e RLC
Circuito RL
Circuito RL com fontes constantes
A solu¸c˜ao tamb´em poderia ser escrita da forma seguinte
i(t) = i0e− Rt
L
resposta `a entrada nula
+
E
R
1 − e− Rt
L
resposta com c.i. nulas
Como j´a mencionado, se o circuito ´e linear, sempre ´e poss´ıvel
obter a tens˜ao ou corrente do indutor ou capacitor, substituindo-se
o restante do circuito por seu equivalente de Th´evenin ou Norton.
Ademais, pelo teorema da substitui¸c˜ao podemos obter qualquer
corrente ou tens˜ao no circuito original substituindo o indutor ou
capacitor por sua tens˜ao ou corrente correspondente.
Profa. Grace S. Deaecto Eletricidade Aplicada ICT / Unifesp 16 / 51
An´alise de circuitos RC, RL e RLC
Circuito RL
Exemplo 1
I
R1
C
C
R2
R3
R4
Vth
Rth
a
b
≡
v(t)
v(t)
+
+
+
− −
−
Para o circuito da figura acima, deseja-se encontrar a tens˜ao v
entre os terminais do capacitor C com tens˜ao inicial v(0) = v0.
Solu¸c˜ao : Note que o circuito pode ser representado pelo seu
equivalente de Th´evenin e, portanto, a solu¸c˜ao pode ser obtida
pelo m´etodo dos coeficientes a determinar discutido anteriormente.
Profa. Grace S. Deaecto Eletricidade Aplicada ICT / Unifesp 17 / 51
An´alise de circuitos RC, RL e RLC
Circuito RL
Exemplo 1
A tens˜ao de Th´evenin vista pelo capacitor ´e
Vth =
(R2R3 − R1R4)I
R1 + R2 + R3 + R4
Sua resistˆencia de Th´evenin ´e a seguinte
Rth =
(R1 + R3)(R2 + R4)
R1 + R2 + R3 + R4
Logo, a tens˜ao no capacitor ´e dada por
v(t) = Vth + v(0) − Vth e
− t
RthC
Substituindo o capacitor por uma fonte de tens˜ao de valor v(t)
podemos obter qualquer tens˜ao ou corrente no circuito original.
Profa. Grace S. Deaecto Eletricidade Aplicada ICT / Unifesp 18 / 51
An´alise de circuitos RC, RL e RLC
Circuito RL
Solu¸c˜ao por inspe¸c˜ao
Comparando a estrutura das solu¸c˜oes, tens˜ao no capacitor e
corrente no indutor, percebemos uma grande semelhan¸ca.
Qualquer tens˜ao ou corrente em um circuito linear de primeira
ordem com fontes constantes ser´a da forma
x(t) = x(∞) + x(0) − x(∞) eλt
em que x(0) representa o valor inicial da corrente ou tens˜ao e
x(∞) seu valor de regime. Como vimos λ = −1/RC ou λ = −R/L
e R ´e a resistˆencia vista pelo capacitor ou indutor quando todas as
fontes independentes s˜ao anuladas.
Profa. Grace S. Deaecto Eletricidade Aplicada ICT / Unifesp 19 / 51
An´alise de circuitos RC, RL e RLC
Circuito com comuta¸c˜oes
Circuitos com comuta¸c˜oes
Circuitos com comuta¸c˜oes s˜ao aqueles que contˆem chaves. Para a
determina¸c˜ao dos valores iniciais e finais das tens˜oes e correntes
em um circuito de primeira ordem com fontes constantes podemos
considerar os seguintes pontos :
A tens˜ao (corrente) no capacitor (indutor) n˜ao pode variar
instantˆaneamente. No instante inicial o capacitor (indutor) se
comporta como uma fonte de tens˜ao (corrente) e, se
descarregado, como um curto-circuito (circuito aberto).
O valor final da tens˜ao (corrente) no capacitor (indutor) ´e
constante, a corrente (tens˜ao) se anula e, portanto, o
capacitor (indutor) ´e visto como um circuito aberto
(curto-circuito).
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An´alise de circuitos RC, RL e RLC
Circuito com comuta¸c˜oes
Circuitos com comuta¸c˜oes
A tabela a seguir resume os as afirma¸c˜oes apresentadas para a
determina¸c˜ao dos valores iniciais e finais das vari´aveis.
Capacitor Indutor
Descarregado curto-circuito circuito aberto
Carregado em Regime circuito aberto curto-circuito
Profa. Grace S. Deaecto Eletricidade Aplicada ICT / Unifesp 21 / 51
An´alise de circuitos RC, RL e RLC
Circuito com comuta¸c˜oes
Exemplo 2
R1 = 1 kΩ
10 µFR2 = 3 kΩ
i(t)
E = 10 V
+
−
No circuito acima o capacitor est´a inicialmente descarregado. A
chave ´e fechada em t = 0. Determine a corrente i(t).
Solu¸c˜ao : No instante inicial em que a chave ´e fechada o capacitor
´e visto como um curto-circuito, logo
i(0+
) =
E
R1
=
10
1000
= 10 mA
Profa. Grace S. Deaecto Eletricidade Aplicada ICT / Unifesp 22 / 51
An´alise de circuitos RC, RL e RLC
Circuito com comuta¸c˜oes
Exemplo 2
Ap´os muito tempo com a chave fechada, o capacitor est´a
totalmente carregado e, portanto, ´e visto como um circuito aberto.
Logo, a corrente final ´e dada por
i(∞) =
E
R1 + R2
=
10
4000
= 2,5 mA
A resistˆencia equivalente de Th´evenin vista pelo capacitor ´e
R =
R1R2
R1 + R2
= 750 Ω
e, consequentemente,
λ = −
1
RC
= −
103
7,5
[s−1
]
Finalmente, temos
i(t) = 2,5 + 7,5e
− 103t
7,5
[mA]
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An´alise de circuitos RC, RL e RLC
Circuito com comuta¸c˜oes
Exemplo 2
O gr´afico a seguir apresenta a corrente i(t).
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
2
3
4
5
6
7
8
9
10
t [ms]
i[mA]
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An´alise de circuitos RC, RL e RLC
Circuito com comuta¸c˜oes
Exemplo 3
1 2
60 V
4 Ω
12 Ω
3 Ω
6 Ω 18 Ω150 mH
t = 0 t = 35 ms
iL
vL
+
+
−
−
As duas chaves apresentadas no circuito est˜ao fechadas por um
longo tempo. Em t = 0 a chave 1 ´e aberta. Ap´os 35 [ms] a chave
2 tamb´em se abre.
1 Encontre a corrente iL para 0 ≤ t < 35 [ms].
2 Encontre a corrente iL para t ≥ 35 [ms].
3 Qual a porcentagem da energia inicial armazenada no indutor
´e dissipada no resistor de 18 [Ω].
Profa. Grace S. Deaecto Eletricidade Aplicada ICT / Unifesp 25 / 51
An´alise de circuitos RC, RL e RLC
Circuito com comuta¸c˜oes
Exemplo 3
−
+
60 V
4 Ω
12 Ω
3 Ω
6 Ω
iL
Situa¸c˜ao anterior `a
abertura das chaves.
Solu¸c˜ao : 1) Durante o per´ıodo de tempo imediatamente anterior `a
abertura das chaves, o indutor est´a completamente carregado e se
comporta como um curto-circuito. Logo, a corrente no indutor ´e
dada por
iL(0−
) =
12//6//3
4 + 12//6//3
60
3
=
3
10
60
3
= 6 [A]
e, portanto, iL(0−) = 6 [A].
Profa. Grace S. Deaecto Eletricidade Aplicada ICT / Unifesp 26 / 51
An´alise de circuitos RC, RL e RLC
Circuito com comuta¸c˜oes
Exemplo 3
1 2
3 Ω
6 Ω 18 Ω
iL
150 mH
vL
+
−
Situa¸c˜ao com a chave 1
aberta e 2 fechada.
Como a corrente n˜ao pode variar instantˆaneamente no indutor,
ap´os a abertura da primeira chave iL(0+) = 6 [A]. Ademais,
i(∞) = 0, pois o indutor estar´a completamente descarregado. A
resistˆencia equivalente vista pelos seus terminais ´e
R = (3 + 6)//18 = 6 [Ω]. Portanto, no intervalo de 0 ≤ t < 35
[ms], a corrente ´e dada por
iL(t) = 6e− 6
0.15
t
[A]
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An´alise de circuitos RC, RL e RLC
Circuito com comuta¸c˜oes
Exemplo 3
3 Ω
6 Ω
iL
150 mH
vL
+
−
Situa¸c˜ao com as chaves 1 e
2 abertas.
2) Quando t = 35 [ms], o valor da corrente no indutor ´e
iL(0.035) = 6e−1.4
= 1.48 [A]
Sua corrente iL(∞) = 0 e a resistˆencia equivalente vista pelos seus
terminais ´e R = 6 + 3 = 9 [Ω]. Portanto, no intervalo de t ≥ 35
[ms], a corrente ´e dada por
iL(t) = 1.48e− 9
0.15
(t−0.035)
[A]
Profa. Grace S. Deaecto Eletricidade Aplicada ICT / Unifesp 28 / 51
An´alise de circuitos RC, RL e RLC
Circuito com comuta¸c˜oes
Exemplo 3
Os gr´aficos a seguir apresentam a corrente iL(t) e a tens˜ao vL no
indutor.
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
0
1
2
3
4
5
6
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
−40
−35
−30
−25
−20
−15
−10
−5
0
t [ms]
t [ms]
i[A]v[V]
Note que a tens˜ao foi obtida facilmente atrav´es da rela¸c˜ao
iL = LdiL
dt .
Profa. Grace S. Deaecto Eletricidade Aplicada ICT / Unifesp 29 / 51
An´alise de circuitos RC, RL e RLC
Circuito com comuta¸c˜oes
Exemplo 3
3) Note que o resistor de 18 [Ω] est´a presente no circuito somente
durante o intervalo de tempo 0 ≤ t < 35 [ms] em que sua corrente
´e iL(t) = 6e−40t [A] e sua tens˜ao ´e vL(t) = −36e−40t [V]. Logo,
p =
v2
L
18
= 72e−80t
e, portanto, a energia dissipada no resistor ´e de
w =
0.035
0
72e−80τ
dτ = 845.27 [mJ]
A energia inicial armazenada no indutor ´e de
wa = 0.15
36
2
= 2700 [mJ]
Podemos concluir que 31.31% da energia armazenada no indutor
foi dissipada no resistor de 18 [Ω].
Profa. Grace S. Deaecto Eletricidade Aplicada ICT / Unifesp 30 / 51
An´alise de circuitos RC, RL e RLC
Circuito RLC - S´erie e Paralelo
Circuito RLC
Como ser´a visto a seguir, os circuitos RLC autˆonomos s˜ao
descritos por equa¸c˜oes diferenciais de segunda ordem do tipo
d2x
dt2
+ 2α
dx
dt
+ ω2
0x = 0, x(0) = x0,
dx(0)
dt
= x1
em que os coeficientes α > 0 e ω0 > 0 s˜ao positivos pois os
circuitos em estudo s˜ao passivos. O parˆametro α ´e chamado de
amortecimento e ω0 de frequˆencia natural n˜ao amortecida.
Como realizado anteriormente, a solu¸c˜ao pode ser procurada como
uma fun¸c˜ao exponencial do tipo
x(t) = κeλt
com κ = 0 e λ = 0 coeficientes a serem determinados.
Profa. Grace S. Deaecto Eletricidade Aplicada ICT / Unifesp 31 / 51
An´alise de circuitos RC, RL e RLC
Circuito RLC - S´erie e Paralelo
Circuito RLC
Substituindo esta solu¸c˜ao na equa¸c˜ao diferencial, temos
(λ2
+ 2αλ + ω2
0)κeλt
= 0
o que implica em
λ2
+ 2αλ + ω2
0 = 0
equa¸c˜ao caracter´ıstica
cujas duas ra´ızes
λ1 = −α + α2 − ω2
0
λ2 = −α − α2 − ω2
0
reais ou complexas d˜ao ao sistema comportamentos distintos que
ser˜ao cuidadosamente analisados a seguir.
Profa. Grace S. Deaecto Eletricidade Aplicada ICT / Unifesp 32 / 51
An´alise de circuitos RC, RL e RLC
Circuito RLC - S´erie e Paralelo
Circuito RLC
Trataremos dos trˆes comportamentos diferentes que dependem das
ra´ızes da equa¸c˜ao caracter´ıstica.
Amortecimento forte :
Se α > ω0 as ra´ızes da equa¸c˜ao caracter´ıstica λ1 e λ2 s˜ao
reais, distintas e negativas e, portanto, sua solu¸c˜ao ser´a
x(t) = κ1eλ1t
+ κ2eλ2t
que tende para zero sem oscila¸c˜oes.
Amortecimento fraco :
Se α < ω0 as ra´ızes da equa¸c˜ao caracter´ıstica ficam
λ1 = −α + jωd
λ2 = −α − jωd
em que ωd = ω2
0 − α2 ´e a frequˆencia natural amortecida.
Elas s˜ao complexas conjugadas, com parte real negativa.
Profa. Grace S. Deaecto Eletricidade Aplicada ICT / Unifesp 33 / 51
An´alise de circuitos RC, RL e RLC
Circuito RLC - S´erie e Paralelo
Circuito RLC
Sua solu¸c˜ao ser´a dada por
x(t) = κ1e(−α+jωd )t
+ κ2e−(α−jωd )t
Pela identidade de Euler temos,
e(−α+jωd )t
= e−αt
cos(ωd t) + j sin(ωd t)
e(−α−jωd )t
= e−αt
cos(ωd t) − j sin(ωd t)
e, portanto, x(t) pode ser alternativamente escrita como
x(t) = e−αt
(κ1 + κ2) cos(ωd t) + j(κ1 − κ2) sin(ωdt)
definindo A = κ1 + κ2 e B = j(κ1 − κ2), a solu¸c˜ao fica
x(t) = e−αt
A cos(ωd t) + B sin(ωd t)
Profa. Grace S. Deaecto Eletricidade Aplicada ICT / Unifesp 34 / 51
An´alise de circuitos RC, RL e RLC
Circuito RLC - S´erie e Paralelo
Circuito RLC
A express˜ao deixa clara uma importante diferen¸ca entre as solu¸c˜oes
com amortecimento forte e fraco. Nas solu¸c˜oes com amortecimento
fraco, a solu¸c˜ao x(t) tende a zero de forma oscilat´oria.
Amortecimento cr´ıtico :
Se α = ω0 a equa¸c˜ao caracter´ıstica tem duas ra´ızes reais,
iguais e negativas λ1 = λ2 = −α. Neste caso a solu¸c˜ao da
equa¸c˜ao diferencial ´e
x(t) = κ1e−αt
+ κ2te−αt
e seu comportamento est´a no limiar de um amortecimento
forte e fraco n˜ao tendo uma caracter´ıstica vis´ıvel.
As constantes κ1 e κ2 podem ser determinadas resolvendo-se um
sistema de segunda ordem obtido quando as condi¸c˜oes iniciais x(0)
e dx(0)/dt s˜ao impostas.
Profa. Grace S. Deaecto Eletricidade Aplicada ICT / Unifesp 35 / 51
An´alise de circuitos RC, RL e RLC
Circuito RLC - S´erie e Paralelo
Circuito RLC
Se o circuito possuir uma entrada independente u = 0,
d2x
dt2
+ 2α
dx
dt
+ ω2
0x = u, x(0) = x0,
dx(0)
dt
= x1
o procedimento para encontrar a sua solu¸c˜ao ´e idˆentico ao
realizado para os circuitos de primeira ordem n˜ao-autˆonomos. Mais
precisamente, a solu¸c˜ao ser´a do tipo x(t) = xp(t) + xh(t), sendo a
particular obtida substituindo-se xp(t) = β na equa¸c˜ao diferencial
de forma a determinar o valor de β = u/ω2
0. A solu¸c˜ao homogˆenea
´e a mesma obtida anteriormente em que os coeficientes κ1 e κ2
s˜ao determinados impondo as condi¸c˜oes iniciais x(0) e dx(0)/dt na
solu¸c˜ao geral
x(t) = κ1eλ1t
+ κ2eλ2t
+
u
ω2
0
A seguir, estudaremos os circuitos RLC em s´erie e em paralelo.
Profa. Grace S. Deaecto Eletricidade Aplicada ICT / Unifesp 36 / 51
An´alise de circuitos RC, RL e RLC
Circuito RLC - S´erie e Paralelo
Circuito RLC em paralelo
R L
iL
C
v
I
+
−
Aplicando a lei das correntes de Kirchhoff, obtemos a seguinte
equa¸c˜ao diferencial
C
dv
dt
+
v
R
+ iL = I
que ´e fun¸c˜ao de v e iL. Ademais, note que
v = L
diL
dt
=⇒
dv
dt
= L
d2iL
dt2
Profa. Grace S. Deaecto Eletricidade Aplicada ICT / Unifesp 37 / 51
An´alise de circuitos RC, RL e RLC
Circuito RLC - S´erie e Paralelo
Circuito RLC em paralelo
o que nos permite escrever
d2iL
dt2
+
1
RC
diL
dt
+
iL
LC
=
I
LC
com condi¸c˜oes iniciais iL(0) = i0 e diL(0)/dt = v0/L. Vamos
primeiramente estudar a sua equa¸c˜ao homogˆenea (I=0). Note que
a equa¸c˜ao caracter´ıstica ´e a seguinte
λ2
+
1
RC
λ +
1
LC
= 0
Da discuss˜ao anterior, temos que α = 1/(2RC) e ω2
0 = 1/(LC).
Profa. Grace S. Deaecto Eletricidade Aplicada ICT / Unifesp 38 / 51
An´alise de circuitos RC, RL e RLC
Circuito RLC - S´erie e Paralelo
Circuito RLC em paralelo
A solu¸c˜ao iL(t) ter´a um
amortecimento forte se
1
2RC
>
1
√
LC
amortecimento fraco se
1
2RC
<
1
√
LC
Neste caso, a energia armazenada no circuito oscila entre os
dois armazenadores e cada vez que ´e transferida perde
energia. Se o amortecimento 1/(2RC) ´e nulo, ou seja,
R = ∞, as ra´ızes da equa¸c˜ao caracter´ıstica s˜ao puramente
imagin´arias e iL(t) = A cos(1/
√
LC) + B sin(1/
√
LC) com A e
B a serem determinados. O circuito ´e chamado de oscilador
harmˆonico linear pois oscila sem perder energia.
Profa. Grace S. Deaecto Eletricidade Aplicada ICT / Unifesp 39 / 51
An´alise de circuitos RC, RL e RLC
Circuito RLC - S´erie e Paralelo
amortecimento cr´ıtico se
1
2RC
=
1
√
LC
A solu¸c˜ao geral da equa¸c˜ao diferencial em estudo ´e
iL(t) = κ1eλ1t
+ κ2eλ2t
+ I
com
λ1 = −
1
2RC
+
1
2RC
2
−
1
LC
λ2 = −
1
2RC
−
1
2RC
2
−
1
LC
em que κ1 e κ2 s˜ao determinados impondo as condi¸c˜oes iniciais
iL(0) e diL(0)/dt = v(0)/L.
Profa. Grace S. Deaecto Eletricidade Aplicada ICT / Unifesp 40 / 51
An´alise de circuitos RC, RL e RLC
Circuito RLC - S´erie e Paralelo
Exemplo 4
Considere um circuito RLC em paralelo com R = 50 [Ω], L = 10
[H] e C = 1 [mF] e condi¸c˜oes iniciais iL(0) = 2 [A] e vL(0) = 10
[V] excitado por uma fonte de corrente de I = 1 [A]. 1) Calcule a
corrente atrav´es do indutor. 2) Troque o resistor para R = 25 [Ω] e
recalcule a corrente. 3) Fa¸ca o mesmo para R = 100 [Ω].
Solu¸c˜ao : 1) A equa¸c˜ao diferencial que descreve o circuito ´e
d2iL
dt2
+ 20
diL
dt
+ 100iL = 100
Note que 1/(2RC) = 1/
√
LC = 10 indicando que a resposta iL(t)
possui amortecimento cr´ıtico. A equa¸c˜ao caracter´ıstica
λ2 + 20λ + 100 = 0 possui duas ra´ızes reais iguais a
λ1 = λ2 = −10, sendo a parte homogˆenea dada por
iLh(t) = κ1e−10t
+ κ2te−10t
Profa. Grace S. Deaecto Eletricidade Aplicada ICT / Unifesp 41 / 51
An´alise de circuitos RC, RL e RLC
Circuito RLC - S´erie e Paralelo
Exemplo 4
N˜ao ´e dif´ıcil concluir que a solu¸c˜ao particular ´e iLh(t) = 1 sendo a
geral dada por
iL(t) = κ1e−10t
+ κ2te−10t
+ 1
Utilizando as condi¸c˜oes iniciais iL(0) = 2 [A], diL(0)/dt = 1 [V/H]
e sabendo-se que
diL
dt
= −10κ1e−10t
+ κ2e−10t
(1 − 10t)
temos que iL(0) = κ1 + 1 = 2 onde conclui-se que κ1 = 1 e que
diL(0)
dt
= −10κ1 + κ2 = 1
portanto κ2 = 11. Logo, a solu¸c˜ao geral fica
iL(t) = e−10t
+ 11te−10t
+ 1 [A]
Profa. Grace S. Deaecto Eletricidade Aplicada ICT / Unifesp 42 / 51
An´alise de circuitos RC, RL e RLC
Circuito RLC - S´erie e Paralelo
Exemplo 4
4) Neste caso, note que 1/(2RC) = 20 > 10 = 1/ (LC)
indicando que a solu¸c˜ao iL(t) apresenta amortecimento forte. A
equa¸c˜ao caracter´ıstica λ2 + 40λ + 100 = 100 possui duas ra´ızes
reais distintas iguais a λ1 = −37.3 e λ2 = −2.7. Seguindo o
mesmo procedimento realizado anteriormente encontramos que a
solu¸c˜ao geral ´e dada por
iL(t) = −0.1062e−37.3t
+ 1.1062e−2.7t
+ 1 [A]
5) Neste caso, note que 1/(2RC) = 5 < 10 = 1/ (LC) indicando
que a solu¸c˜ao iL(t) apresenta amortecimento fraco. A equa¸c˜ao
caracter´ıstica λ2 + 10λ + 100 = 100 possui duas ra´ızes complexas
conjugadas iguais a λ1 = −5 + 8.66j e λ2 = −5 − 8.66j. Seguindo
o mesmo procedimento realizado anteriormente encontramos que a
solu¸c˜ao geral ´e dada por
iL(t) = e−5t
cos(8.66t) + 0.6928 sin(8.66t) + 1 [A]
Profa. Grace S. Deaecto Eletricidade Aplicada ICT / Unifesp 43 / 51
An´alise de circuitos RC, RL e RLC
Circuito RLC - S´erie e Paralelo
Exemplo 4
A seguir est˜ao apresentadas as correntes iL para cada um dos casos
analisados.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
t [s]
iL[A]
amortecimento cr´ıtico
amortecimento forte
amortecimento fraco
Profa. Grace S. Deaecto Eletricidade Aplicada ICT / Unifesp 44 / 51
An´alise de circuitos RC, RL e RLC
Circuito RLC - S´erie e Paralelo
Circuito RLC em s´erie
R L
vCC
i
E
+
+
−
−
Aplicando a lei das tens˜oes de Kirchhoff, obtemos a seguinte
equa¸c˜ao diferencial
L
di
dt
+ Ri + vC = E
que ´e fun¸c˜ao de vC e i. Ademais, note que
i = C
dvC
dt
=⇒
di
dt
= C
d2vC
dt2
Profa. Grace S. Deaecto Eletricidade Aplicada ICT / Unifesp 45 / 51
An´alise de circuitos RC, RL e RLC
Circuito RLC - S´erie e Paralelo
Circuito RLC em s´erie
o que nos permite escrever
d2vC
dt2
+
R
L
dvC
dt
+
vC
LC
=
E
LC
com condi¸c˜oes iniciais vC (0) = v0 e dvC (0)/dt = i0/C. Vamos
primeiramente estudar a sua equa¸c˜ao homogˆenea (E=0). Note que
a equa¸c˜ao caracter´ıstica ´e a seguinte
λ2
+
R
L
λ +
1
LC
= 0
Neste caso, temos que α = R/(2L) e ω2
0 = 1/(LC).
Profa. Grace S. Deaecto Eletricidade Aplicada ICT / Unifesp 46 / 51
An´alise de circuitos RC, RL e RLC
Circuito RLC - S´erie e Paralelo
Circuito RLC em s´erie
A solu¸c˜ao vC (t) ter´a um
amortecimento forte se
R
2L
>
1
√
LC
amortecimento fraco se
R
2L
<
1
√
LC
Neste caso, a energia armazenada no circuito oscila entre os
dois armazenadores e cada vez que ´e transferida perde
energia. Se o amortecimento R/(2L) ´e nulo, ou seja, R = 0,
as ra´ızes da equa¸c˜ao caracter´ıstica s˜ao puramente imagin´arias
e vC (t) = A cos(1/
√
LC) + B sin(1/
√
LC) com A e B a serem
determinados. O circuito ´e chamado de oscilador harmˆonico
linear pois oscila sem perder energia.
Profa. Grace S. Deaecto Eletricidade Aplicada ICT / Unifesp 47 / 51
An´alise de circuitos RC, RL e RLC
Circuito RLC - S´erie e Paralelo
amortecimento cr´ıtico se
R
2L
=
1
√
LC
A solu¸c˜ao geral da equa¸c˜ao diferencial em estudo ´e
vC (t) = κ1eλ1t
+ κ2eλ2t
+ E
com
λ1 = −
R
2L
+
R
2L
2
−
1
LC
λ2 = −
R
2L
−
R
2L
2
−
1
LC
em que κ1 e κ2 s˜ao determinados impondo as condi¸c˜oes iniciais
vC (0) e dvC (0)/dt = i(0)/C.
Profa. Grace S. Deaecto Eletricidade Aplicada ICT / Unifesp 48 / 51
An´alise de circuitos RC, RL e RLC
Circuito RLC - S´erie e Paralelo
Exemplo 5
Considere um circuito RLC em s´erie com R = 280 [Ω], L = 100
[mH] e C = 0.4 [µF] excitado por uma fonte de tens˜ao cont´ınua
de E = 48 [V]. A tens˜ao inicial no capacitor bem como a corrente
no indutor s˜ao nulas. Determine a tens˜ao sobre o capacitor vC (t).
Solu¸c˜ao : A equa¸c˜ao diferencial que descreve o circuito ´e
d2vC
dt2
+ 2800
dvC
dt
+ 25 × 106
vC = 1.2 × 109
Note que R/(2L) = 1400 < 5000 = 1/
√
LC indicando que a
resposta vC (t) possui amortecimento fraco. A equa¸c˜ao
caracter´ıstica λ2 + 2800λ + 25 × 106 = 0 possui ra´ızes complexas
conjugadas iguais a λ1 = −1400 + 4800j e λ2 = −1400 + 4800j,
sendo a parte homogˆenea dada por
vCh(t) = e−1400t
A cos(4800t) + B sin(4800t)
Profa. Grace S. Deaecto Eletricidade Aplicada ICT / Unifesp 49 / 51
An´alise de circuitos RC, RL e RLC
Circuito RLC - S´erie e Paralelo
Exemplo 5
A solu¸c˜ao geral ´e da forma
vC (t) = 48 + e−1400t
A cos(4800t) + B sin(4800t)
onde as constantes A e B s˜ao encontradas impondo as condi¸c˜oes
iniciais vC (0) = 0 e dvC (0)/dt = 0. Note que vC (0) = 48 + A = 0
o que implica em A = −48 e dvC (0)/dt = −1400A + 4800B = 0 o
que implica em B = −14. Finalmente, a solu¸c˜ao geral ´e dada por
vC (t) = 48 + e−1400t
− 48 cos(4800t) − 14 sin(4800t) [V ]
Profa. Grace S. Deaecto Eletricidade Aplicada ICT / Unifesp 50 / 51
An´alise de circuitos RC, RL e RLC
Circuito RLC - S´erie e Paralelo
Exemplo 5
A trajet´oria no tempo de vC (t) est´a apresentada no gr´afico a seguir
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
0
10
20
30
40
50
60
70
t [ms]
vC[V]
Profa. Grace S. Deaecto Eletricidade Aplicada ICT / Unifesp 51 / 51

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Análise Circuitos RC, RL e RLC

  • 1. An´alise de circuitos RC, RL e RLC Eletricidade Aplicada Profa. Grace S. Deaecto Instituto de Ciˆencia e Tecnologia / UNIFESP 12231-280, S˜ao J. dos Campos, SP, Brasil. grace.deaecto@unifesp.br Novembro, 2012 Profa. Grace S. Deaecto Eletricidade Aplicada ICT / Unifesp 1 / 51
  • 2. An´alise de circuitos RC, RL e RLC 1 An´alise de circuitos RC, RL e RLC Apresenta¸c˜ao do cap´ıtulo Circuito RC Circuito RL Circuito com comuta¸c˜oes Circuito RLC - S´erie e Paralelo Profa. Grace S. Deaecto Eletricidade Aplicada ICT / Unifesp 2 / 51
  • 3. An´alise de circuitos RC, RL e RLC Apresenta¸c˜ao do cap´ıtulo Apresenta¸c˜ao do cap´ıtulo Neste cap´ıtulo, trataremos da an´alise de circuitos RC, RL e RLC autˆonomos e com fontes constantes independentes. Circuitos autˆonomos s˜ao aqueles que n˜ao possuem fontes independentes. Sendo os capacitores e indutores armazenadores de energia, os circuitos contendo estes dispositivos n˜ao dependem somente das fontes, mas tamb´em das tens˜oes ou cargas iniciais nos capacitores ou das correntes ou fluxos iniciais nos indutores. As equa¸c˜oes que descrevem estes circuitos s˜ao equa¸c˜oes diferenciais obtidas atrav´es da aplica¸c˜ao das leis de Kirchhoff considerando a rela¸c˜ao tens˜ao-corrente dos dispositivos armazenadores. Profa. Grace S. Deaecto Eletricidade Aplicada ICT / Unifesp 3 / 51
  • 4. An´alise de circuitos RC, RL e RLC Circuito RC Circuito RC autˆonomo R C v iR iC + − Aplicando a lei das correntes de Kirchhoff no circuito RC de primeira ordem com tens˜ao inicial no capacitor v(0) = v0, temos iC + iR = 0 em que iC = Cdv/dt e iR = v/R. Logo, podemos obter a equa¸c˜ao diferencial ordin´aria de primeira ordem dada por C dv dt + v R = 0, v(0) = v0 Profa. Grace S. Deaecto Eletricidade Aplicada ICT / Unifesp 4 / 51
  • 5. An´alise de circuitos RC, RL e RLC Circuito RC Circuito RC autˆonomo A equa¸c˜ao anterior permite a utiliza¸c˜ao do m´etodo dos coeficientes a determinar que baseia-se no fato de que a ´unica solu¸c˜ao proporcional `as suas derivadas ´e a exponencial. Logo, a solu¸c˜ao procurada ser´a da forma v(t) = κeλt , com κ = 0 e λ = 0 constantes a serem determinadas. Assim, Cλ + 1 R κeλt = 0 como eλt = 0 e v(0) = 0, temos Cλ + 1 R = 0 equa¸c˜ao caracter´ıstica ⇒ λ = − 1 RC e, portanto, a solu¸c˜ao fica v(t) = κe− 1 RC t Profa. Grace S. Deaecto Eletricidade Aplicada ICT / Unifesp 5 / 51
  • 6. An´alise de circuitos RC, RL e RLC Circuito RC Circuito RC autˆonomo O valor da constante κ ´e determinado de forma a satisfazer a condi¸c˜ao inicial v(0) = v0. Logo, κ = v0 e a tens˜ao no capacitor ´e dada por v(t) = v0e− 1 RC t 0 1 2 3 4 5 6 0,37 0,14 0,02 1 t/RC v/v0 O produto RC ´e chamado de constante de tempo. Transcorrido 4RC a tens˜ao se reduz a 2% do seu valor inicial. Profa. Grace S. Deaecto Eletricidade Aplicada ICT / Unifesp 6 / 51
  • 7. An´alise de circuitos RC, RL e RLC Circuito RC Circuito RC com fontes constantes R C v iR E iC + − Possuem pelo menos uma fonte (entrada). Se o circuito ´e linear, ´e sempre poss´ıvel represent´a-lo como na figura acima, em que o estado do capacitor ´e obtido substituindo-se o restante do circuito pelo seu equivalente de Th´evenin ou Norton. Procedendo desta forma ter´ıamos E = Vth e R = Rth. Profa. Grace S. Deaecto Eletricidade Aplicada ICT / Unifesp 7 / 51
  • 8. An´alise de circuitos RC, RL e RLC Circuito RC Circuito RC com fontes constantes No circuito anterior, temos v = E + RiR e, portanto, iR = v − E R Aplicando a lei das correntes de Kirchhoff iR + iC = 0 e C dv dt + v R = E R , v(0) = v0 Como a equa¸c˜ao ´e linear com coeficientes constantes, sua solu¸c˜ao, ser´a do tipo v(t) = vh(t) + vp(t), em que vp(t) ´e chamada de solu¸c˜ao particular e vh(t) ´e chamada de solu¸c˜ao homogˆenea. Como a entrada ´e constante, a solu¸c˜ao particular ser´a do tipo vp(t) = β com β constante, que substitu´ıda na equa¸c˜ao fornece vp(t) = β = E. Profa. Grace S. Deaecto Eletricidade Aplicada ICT / Unifesp 8 / 51
  • 9. An´alise de circuitos RC, RL e RLC Circuito RC Circuito RC com fontes constantes Para a obten¸c˜ao da solu¸c˜ao homogˆenea, consideramos a equa¸c˜ao diferencial com entrada nula C dv dt + v R = 0 cuja solu¸c˜ao ´e vh(t) = κe− t RC em que κ ´e uma constante qualquer. A solu¸c˜ao geral ´e dada por v(t) = κe− t RC + E em que κ ´e calculada impondo a condi¸c˜ao inicial v(0) = v0. Logo, κ = v0 − E e, finalmente, temos v(t) = E componente for¸cada + v0 − E e− t RC componente transit´oria Profa. Grace S. Deaecto Eletricidade Aplicada ICT / Unifesp 9 / 51
  • 10. An´alise de circuitos RC, RL e RLC Circuito RC A solu¸c˜ao tamb´em poderia ser escrita da forma seguinte v(t) = v0e− t RC resposta `a entrada nula + E 1 − e− t RC resposta com c.i. nulas Para E = 10 [V ], v0 = 1 [V ], C = 1 [µF] e R = 1 [kΩ] a tens˜ao sobre o capacitor est´a apresentada no gr´afico a seguir. 0 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t [ms] v[V] Profa. Grace S. Deaecto Eletricidade Aplicada ICT / Unifesp 10 / 51
  • 11. An´alise de circuitos RC, RL e RLC Circuito RL Circuito RL autˆonomo L i R Aplicando a lei de Kirchhoff das tens˜oes no circuito RL de primeira ordem, com corrente inicial no indutor i(0) = i0, obtemos a seguinte equa¸c˜ao diferencial L di dt + Ri = 0, i(0) = i0 Profa. Grace S. Deaecto Eletricidade Aplicada ICT / Unifesp 11 / 51
  • 12. An´alise de circuitos RC, RL e RLC Circuito RL Circuito RL autˆonomo Como realizado no caso anterior, utilizaremos o m´etodo dos coeficientes a determinar para obter a sua solu¸c˜ao. Logo, a solu¸c˜ao procurada ser´a i(t) = κeλt , com κ = 0 e λ = 0 constantes a serem determinadas. Substituindo-a na equa¸c˜ao diferencial, temos, (Lλ + R)κeλt = 0 como eλt = 0 e i(0) = 0, conclu´ımos que Lλ + R = 0 equa¸c˜ao caracter´ıstica ⇒ λ = − R L e, portanto, a solu¸c˜ao fica i(t) = κe− R L t Profa. Grace S. Deaecto Eletricidade Aplicada ICT / Unifesp 12 / 51
  • 13. An´alise de circuitos RC, RL e RLC Circuito RL Circuito RL autˆonomo O valor da constante κ ´e determinado impondo a condi¸c˜ao inicial i(0) = i0. Logo, κ = i0 e a corrente no indutor ´e dada por i(t) = i0e− R L t 0 1 2 3 4 5 6 0,37 0,14 0,02 1 (R/L)t i/i0 O quociente L/R ´e cha- mado de constante de tempo. Transcorrido 4L/R a cor- rente se reduz a 2% do seu valor inicial. Profa. Grace S. Deaecto Eletricidade Aplicada ICT / Unifesp 13 / 51
  • 14. An´alise de circuitos RC, RL e RLC Circuito RL Circuito RL com fontes constantes i R LE + − A equa¸c˜ao diferencial que descreve o circuito ´e L di dt + Ri = E, i(0) = i0 sendo sua solu¸c˜ao do tipo i(t) = ih(t) + ip(t) em que ip(t) ´e a solu¸c˜ao particular e ih(t) ´e a solu¸c˜ao homogˆenea. Profa. Grace S. Deaecto Eletricidade Aplicada ICT / Unifesp 14 / 51
  • 15. An´alise de circuitos RC, RL e RLC Circuito RL Circuito RL com fontes constantes A solu¸c˜ao particular ´e dada por ip(t) = E/R. Para a obten¸c˜ao da homogˆenea, consideramos L di dt + Ri = 0 cuja solu¸c˜ao ´e ih(t) = κe− Rt L , em que a constante κ deve ser determinada impondo a condi¸c˜ao inicial i(0) = i0 na solu¸c˜ao geral i(t) = κe− Rt L + E R Logo, κ = i0 − E/R e, finalmente, temos i(t) = E R componente for¸cada + i0 − E R e− Rt L componente transit´oria Profa. Grace S. Deaecto Eletricidade Aplicada ICT / Unifesp 15 / 51
  • 16. An´alise de circuitos RC, RL e RLC Circuito RL Circuito RL com fontes constantes A solu¸c˜ao tamb´em poderia ser escrita da forma seguinte i(t) = i0e− Rt L resposta `a entrada nula + E R 1 − e− Rt L resposta com c.i. nulas Como j´a mencionado, se o circuito ´e linear, sempre ´e poss´ıvel obter a tens˜ao ou corrente do indutor ou capacitor, substituindo-se o restante do circuito por seu equivalente de Th´evenin ou Norton. Ademais, pelo teorema da substitui¸c˜ao podemos obter qualquer corrente ou tens˜ao no circuito original substituindo o indutor ou capacitor por sua tens˜ao ou corrente correspondente. Profa. Grace S. Deaecto Eletricidade Aplicada ICT / Unifesp 16 / 51
  • 17. An´alise de circuitos RC, RL e RLC Circuito RL Exemplo 1 I R1 C C R2 R3 R4 Vth Rth a b ≡ v(t) v(t) + + + − − − Para o circuito da figura acima, deseja-se encontrar a tens˜ao v entre os terminais do capacitor C com tens˜ao inicial v(0) = v0. Solu¸c˜ao : Note que o circuito pode ser representado pelo seu equivalente de Th´evenin e, portanto, a solu¸c˜ao pode ser obtida pelo m´etodo dos coeficientes a determinar discutido anteriormente. Profa. Grace S. Deaecto Eletricidade Aplicada ICT / Unifesp 17 / 51
  • 18. An´alise de circuitos RC, RL e RLC Circuito RL Exemplo 1 A tens˜ao de Th´evenin vista pelo capacitor ´e Vth = (R2R3 − R1R4)I R1 + R2 + R3 + R4 Sua resistˆencia de Th´evenin ´e a seguinte Rth = (R1 + R3)(R2 + R4) R1 + R2 + R3 + R4 Logo, a tens˜ao no capacitor ´e dada por v(t) = Vth + v(0) − Vth e − t RthC Substituindo o capacitor por uma fonte de tens˜ao de valor v(t) podemos obter qualquer tens˜ao ou corrente no circuito original. Profa. Grace S. Deaecto Eletricidade Aplicada ICT / Unifesp 18 / 51
  • 19. An´alise de circuitos RC, RL e RLC Circuito RL Solu¸c˜ao por inspe¸c˜ao Comparando a estrutura das solu¸c˜oes, tens˜ao no capacitor e corrente no indutor, percebemos uma grande semelhan¸ca. Qualquer tens˜ao ou corrente em um circuito linear de primeira ordem com fontes constantes ser´a da forma x(t) = x(∞) + x(0) − x(∞) eλt em que x(0) representa o valor inicial da corrente ou tens˜ao e x(∞) seu valor de regime. Como vimos λ = −1/RC ou λ = −R/L e R ´e a resistˆencia vista pelo capacitor ou indutor quando todas as fontes independentes s˜ao anuladas. Profa. Grace S. Deaecto Eletricidade Aplicada ICT / Unifesp 19 / 51
  • 20. An´alise de circuitos RC, RL e RLC Circuito com comuta¸c˜oes Circuitos com comuta¸c˜oes Circuitos com comuta¸c˜oes s˜ao aqueles que contˆem chaves. Para a determina¸c˜ao dos valores iniciais e finais das tens˜oes e correntes em um circuito de primeira ordem com fontes constantes podemos considerar os seguintes pontos : A tens˜ao (corrente) no capacitor (indutor) n˜ao pode variar instantˆaneamente. No instante inicial o capacitor (indutor) se comporta como uma fonte de tens˜ao (corrente) e, se descarregado, como um curto-circuito (circuito aberto). O valor final da tens˜ao (corrente) no capacitor (indutor) ´e constante, a corrente (tens˜ao) se anula e, portanto, o capacitor (indutor) ´e visto como um circuito aberto (curto-circuito). Profa. Grace S. Deaecto Eletricidade Aplicada ICT / Unifesp 20 / 51
  • 21. An´alise de circuitos RC, RL e RLC Circuito com comuta¸c˜oes Circuitos com comuta¸c˜oes A tabela a seguir resume os as afirma¸c˜oes apresentadas para a determina¸c˜ao dos valores iniciais e finais das vari´aveis. Capacitor Indutor Descarregado curto-circuito circuito aberto Carregado em Regime circuito aberto curto-circuito Profa. Grace S. Deaecto Eletricidade Aplicada ICT / Unifesp 21 / 51
  • 22. An´alise de circuitos RC, RL e RLC Circuito com comuta¸c˜oes Exemplo 2 R1 = 1 kΩ 10 µFR2 = 3 kΩ i(t) E = 10 V + − No circuito acima o capacitor est´a inicialmente descarregado. A chave ´e fechada em t = 0. Determine a corrente i(t). Solu¸c˜ao : No instante inicial em que a chave ´e fechada o capacitor ´e visto como um curto-circuito, logo i(0+ ) = E R1 = 10 1000 = 10 mA Profa. Grace S. Deaecto Eletricidade Aplicada ICT / Unifesp 22 / 51
  • 23. An´alise de circuitos RC, RL e RLC Circuito com comuta¸c˜oes Exemplo 2 Ap´os muito tempo com a chave fechada, o capacitor est´a totalmente carregado e, portanto, ´e visto como um circuito aberto. Logo, a corrente final ´e dada por i(∞) = E R1 + R2 = 10 4000 = 2,5 mA A resistˆencia equivalente de Th´evenin vista pelo capacitor ´e R = R1R2 R1 + R2 = 750 Ω e, consequentemente, λ = − 1 RC = − 103 7,5 [s−1 ] Finalmente, temos i(t) = 2,5 + 7,5e − 103t 7,5 [mA] Profa. Grace S. Deaecto Eletricidade Aplicada ICT / Unifesp 23 / 51
  • 24. An´alise de circuitos RC, RL e RLC Circuito com comuta¸c˜oes Exemplo 2 O gr´afico a seguir apresenta a corrente i(t). 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t [ms] i[mA] Profa. Grace S. Deaecto Eletricidade Aplicada ICT / Unifesp 24 / 51
  • 25. An´alise de circuitos RC, RL e RLC Circuito com comuta¸c˜oes Exemplo 3 1 2 60 V 4 Ω 12 Ω 3 Ω 6 Ω 18 Ω150 mH t = 0 t = 35 ms iL vL + + − − As duas chaves apresentadas no circuito est˜ao fechadas por um longo tempo. Em t = 0 a chave 1 ´e aberta. Ap´os 35 [ms] a chave 2 tamb´em se abre. 1 Encontre a corrente iL para 0 ≤ t < 35 [ms]. 2 Encontre a corrente iL para t ≥ 35 [ms]. 3 Qual a porcentagem da energia inicial armazenada no indutor ´e dissipada no resistor de 18 [Ω]. Profa. Grace S. Deaecto Eletricidade Aplicada ICT / Unifesp 25 / 51
  • 26. An´alise de circuitos RC, RL e RLC Circuito com comuta¸c˜oes Exemplo 3 − + 60 V 4 Ω 12 Ω 3 Ω 6 Ω iL Situa¸c˜ao anterior `a abertura das chaves. Solu¸c˜ao : 1) Durante o per´ıodo de tempo imediatamente anterior `a abertura das chaves, o indutor est´a completamente carregado e se comporta como um curto-circuito. Logo, a corrente no indutor ´e dada por iL(0− ) = 12//6//3 4 + 12//6//3 60 3 = 3 10 60 3 = 6 [A] e, portanto, iL(0−) = 6 [A]. Profa. Grace S. Deaecto Eletricidade Aplicada ICT / Unifesp 26 / 51
  • 27. An´alise de circuitos RC, RL e RLC Circuito com comuta¸c˜oes Exemplo 3 1 2 3 Ω 6 Ω 18 Ω iL 150 mH vL + − Situa¸c˜ao com a chave 1 aberta e 2 fechada. Como a corrente n˜ao pode variar instantˆaneamente no indutor, ap´os a abertura da primeira chave iL(0+) = 6 [A]. Ademais, i(∞) = 0, pois o indutor estar´a completamente descarregado. A resistˆencia equivalente vista pelos seus terminais ´e R = (3 + 6)//18 = 6 [Ω]. Portanto, no intervalo de 0 ≤ t < 35 [ms], a corrente ´e dada por iL(t) = 6e− 6 0.15 t [A] Profa. Grace S. Deaecto Eletricidade Aplicada ICT / Unifesp 27 / 51
  • 28. An´alise de circuitos RC, RL e RLC Circuito com comuta¸c˜oes Exemplo 3 3 Ω 6 Ω iL 150 mH vL + − Situa¸c˜ao com as chaves 1 e 2 abertas. 2) Quando t = 35 [ms], o valor da corrente no indutor ´e iL(0.035) = 6e−1.4 = 1.48 [A] Sua corrente iL(∞) = 0 e a resistˆencia equivalente vista pelos seus terminais ´e R = 6 + 3 = 9 [Ω]. Portanto, no intervalo de t ≥ 35 [ms], a corrente ´e dada por iL(t) = 1.48e− 9 0.15 (t−0.035) [A] Profa. Grace S. Deaecto Eletricidade Aplicada ICT / Unifesp 28 / 51
  • 29. An´alise de circuitos RC, RL e RLC Circuito com comuta¸c˜oes Exemplo 3 Os gr´aficos a seguir apresentam a corrente iL(t) e a tens˜ao vL no indutor. 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0 1 2 3 4 5 6 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 −40 −35 −30 −25 −20 −15 −10 −5 0 t [ms] t [ms] i[A]v[V] Note que a tens˜ao foi obtida facilmente atrav´es da rela¸c˜ao iL = LdiL dt . Profa. Grace S. Deaecto Eletricidade Aplicada ICT / Unifesp 29 / 51
  • 30. An´alise de circuitos RC, RL e RLC Circuito com comuta¸c˜oes Exemplo 3 3) Note que o resistor de 18 [Ω] est´a presente no circuito somente durante o intervalo de tempo 0 ≤ t < 35 [ms] em que sua corrente ´e iL(t) = 6e−40t [A] e sua tens˜ao ´e vL(t) = −36e−40t [V]. Logo, p = v2 L 18 = 72e−80t e, portanto, a energia dissipada no resistor ´e de w = 0.035 0 72e−80τ dτ = 845.27 [mJ] A energia inicial armazenada no indutor ´e de wa = 0.15 36 2 = 2700 [mJ] Podemos concluir que 31.31% da energia armazenada no indutor foi dissipada no resistor de 18 [Ω]. Profa. Grace S. Deaecto Eletricidade Aplicada ICT / Unifesp 30 / 51
  • 31. An´alise de circuitos RC, RL e RLC Circuito RLC - S´erie e Paralelo Circuito RLC Como ser´a visto a seguir, os circuitos RLC autˆonomos s˜ao descritos por equa¸c˜oes diferenciais de segunda ordem do tipo d2x dt2 + 2α dx dt + ω2 0x = 0, x(0) = x0, dx(0) dt = x1 em que os coeficientes α > 0 e ω0 > 0 s˜ao positivos pois os circuitos em estudo s˜ao passivos. O parˆametro α ´e chamado de amortecimento e ω0 de frequˆencia natural n˜ao amortecida. Como realizado anteriormente, a solu¸c˜ao pode ser procurada como uma fun¸c˜ao exponencial do tipo x(t) = κeλt com κ = 0 e λ = 0 coeficientes a serem determinados. Profa. Grace S. Deaecto Eletricidade Aplicada ICT / Unifesp 31 / 51
  • 32. An´alise de circuitos RC, RL e RLC Circuito RLC - S´erie e Paralelo Circuito RLC Substituindo esta solu¸c˜ao na equa¸c˜ao diferencial, temos (λ2 + 2αλ + ω2 0)κeλt = 0 o que implica em λ2 + 2αλ + ω2 0 = 0 equa¸c˜ao caracter´ıstica cujas duas ra´ızes λ1 = −α + α2 − ω2 0 λ2 = −α − α2 − ω2 0 reais ou complexas d˜ao ao sistema comportamentos distintos que ser˜ao cuidadosamente analisados a seguir. Profa. Grace S. Deaecto Eletricidade Aplicada ICT / Unifesp 32 / 51
  • 33. An´alise de circuitos RC, RL e RLC Circuito RLC - S´erie e Paralelo Circuito RLC Trataremos dos trˆes comportamentos diferentes que dependem das ra´ızes da equa¸c˜ao caracter´ıstica. Amortecimento forte : Se α > ω0 as ra´ızes da equa¸c˜ao caracter´ıstica λ1 e λ2 s˜ao reais, distintas e negativas e, portanto, sua solu¸c˜ao ser´a x(t) = κ1eλ1t + κ2eλ2t que tende para zero sem oscila¸c˜oes. Amortecimento fraco : Se α < ω0 as ra´ızes da equa¸c˜ao caracter´ıstica ficam λ1 = −α + jωd λ2 = −α − jωd em que ωd = ω2 0 − α2 ´e a frequˆencia natural amortecida. Elas s˜ao complexas conjugadas, com parte real negativa. Profa. Grace S. Deaecto Eletricidade Aplicada ICT / Unifesp 33 / 51
  • 34. An´alise de circuitos RC, RL e RLC Circuito RLC - S´erie e Paralelo Circuito RLC Sua solu¸c˜ao ser´a dada por x(t) = κ1e(−α+jωd )t + κ2e−(α−jωd )t Pela identidade de Euler temos, e(−α+jωd )t = e−αt cos(ωd t) + j sin(ωd t) e(−α−jωd )t = e−αt cos(ωd t) − j sin(ωd t) e, portanto, x(t) pode ser alternativamente escrita como x(t) = e−αt (κ1 + κ2) cos(ωd t) + j(κ1 − κ2) sin(ωdt) definindo A = κ1 + κ2 e B = j(κ1 − κ2), a solu¸c˜ao fica x(t) = e−αt A cos(ωd t) + B sin(ωd t) Profa. Grace S. Deaecto Eletricidade Aplicada ICT / Unifesp 34 / 51
  • 35. An´alise de circuitos RC, RL e RLC Circuito RLC - S´erie e Paralelo Circuito RLC A express˜ao deixa clara uma importante diferen¸ca entre as solu¸c˜oes com amortecimento forte e fraco. Nas solu¸c˜oes com amortecimento fraco, a solu¸c˜ao x(t) tende a zero de forma oscilat´oria. Amortecimento cr´ıtico : Se α = ω0 a equa¸c˜ao caracter´ıstica tem duas ra´ızes reais, iguais e negativas λ1 = λ2 = −α. Neste caso a solu¸c˜ao da equa¸c˜ao diferencial ´e x(t) = κ1e−αt + κ2te−αt e seu comportamento est´a no limiar de um amortecimento forte e fraco n˜ao tendo uma caracter´ıstica vis´ıvel. As constantes κ1 e κ2 podem ser determinadas resolvendo-se um sistema de segunda ordem obtido quando as condi¸c˜oes iniciais x(0) e dx(0)/dt s˜ao impostas. Profa. Grace S. Deaecto Eletricidade Aplicada ICT / Unifesp 35 / 51
  • 36. An´alise de circuitos RC, RL e RLC Circuito RLC - S´erie e Paralelo Circuito RLC Se o circuito possuir uma entrada independente u = 0, d2x dt2 + 2α dx dt + ω2 0x = u, x(0) = x0, dx(0) dt = x1 o procedimento para encontrar a sua solu¸c˜ao ´e idˆentico ao realizado para os circuitos de primeira ordem n˜ao-autˆonomos. Mais precisamente, a solu¸c˜ao ser´a do tipo x(t) = xp(t) + xh(t), sendo a particular obtida substituindo-se xp(t) = β na equa¸c˜ao diferencial de forma a determinar o valor de β = u/ω2 0. A solu¸c˜ao homogˆenea ´e a mesma obtida anteriormente em que os coeficientes κ1 e κ2 s˜ao determinados impondo as condi¸c˜oes iniciais x(0) e dx(0)/dt na solu¸c˜ao geral x(t) = κ1eλ1t + κ2eλ2t + u ω2 0 A seguir, estudaremos os circuitos RLC em s´erie e em paralelo. Profa. Grace S. Deaecto Eletricidade Aplicada ICT / Unifesp 36 / 51
  • 37. An´alise de circuitos RC, RL e RLC Circuito RLC - S´erie e Paralelo Circuito RLC em paralelo R L iL C v I + − Aplicando a lei das correntes de Kirchhoff, obtemos a seguinte equa¸c˜ao diferencial C dv dt + v R + iL = I que ´e fun¸c˜ao de v e iL. Ademais, note que v = L diL dt =⇒ dv dt = L d2iL dt2 Profa. Grace S. Deaecto Eletricidade Aplicada ICT / Unifesp 37 / 51
  • 38. An´alise de circuitos RC, RL e RLC Circuito RLC - S´erie e Paralelo Circuito RLC em paralelo o que nos permite escrever d2iL dt2 + 1 RC diL dt + iL LC = I LC com condi¸c˜oes iniciais iL(0) = i0 e diL(0)/dt = v0/L. Vamos primeiramente estudar a sua equa¸c˜ao homogˆenea (I=0). Note que a equa¸c˜ao caracter´ıstica ´e a seguinte λ2 + 1 RC λ + 1 LC = 0 Da discuss˜ao anterior, temos que α = 1/(2RC) e ω2 0 = 1/(LC). Profa. Grace S. Deaecto Eletricidade Aplicada ICT / Unifesp 38 / 51
  • 39. An´alise de circuitos RC, RL e RLC Circuito RLC - S´erie e Paralelo Circuito RLC em paralelo A solu¸c˜ao iL(t) ter´a um amortecimento forte se 1 2RC > 1 √ LC amortecimento fraco se 1 2RC < 1 √ LC Neste caso, a energia armazenada no circuito oscila entre os dois armazenadores e cada vez que ´e transferida perde energia. Se o amortecimento 1/(2RC) ´e nulo, ou seja, R = ∞, as ra´ızes da equa¸c˜ao caracter´ıstica s˜ao puramente imagin´arias e iL(t) = A cos(1/ √ LC) + B sin(1/ √ LC) com A e B a serem determinados. O circuito ´e chamado de oscilador harmˆonico linear pois oscila sem perder energia. Profa. Grace S. Deaecto Eletricidade Aplicada ICT / Unifesp 39 / 51
  • 40. An´alise de circuitos RC, RL e RLC Circuito RLC - S´erie e Paralelo amortecimento cr´ıtico se 1 2RC = 1 √ LC A solu¸c˜ao geral da equa¸c˜ao diferencial em estudo ´e iL(t) = κ1eλ1t + κ2eλ2t + I com λ1 = − 1 2RC + 1 2RC 2 − 1 LC λ2 = − 1 2RC − 1 2RC 2 − 1 LC em que κ1 e κ2 s˜ao determinados impondo as condi¸c˜oes iniciais iL(0) e diL(0)/dt = v(0)/L. Profa. Grace S. Deaecto Eletricidade Aplicada ICT / Unifesp 40 / 51
  • 41. An´alise de circuitos RC, RL e RLC Circuito RLC - S´erie e Paralelo Exemplo 4 Considere um circuito RLC em paralelo com R = 50 [Ω], L = 10 [H] e C = 1 [mF] e condi¸c˜oes iniciais iL(0) = 2 [A] e vL(0) = 10 [V] excitado por uma fonte de corrente de I = 1 [A]. 1) Calcule a corrente atrav´es do indutor. 2) Troque o resistor para R = 25 [Ω] e recalcule a corrente. 3) Fa¸ca o mesmo para R = 100 [Ω]. Solu¸c˜ao : 1) A equa¸c˜ao diferencial que descreve o circuito ´e d2iL dt2 + 20 diL dt + 100iL = 100 Note que 1/(2RC) = 1/ √ LC = 10 indicando que a resposta iL(t) possui amortecimento cr´ıtico. A equa¸c˜ao caracter´ıstica λ2 + 20λ + 100 = 0 possui duas ra´ızes reais iguais a λ1 = λ2 = −10, sendo a parte homogˆenea dada por iLh(t) = κ1e−10t + κ2te−10t Profa. Grace S. Deaecto Eletricidade Aplicada ICT / Unifesp 41 / 51
  • 42. An´alise de circuitos RC, RL e RLC Circuito RLC - S´erie e Paralelo Exemplo 4 N˜ao ´e dif´ıcil concluir que a solu¸c˜ao particular ´e iLh(t) = 1 sendo a geral dada por iL(t) = κ1e−10t + κ2te−10t + 1 Utilizando as condi¸c˜oes iniciais iL(0) = 2 [A], diL(0)/dt = 1 [V/H] e sabendo-se que diL dt = −10κ1e−10t + κ2e−10t (1 − 10t) temos que iL(0) = κ1 + 1 = 2 onde conclui-se que κ1 = 1 e que diL(0) dt = −10κ1 + κ2 = 1 portanto κ2 = 11. Logo, a solu¸c˜ao geral fica iL(t) = e−10t + 11te−10t + 1 [A] Profa. Grace S. Deaecto Eletricidade Aplicada ICT / Unifesp 42 / 51
  • 43. An´alise de circuitos RC, RL e RLC Circuito RLC - S´erie e Paralelo Exemplo 4 4) Neste caso, note que 1/(2RC) = 20 > 10 = 1/ (LC) indicando que a solu¸c˜ao iL(t) apresenta amortecimento forte. A equa¸c˜ao caracter´ıstica λ2 + 40λ + 100 = 100 possui duas ra´ızes reais distintas iguais a λ1 = −37.3 e λ2 = −2.7. Seguindo o mesmo procedimento realizado anteriormente encontramos que a solu¸c˜ao geral ´e dada por iL(t) = −0.1062e−37.3t + 1.1062e−2.7t + 1 [A] 5) Neste caso, note que 1/(2RC) = 5 < 10 = 1/ (LC) indicando que a solu¸c˜ao iL(t) apresenta amortecimento fraco. A equa¸c˜ao caracter´ıstica λ2 + 10λ + 100 = 100 possui duas ra´ızes complexas conjugadas iguais a λ1 = −5 + 8.66j e λ2 = −5 − 8.66j. Seguindo o mesmo procedimento realizado anteriormente encontramos que a solu¸c˜ao geral ´e dada por iL(t) = e−5t cos(8.66t) + 0.6928 sin(8.66t) + 1 [A] Profa. Grace S. Deaecto Eletricidade Aplicada ICT / Unifesp 43 / 51
  • 44. An´alise de circuitos RC, RL e RLC Circuito RLC - S´erie e Paralelo Exemplo 4 A seguir est˜ao apresentadas as correntes iL para cada um dos casos analisados. 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 t [s] iL[A] amortecimento cr´ıtico amortecimento forte amortecimento fraco Profa. Grace S. Deaecto Eletricidade Aplicada ICT / Unifesp 44 / 51
  • 45. An´alise de circuitos RC, RL e RLC Circuito RLC - S´erie e Paralelo Circuito RLC em s´erie R L vCC i E + + − − Aplicando a lei das tens˜oes de Kirchhoff, obtemos a seguinte equa¸c˜ao diferencial L di dt + Ri + vC = E que ´e fun¸c˜ao de vC e i. Ademais, note que i = C dvC dt =⇒ di dt = C d2vC dt2 Profa. Grace S. Deaecto Eletricidade Aplicada ICT / Unifesp 45 / 51
  • 46. An´alise de circuitos RC, RL e RLC Circuito RLC - S´erie e Paralelo Circuito RLC em s´erie o que nos permite escrever d2vC dt2 + R L dvC dt + vC LC = E LC com condi¸c˜oes iniciais vC (0) = v0 e dvC (0)/dt = i0/C. Vamos primeiramente estudar a sua equa¸c˜ao homogˆenea (E=0). Note que a equa¸c˜ao caracter´ıstica ´e a seguinte λ2 + R L λ + 1 LC = 0 Neste caso, temos que α = R/(2L) e ω2 0 = 1/(LC). Profa. Grace S. Deaecto Eletricidade Aplicada ICT / Unifesp 46 / 51
  • 47. An´alise de circuitos RC, RL e RLC Circuito RLC - S´erie e Paralelo Circuito RLC em s´erie A solu¸c˜ao vC (t) ter´a um amortecimento forte se R 2L > 1 √ LC amortecimento fraco se R 2L < 1 √ LC Neste caso, a energia armazenada no circuito oscila entre os dois armazenadores e cada vez que ´e transferida perde energia. Se o amortecimento R/(2L) ´e nulo, ou seja, R = 0, as ra´ızes da equa¸c˜ao caracter´ıstica s˜ao puramente imagin´arias e vC (t) = A cos(1/ √ LC) + B sin(1/ √ LC) com A e B a serem determinados. O circuito ´e chamado de oscilador harmˆonico linear pois oscila sem perder energia. Profa. Grace S. Deaecto Eletricidade Aplicada ICT / Unifesp 47 / 51
  • 48. An´alise de circuitos RC, RL e RLC Circuito RLC - S´erie e Paralelo amortecimento cr´ıtico se R 2L = 1 √ LC A solu¸c˜ao geral da equa¸c˜ao diferencial em estudo ´e vC (t) = κ1eλ1t + κ2eλ2t + E com λ1 = − R 2L + R 2L 2 − 1 LC λ2 = − R 2L − R 2L 2 − 1 LC em que κ1 e κ2 s˜ao determinados impondo as condi¸c˜oes iniciais vC (0) e dvC (0)/dt = i(0)/C. Profa. Grace S. Deaecto Eletricidade Aplicada ICT / Unifesp 48 / 51
  • 49. An´alise de circuitos RC, RL e RLC Circuito RLC - S´erie e Paralelo Exemplo 5 Considere um circuito RLC em s´erie com R = 280 [Ω], L = 100 [mH] e C = 0.4 [µF] excitado por uma fonte de tens˜ao cont´ınua de E = 48 [V]. A tens˜ao inicial no capacitor bem como a corrente no indutor s˜ao nulas. Determine a tens˜ao sobre o capacitor vC (t). Solu¸c˜ao : A equa¸c˜ao diferencial que descreve o circuito ´e d2vC dt2 + 2800 dvC dt + 25 × 106 vC = 1.2 × 109 Note que R/(2L) = 1400 < 5000 = 1/ √ LC indicando que a resposta vC (t) possui amortecimento fraco. A equa¸c˜ao caracter´ıstica λ2 + 2800λ + 25 × 106 = 0 possui ra´ızes complexas conjugadas iguais a λ1 = −1400 + 4800j e λ2 = −1400 + 4800j, sendo a parte homogˆenea dada por vCh(t) = e−1400t A cos(4800t) + B sin(4800t) Profa. Grace S. Deaecto Eletricidade Aplicada ICT / Unifesp 49 / 51
  • 50. An´alise de circuitos RC, RL e RLC Circuito RLC - S´erie e Paralelo Exemplo 5 A solu¸c˜ao geral ´e da forma vC (t) = 48 + e−1400t A cos(4800t) + B sin(4800t) onde as constantes A e B s˜ao encontradas impondo as condi¸c˜oes iniciais vC (0) = 0 e dvC (0)/dt = 0. Note que vC (0) = 48 + A = 0 o que implica em A = −48 e dvC (0)/dt = −1400A + 4800B = 0 o que implica em B = −14. Finalmente, a solu¸c˜ao geral ´e dada por vC (t) = 48 + e−1400t − 48 cos(4800t) − 14 sin(4800t) [V ] Profa. Grace S. Deaecto Eletricidade Aplicada ICT / Unifesp 50 / 51
  • 51. An´alise de circuitos RC, RL e RLC Circuito RLC - S´erie e Paralelo Exemplo 5 A trajet´oria no tempo de vC (t) est´a apresentada no gr´afico a seguir 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 0 10 20 30 40 50 60 70 t [ms] vC[V] Profa. Grace S. Deaecto Eletricidade Aplicada ICT / Unifesp 51 / 51