6 capacitores

Análise de circuitos elétricos CC e CA Pedro Barros Neto
6 - CAPACITORES
6.1 - Carga elétrica q
Átomo neutro – quando o número de elétrons é igual ao número de prótons.
Átomo carregado - a camada de valência dos átomos é que determina seu equilíbrio elétrico: se na
camada de valência de um átomo houver o ganho de um elétron, ele estará carregado negativamente
−q , e se houver a perda, estará carregado positivamente +q .
Coulomb C : é a quantidade de carga elétrica em deslocamento por um segundo, quando há no
circuito uma corrente elétrica de 1 Ampere A/ s .
Carga elétrica elementar e =1,602176487.10−19
C .
Ionização – ocorre quando um átomo neutro é submetido a alguma forma de energia que force a
alteração da sua camada de valência.
• Íon positivo ou Cátion. Exemplo Na
+
• Íon negativo ou Ânion. Exemplo F-
Materiais condutores elétricos – seus átomos têm de um a três elétrons na camada de valência, por
isso há facilidade em cedê-los aos átomos vizinhos quando submetidos a um campo elétrico. A
estrutura atômica e o número de elétrons de valência são os fatores que determinam a condutividade
elétrica dos materiais, a uma determinada temperatura.
Melhores condutores elétricos:
Prata Ag 1 elétron x 5 camadas. Cobre Cu 1 elétron x 4 camadas; Ouro Au 1 elétron x
6 camadas;
Materiais semicondutores elétricos – seus átomos puros têm 4 elétrons na camada de valência,
têm a forma cristalina, por se agruparem por covalência. Quado alterados por “dopagem” de outro
material, tornam-se condutores. Exemplos: Germânio G e e Silício Si .
Materiais isolantes elétricos – seus átomos têm de 5 a 8 elétrons na camada de valência, por isso
há dificuldade em cedê-los aos átomos vizinhos, quando submetidos a um campo elétrico.
Exemplos: plástico, vidro, tecido seco, óleo, etc..
Interação entre as cargas elétricas - As cargas elétricas de mesma polaridade se repelem e as de
polaridades opostas se atraem.
Eletrização – Fenômeno que promove o desequilíbrio de cargas elétricas de um material, causando
o acúmulo superficial de cargas com a mesma polaridade, e que se manifesta através de um Campo
Elétrico E externo à região do material com acúmulo de cargas iguais. Um corpo eletrizado está
“carregado estaticamente”.
Existem três formas de eletrização:
1. Atrito entre materiais isolantes (triboeletricidade): tem efeito duradouro.
1

◦ os isolantes têm a propriedade de ganhar ou perder elétrons quando são atritados entre si,
e a polaridade da carga que cada um adquire (ou perde), após o processo de atrito, é dada
em uma tabela triboelétrica.
2. Contato físico entre corpos condutores devidamente suportados por isolantes elétricos: se
um corpo estiver descarregado e o outro carregado, o contato entre ambos fará com que haja
uma equalização das cargas nos dois corpos, situação que se manterá após desfeito o
contato.
3. Indução de um material condutor:
◦ Com efeito temporário: ocorre quando um corpo indutor, de qualquer natureza e
eletricamente carregado, se aproxima de um corpo condutor estaticamente descarregado,
e que esteja suportado por um isolante elétrico. A superfície do condutor induzido fica
eletricamente desequilibrada, com um acúmulo de cargas contrárias às cargas indutoras
na região voltada para o corpo indutor. Esse desequilíbrio eletrostático, no corpo
induzido, só dura enquanto o corpo indutor estiver próximo. Ao se afastar o corpo
indutor, as cargas do corpo induzido voltam a se equilibrar e ele retorna ao estado
neutro.
◦ Com efeito duradouro: uma das formas de demonstração é induzir um corpo condutor
conectado eletricamente à terra, conforme descrito acima. Quando o corpo indutor
estiver muito próximo do corpo induzido, a superfície do condutor induzido, voltada
para o corpo indutor, ficará com um acúmulo de cargas elétricas contrárias às cargas
indutoras, e se o condutor de terra for desconectado, o corpo induzido permanecerá
carregado, mesmo que o corpo indutor se afaste, mas as cargas predominantes ficarão
distribuídas por igual, em toda a sua superfície.
Indução eletrostática - Fenômeno em que um corpo qualquer, eletricamente carregado, pode
alterar o equilíbrio elétrico de outro corpo condutor próximo, mesmo sem contato, pela ação do seu
campo elétrico, dentro do princípio de atração de cargas diferentes e repulsão de cargas iguais. O
corpo induzido fica também dotado de um campo elétrico externo e antagônico ao campo indutor, e
como as cargas superficiais acumulada nos dois corpos são de polaridades opostas, há uma atração
entre ambos.
Polarização molecular reversível – ocorre quando um material isolante é submetido a um campo
elétrico indutor: suas moléculas tendem a se alinhar na direção das linhas de força indutoras, de
forma que suas cargas ligadas tornam-se dipolos, fazendo com que na superfície do isolante,
voltada para o corpo indutor, apareçam cargas opostas às cargas indutoras. O material induzido
passa a ter um campo elétrico próprio, contrário ao campo indutor, mas com menor intensidade.
Outro fenômeno decorrente é a atração entre os corpos indutor e induzido.
Conservação das cargas elétricas – na natureza não há como se destruir ou criar matéria: a
quantidade absoluta de cargas elétricas no final da eletrização será a mesma do início. Há apenas a
“transferência” de cargas entre os corpos.
Campo elétrico E
É um ente físico invisível, vetorial e unipolar, que permeia todo o espaço ao redor de um corpo
carregado eletricamente.
É formado por linhas de força que nunca se cruzam, saindo das cargas positivas, ou entrando nas
cargas negativas.
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Nas cargas concentradas (pontuais) essas linhas têm direções radiais.
Lei de Coulomb - Se utilizarmos o vácuo como
meio onde uma carga de prova q0 é colocada a
uma distância r de uma carga indutora Q
fixa, dependendo das polaridades envolvidas, a
carga de prova será submetida a uma força de
atração ou repulsão, que é dada por:
F =k0
Q . qo
r ²
^r (6.01) o que nos mostra que a
força elétrica depende do produto das cargas que
interagem, e é inversamente proporcional ao
quadrado da distância entre essas cargas. Unidade
de medida: Newton N .
k0 é a constante de Coulomb, que depende diretamente da permissividade do vácuo e faz o
ajuste entre as unidades de medidas.
^r é o vetor unitário sobre a reta entre a carga indutora e a carga de prova.
A Intensidade de um campo elétrico gerado por uma carga indutora Q pode ser deduzida pela
relação entre a força (Lei de Coulomb) e uma carga de prova unitária q0 , presente em
determinado ponto sob influência de Q : E=
F
qo
(6.02). Unidade de medida:
Newton/Coulomb.
Substituindo (6.01) em (6.02), teremos a intensidade do campo elétrico de uma carga indutora Q
sobre uma carga induzida unitária q0=1Coulomb , dada por um vetor de módulo r ² e sentido
do vetor unitário ^r : E= k
Q
r ²
^r (6.03).
Densidade superficial de cargas elétricas σ ( sigma minúscula) – representa a distribuição
uniforme de cargas elétricas q , de mesmo sinal, sobre a superfície s plana ou esférica, de um
condutor carregado: σ=
dq
ds
Energia potencial elétrica Ue - Se uma carga elétrica de prova +q0 estiver dentro de um
campo elétrico produzido por uma carga indutora −Q , e a deslocarmos numa distância r ,
essa carga de prova vai adquirir uma energia potencial proporcional ao trabalho realizado no seu
deslocamento. A energia potencial elétrica é dada por:
Ue =F r onde temos: Ue ={ke
Q . qo
r ²
^r}r ou Ue ={ke
Q . qo
r
^r} , o que mostra que a
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energia potencial elétrica é inversamente proporcional à distância r . Unidade de medida: Joule
ou Newton x metro.
Diferença de potencial elétrico V – é a energia potencial de 1 Joule por Coulomb. Unidade de
medida: Volt. V =
Ue
q
Superfícies equipotenciais (fig. 6 – 03) – no espaço ao redor de uma
carga pontual existe a presença de um campo elétrico, dentro do qual
pode-se imaginar infinitas superfícies esféricas paralelas, cada uma
delas com sua própria distância da carga indutora. As superfícies
equipotenciais têm estas características:
• As linhas de força do campo elétrico são perpendiculares às
superfícies equipotenciais.
• Uma carga de prova colocada em qualquer posição de uma
dessas superfícies esféricas paralelas estará com o mesmo
potencial de atração ou repulsão, proporcional à distância r
entre as cargas.
Se em vez de uma carga pontual tivermos um corpo extenso e irregular, carregada e atuando como
indutor, da mesma forma, ao seu redor, pode-se imaginar infinitas superfícies espaciais paralelas e
equipotenciais, com a mesma forma do corpo indutor.
Rigidez dielétrica
Capacidade de um material isolante resistir à ruptura molecular, quando interposto entre dois
condutores energizados.
Cada material isolante tem sua rigidez dielétrica característica. Unidade de medida: KV /m .
Este fenômeno limita a tensão máxima aplicada ao capacitor, por isso os capacitores comerciais
trazem a indicação da tensão nominal de aplicação, dada em Volts.
Permissividade (ε – épsilon minúscula) – qualidade de um meio se polarizar eletricamente quando
submetido a um campo elétrico. Permissividade no vácuo ε0 =8,854.10−12
Farad/metro .
Constante dielétrica do isolante κ (kappa minúscula) k =
ε
εo
relação entre a permissividade
de determinado material com relação à permissividade do vácuo.
É um número adimensional que indica o quanto um campo elétrico afeta ou é afetado por um meio
isolante, se comparado com o vácuo. Os materiais isolantes mais utilizados têm seus valores de
k dados em tabelas, referidos a uma determinada espessura em metro. Determina o quanto
aumenta a capacidade de armazenamento de cargas elétricas de um capacitor, em relação ao vácuo
ou o ar.
A partir do vácuo, o ar é o material prático com a menor constante relativa ( =10006), por isso é
usado como referência para outros materiais.
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6.2 – CAPACITOR
Capacitor ideal – Componente elétrico passivo, reativo, não dissipativo e armazenador de energia
elétrica, composto de duas placas condutoras paralelas (armaduras) de área S em metro
quadrado, e separadas por um delgado meio isolante (dielétrico) com espessura d em metro. O
capacitor funciona por dois princípios:
• Separação das cargas elétricas nas suas placas condutoras, pela aplicação de uma diferença
de potencial entre elas, de forma que uma placa fique carregada negativamente (excesso de
elétrons) e a outra positivamente (falta de elétrons).
• indução eletrostática do meio isolante entre as duas placas, o que pode alterar a capacidade
de carga do componente, de acordo com o tipo de isolante, cujas características são:
◦ a rigidez dielétrica.
◦ a constante dielétrica ou permissividade relativa.
Capacitância C - É a constante de proporcionalidade que representa a quantidade de cargas
elétricas (Q em Coulomb) que cada volt aplicado pode armazenar nas placas do capacitor. Unidade
de medida: Farad (F), que significa 1 Coulomb / Volt. C =
Q
V
(6.04)
Na prática, usam-se submúltiplos do Farad: pF (picofarad) nF (nanofarad) e uF (microfarad).
Influência do dielétrico diferente do ar – Vejamos este exemplo: um capacitor com dielétrico de
ar está completamente carregado, e se conectarmos um voltímetro com resistência infinita nos seus
terminais vamos ler a mesma tensão V 1 da fonte utilizada no processo de carga.
Em seguida, se colocarmos um dielétrico de material plástico e completamente neutro entre suas
placas, o voltímetro nos mostrará uma tensão menor do que a anterior (V2<V1) , apesar de não
ter diminuído a carga elétrica (Q2=Q1) nas placas.
Essa tensão menor é resultado do enfraquecimento do campo elétrico entre as placas: o dielétrico
foi induzido pelas placas carregadas, e nas suas superfícies apareceram “cargas ligadas”, opostas às
cargas das placas, gerando seu próprio campo elétrico antagônico, porém mais fraco do que o
campo indutor.
Vamos analisar este caso a partir da expressão da capacitância (6.4), considerando que o capacitor
continua carregado. Como a carga nas placas permanece a mesma (Q2=Q1) , a diminuição da
tensão (V2<V1) vai forçar o aumento de C , para manter a relação Q =C .V Coulomb .
Isto nos mostra matematicamente que a presença do dielétrico provocou o aumento da Capacitância,
e se religarmos o capacitor na mesma tensão anterior, ele receberá mais carga.
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Geometria do capacitor - A variável Q é dependente da área das armaduras S , da constante
de permissividade do dielétrico k e da sua espessura d , assim como da forma construtiva do
capacitor.
A tensão VC entre as placas do capacitor é a sua “variável de estado”, que depende diretamente
do campo elétrico (E) no dielétrico e a sua espessura d : V = Ed .
O campo elétrico, por sua vez, depende diretamente da densidade superficial de cargas (σ) e
inversamente da permissividade do material do dielétrico ε , então E=
σ
ε
como σ=
Q
S
podemos escrever E=
Q
εS
a expressão da tensão será: VC =
Q
εS
d (6.05).
Substituindo (V) da expressão (6.01), teremos a capacitância em termos de fatores geométricos:
C=
Q
Q
εS
d
ou C =
εS
d
(6.06).
Reatância capacitiva XC - caracteriza a inércia do capacitor às variações da tensão elétrica. É
medida em Ohms e será detalhada no estudo de corrente alternada. Aparece também nos transitórios
de carga e descarga do capacitor em CC , embora a abordagem seja feita de outra forma, pois
cada transitório é um evento não cíclico, portanto sem a grandeza “frequência”, que é própria de
CA .
XC =
1
2π .f .C
onde:
• f é a frequência em Hz.
• 2πf é o fator de conversão para frequência angular ω em radianos/segundo.
• C é a capacitância em Farad.
Fatores a serem considerados antes da energização de um capacitor:
• Capacitância, pois quanto maior, maior será a corrente de pico na energização.
• Rigidez do dielétrico: fator limitador da tensão máxima sobre o capacitor.
Capacitor ideal em CA – resistência em série nula
RS =0Ω e resistência em paralelo infinita RP =∞ .
Sem indutância parasita Ls =0 Henry e reatância
XC puramente capacitiva.
Capacitor prático em CA – Todo capacitor prático
tem agregados espúrios:
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• Uma resistência em paralelo finita Rp , referente à fuga pelo dielétrico, que permite uma
lenta descarga ao longo do tempo.
• Uma resistência em série baixíssima Rs , referente às placas, e que influi no tempo de
carga ou descarga.
• Uma indutância parasita em série Ls , dependente da forma construtiva.
Numa análise prática, devem-se considerar essas grandezas agregadas, que por menores que sejam,
vão alterar a reatância capacitiva.
Tipos de capacitores - Na forma construtiva convencional ou na forma SMD (Surface Mount
Device), podem ser planos ou cilíndricos, e quanto ao tipo de dielétrico, podem ser despolarizados
ou polarizados.
Os capacitores polarizados, eletrolíticos ou tântalo, devem ser utilizados somente na polaridade
indicada, enquanto os despolarizados podem ser utilizados sem esse cuidado.
6.3 - COMPORTAMENTO TRANSITÓRIO DO CAPACITOR EM CC
Para o estudo do transitório de carga ou descarga do capacitor, vamos colocar um resistor em série
com a fonte de tensão, e assim teremos um circuito RC . A duração do transitório ocorre entre
t(0)→t(≥5τ) onde (tau) τ =RC é a constante de tempo do circuito.
Relação tensão x corrente do capacitor
Tensão instantânea no capacitor, em função da tensão de alimentação Vf e da constante de
tempo: v(t )=V f
[1−e
−
t
τ ] (6.07).
Corrente instantânea no capacitor em função da tensão instantânea: i(t)=C[dv(t)
dt ] (6.08).
Tensão instantânea no capacitor, em função da corrente:
Para deduzir a expressão da tensão instantânea, em função da corrente, vamos manipular a
expressão da corrente pela propriedade proporcional “o produto dos meios é igual ao produto dos
extremos” : C [dv(t)]=i(t)dt levar o termo da tensão para o primeiro membro
dv(t)=
1
C
[i(t )dt ] e integrar ambos os termos, separando a constante (C) fora do integrando:
∫dv(t )=
1
C
∫i(t )dt v(t )=
1
C
∫i(t )dt (6.09).
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Transitório de carga (fig. 6 - 06)
LTK do circuito RC , para carga do capacitor: −Vf +[vdR(t)+vC(t)]=0V ou
−Vf +Ri(t)+
[1
C
∫i(t)dt
]=0V .
Situação antes da carga: capacitor descarregado
Para esta análise vamos considerar que a chave está na posição (c → b) colocando o resistor
R em paralelo com o capacitor para ser descarregado, o que nos dará as seguintes condições
iniciais, antes da próxima carga:
• Tempo da descarga anterior : (t>5τ)
• Tensão no capacitor descarregado: VdC =0V
• Queda de tensão no resistor: VdR =0V
• Corrente no circuito: I =0 A
Instante de comutação da chave para a carga do capacitor
• Chave na posição (c → a) .
• Tempo inicial t =(0
+
)
• A fonte vai fornecer um degrau positivo de tensão 0→Vf
• A tensão no capacitor vai saltar bruscamente de “zero” para um valor positivo infinitesimal,
e a sua derivada no tempo tenderá para infinito positivo:
dv(0
−
)
dt
=0V → [
dv(0
+
)
dt
=∞]
• Corrente no circuito: i(0
+
)= IMÁX ou IMAX =
Vf
R
.
• Queda de tensão no resistor: vdR(0
+
)= R.I MÁX ou vdR(0
+
)=V f .
• LTK : vdR(0
+
)+vC(0
+
)=Vf ou −Vf +(R.IMÁX )+0=0 .
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Descrição do processo de carga
A reatância capacitiva de um capacitor descarregado “tende a zero” quando um pulso instantâneo de
tensão é aplicado sobre ele xC (0
+
)= 0Ω e o capacitor se comportará como um curto-circuito,
fazendo com que a tensão entre seus terminais seja “zero”. Isso provocará um pico de corrente
i(0
+
)= IMÁX , que só será limitado pela capacidade de fornecimento de uma fonte real de tensão,
ou por um resistor em série com uma fonte ideal, e neste caso a corrente de pico, será:
i(0+
)=
Vf
Rsérie
.
Após o pico inicial, e durante o transitório de carga, há um decremento contínuo e exponencial da
corrente no circuito RC i(0+
)=
Vf
R
→ i(t>5 τ)=0 A , enquanto, simultaneamente, a tensão
sobre o capacitor incrementa, também de forma contínua e exponencial, saindo de
vC (0
+
)=0 → vC (t>5 τ)=V f . Notar que a tensão final do capacitor, será a tensão da fonte, isso
porque o capacitor carregado é um circuito aberto para CC e não haverá queda de tensão no resistor
em série.
O decremento da corrente de carga é a resposta da reatância capacitiva instantânea xC (t) ao
decaimento da “derivada da tensão”:
dv(0+
)
dt
=∞ →
dv(t>5τ )
dt
=0 .
Se imaginarmos uma reta tangente à “curva de crescimento da tensão sobre o capacitor”, se
deslocando desde v(0+
) → v(t >5 τ) veremos que sua inclinação
dv(t)
dt
, em relação à
horizontal, inicia com brusco salto de 0° quando
dv(0
−
)
dt
=0 , para um ângulo próximo de 90°
quando
dv(0+
)
dt
≃∞ e nos instantes seguintes vai “declinando” até chegar novamente em 0°,
quando a tensão pára de crescer e atinge v(t >5τ )=V f .
Deduzir a expressão da tensão instantânea no capacitor em processo de carga vC (t ) :
• Condição inicial: descarregado q(0−
)=0C e v(0−
)=0V .
• Constantes: VS , R C e Q =V S C .
• Variável: q(t) e v(t ) .
A expressão (6.07) da LTK do circuito RC pode ser escrita como: Ri(t )+vC(t)=Vf
(6.08).
A partir da LTK , vamos utilizar as relações da carga elétrica (Q) com a tensão e a corrente no
capacitor: vC (t )=
q(t)
C
(6.10) e i(t)=
dq(t)
dt
(6.11) .
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Agora a LTK (6.08) ficará: R
dq
dt
+
q (t )
C
=Vf , que é uma EDO de primeira ordem, linear e
não homogênea. Para resolvê-la vamos fazer algumas manipulações algébricas para obtermos a
relação da carga no tempo, até alcançar a carga máxima Q =V f C (6.12) que é desdobramento
da definição de capacitância, dada na expressão (6.4) .
Dividir os termos por R e separar o termo “diferencial” :
dq
dt
=
Vf
R
−
q (t )
RC
Multiplicar o termo
V f
R
pela constante “C”, para que os termos do segundo membro tenham o
mesmo denominador:
dq
dt
=
Vf C
RC
−
q (t)
RC
dq
dt
=
(V f C)−q(t)
RC
. Substituindo Vf C =Q
(6.12), teremos
dq(q)
dt
=
Q−q(t )
RC
(6.13).
Para agruparmos os termos da carga (q) no segundo membro, vamos usar a propriedade
proporcional da “permuta dos meios” :
dt
RC
=
dq(t)
Q−q(t)
(6.14) .
Integrar os dois termos em função do tempo:
1
RC
∫
0
t
dt = ∫
q(0)
q(t)
1
Q−q(t)
dq . O primeiro membro
será:
t
RC
e então teremos:
t
RC
= ∫
q(0)
q(t)
1
Q−q(t)
dq (6.15) .
Vamos aplicar a regra da substituição para resolver o segundo membro: u=Q −q(t) (6.15)
Diferenciar em relação a (q):
du
dq
=
d
dq
[Q −q(t )] como
dQ
dq
=0 pois (Q) é constante, e
d(−q)
dq
=−1 , teremos:
du
dq
=−1 e dq=−du .
A expressão (6.14) será escrita como:
t
RC
= ∫
q(0)
q(t)
−1
u
du ou −
t
RC
= ∫
q(0)
q(t)
du
u
sendo
∫
du
u
=ln u teremos: −
t
RC
=ln |Q −q(t )|q(t)
q(0)
O primeiro membro desta expressão é relacionado ao tempo de carga do capacitor, e mostra o
negativo do inverso da constante de tempo −
1
τ
, o que nos dará uma curva exponencial
decrescente.
O segundo membro relaciona a carga instantânea −q(t) com a carga final Vf C =Q .
Aplicar os limites de integração: ln [Q−q(t) ]−ln [Q−q(0)] . Com a condição inicial
q(0−
)=0C , aplicar a propriedade “a subtração de logaritmos é igual ao logaritmo do
quociente”: −
t
τ
=ln
[Q−q(t)]
Q
Exponenciar os dois membros: e
−
t
τ
=
[Q−q(t)]
Q
Separar o
10

termo q(t) : Q−q(t)=Q e
−
t
τ
ou q(t)=Q−Q .e
−
t
τ
e colocar (Q) em evidência:
q(t)=Q[1−e
−
t
τ
] (6.16) .
Como a tensão instantânea sobre o capacitor vC (t ) é diretamente proporcional à carga, a
expressão (6.16) pode ser escrita: vC (t )=Vf
[1−e
−
t
τ ] (6.17)
Constante de tempo τ na carga do capacitor completamente descarregado (fig. 6 - 07)
Abordagem algébrica: sendo τ= RC , a partir da expressão (6.17) , se fizermos t = τ ou
t = RC , teremos: vC (τ )=Vf (1−e
−
τ
τ
) Sendo
−
τ
τ
=−1 , e−1
=
1
e
e
1
e
=0,367879 ,
podemos escrever (6.16) como:
vC (τ )=Vf (1−0,367879) ou
vC (τ )=Vf (0,632121) Onde a tensão do capacitor,
no instante t =τ estará com 63%de Vf .
Abordagem gráfica através da derivada:
Condição inicial: capacitor descarregado v(0
−
)=0V .
Se extrapolarmos o eixo do tempo (horizontal) para cima da curva da tensão, no gráfico da carga do
capacitor, ele vai tangenciá-la no ponto v(t >5 τ) onde a tensão já está estável no valor da
tensão da fonte Vf .
Se plotarmos uma reta tangente à curva da tensão, no ponto inicial da carga v(0
+
) , essa reta
cruzará a extrapolação do eixo do tempo no ponto t = τ segundos, e isso nos indica que, se a
carga fosse linear, o capacitor estaria completamente carregado quando t = τ .
Vamos achar o ângulo (a), formado por essa reta tangente com o eixo horizontal do tempo.
Derivar (6.17) em relação ao tempo:
dvC (t)
dt
=Vf
d
t
[1−e
−
t
τ
] . Como
d1
dt
= 0 ,
dvC(t)
dt
= Vf
[−e
−
t
τ
] d
dt
[−
t
τ ] e
dt
dt
=1 , então
dvC(t)
dt
=Vf
[− e
−
t
τ
][−
1
τ ] ou
11

dvC(t)
dt
=Vf [e
−
t
τ
τ ] . Como no ponto de tangenciamento t =0 , e sendo e
0
=1 ,
dvC(t)
dt
=
V f
τ
ou tan α =
Vf
τ
onde Vf é o cateto oposto e τ é o cateto adjacente.
O ângulo (α) é dado por: α =tan
−1 Vf
τ
.
Transitório de descarga (fig. 6 - 08)
Diferente do indutor, o capacitor ideal, plenamente carregado, ao ser desligado da fonte de tensão,
vai manter a sua carga indefinidamente, e a tensão entre seus terminais permanecerá a mesma da
fonte que o carregou VC (t>5τ )=Vf . Para o estudo do transiente de descarga do capacitor,
vamos considerar que o mesmo está plenamente carregado no instante em que o ligarmos em
paralelo com um resistor R com o interruptor na posição c→b .
Situação antes da descarga
• Duração do processo de carga anterior: (t>5τ) .
• Corrente no circuito no final da carga: i(t>5τ )=0 A , pois o capacitor comporta-se
como um circuito aberto. Como não há mais variação da tensão
dVf
dt
=0 , a reta
tangente ao gráfico da corrente está na horizontal, na ordenada I =0 A .
• Tensão inicial no capacitor carregado: Vo , que poderá ser Vo(t >5τ )=Vf .
• Queda de tensão no resistor: VdR =I .R ou VdR =0V .
• LTK para o capacitor totalmente carregado: −Vf +VdR+V C=0V ou
−VS+0+VdC = 0V .
Instante da comutação da chave para a descarga do capacitor
• Chave na posição c → b .
• Tempo inicial t =(0+
)
• Ao desconectar a fonte, ocorrerá um degrau de Vf →0V .
• Tensão no circuito no instante inicial: decai instantaneamente de v(0
+
)=V o para um
valor positivo infinitesimal, cuja derivada no tempo tende para o infinito negativo:
dv(0−
)
dt
=0 →
dv(0+
)
dt
=−∞ .
• Corrente no capacitor: a altíssima derivada negativa da tensão (queda brusca) provoca um
pico de corrente negativa (sentido inverso à corrente de carga), dado por
i(0
+
)=−
[Vo
(R)] . Aqui fica claro que a corrente de descarga é limitada pelo resistor.
12

• Queda de tensão no resistor: vdR(0+
)=i(0+
).R ou vdR(0+
)=vC (0+
) .
Descrição do processo de descarga (fig. 6 - 08)
Um capacitor carregado não reage à interrupção da tensão. Diferente do indutor, sua descarga só
ocorrerá se seus terminais estiverem num circuito que permita a dissipação da energia elétrica
acumulada.
No instante inicial de sua descarga, se sua tensão for igual à tensão da fonte, haverá um brusco
decaimento da tensão para um valor infinitesimal positivo e sua derivada no tempo será altíssima,
tendendo para um valor infinito negativo, o que provocará um pico de corrente negativa (sentido
contrário à corrente de carga).
Após o instante inicial da descarga:
• A tensão instantânea do capacitor vC (t ) vai decrementando contínua e exponencialmente
até zero, pois o capacitor está devolvendo a energia elétrica armazenada, que vai sendo
dissipada no resistor R .
• A corrente instantânea negativa do capacitor, também vai decrementando contínua e
exponencialmente até zero.
A LTK na descarga do capacitor sobre um resistor será: −vC (t )+vR(t)=0 onde o sinal de
menos na tensão do capacitor se deve ao fato dele ser a fonte de tensão do circuito, forçando a
corrente no sentido contrário à corrente de carga.
Dedução da expressão da tensão de descarga do capacitor
Condição anterior à descarga: carregado vC (0
−
)= Vf .
13

• da LTK teremos R.[−i(t )] =vC (t) (6.18) O sinal de (-) na corrente, significa que
está no sentido contrário ao processo de carga.
• A corrente instantânea, em função da carga Q , é dada por: i(t)=−[dq(t)
dt ] (6.19).
• A corrente instantânea, em função da tensão inicial no capacitor Vo , é dada por:
i(t)=−[Vo
R
e
−
t
τ
] (6.20).
• A tensão instantânea, em função da carga (Q), é dada por: vC (t )=
q(t)
C
(6.21).
Fazer as manipulações algébricas necessárias:
Substituir (6.19) e (6.21) em (6.18): R[−
dq(t )
dt ]=
q(t)
C
(6.22).
Dividir os dois termos por R −
dq(t)
dt
=
q(t).
RC
.
Vamos usar a propriedade proporcional da “permuta dos meios” para juntar os termos de Q no
primeiro membro:
dq(t)
q(t)
=−
dt
RC
Integrar os dois membros: ∫
t=0
t=Q
dq(t)
q(t)
=∫
0
t
−
dt
RC
ou
ln |q(t)|t=Q
t=0
=|−
t
RC
|t
0
.
Resolver os limites: ln q(t )− ln q(0)=−
t
RC
Aplicar a propriedade “a subtração de logaritmos é
igual ao logaritmo do quociente”:
ln
q(t )
q(0)
=−
t
RC
Exponenciar os dois termos:
q(t)
q(0)
=e
−
t
RC
.
Isolar q(t) no primeiro membro e fazendo
RC = τ e q(0)=q(off ) :
q(t)= q(off )[e
−
t
τ
] .
Como a tensão vC (t ) é diretamente proporcional a Q , teremos:
14

vC (t )=Vo [e
−
t
τ
] (6.23) onde Vo é a tensão inicial no capacitor.
Constante de tempo da descarga (τ) (fig. 6 - 09)
Abordagem algébrica: no processo de descarga, fazendo t = τ , a expressão (6.23) ficará:
vC (τ)=Vo [e
−
τ
τ
] como e
−1
=
1
e
e
1
e
= 0,367879 , teremos: vC (τ)=Vo 0,367879 e a
descarga no instante τ será 37%de Vo .
Abordagem da derivada: Se plotarmos uma reta tangente à curva da tensão instantânea no ponto
inicial da descarga v(0
+
) , essa reta cruzará o eixo do tempo no ponto t = τ segundos, e isso
nos indica que, se a descarga fosse linear, o capacitor estaria completamente descarregado quando
t = τ . Na prática, a descarga se completa no tempo t>5 τ .
Vamos achar o ângulo (a), formado por essa reta tangente com o eixo horizontal do tempo.
Derivar (6.19) no ponto t=0
+ dVo
dt
=Vo
d
dt
[e
−t
τ
] , onde Vo é a tensão inicial.
tan α =Vo[e
−
t
τ
]
d
dt
[−
t
τ ] . Sendo
dt
dt
=1 , teremos tan α =Vo
[e
−
t
τ
]
τ
. Como no ponto de
tangenciamento t =0
+
, e sendo e
0
=1 , teremos tan α =
Vo
τ
onde Vo é o cateto oposto
e τ é o cateto adjacente.
O ângulo (α) é dado por: α =tan−1 Vo
τ
.
Energia elétrica potencial acumulada no capacitor Ue
A energia potencial elétrica é armazenada no Campo elétrico entre as placas do capacitor.
Unidade de medida: Joule.
A carga instantânea de um capacitor é dada por q(t)=C .vC (t)
que mostra a relação linear com a tensão.
Por consequência, a capacitância será: C=
q(t)
vC (t)
que numa
representação gráfica será uma reta C, cuja inclinação é dada por :
α =tan
−1 q(t)
vC (t)
.
Nesse gráfico, a energia acumulada no capacitor é representada pela
área obtida pela integração do infinitésimo dUe=vC (t).dq no intervalo de t=0 →t=Q .
15

∫dU e = ∫
t=0
t=Q
vC (t).dq como vC (t )=
q(t)
C
∫dU e = ∫
t=0
t=Q
q(t)
C
dq constante fora do
integrando ∫dU e =
1
C
∫
t =0
t=Q
q(t)dq . resolvendo a integral Ue =
1
C
[q(t)]²
2
ou
Ue =
1
2
[q(t)]²
C
.
Como C =
q(t)
vC (t)
Ue =
1
2
[q(t)]².vC(t)
q(t)
ou Ue =
1
2
vC (t).q(t ) que representa a área do
triângulo sob a reta C . Como q(t)=C .vC (t) então Ue =
1
2
C[ vC (t)]² .
ASSOCIAÇÃO EM SÉRIE DE CAPACITORES IDEAIS CC
Informação prática: este tipo de associação é empregada quando é necessário uma capacitância
com valor diferente dos valores comerciais, ou quando não se tem à mão um capacitor com tensão
nominal suficiente para o circuito. Preferencialmente devem-se usar capacitores com as mesmas
características.
• O tempo de carga ou descarga t>5τ será proporcional à capacitância equivalente:
τ = RCEQ .
Supondo-se os dielétricos com a mesma permissividade ε , o capacitor equivalente CEQ terá:
• um “dielétrico espesso”, igual à soma das espessuras d dos dielétricos individuais:
dEQ =d1+d2+…dn .
• A área S das placas equivalentes será igual à média das áreas individuais:
SEQ =
S1+S2+…Sn
n
.
• Capacitância equivalente: será menor do que a menor capacitância individual:
◦ Com capacitores diferentes: CEQ =
1
1
C1
+
1
C2
+
1
C3
+...
1
Cn
(6.24)
◦ Com(n) capacitores iguais: CEQ =
C
n
(6.25)
◦ Dois capacitores diferentes: CEQ =
C1 x C2
C1+C2
(6.26)
16

• Corrente instantânea i(t)=C[
dv(t)
dt
] será a mesma em todos dos capacitores, e quando
termina o processo de carga, não haverá mais corrente no circuito. A carga individual será
igual à carga equivalente: QEQ =CEQ. V EQ (6.27)
• Tensão instantânea individual: vCn (t)=
1
Cn
∫i(t)dt (6.28) inversamente proporcional à
capacitância individual.
• Como a corrente é a mesma em todos os capacitores, a tensão instantânea no capacitor
equivalente é a soma das tensões individuais:
VdCEQ (t)=VdC 1(t)+VdC 2(t)+...VdCn(t ) (6.26)
Exemplo da figura 6 – 11:
1
C EQ
=
1
1(10−6
)
+
1
5(10−6
)
+
1
10(10−6
)
1
CEQ
=(1+0,2+0,1)10
−6 1
CEQ
=1,3(10
−6
)
CEQ =(
1
1,3
)10
−6
ou CEQ =0,769μ F .
QEQ =0,000.000.769F .5V QEQ =0,000.003.845Coulomb .
Tensões individuais por divisor de tensão: VdCn =
CEQ xVdEQ
Cn
VdC 1 =
(0,769 x5)
1
VdC 1 =
3,845
1
VdC 1 =3,845V .
VdC 2 =
3,845
5
VdC 2 =0,769V .
17

VdC 3 =
3,845
10
VdC 3 =0,384V .
Notar que a queda de tensão individual, após a carga, é inversamente proporcional à respectiva
capacitância.
De (6.26): VdCEQ =3,84+0,77+0,38 ou VdCEQ =5V Pela LTK , após o transitório de
carga, a tensão sobre o capacitor equivalente deve ser igual à tensão da fonte (Vf).
A tensão nominal de isolamento, do capacitor equivalente, é a soma das tensões nominais
individuais. V =50+50+50 V =150V .
ASSOCIAÇÃO EM PARALELO DE CAPACITORES CC
Informação prática: este tipo de associação (fig. 6 – 12) é empregada quando é necessário uma
capacitância com valor diferente dos valores comerciais ou quando não se tem à mão capacitor com
capacitância elevada. Preferencialmente deve-se usar capacitores com a mesma tensão nominal (!).
Supondo-se os dielétricos com a mesma permissividade ε , o capacitor equivalente terá:
◦ Dielétrico com a espessura média dEQ =
d1+d2+…dn
n
.
◦ Placas com área igual à soma das áreas das placas individuais SEQ =S1+S2+… Sn
• Capacitância equivalente: soma das capacitâncias individuais Ceq =C1+C2+C3+...Cn
• A tensão nominal do capacitor equivalente será igual à de menor valor (!).
• A corrente instantânea individual iCn(t)=Cn [
dv(t)
dt
] é diretamente proporcional à
capacitância.
• A corrente instantânea de carga / descarga do capacitor equivalente é a soma das correntes
individuais instantâneas.
• A queda de tensão instantânea individual será a mesma sobre todos os capacitores:
vdCn(t)=
1
Cn
∫i(t)dt Como a carga é diretamente proporcional à tenção, o capacitor
menor carrega / descarrega primeiro, mas a carga / descarga continua nos outros capacitores,
até o maior capacitor completar o processo, e então não haverá mais corrente no circuito.
18

Exemplo da figura (6 – 12):
CEQ =1(10
−6
)+5(10
−6
)+10(10
−6
) CEQ =16(10
−6
)F ou CEQ =16μ F .
A tensão nominal de isolamento do capacitor equivalente será a menor tensão individual:
V EQ =50V .
Os capacitores também podem ser associados de forma planar mista simples: em série / paralelo, e
também podem ser associados de forma especial, planar e não planar : delta, estrela, cubo, pirâmide,
etc...
19

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