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Oscilações Eletromagnéticas
e Corrente Alternada
Cap. 31
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31-1 Oscilações Eletromagnéticas
Oito estágios em um ciclo de
oscilação de um circuito LC sem
resistência. Os histogramas
mostram a energia armazenada no
campo magnético e no campo
elétrico. Também são mostradas as
linhas de campo magnético do
indutor e as linhas de campo
elétrico do capacitor. (a) O ca-
pacitor está totalmente carre-
gado; a corrente é zero. (b) O
capacitor está se descarregando;
a corrente está aumentando. (c) O
capacitor está totalmente descar-
regado; a corrente é máxima. (d) O
capacitor está se carregando com
a polaridade oposta à de (a); a
corrente está diminuindo.
(e) O capacitor está totalmente carregado com a polaridade oposta à de (a); a corrente é
zero. (f) O capacitor está se descarregando; a corrente está aumentando no sentido oposto
ao de (b). (g) O capacitor está totalmente descarregado; a corrente é máxima. (h) O capacitor
está se carregando; a corrente está diminuindo.

As partes a a h da Fig. 31-1
mostram estágios sucessivos das
oscilações de um circuito LC
simples. A energia armazenada no
campo elétrico do capacitor é
onde q é a carga no capacitor em
qquer instante. A energia
armazenada no campo magnético
do indutor é
onde i é a corrente através do
indutor em qualquer instante.
As oscilações resultantes do campo elétrico no capacitor e do campo magnético
no indutor são ditas serem oscilações eletromagnéticas.

Pela tabela podemos deduzir a correspondência entre estes
sistemas. Então,
q corresponde a x, 1/C corresponde a k,
i corresponde a v, e L corresponde a m.
As correspondências listadas acima sugerem que para encontrar a
frequência angular de oscilação para um circuito LC ideal (sem
resistência), k deveria ser substituído por 1/C e m por L, levando a

Oscilador LC
A energia total U presente a todo instante num circuito LC oscilador é dada por
onde UB é a energia armazenada no campo magnético do indutor e UE é a
energia armazenada no campo elétrico do capacitor. Uma vez que assumimos
que a resistência é zero, nenhuma energia é transformada em energia térmica e
U permanece constante no tempo. Mais formalmente, dU/dt deve ser zero. Isto
leva à
Entretanto, i = dq/dt e di/dt = d2q/dt2. Com estas subsituições, obtemos
Esta é a equação diferencial que descreve as oscilações de um circuito LC sem
resistência.

Oscilações de Carga e Corrente
A solução para a equação diferencial que descreve as oscilações de um circuito
LC sem resistência é
Onde Q é a amplitude das variações de carga, ω é a frequência angular das
oscilações eletromagnéticas, e ϕ é a constante de fase. Tomando a primeira
derivada da equação acima com respeito ao tempo nos dá a corrente:
Answer: (a) εL= 12 V
(b) UB=150 μJ

Oscilações da Energia Elétrica e Magnética
A energia elétrica armazenada no circuito LC num instante
t é,
A energia magnética é,
A Figura mostra gráficos de UE (t) e UB (t) para o caso de
ϕ=0. Note que
1. Os valores máximos de UE e UB são ambos Q2/2C.
2. Em qualquer instante a soma de UE e UB é igual a
Q2/2C, uma constante.
3. Quando UE é máximo, UB é zero, e o inverso.
As energias magnética
e elétrica no circuito LC
como função do tempo.

A energia eletromagnética total diminui com o tempo, pois
parte da energia é transformada em energia térmica. A
taxa de transformação é dada por
o sinal de menos indica que U diminui com o tempo.
Derivando em relação ao tempo e substituindo o resultado
na Eq. anterior, obtemos
que é a equação diferencial para as oscilações
amortecidas de um circuito RLC.
31-2 Oscilação Amortecida em um circuito RLC
Para analisar as oscilações do circuito, necessitamos de
uma equação que expresse a energia eletromagnética total
U no circuito em função do tempo. Como a resistência não
armazena energia eletromagnética, podemos escrever
Diminuição da Carga. A solução da Eq. acima é
onde e .
Circuito RLC série.
Enquanto a carga contida no
circuito oscila entre o indutor
e o capacitor, parte da
energia do circuito é
dissipada no resistor, o que
reduz progressivamente a
amplitude das oscilações.

31-3 Oscilações Forçadas de Três Circuitos Simples
Oscilações Forçadas
Nos geradores de corrente
alternada, uma espira condutora é
forçada a girar na presença do
campo magnético externo. Na
prática, a força eletromotriz induzida
em uma bobina com muitas espiras
é colhida por escovas que se
apoiam em anéis rotativos solidários
com bobina. Cada anel está ligado a
uma extremidade da bobina e faz
contato com o resto do circuito do
gerador por meio de uma das
escovas.
Qualquer que seja a frequência angular natural ω de um circuito, as
oscilações forçadas de carga, corrente e diferença de potencial
acontecem na frequência angular de excitação ωd.
Por que Usar CA? A principal vantagem da
corrente alternada é a seguinte: Quando a corrente
muda de sentido, o mesmo acontece com o campo
magnético nas vizinhanças do condutor. Isso torna
possível usar a lei de indução de Faraday, o que,
entre outras coisas, significa que podemos
aumentar ou diminuir à vontade a diferença de
potencial usando um dispositivo, conhecido como
transformador, que será discutido mais tarde. Além
disso, a corrente alternada é mais fácil de gerar e
utilizar que a corrente contínua no caso de
máquinas rotativas como geradores e motores.

Carga Resistiva
A amplitude da tensão e a amplitude da corrente estão
relacionadas pela equação
Onde VR e IR são as amplitudes da corrente alternada iR e diferença
de potencial alternada vR que atravessa a resistência no circuito.
Velocidade angular: Os dois fasores giram em torno
da origem no sentido anti-horário com uma velocidade
angular igual à frequência angular ωd de vR e iR.
Comprimento: O comprimento de cada fasor
representa a amplitude de uma grandeza alternada, VR
no caso da tensão e IR no caso da corrente.
Projeção: A projeção de cada fasor no eixo vertical
representa o valor da grandeza alternada no instante t,
vR no caso da tensão e iR no caso da corrente.
Ângulo de rotação: O ângulo de rotação de cada fasor
é igual à fase da grandeza alternada no instante t.
Circuito formado
por um resistor e
um gerador de
corrente alternada.
(a) Gráfico da corrente iR no resistor e da
diferença de potencial vR entre os terminais
do resistor em função do tempo t. A
corrente e a diferença de potencial estão
em fase e completam um ciclo em um
período T. (b) Diagrama fasorial
correspondente ao gráfico mostrado em (a).

Carga Capacitiva
A reatância capacitiva de um capacitor é definida como
Seu valor depende não apenas da capacitância, mas
também da frequência angular de excitação ωd.
A amplitude da tensão e a amplitude da corrente estão rela-
cionadas pela equação
(a) A corrente no capacitor está adiantada de 90o (=
π/2 rad) em relação à tensão. (b) Diagrama fasorial
correspondente ao gráfico que está mostrado em (a).
Circuito formado por um
capacitor C e um gerador
de corrente alternada.
Enquanto os fasores que
representam as duas grandezas
giram com a mesma velocidade
angular no sentido anti-horário, o
fasor IC se mantém à frente do fasor
VC, e o ângulo entre os dois fasores
tem um valor constante de 90o, ou
seja, quando o fasor IC coincide com
o eixo vertical, o fasor VC coincide
com o eixo horizontal.

Carga Indutiva
A reatância indutiva de um indutor é definida como
Seu valor depende não apenas da indutância, mas também
da frequência angular de excitação ωd.
A amplitude da tensão e a amplitude da corrente:
(a) A corrente no indutor está adiantada de 90o (=
π/2 rad) em relação à tensão. (b) Diagrama fasorial
correspondente ao gráfico mostrado em (a).
Circuito formado por um
indutor L e um gerador de
corrente alternada.
Enquanto os fasores que
representam as duas grandezas
giram com a mesma velocidade
angular no sentido anti-horário, o
fasor VL se mantém à frente do
fasor IL e o ângulo entre os dois
fasores tem um valor constante de
90o, ou seja, quando o fasor VL
coincide com o eixo vertical, o
fasor IL coincide com o eixo
horizontal.

31-4 O Circuito RLC em Série
Para um circuito RLC em série com uma
fem externa dada por
A corrente é dada por
A amplitude da corrente é dada por
O denominador na equação acima é chamado de impedância Z do circuito
para a frequência angular de excitação ωd.
Se substituirmos os valore de XL e XC na equação para a corrente (I), a
equação se torna:
Circuito RLC em série
com uma fem externa

31-4 O Circuito RLC em Série
De acordo com o triângulo de fasores da direita na Fig.(d):
Constante de fase
A amplitude da corrente I é máxima quando a freq. angular de excitação ωd se
iguala à freq. angular natural ω do circuito, uma condição conhecida como
ressonância. Então XC= XL, ϕ = 0, e a corrente está em fase com a fem.
Circuito RLC em série
com uma fem externa

31-5 Potência em Circuitos de Corrente Alternada
A taxa instantânea com a qual energia é dissipada no resistor
pode ser escrita como
Em um ciclo completo, o valor médio de senθ, onde θ é uma
variável qualquer, é zero (Fig.a) mas o valor médio de sen2θ é
1/2(Fig.b). Então a potência é,
A quantidade I/ √2 é chamada de valor médio quadrático, ou
rms, valor da corrente i:
Podemos também definir valores rms de tensões e fems para
circuitos de corr. alternada:
Num circuito RLC em série, a potência média Pméd da fonte é
igual à taxa de produção de energia térmica no resistor:
(a) Gráfico de sen θ em
função de θ. O valor
médio da função ao
longo de um ciclo é
zero.
(b) Gráfico de sen2 θ em
função de θ. O valor
médio da função ao
longo de um ciclo é
1/2.

31-6 Transformadores
Um transformador (assumido ideal) é um núcleo de
ferro no qual são enroladas uma bobina primária
com Np voltas e uma secundária com Ns voltas. Se
a bobina primária é ligada a um gerador de corrente
alternada, as voltagens primária e secundária estão
relaciodadas por
Um transformador ideal, formado
por duas bobinas enroladas em
um núcleo de ferro, ligado a uma
fonte e uma carga. Um
gerador de corrente alternada
produz uma corrente no
enrolamento da esquerda (o
primário). O enrolamento da
direita (o secundário) é
ligado à carga resistiva R
quando a chave S é fechada.
Transferência de Energia. A taxa na qual o gerador
transfere energia para o primário é igual a IpVp. A taxa
na qual o primário então transfere energia para o
secundário (através do campo mag. alternado ligando
as duas bobinas) é IsVs. Uma vez que assumimos não
haver perdas de energia no caminho, conservação de
energia requer que
A resistência equivalente do circuito secundário,
como visto pelo gerador, é

31 Sumário
Transform. de Energia em LC
• Em um circuito LC oscilante, os
valores instantâneos das duas
formas de energia são
Eq. 31-1&2
Oscilações Amortecidas
• Oscilações num circuito LC são
amortecidas quando um elemento
dissipativo R está presente. Então
• A solução desta equação
diferencial é
Eq. 31-24
Oscilações de Carga e de
Corrente em um Circuito LC
• O princípio de conservação de
energia leva à
• A solução da Eq. 31-11 é
• A frequência angular das
oscilações é
Eq. 31-11
Eq. 31-12
Eq. 31-4
Eq. 31-25
Correntes Alternadas;
Oscilações Forçadas
• Um circuito RLC em série pode ser
forçado a oscilar numa frequência
de excitação por uma fem alternada
externa
• A corrente produzida no circuito é
Eq. 31-28
Eq. 31-29

31 Sumário
Circuitos RLC Série
• Para um circuito RLC em série com
uma fem externa alternada e uma
corrente alternada resultante,
• E a constante de fase é,
• A impedância é
Eq. 31-60&63
Transformadores
• Tensões primária e secundária num
transformador são relacionadas por
• As correntes pelas bobinas,
• A resistência equivalente do circuito
secundário, como vista pelo
gerador, é
Eq. 31-79
Eq. 31-80
Eq. 31-65
Eq. 31-61
Potência
• Num circuito RLC em série, a pot.
média fornecida pelo gerador é,
Eq. 31-71&76
Eq. 31-82

31 Exercícios
Halliday 10ª. Edição
Cap. 31:
Problemas 3; 10; 11; 17; 26; 30; 33; 38; 56; 64

31 Problema 31-3
Em um circuito LC oscilante, a energia total é convertida de energia
elétrica no capacitor em energia magnética no indutor em 1,50 μs.
Determine (a) o período das oscilações e (b) a frequência das
oscilações. (c) Se a energia magnética é máxima em um dado instante,
quanto tempo é necessário para que ela seja máxima novamente?

31 Problema 31-10
Osciladores LC têm sido usados em circuitos ligados a alto-falantes para
criar alguns dos sons da música eletrônica. Que indutância deve ser
usada com um capacitor de 6,7 μF para produzir uma frequência de 10
kHz, que fica aproximadamente na metade da faixa de frequências
audíveis?

31 Problema 31-11
Um capacitor variável, de 10 a 365 pF, e um indutor formam um circuito
LC de frequência variável usado para sintonizar um receptor de rádio. (a)
Qual é a razão entre a maior frequência e a menor frequência natural
que pode ser obtida usando este capacitor? Se o circuito deve ser usado
para obter frequências entre 0,54 MHz e 1,60 MHz, a razão calculada no
item (a) é grande demais. A faixa de frequências pode ser modificada
ligando um capacitor em paralelo com o capacitor variável. (b) Qual
deve ser o valor da capacitância adicional para que a faixa de
frequências seja a faixa desejada? (c) Qual deve ser a indutância do
indutor do circuito?

31 Problema 31-17
Na Fig. 31-28, R = 14,0 Ω, C = 6,20 μF, L = 54,0 mH e a fonte ideal tem
uma força eletromotriz = 34,0 V. A chave é mantida na posição a por um
longo tempo e depois é colocada na posição b. Determine (a) a
frequência e (b) a amplitude das oscilações resultantes.

31 Problema 31-26
Em um circuito RLC série oscilante, determine o tempo necessário para
que a energia máxima presente no capacitor durante uma oscilação
diminua para metade do valor inicial. Suponha que q = Q em t = 0.

31 Problema 31-30
Um resistor de 50,0 Ω é ligado, como na Fig. 31-8, a um gerador de
corrente alternada com a força eletromotriz igual a 30,0 V. Determine a
amplitude da corrente alternada resultante se a frequência da força
eletromotriz para (a) 1,00 kHz e (b) 8,00 kHz.

31 Problema 31-33
Um gerador de corrente alternada tem uma força eletromotriz igual a
sen(ωdt − π/4), em que em = 30,0 V e ωd = 350 rad/s. A corrente
produzida no circuito ao qual o gerador está ligado é i(t) = I sen(ωdt −
3π/4), em que I = 620 mA. Em que instante após t = 0 (a) a força
eletromotriz do gerador atinge pela primeira vez o valor máximo e (b) a
corrente atinge pela primeira vez o valor máximo? (c) O circuito contém
um único componente além do gerador. Trata-se de um capacitor, de um
indutor ou de um resistor? Justifique sua resposta. (d) Qual é o valor da
capacitância, da indutância ou da resistência desse componente?

31 Problema 31-38
A Fig. 31-30 mostra a amplitude I da corrente em função da frequência
angular de excitação ωd de um circuito RLC. A escala do eixo vertical é
definida por Is = 4,00 A. A indutância é 200 μH e a amplitude da força
eletromotriz é 8,0 V. Determine o valor (a) de C e (b) de R.

31 Problema 31-56
Um dimmer típico, como os que são usados para regular a luminosidade
das lâmpadas do palco nos teatros, é composto por um indutor variável L
(cuja indutância pode ser ajustada entre zero e Lmáx) ligado em série com
uma lâmpada B, como mostra a Fig. 31-34. O circuito é alimentado com
uma tensão de 120 V rms, 60 Hz; a lâmpada é de 120 V, 1000 W. (a)
Qual deve ser o valor de Lmáx para que a potência dissipada na
lâmpada possa variar entre 200 e 1000 W? Suponha que a resistência
da lâmpada é independente da temperatura. (b) É possível usar um
resistor variável (ajustável entre zero e Rmáx) em vez de um indutor? (c)
Nesse caso, qual deve ser o valor de Rmáx? (d) Por que não se usa esse
método?

31 Problema 31-64
A Fig. 31-37 mostra um autotransformador, um
componente no qual uma bobina com três
terminais é enrolada em um núcleo de ferro. Entre
os terminais T1 e T2 existem 200 espiras, e entre
os terminais T2 e T3 existem 800 espiras.
Qualquer par de terminais pode ser usado como
os terminais do primário, e qualquer par de
terminais pode ser usado como os terminais do
secundário. Para as escolhas que resultam em um
transformador elevador de tensão, determine (a) o
menor valor da razão Vs/Vp, (b) o segundo menor
valor da razão Vs/Vp e (c) o maior valor da razão
Vs/Vp . Para as escolhas que resultam em um
transformador abaixador de tensão, determine (d)
o menor valor da razão Vs/Vp , (e) o segundo
menor valor da razão Vs/Vp e (f) o maior valor da
razão Vs/Vp .

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