1 teoria da corrente elétrica

Análise de circuitos elétricos CC e CA Pedro Barros Neto
1 – TEORIA DA CORRENTE ELÉTRICA
Corrente elétrica I – é a taxa temporal do fluxo de cargas elétricas q através de um meio
condutor, expressa por: I =
dq
dt
, com “t” em segundo e “q” em coulomb.
Unidade de medida: ampere A ou coulomb / segundo.
A medição da corrente elétrica é feita com o amperímetro (ver medições elétricas).
Como é impossível medir diretamente a quantidade de cargas elétricas em movimento, buscou-se
um meio indireto de medir a intensidade da corrente elétrica pelo seu efeito (Lei de Oerested): um
condutor percorrido por corrente elétrica cria um campo magnético ao seu redor, capaz de interagir
com um campo magnético próximo.
Definição do ampere no SI: esta definição é obtida em laboratório com a utilização da “balança de
corrente elétrica”.
Dois condutores retos, compridos e paralelos, separados de 1m no vácuo, quando percorridos por
uma corrente de 1 ampere são atraídos com uma força de 2 x 10 -7
N, por metro dos condutores.
Portadores de cargas elétricas - somente os elétrons −q podem se movimentar na estrutura
molecular dos materiais condutores, semicondutores dopados e no vácuo, mas o estudo da
eletricidade pode ser feito com dois tipos portadores:
• Corrente real: considera-se que a corrente elétrica se dará com cargas elétricas negativas,
que se deslocam do potencial maior (polo negativo da fonte, onde há excesso de elétrons)
para o potencial menor (polo positivo da fonte, onde há escassez de elétrons)
−V → +V .
• Corrente convencional: Considera-se que a corrente elétrica se dará com cargas elétricas
positivas +q ou lacunas, que se deslocam no sentido oposto à corrente real, indo do
potencial maior (polo positivo da fonte, onde há excesso de lacunas) para o potencial menor
(polo negativo da fonte, onde há escassez de lacunas) +V → −V .
As lacunas são portadores virtuais de cargas elétricas positivas.
Nota: a palavra “carga” pode ser utilizada para citar partículas elétricas elementares q (charge,
em Inglês), ou para citar um consumidor elétrico resistivo (resistor de carga) RL , onde L
significa load, em Inglês.
Tensão elétrica V ou força eletromotriz Ԑ – uma fonte de tensão bipolar prática é um
dispositivo elétrico onde alguma forma de energia vai provocar uma contínua separação das cargas
elétricas opostas, fazendo com que as cargas iguais se acumulem em cada um dos seus terminais,
provocado o aparecimento de uma diferença de potencial elétrico Ue entre eles, proporcional à
energia dispendida na separação das cargas. Essa diferença de potencial nos terminais da fonte será
transformada em energia elétrica quando houver um circuito condutor que permita que as cargas
elétricas se desloquem externamente do terminal de potencial mais alto V ⁺ para o de potencial
mais baixo V ⁻ , buscando uma condição de equilíbrio, e ao mesmo tempo produzindo trabalho.
Isso significa que uma determinada forma de energia é empregada para criar a diferença de
potencial elétrico, que por sua vez será convertida em energia elétrica.
1

Definição da tensão elétrica – é a razão entre a energia potencial elétrica e a quantidade de
cargas elétricas portadoras acumuladas: V =
Ue
Q
. Unidade de medida: volt V , ou joule
por coulomb.
A medição da tensão elétrica é feita com o voltímetro, através da medição dos efeitos da corrente
elétrica imposta por essa tensão no elemento sensor. (ver medições elétricas).
Circuito elétrico - caminho físico fechado contendo condutores e elementos de circuito conectados
entre si.
Corrente contínua CC ou direct current DC – a circulação das cargas elétricas no circuito
é sempre no mesmo sentido. No caso da corrente convencional, sai do terminal positivo +V , e
retorna para o terminal negativo −V . Num circuito real poderá haver mudanças nas amplitudes
da corrente e/ou da tensão, mas o sentido será sempre o mesmo.
Elevação de tensão – voltage raise Vr (Fig. 01-01) - ocorre internamente, entre os terminais de
uma fonte de tensão Vf ou de corrente If que esteja fornecendo potência. No caso da corrente
convencional, a corrente do circuito entra no terminal de menor potencial V ⁻ e sai no terminal
de maior potencial V ⁺ .
Fontes fornecendo potência com o negativo aterrado (0 V) : a tensão e a corrente no circuito serão
algebricamente positivas e a elevação de tensão será negativa:
• Para fonte de tensão: VrVf =−[(V +
)−(V−
)] ou VrVf =−Vf .
• Para fonte de corrente: VrIf =−[ If Rcarga] .
Fontes fornecendo potência com o positivo aterrado (0 V): a tensão e a corrente no circuito serão
algebricamente negativas e a elevação de tensão Vr será positiva:
• Para fonte de tensão: VrVf =[(V+
)−(V−
)] ou VrVf =V f .
• Para fonte de corrente: VrIf = If Rcarga .
Queda de tensão – voltage drop Vd (Fig. 01-02) - ocorre internamente, entre os terminais de
um elemento de circuito tipo consumidor, passivo ou ativo. No caso da corrente convencional, a
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queda de tensão ocorre quando a corrente entra no terminal de maior potencial V ⁺ e sai no
terminal de menor potencial V ⁻ .
Tensão e corrente algebricamente positivas Vd será positivo.
• Para elemento passivo: Vd = I . R .
• Para fonte de tensão como consumidora: Vd =Vf .
• Para fonte de corrente como consumidora: Vd= If Rcarga .
Tensão e corrente algebricamente negativas Vd terá valor negativo:
• Para elemento passivo: Vd=(−I ). R .
• Para fonte de tensão: Vd=−Vf .
• Para fonte de corrente: Vd=(−If ) Rcarga .
Lei das tensões de Kirchhoff - LTK com
corrente convencional: numa malha, a soma
algébrica de elevação de tensão com a
queda de tensão será zero:
LTK → Vr+Vd=0 .
Exemplo (fig. 01 - 03): Um circuito com
duas malhas, e cada malha com uma fonte de
12 V alimentando um resistor de 4 ohm.
Na malha 1 a fonte está com o negativo
aterrado: a corrente e a queda de tensão na
carga são positivas.
• Elevação de tensão da fonte:
VrVf 1 =−[(V +
)−(V −
)] VrVf 1 =−[12V −0V ] ou VrVf 1 =−12V .
3

• Corrente da malha 1, dada pela lei de ohm: I1 =
V f 1
R
I1 =
12V
4Ω
ou I1 =3 A .
• Queda de tensão na malha 1: Vd= I . R Vd=3 A x4 Ω ou Vd =12V .
• LTK1 →Vr+Vd= 0 ou LTK1 →−12+12=0 .
Na malha 2, a fonte está com o positivo aterrado: a corrente e a queda de tensão na carga são
negativas.
• Elevação de tensão da fonte: VrVf 2=[(V
+
)−(V
−
)] VrVf 2=[0V−(−12V)] ou
VrVf 2= 12V .
• Corrente da malha 2, dada pela lei de ohm: I2 =−[V f 2
R ] I2 =−
12V
4Ω
ou
I2 =−3 A .
• Queda de tensão na malha 2: Vd=(−I ). R Vd=(−3 A)4Ω ou Vd =−12V .
• LTK2 →Vr +Vd=0 ou LTK2 → 12+(−12)=0 .
Exemplo da associação de duas fontes de corrente provocando tensões opostas nas cargas .
(Fig. 01 - 04)
Dados: duas fontes de corrente de 6 A e dois resistores de 3Ω
As duas fontes estão na configuração de fornecedoras
de potência, pois as correntes estão no sentido do
menor para o maior potencial.
If 1 , com a entrada (-) aterrada, fornecerá uma
corrente (+), o que vai causar uma queda de tensão
positiva sobre R1 pois Vd = IR Vd =6 x3
Vd =18V . A elevação de tensão entre os terminais
de If 1 será negativa. Assim, a LTK será:
VrIf 1+Vd =0 ou −18V+18V =0 .
If 2 , com a saída (+) aterrada, fornecerá uma
corrente negativa, que vai causar uma queda de tensão
negativa sobre R2 pois Vd =(−I )R
Vd =(−6)3 Vd =−18V .
A a elevação de tensão entre os terminais de If 2 será positiva. Assim, a LTK será:
VrIf 2+Vd =0 ou 18V−18V =0 .
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Potência dos elementos ativos em CC
Considerando a corrente convencional:
Para fonte de tensão na configuração de fornecedora, a potência será negativa:
• Corrente positiva: PVf =(VrVf ) I com VrVf =−Vf .
• Corrente negativa: PVf =(VrVf )(−I ) com VrVf =V f .
Para fonte de corrente, considerar que a elevação de tensão nos seus terminais é determinada pela
aplicação da LTK na malha: VrIf + VdRL =0 , e assim, a potência fornecida será negativa:
• Corrente positiva: PIf =VrIf . If com VrIf =−VdRL .
• Corrente negativa: PIf =VrIf (−If ) com VrIf =VdRL .
Para fonte de tensão na configuração de consumidora, a potência será positiva:
• Corrente positiva: PVf =(VdVf ) I com VdVf =Vf .
• Corrente negativa: PVf =(VdVf )(−I ) com VdVf =−Vf .
Para fonte de corrente, considerar que a queda de tensão nos seus terminais é positiva, pois é
provocada por uma corrente inversa (negativa), forçada por outra fonte:
• A potência consumida será positiva: PIf =VdIf (−If ) .
Potência dos elementos passivos em CC
Considerando a corrente convencional.
• A potência será sempre positiva, para corrente de qualquer polaridade: PRL = I ²RL ou
PRL =(−I ²)RL .
Corrente alternada CA ou alternating current AC
Corrente alternada sinusoidal – um gerador prático de CA , ou alternador, fornece uma tensão
variável em amplitude e polaridade, oscilando ciclicamente ao redor de zero volt, entre um valor de
pico positivo +VP e um de pico negativo -V P . O terminal ativo de um alternador recebe o
nome de “fase” . Num alternador trifásico ligado em “Y” (estrela), o terminal de fechamento, ou
“zero volt” é denominado de retorno ou neutro, e geralmente é aterrado para garantir a referência
de terra.
Quanto ao número de fases, um alternador comercial pode ser:
• Monofásico – dois terminais de saída, um dos quais é a referência para o terminal oposto. A
relação de fase entre os terminais de saída é de 180°ouπ rad .
• Bifásico – três terminais de saída, um dos quais é a referência (neutro) para os outros dois
terminais e cujas tensões são defasadas entre si, de 90° ou π rad .
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• Trifásico – quatro terminais de saída, um dos quais é a referência (neutro ou centro estrela)
para os outros três terminais e cujas tensões são defasadas entre si, de 120° ou
2π
3
rad .
Notas:
1- Diferente das fontes eletroquímicas de CC (baterias e pilhas), os alternadores não devem ser
ligados em série, e para ligá-los em paralelo, num mesmo barramento, devem ter as mesmas
frequências e as mesmas tensões.
Sincronização de dois alternadores em paralelo:
• Dispor de um voltímetro conectado entre os dois alternadores, nas saídas das fases idênticas;
• Colocar um deles operando na frequência nominal, e então ajustar a frequência do outro até
que o voltímetro marque “zero volt”, quando estarão sincronizados e podem ser conectados
ao barramento.
2- Os alternadores veiculares são polifásicos, com uma ponte retificadora de diodos para entregar
CC na sua saída, geralmente 14 V para baterias de 12 V e 28 V para baterias de 24V.
3- Em elementos de circuito do tipo monofásico (bipolo), os sinais
de polaridade instantânea (+ e -) são colocados nos terminais dos
seus símbolos.
Fontes CA monofásicas, como elementos de circuito (Fig. 01 –
05)
São modelos matemáticos, onde a tensão ou corrente nominais não
são afetados pela carga do circuito consumidor, seguindo o mesmo conceito dos elementos
estudados em corrente contínua.
• Dois terminais.
• A polaridade instantânea (+) , anotada ao lado do símbolo, indica o pico do semiciclo
positivo, para determinação do sentido da corrente instantânea i(t) .
• A frequência em Hertz Hz ou em radianos por segundo ω .
• O valor eficaz da tensão V ou da corrente I .
2.4 – Grandezas elétricas sinusoidais
As grandezas elétricas CA são denominadas sinusoidais porque suas amplitudes (A) alternam-se
periodicamente entre valores positivos e negativos, diretamente proporcionais às funções
trigonométricas seno e ou cosseno:
• Se o gerador é rotativo (alternador eletromecânico), ele funciona pelo princípio da indução
eletromagnética, onde o formato das sapatas polares do indutor é feito de forma que o fluxo
magnético sobre os estatores, se dê de forma senoidal.
• Se o gerador é estático (inversor eletrônico), são usadas técnicas de modulação para chavear
elementos de potência, que a partir de um barramento de CC vai produzir uma tensão
sinusoidal sintetizada.
Nota: a energia elétrica comercial é gerada na forma senoidal mas sofre deformações nos pontos de
utilização, em função de distorções impostas por cargas reativas comutadas ou chaveadas. Para o
escopo deste estudo as grandezas elétricas serão consideradas sinusoidais puras.
6

Domínio do tempo – Ocorre quando trabalhamos com as amplitudes instantâneas das grandezas
sinusoidais, cujos valores são representados na forma a(t ) , onde a é a amplitude
instantânea e t é o tempo, em segundos.
Período ou Ciclo T – é a duração de uma variação completa da amplitude instantânea de uma
grandeza elétrica sinusoidal. Unidade de medida: segundo (s).
Frequência f – é o número de ciclos ocorridos a cada
segundo.
Unidade de medida: Hertz (Hz).
Relação entre período e frequência: f =
1
T
(Hz) ou
T =
1
f
(s)
A Fig. 01 – 06 mostra os valores instantâneos importantes
a(t ) de uma senoide no plano cartesiano (Amplitude
A x tempo t ):
• a(T /4) : ponto do máximo positivo ou pico positivo + AP ;
• a(0) , a(T /2) e a(T ) : pontos de cruzamento por zero (zero crossing);
• a(3T /4) : ponto do máximo negativo ou pico negativo −AP ;
Domínio fasorial – (Fig. 01- 07) Se a projeção de um ponto p em movimento circular uniforme
pode ser representada num plano cartesiano (Amplitude A x posição angular instantânea
ω t =θ como uma onda sinusoidal, a recíproca é verdadeira: um ponto (p), que represente a
amplitude angular instantânea a(ω t) de uma onda sinusoidal, pode ser representado pela sua
projeção numa trajetória circular, no sentido anti-horário, cujo raio (r) será a amplitude máxima
A definida: de pico ou RMS.
Fasor - é um ente matemático bidimensional com características de número complexo e de vetor,
que representa a posição angular instantânea ω t =θ de grandezas sinusoidais sob a mesma
frequência. Serve para determinar as relações de fase entre grandezas sinusoidais diferentes, dentro
de um período angular. T=2π rad .
Notação do fasor: A =( A cos ϕ)+[ A (± j sen ϕ)] onde:
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• O fasor é simbolizado por uma letra em negrito.
• A é o módulo da amplitude com valor RMS. Se trabalharmos com amplitude de pico,
será AP .
• Pode ser representado graficamente no plano complexo ou no plano polar.
• No plano complexo, a grandeza de referência, com fase zero, é plotada no eixo dos Reais e
uma outra grandeza defasada será representada pelo ângulo ± jϕ .
• Componentes: Real ℜ= A .cosϕ e Imaginária ℑ= A(± j senϕ ) .
• Considerando-se um fasor sobre o eixo real positivo como referência angular ω t = 0rad ,
um outro fasor, plotado acima do eixo dos Reais positivos ω t + jϕ , estará atrasado, e se
plotado abaixo desse eixo ω t− jϕ , estará adiantado.
• Nas operações de soma e subtração de fasores o resultado é sempre outra grandeza
sinusoidal.
• Só é possível a multiplicação de um fasor pelo “conjugado” do outro fasor. (ver ferramentas
matemáticas para CA).
• Operar fasores é mais simples do que operar funções trigonométricas, pois requer apenas a
álgebra dos números complexos.
Deslocamento ou posição angular (theta) θ ou ω t : medido em radiano, associa a posição
do fasor no período angular 2π .
Velocidade ou frequência angular (ômega) ω= θ
t
rd/ s : medido em rad / s indica o
deslocamento angular por unidade de tempo.
Relação da velocidade angular com a frequência linear: ω=2π
1
T
ou ω=2πf .
Início do período de uma grandeza sinusoidal ou fase inicial (δ ) delta (Fig. 01 – 08) – O
“ponto importante” adotado para o início do período t=zero segundo ou ω t =zero radiano
de uma grandeza sinusoidal, pode ser escolhido como segue:
• Para uma senoide: o ponto em que sua amplitude instantânea cruza por zero volt, subindo
do negativo para o positivo: a(0)=0V .
• Para uma cossenoide: o ponto em que sua
amplitude instantânea alcança o valor de pico
positivo a(0)=+V P .
• Quando uma grandeza sinusoidal é
representada isoladamente, e não está
iniciando no “ponto importante”
convencionado, deve-se levar em conta a
“fase inicial” (delta) δ em radianos
v(ω t)=Vp.sen (ω t ±δv) e i(ω t)=Ip .sen (ω t±δi) onde:
◦ +δ representa fase inicial atrasada (inicia depois do ponto “zero”): ϕ0 =ω t +δ .
◦ −δ representa fase inicial adiantada(inicia antes do ponto “zero”): ϕ0 =ω t −δ .
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Relação de fases entre duas grandezas em CA, ou defasagem ϕ (letra grega “fi” minúscula) –
A tensão e a corrente nem sempre vão oscilar simultaneamente num circuito, por isso deve haver
uma referência entre seus instantes iniciais, para se estabelecer a relação angular ou temporal entre
suas respectivas amplitudes instantâneas.
Quando adotamos a corrente do circuito como referência de fase, com δi =0rd , o ângulo de fase
da tensão representa sua fase inicial: ϕ=δv .
Na análise fasorial devemos considerar os seguintes pontos:
• As grandezas devem estar sob a mesma frequência;
• Nos circuitos em série, a corrente pode ser tomada como referência fasorial δi =0rd e
neste caso, teremos: i(ω t)=I cos (ω t) .
• Nos circuitos em paralelo, a tensão pode ser tomada como referência fasorial δv =0rd e
neste caso, teremos: v(ω t)=V cos (ω t) .
• Nos circuitos polifásicos, escolhe-se uma das fases como referência angular, ou fase “1”.
• os cálculos de defasagem devem ser feitos em radianos, embora o resultado final possa ser
transformado para graus.
• A faixa da defasagem entre corrente e a tensão de um elemento ideal de circuito está contida
no intervalo:
π
2
≥ ϕ ≥ (−π
2
) , o que no plano complexo, representa
j ≥ ϕ ≥ (− j) .
Exemplo (Fig. 01 - 09) Dados:
• Módulo dos fasores A, B e C
r=6ud .
• Fasor B é a referência de fase
ϕ B =0 rd .
• cos0rd=1 .
• sen 0rd=0 .
B =6 ( cos ϕ ±j sen ϕ) sendo suas
componentes: ℜ=6(1) ou ℜ=6 e ℑ=6(0) ou ℑ=0 .Então: B=B=6ud
Neste caso, o fasor é dado somente pelo módulo.
Fasor A adiantado do fasor B .
• Fase + j ϕ = π
6
rd .
• cos
π
6
=0,866 .
9

• + j sen
π
6
=0,5
A =6 ( cos
π
6
)+6( j sen π
6
) sendo suas componentes: ℜ=6(0,866) ou ℜ=5,196 e
ℑ= 6(0,5) ou ℑ=3 .
Notação exponencial: A =6e
j
π
6
.
Notação polar: A =6∠ π
6
rd .
Fasor C atrasado do fasor B .
• Módulo C=6ud .
• Fase −j ϕ =−π
6
rd .
• cos−π
6
=0,866rd .
• −jsen π
6
=−0,5rd .
C =6 ( cos −π
6
)−6( j sen π
6
) sendo suas componentes: ℜ=6(0,866) ou ℜ=5,196
e ℑ= 6(−0,5) ou ℑ=−3 .
Notação exponencial: C =6 e
−j
π
6
.
Notação polar: C =6∠ −
π
6
rd .
Se considerarmos os elementos ideais de circuito e adotarmos a corrente I como referência de
fase δi =0 rd , teremos três casos de defasagem das tensões sobre esses elementos (Fig. 01- 10) :
Nota: no gráfico trigonométrico usa-se a senoide para representar a corrente do circuito, de forma
que o início do período ωt=0 rd seja a passagem por zero para positiva. Isso permitirá que o
fasor da corrente fique também no eixo horizontal do plano complexo. Por outro lado é mais
conveniente utilizar a função cosseno para a análise, por ser uma função par, o que facilitará a
manipulação algébrica.
1. Tensão em fase com a corrente (reatância zero): ϕ=δv ou ϕ =0 rd
É a característica de um circuito com predominância resistiva, ou onde as reatâncias são opostas
XL=XC .
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Significa que o fasor da tensão coincide com o fasor da corrente (referência), portanto não existirá o
ângulo de defasagem ϕ e o fasor da tensão será apenas o módulo: VdR =VdR
2. Tensão adiantada em relação à corrente
É a característica de um circuito com predominância indutiva, onde a tensão é adiantada em relação
à corrente 0 < δv < π
2
. Como ϕ=δv , a defasagem será +ϕ . O fasor da queda de tensão na
carga, será : V dL =V cos ϕ +V ( j sen ϕ) com as componentes complexas: ℜ=V cosϕ e
ℑ= V (+ j senϕ ) .
3. Tensão atrasada em relação à corrente - ϕ :
É a característica de um circuito com predominância capacitiva, onde a tensão é atrasada em relação
à corrente 0 > δv >
[−π
2 ] . Como ϕ=−δv , a defasagem será −ϕ .
O fasor da queda de tensão na carga, será : V dC =V cos (ϕ)+V (− j sen ϕ) onde as
componentes complexas serão: ℜ=V cosϕ e ℑ=V (− j senϕ ) .
Como o cosseno é função par, no termo Real é indistinto o sinal do ângulo de defasagem
cosϕ =cos−ϕ .
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Função Exponencial complexa periódica
O fasor pode ser representado na forma exponencial complexa, a partir da forma trigonométrica
z =r ( cos ϕ ± j sen ϕ) , através da fórmula de Euler z =r.e(± j ϕ)
onde:
• e → número de Euler 2,718281828459...
• ϕ → ângulo de fase entre corrente (referência) e tensão.
• ± j é o operador da parte imaginária.
Ver o capítulo “Ferramentas matemáticas para corrente alternada”.
Valores médios das grandezas sinusoidais
Média de um ciclo (Fig. 01 – 11) - Uma tensão senoidal com fase inicial δv =0rd tem seu valor
instantâneo dado por: v(ω t)=Vp.sen (ω t ) onde ωt=θ .
Ao longo de um ciclo T =0→2π , a tensão média terá suas
amplitudes instantâneas passando por valores de pico de polaridades
opostas, distribuídas simetricamente ao redor do eixo do tempo, assim,
teremos áreas iguais e opostas entre o gráfico da função e o seu eixo de
desenvolvimento, cuja integração será “zero”.
Exemplo da tensão senoidal média: Vmed =
1
T
∫
0
T
V P sen (θ )dθ
colocando a constante VP fora do integrando, e fazendo a integração:
Vmed =
VP
T
|−cos θ | 2π
0
Vmed =
VP
T
(−cos 2π)−(−cos 0) Vmed =
VP
T
[(−1)−(−1)] ou
Vmed =0V .
Média de um semiciclo (Fig. 01 - 12) – se integrarmos apenas o
semiciclo positivo, de T =0→π , teremos um valor positivo da
área. Esta condição tem aplicação prática na retificação da corrente
alternada. Do exemplo anterior, basta substituir os limites de
integração para termos outro valor: Vmed =
VP
T
|−cosθ | π
0
Vmed =
VP
π
[(−cos π )−(−cos0)] Vmed =
VP
π
[(1)−(−1)]
Vmed =
2
π
V P Vmed =0,637V P .
Média quadrática – Se tomarmos a expressão da corrente instantânea senoidal i (ωt )= Ip senθ
e elevarmos os dois termos ao quadrado, teremos: i2
(ωt)= Ip2
sen2
θ cuja curva será também
uma senoide, mas que oscilará somente na região positiva e terá o dobro da frequência 2ω .
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A corrente média quadrática IMQ será o valor da altura de um quadrilátero S , de base
b=T =2π , onde a área do quadrilátero será obtida com a integração da senoide nos limites de
um período T =0 → 2π : S =∫
0
2π
IP
2
.sen
2
θdθ constante fora S =I P
2
∫
0
2π
sen
2
θd θ .
A integral indefinida ∫sen
2
θd θ é resolvida pela fórmula de redução (tabelas):
∫sen²θ d θ =
2−1
2
∫sen
2−2
θ dθ −
cosθ.sen2−1
θ
2
1
2
∫θ dθ −
cosθ.senθ
2
, aplicando os limites de integração: |θ
2
−
cosθ.senθ
2 |2π
0
|2π
2
−
cos 2π. sen2π
2 |2 π
0 |2π
2
−
[1].0
2 |2π
0
ou ∫
0
2π
sen2
θdθ =π .
Assim, S = I P
2
π .
A corrente média quadrática IMQ será a altura do quadrilátero equivalente: h=
S
b
, onde
S = Ip
2
π e a base b=T =2π :
Imq=
S
T
Imq=
Ip
2
π
2π
ou Imq=
Ip
2
2
.
Por serem positivos, os valores médios quadráticos, senoidais ou cossenoidais, são adequados para
o cálculo dos valores eficazes das grandezas elétricas.
Exemplo com IP =5 A (fig. 01 – 13): Imq=
Ip
2
2
Imq=
5
2
2
Imq=
25
2
Imq=12,5 A .
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Valor eficaz das grandezas sinusoidais
Ao ligarmos um resistor em CA , haverá uma circulação de corrente variável, que vai provocar a
dissipação de uma determinada potência pelo efeito Joule: “A potência dissipada num resistor é
proporcional ao quadrado da corrente que o percorre” P=R.I2 , e a quantidade de calor Qc ,
em Joules, é dada por: QC =R∫
t1
t2
i ² dt .
O Valor Eficaz ou Valor Médio Quadrático, que em Inglês é denominado de r .m .s. (root mean
square), da tensão e da corrente, será menor do que o valor de pico, e um pouco maior do que o
valor da média do semiciclo.
Um Resistor alimentado por uma tensão CA eficaz r .m .s. vai dissipar a mesma potência
que dissiparia se alimentado com uma tensão CC de mesmo valor. Pela lei de çhm, as correntes
seriam iguais.
Os instrumentos de medição, analógicos ou digitais, são projetados para indicar as grandezas
CA em valores eficazes.
O valor eficaz r .m .s. de uma grandeza senoidal simples é dado pela raiz quadrada do valor
médio quadrático dessa grandeza.
No caso da corrente, teremos: I =√Imq ou pela corrente de pico I =
IP
√2
. Ambas levarão ao
mesmo resultado: I = 0,707 Ip .
Outras formas de ondas das correntes alternadas – de acordo com o “perfil” da curva que
representa essas variações periódicas de amplitude ou a polaridade de uma tensão ou corrente,
teremos algumas “formas de ondas” importantes.
• Onda quadrada simétrica: 0→T /2=+V
T /2→T =−V
a tensão se mantém em um dos níveis fixos
por um tempo T /2 . Se não há simetria no tempo, com T /(n≠2) , recebe outras
denominações.
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• Onda triangular simétrica: a variação entre dois níveis de tensão ocorre de forma linear e
dentro de um tempo T /2 , tanto crescente como decrescente, com transição ao alcançar os
pontos de máximo e mínimo;
• Onda dente de serra: transita instantaneamente do nível máximo positivo para o máximo
negativo, e passa a crescer linearmente até a próxima transição dentro de um tempo T ;
Nota: Existem os pulsos alternados com nível CC , que podem ser positivos ou negativos, ou
com patamares diferente de “zero volt”, isto é, em relação ao eixo t , de forma simétrica ou
assimétrica. Nestes casos, a corrente mantém a mesma polaridade (direção), conforme esteja sob
tensão positiva ou negativa.
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