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PRODUTO VETORIAL
   ( OU EXTERNO )
Para definirmos um vetor é preciso designarmos
seu módulo, direção e sentido.
                                   
Definiremos agora um novo vetor, denominado
produto vetorial dos vetores  u e   v
                                     :
                                         
 MÓDULO :      Posteriormente
                falaremos.
                                      uxv
 DIREÇÃO :                        
              Perpendicular ao plano que
              contém os vetores u e v .
 SENTIDO :    Dado pela Regra da Mão
              Direita .
REGRA DA MÃO
    DIREITA          Suponhamos que
                     se queira obter
                         
                       u xv :
       u        
               uxv               
                     Coloque o dedo

   θ
                       indicador u
                    apontado para o
                         
           v          vetor
                         v
                     dedo médio
                                 e o

                               
                     apontado para o
                     vetor    u xv
                               .
REGRA DA MÃO
    DIREITA         Suponhamos que
                    se queira obter
                        
         u              v x u:
 θ
                                
                    Coloque o dedo
     v        
                      indicador  v
             vx u   apontado para o
                         
                     vetor      e o
                         u
                    dedo médio
                              
                    apontado para o
                    vetor    vxu
                              .
z
            VETORES UNITÁRIOS
               NOS   EIXOS
              COORDENADOS
        k   
           j
    i                y
                 
                 i = (1 , 0 , 0)
x                 j = (0 , 1 , 0)
                  
                 k = (0 , 0 , 1)
z            PRODUTOS
                  VETORIAIS DOS
                 VETORES UNITÁRIOS
                          
        k                 i = (1 , 0 , 0)
            j              j = ( 0 , 1 , 0)
                            
    i                  y   k = (0 , 0 , 1)
                           
        i x j = k    j x i = −k
x                        
        x k =
          j
             
                 i    k x  = −
                            j   i
        k x i = j     
                     i x k = − j
                    
PRODUTOS




y
                 PRODUTOS
             VETORIAIS DOS
             VETORIAIS DOS
            VETORES UNITÁRIOS
            VETORES UNITÁRIOS
             por ELES MESMOS
             por ELES MESMOS


    j
    
                           




                          x
                        i x i = 0
        k

                  i
    i = (1 , 0 , 0)
               
    

     j = ( 0 , 1 , 0)
                         
    k = (0 , 0 , 1)      x  =0
                           j j
z




                                 
                        k x k = 0
                        
PRODUTO VETORIAL
      ( OU EXTERNO )
                                         
Dados :  u = ( a, b, c ) = a.i + b. j + c.k
                                         
         v = (d , e, f ) = d .i + e. j + f .k
                                      
u x v = (a. i + b. j + c.k)x(d. i + j + f.k)
                                     e. 
 
u x v = a.d. ix i+ a.e. ix j+ a.f. i k
                                         x
       + b.d. x  + b.e. x + b.f. xk
               j i          j j         j 
       + c.d.kx i + c.e.kx j + c.f.kxk
                                                   
u x v = b. f . i + c.d. j + a.e.k - c.e. i - a.f. j - b.d.k
PRODUTO VETORIAL
   ( OU EXTERNO )
                                   
                                u x v =u^ v
                                                   
u x v = b. f . i + c.d. j + a.e.k - c.e. i - a.f. j - b.d.k
   b             c  a            c  a            b 
 u xv=               .i −             .j +             .k
       e           f      d         f      d         e
                                                   
Embora o produto vetorial              i         j   k
 não seja     um                   
determinante, é conveniente       u xv=a         b   c
e prático assim considerá-lo.          d         e   f
           
                            i      j     k
                  
                 u xv=a            b     c
                      d            e     f
Pela Regra da Mão Direita ou pela troca da
segunda com a terceira linha do determinante
acima, concluímos facilmente que :
                               
Demonstra-se que :          u x v = -v x u
                            O Produto
 u x v = u . v . sen θ          Vetorial não
                                é comutativo.
PRODUTO VETORIAL DE UM
 VETOR POR ELE MESMO

 Sabemos que :       Para dois vetores
                     EQUIPOLENTES,
                  teríamos,  por
     i     j     k   hipótese, que :
 
u xv=a     b     c        
     d     e     f       v=u
      
      i   j   k         Determinantes
                     com filas
u xu =a   b   c =0      paralelas iguais,
                        são sempre
      a   b   c         iguais a zero.
                    
          O   vetor 0   é conhecido
          como vetor nulo.
                     Com    efeito,
                     temos também
                      que :
                          
                    u x(− u ) = 0
Por outro ponto de vista,
 temos que :
                          
                   u x v = u . v . sen θ
 Quando :
                         
      u x u ⇒ θ = 0º ⇒ u x u = u . u . sen 0º

                       ou
                                 
u x (−u ) ⇒ θ = 180º ⇒ u x (−u ) = u . − u . sen 180º

 Em ambos os casos, temos o módulo do
 produto vetorial igual a zero.
 Logo, em ambos os casos, temos o produto
  vetorial igual ao vetor nulo.
Vetores de mesma
Vetores de mesma
direção terão para
direção terão para
produto vetorial, um
produto vetorial, um
vetor nulo..
vetor nulo
IDENTIDADE DE LAGRANGE
IDENTIDADE DE LAGRANGE
                     
Sobre os
PRODUTOS
                   u .v = u . v . cos θ
Escalar e
Vetorial,                 
aprendemos que :   u x v = u . v . sen θ
Das Relações
Fundamentais da
Trigonometria,      sen θ + cos θ = 1
                       2       2

temos que :
                 2  2 2 2
Logo :        ( u.v ) + u x v = u . v
APLICAÇÕES do PRODUTO
       VETORIAL

                       No cálculo da área
 v       h              de paralelogramos,
     θ                  temos :
                                
             
             u            S P = u .h
                          
Temos também que :    h = v . sen θ
                  
Logo :       S = u . v . sen θ
              P
                  
Então:       S = uxv
                 P
APLICAÇÕES do PRODUTO
       VETORIAL


                No cálculo da área
v       h        de triângulos, basta
    θ            dividir a área    do
                paralelogramo por 2.
            u    Temos então que:

      SP           
                | u× v |
 S∆ =    ⇒ S∆ =
       2           2
C
Uma barra homogênea AB
    de seção reta uniforme
   está articulada em A e
  é mantida na horizontal             θ    B
pelo fio ideal BC . A        A
barra tem peso 100 N e                    D
o corpo D pesa 250 N.
Qual a      tração no fio
 e     as componentes      Dados : AB = 8 m
vertical e horizontal da          
reação da articulação A?           AC = 6 m
O diagrama abaixo mostra
             esquematicamente as forças
             presentes no sistema.
C




                 Ry
             A
             A
                   4m
                                T
    θ   B                      θ
            Rx          M     4m
                                     B
A
                                 250
        D               100
Ry



                4m
                4m
                                   Estabelecendo as
                                   Estabelecendo as
                                   condições de
                                   condições de
            M
            M                      equilíbrio, temos ::
                                   equilíbrio, temos
                          250
            4m
            4m

             100
             θ
             θ
                  T

Da
              B




                                      ∑ Fx = 0
              B




Trigonometria
 no triângulo
                        6           
                                      ∑ Fy = 0
retângulo, temos: sen θ
                      =    = 3/5
                       10
       10       
                                      M =0
                                     ∑ A
6                        8
       θ        cosθ =    = 4/5
       8               10
 ∑ Fx = 0                                  T . sen θ





                         Ry
                    A
                    A
 ∑ Fy = 0                  4m        T . cos θ



                  Rx
                                                B
 M =0
∑ A                                             x
                                 M     4m
                                 x 100          250



                                         Vetor
 R y + T . sen θ − 100 − 250 = 0        entrando no
                                        plano    x
         Rx − T . cosθ = 0
− 100 x 4 − 250 x8 + T . sen θ .8 = 0   Vetor saindo
                                        do plano
Resolvendo o
sistema, temos :
                           T = 500 N
A reação no                Rx = 40 N
ponto A é
obtida por :
                           R y = 50 N

R = R +R  2
          x
                   2
                   y

R = 40 + 50 ≅ 64 N
              2        2

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  • 1. PRODUTO VETORIAL ( OU EXTERNO ) Para definirmos um vetor é preciso designarmos seu módulo, direção e sentido.   Definiremos agora um novo vetor, denominado produto vetorial dos vetores u e v :  MÓDULO : Posteriormente falaremos. uxv DIREÇÃO :   Perpendicular ao plano que contém os vetores u e v . SENTIDO : Dado pela Regra da Mão Direita .
  • 2. REGRA DA MÃO DIREITA Suponhamos que se queira obter    u xv : u   uxv  Coloque o dedo θ indicador u  apontado para o  v vetor v dedo médio e o   apontado para o vetor u xv .
  • 3. REGRA DA MÃO DIREITA Suponhamos que se queira obter    u v x u: θ   Coloque o dedo v   indicador v vx u apontado para o  vetor e o u dedo médio   apontado para o vetor vxu .
  • 4. z VETORES UNITÁRIOS NOS EIXOS  COORDENADOS k   j i y  i = (1 , 0 , 0) x j = (0 , 1 , 0)  k = (0 , 0 , 1)
  • 5. z PRODUTOS VETORIAIS DOS VETORES UNITÁRIOS   k  i = (1 , 0 , 0)  j j = ( 0 , 1 , 0)  i y k = (0 , 0 , 1)       i x j = k  j x i = −k x       x k = j  i  k x  = − j i k x i = j  i x k = − j  
  • 6. PRODUTOS y PRODUTOS VETORIAIS DOS VETORIAIS DOS VETORES UNITÁRIOS VETORES UNITÁRIOS por ELES MESMOS por ELES MESMOS j      x i x i = 0 k i i = (1 , 0 , 0)   j = ( 0 , 1 , 0)     k = (0 , 0 , 1)  x  =0 j j z  k x k = 0 
  • 7. PRODUTO VETORIAL ( OU EXTERNO )     Dados :  u = ( a, b, c ) = a.i + b. j + c.k     v = (d , e, f ) = d .i + e. j + f .k         u x v = (a. i + b. j + c.k)x(d. i + j + f.k)    e.    u x v = a.d. ix i+ a.e. ix j+ a.f. i k x + b.d. x  + b.e. x + b.f. xk j i j j j  + c.d.kx i + c.e.kx j + c.f.kxk         u x v = b. f . i + c.d. j + a.e.k - c.e. i - a.f. j - b.d.k
  • 8. PRODUTO VETORIAL ( OU EXTERNO )     u x v =u^ v         u x v = b. f . i + c.d. j + a.e.k - c.e. i - a.f. j - b.d.k   b c  a c  a b  u xv= .i − .j + .k e f d f d e    Embora o produto vetorial i j k não seja um   determinante, é conveniente u xv=a b c e prático assim considerá-lo. d e f
  • 9.   i j k   u xv=a b c d e f Pela Regra da Mão Direita ou pela troca da segunda com a terceira linha do determinante acima, concluímos facilmente que :     Demonstra-se que : u x v = -v x u     O Produto u x v = u . v . sen θ Vetorial não é comutativo.
  • 10. PRODUTO VETORIAL DE UM VETOR POR ELE MESMO Sabemos que : Para dois vetores EQUIPOLENTES,    teríamos, por i j k hipótese, que :   u xv=a b c   d e f v=u
  • 11.   i j k Determinantes    com filas u xu =a b c =0 paralelas iguais, são sempre a b c iguais a zero.  O vetor 0 é conhecido como vetor nulo. Com efeito, temos também que :    u x(− u ) = 0
  • 12. Por outro ponto de vista, temos que :     u x v = u . v . sen θ Quando :        u x u ⇒ θ = 0º ⇒ u x u = u . u . sen 0º   ou       u x (−u ) ⇒ θ = 180º ⇒ u x (−u ) = u . − u . sen 180º  Em ambos os casos, temos o módulo do produto vetorial igual a zero. Logo, em ambos os casos, temos o produto vetorial igual ao vetor nulo.
  • 13. Vetores de mesma Vetores de mesma direção terão para direção terão para produto vetorial, um produto vetorial, um vetor nulo.. vetor nulo
  • 14. IDENTIDADE DE LAGRANGE IDENTIDADE DE LAGRANGE    Sobre os PRODUTOS u .v = u . v . cos θ Escalar e Vetorial,     aprendemos que : u x v = u . v . sen θ Das Relações Fundamentais da Trigonometria, sen θ + cos θ = 1 2 2 temos que :  2  2 2 2 Logo : ( u.v ) + u x v = u . v
  • 15. APLICAÇÕES do PRODUTO VETORIAL  No cálculo da área v h de paralelogramos, θ temos :   u S P = u .h  Temos também que : h = v . sen θ   Logo : S = u . v . sen θ P   Então: S = uxv P
  • 16. APLICAÇÕES do PRODUTO VETORIAL  No cálculo da área v h de triângulos, basta θ dividir a área do  paralelogramo por 2. u Temos então que: SP   | u× v | S∆ = ⇒ S∆ = 2 2
  • 17.
  • 18. C Uma barra homogênea AB de seção reta uniforme está articulada em A e é mantida na horizontal θ B pelo fio ideal BC . A A barra tem peso 100 N e D o corpo D pesa 250 N. Qual a tração no fio e as componentes Dados : AB = 8 m vertical e horizontal da  reação da articulação A?  AC = 6 m
  • 19. O diagrama abaixo mostra esquematicamente as forças presentes no sistema. C Ry A A 4m T θ B θ Rx M 4m B A 250 D 100
  • 20. Ry 4m 4m Estabelecendo as Estabelecendo as condições de condições de M M equilíbrio, temos :: equilíbrio, temos 250 4m 4m 100 θ θ T Da B  ∑ Fx = 0 B Trigonometria no triângulo  6   ∑ Fy = 0 retângulo, temos: sen θ = = 3/5  10 10   M =0 ∑ A 6 8 θ cosθ = = 4/5 8  10
  • 21.  ∑ Fx = 0 T . sen θ  Ry A A  ∑ Fy = 0 4m T . cos θ Rx B  M =0 ∑ A x M 4m x 100 250 Vetor  R y + T . sen θ − 100 − 250 = 0 entrando no  plano x  Rx − T . cosθ = 0 − 100 x 4 − 250 x8 + T . sen θ .8 = 0 Vetor saindo  do plano
  • 22. Resolvendo o sistema, temos : T = 500 N A reação no Rx = 40 N ponto A é obtida por : R y = 50 N R = R +R 2 x 2 y R = 40 + 50 ≅ 64 N 2 2