Análise de circuito capacitivo em CA. Processo de carga e descarga. Relação de fase tensão/corrente. Potência reativa.

1. Análise de circuitos elétricos CC e CA Pedro Barros Neto
10 - Análise de um circuito capacitivo em CA
Corrente instantânea em função da corrente de pico : i(t)=I P sen(ωt ) .
Corrente instantânea em função da taxa da carga: i(t)=
dq(t)
dt
.
Corrente instantânea no capacitor em função da tensão instantânea: i(t)=C[dv(t)
dt ] .
Carga instantânea acumulada em função da corrente instantânea: q(t)=∫Ip sen(ω t)dt
(10.01).
Tensão instantânea no capacitor vC (t ) : Dado o circuito teórico
da (fig. 10 – 01), com uma fonte de tensão CA e um capacitor
ideal com capacitância C , em série com um resistor, e em
processo de carga, a tensão instantânea sobre o capacitor será:
vC (t )=[q(t)
C ] (10.02).
Isso nos mostra que a tensão do capacitor, no instante t , reflete diretamente a quantidade de
carga armazenada, dividida pela sua capacitância.
Obs.: na prática não se deve conectar um capacitor diretamente na fonte, sem um resistor em série,
pois um capacitor descarregado é um curto circuito no instante inicial de sua carga, com um pico
de corrente altíssimo.
A expressão (10.01) nos mostra que a carga acumulada no tempo q(t) é obtida pela integração
da corrente de pico, e assim, a expressão (10.02) ficará: v(t )=
1
C
∫sen(ωt)dt como IP é
constante, ficará fora do integrando: v(t )=
IP
C
∫sen(ωt)d t (10.03).
Resolver a integral indefinida ∫sen(ωt)d t (10.4).
Vamos fazer ω t=u e achar d(ω t) em função de u :
du
dt
=
d(ω t)
dt
=ω
dt
dt
ou
du
dt
=ω então dt =
1
ω
du .
Fazendo as substituições em (10.04), teremos: ∫sen(u)
1
ω du ou
1
ω∫sen(u)du (10.05)
Substituindo (10.5) em (10.3): v(t )=
1
ωC
I P∫sen(u)du .
1

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Resolvendo a integral: v(t )=
1
ωC
I P[−cos(u)]+K .
Fazendo a constante K =v(0) , ou tensão inicial, e remanejando o sinal negativo:
v(t )=−
1
ωC
IP [cos(ωt)]+v(0) onde o termo −
1
ωC
= XC é a reatância capacitiva.
Finalmente teremos: v(t )= XC . IP[cos(ωt)]+v(0) (10.6).
Lei das tensões de Kirchhoff LTK : na (fig. 10 - 01), teremos −v (t)+vC (t)=0 .
Corrente eficaz em função da reatância (Lei de Ohm): I =
V
XC
.
Relação de fase e impedância:
A tensão estará atrasada em relação à corrente, e num gráfico fasorial, onde a corrente é a referência
de fase, o ângulo “fi” será negativo, com o fasor da tensão para baixo (- j). Assim teremos, para um
capacitor ideal, ϕ =−
π
2
rd .
• Reatância: XC =−j
1
ω C
ou XC =−j
1
2π f C
.
• Impedância: Z=R−j XC Como R=0Ω no capacitor ideal, então Z=− j XC
(impedância igual à reatância).
• Fator de potência: FP=cosϕ ou FP=0 não há consumo de potência.
Potência instantânea no capacitor:
Tomando a expressão da potência instantânea dada no capítulo 9 (9-09):
S(ω t)=[ P− Pcos 2ω t ]−[Q sen2ω t] . Como a defasagem entre a corrente e a tensão é
2

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ϕ =−
π
2
rd , e o cosseno é função par, teremos: cos−ϕ =cosϕ =0 , o que vai anular o
primeiro termo da potência eficaz P=VI cosϕ (9.10) , enquanto que sen−ϕ=−1
determinará o sinal da segunda parcela, que é a potência reativa Q =V . I(sen−ϕ ) (9.08).
Assim, a potência total instantânea, será: S(ω t)=−Q sen2ω t .
A simetria da senoide da potência em relação ao
eixo “zero”, faz com que sua integração seja
“zero”, portanto há apenas uma troca de
potência reativa entre fonte e o capacitor, com
uma circulação de corrente que não produz
trabalho e apenas ocupa a capacidade dos
condutores elétricos.
Neste caso, não há triângulo das potências pois a
potência aparente é igual à potência reativa:
S =Q (Fig. 10 -02).
Pontos importantes durante um ciclo
2π rd (fig. 10 – 04)
Um capacitor já estabilizado em regime
forçado senoidal terá a seguinte relação
entre a tensão instantânea sobre os seus
terminais e a corrente instantânea:
i(t)=C[dv(t)
dt ] (10.07).
1)- Nos instantes angulares
ω t = π
2
ou t =
T
4
e
ω t =
3π
2
ou t =
3T
4
, a tensão atinge os
valores de pico e “pára de variar” : a
derivada no tempo será zero
dv(t)
dt
=0 ,
e pela expressão (10.07), não haverá corrente no circuito i(
π
2
)=0 A ou i(
3π
2
)=0 A
indicando que o capacitor está com a carga máxima possível para a sua constante de tempo
τ =RC .
3

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2)- Nos instantes ω t ou t =0 e ω t = 2π ou t =T , em que a tensão senoidal instantânea
cruza o “zero”, mudando de valor negativo para positivo, haverá a “máxima variação positiva” da
sua derivada
dv(t)
dt
→ MAX .POSITIVO . Uma reta tangente à senoide da tensão, no ponto de
cruzamento com o eixo horizontal, atingiu um ângulo máximo positivo em relação à horizontal,
portanto, pela expressão (10.07), a corrente no circuito será máxima positiva i(ω t)=+IP .
3)- No instante ω t =π ou t =
T
2
, em que a tensão senoidal instantânea cruza o “zero”,
mudando de valor positivo para negativo, haverá a “máxima variação negativa” da sua derivada
dv(t)
dt
→ MÁX .NEGATIVO . Uma reta tangente à senoide da tensão, no ponto de cruzamento
com o eixo horizontal, atingiu um ângulo máximo negativo, em relação à horizontal, portanto, pela
expressão (10.07), a corrente no circuito será máxima negativa i(ω t)=−IP .
10.2 - Processo de carga e descarga de um capacitor em um ciclo T de corrente alternada.
(fig. 10 – 05)
Condição anterior (escolhida para estudar o processo de carga) ω t =0
−
rad :
• Capacitor descarregado: cargas elétricas em equilíbrio, nas duas placas (neutras):
• Tensão anterior ao início do processo: v(0
−
): 0V .
• Carga anterior ao início do processo q(0
−
): 0C .
Carregando positivamente:
• ω t :(0→
π
2
)rad e v(ω t): (0→Vp)V .
• Corrente instantânea i(ω t): (+Ip→0) A .
A placa superior, escolhida como referência, vai se carregando positivamente (perdendo elétrons) e,
de forma simétrica, a placa oposta vai se carregando negativamente (ganhando elétrons) e no
instante
π
2
rad o capacitor estará com sua carga máxima positiva, proporcional à capacitância.
Descarregando positivamente:
• ω t :(
π
2
→π )rad e v(ωt ): (+VP →0)V .
• Corrente instantânea i(ω t): (0→−IP) A
A placa de referência, então carregada positivamente, vai se neutralizando (recebendo elétrons) e,
de forma simétrica, a placa oposta vai se neutralizando também (perdendo elétrons), e no instante
π rad o capacitor estará descarregado (cargas em equilíbrio nas duas placas).
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5. Análise de circuitos elétricos CC e CA Pedro Barros Neto
Carregando negativamente:
• ω t :( π →3
π
2
)rad e v(ω t): (0→−V P)V .
• Corrente instantânea i(ωt): (−IP →0) A
A placa de referência vai se carregando negativamente (ganhando elétrons) e, de forma simétrica, a
placa oposta vai se carregando positivamente (perdendo elétrons), e no instante
3π
2
rad o
capacitor estará com sua carga máxima negativa, proporcional à capacitância.
Descarregando negativamente:
• ω t :(3
π
2
→2π )rad → v(ωt ): (−V P →0)V → i(ωt): (0→I P) A
A placa de referência, então carregada negativamente, vai se neutralizando (perdendo elétrons) e, de
forma simétrica, a placa oposta vai se neutralizando também (recebendo elétrons), e no instante
2π rad o capacitor estará novamente neutro (cargas em equilíbrio, nas duas placas).
E assim, fecha-se um ciclo do processo de carga e descarga do capacitor em corrente alternada.
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