7 indutores

Análise de circuitos elétricos CC e CA Pedro Barros Neto
7 - INDUTORES
7.1 – MAGNETISMO E ELETROMAGNETISMO
Magnetismo – é a propriedade natural de alguns materiais, para atrair ou repelir materiais ferrosos
ou materiais da mesma espécie.
O material que tem magnetismo permanente é chamado de ímã. Os materiais que têm magnetismo
induzida e cujo efeito cessa, ao cessar a indução, são classificados como materiais magnéticos.
A terra é um ímã natural e a agulha de uma bússola, que é um ímã, sempre aponta sua extremidade
norte para o polo sul magnético, localizado próximo do polo norte geográfico.
O magnetismo dos materiais é causado pela orientação dos seus “domínios magnéticos”, que são
microrregiões do material onde há diferentes momentos angulares dos seus elétrons. Os domínios
magnéticos de um ímã são naturalmente orientados, enquanto os domínios de outros materiais são
orientados somente enquanto estiverem sob influência de um campo magnetizante externo.
Principais características do magnetismo:
• O elemento magnético é sempre bipolar: os polos de um corpo magnético nunca ocorrem de
forma separada, e cada vez que um corpo magnético é quebrado, suas partes também vão
ter dois polos opostos nas suas extremidades, denominados de Norte e Sul.
• A atração entre dois materiais magnéticos (ou magnetizados) se dá pelos polos de nomes
diferentes, e a repulsão, pelos polos de nomes iguais.
• Os ímãs têm o remanente magnético permanente mas sofrem desmagnetização se
submetidos a elevada temperatura denominada Temperatura de Curie, que para materiais
ferrosos é de 770°C . A alta temperatura também afeta negativamente o grau de
magnetização induzida num material.
Campo magnético remanente B - É um ente físico
invisível, vetorial e bipolar, que permeia todo o espaço ao
redor de um corpo magnético, natural ou artificial, e esse
campo pode influir sobre materiais magnéticos e sobre cargas
elétricas em movimento num condutor ou no vácuo.
Unidade de medida: Tesla T ou Weber/m² .
• Pode ser permanente ou temporário (remanente).
• Exerce força magnética F de atração ou repulsão
sobre um corpo sensível ao magnetismo.
• Induz magnetismo nos materiais suscetíveis.
• Pode ser gerado por uma corrente elétrica.
• Pode gerar corrente elétrica desde que haja movimento relativo entre o campo magnético e
um condutor elétrico.
• É formado por “linhas de força” individuais, que nunca se cruzam e têm o sentido Norte /
Sul externamente ao elemento magnético.
• Podem se adensar em meios magnéticos favoráveis que tenham permeabilidade magnética
μ maior do que o ar, como os materiais férricos.
Tesla – força de 1Newton exercida por um campo magnético sobre uma partícula carregada de
1Coulomb , se deslocando perpendicularmente a uma velocidade de 1m/ s .
1

Campo magnetizante H – traduz a intensidade magnética ou concentração das linhas de força
no meio material submetido à indução por corrente elétrica. Unidade de medida: A/m
ampere/metro.
Permeabilidade magnética μ (mi) – é a facilidade
com que as linhas de campo magnético permeiam um
material, representada por um valor adimensional dado
pela relação entre o campo remanente B e o campo
magnetizante H : μ =
B
H
em Henry/metro.
Os materiais ferromagnéticos (Fe, Co, Ni...) têm
μ⩾1 , enquanto os materiais diamagnéticos têm
μ <1 . A referência é o vácuo μ =4π 10−7
H /m .
Na figura (7 – 02) podemos ver o adensamento das
linhas de força passando por material ferroso que tem alta permeabilidade, enquanto que o vidro, de
permeabilidade magnética nula, não interfere no campo ao seu redor.
O campo magnético remanente, quando provocado por corrente elétrica, depende da permeabilidade
do meio magnetizado: B=μ H
Histerese magnética
Histerese - é o princípio da não coincidência na resposta de um sistema a um estímulo que
provoque uma mudança de estado, e a volta ao estado
anterior.
Esse princípio é utilizado na área de controle para dar
estabilidade ao funcionamento de automatismos e se
baseia no fato de que um nível de sinal que liga um
dispositivo deve ser diferente do nível do sinal que o
desliga. O princípio da histerese linear é representado
graficamente conforme a figura 7 – 03.
Histerese magnética: é a defasagem não linear entre o campo magnetizante H e o campo
remanescente B , resultado da inércia magnética dos materiais utilizados nos núcleos dos
indutores.
Quando um corpo ferromagnético é submetido a uma magnetização com determinada polaridade da
corrente, a reversão do campo remanescente B ocorrerá com um nível diferente do campo
magnetizante H , conforme mostra a curva de magnetização na fig. 7 - 04.
A “largura” da curva de histerese é diretamente proporcional à capacidade remanescente do
material, portanto, materiais com alto remanente, a curva de histerese é “mais larga”.
Exemplo da fig. 7 - 04
Fase inicial de magnetização positiva:
• um núcleo ferromagnético, completamente desmagnetizado, está com um campo
remanescente B=0T , conforme ponto (a) do gráfico.
2

• Inicialmente vamos aplicar um campo magnetizante com intensidade H = 1 A/m e então,
o campo remanescente crescerá até a intensidade B =2T conforme o ponto (b) do
gráfico.
• Se aumentarmos o campo magnetizante para H =3 A/m , o campo remanescente crescerá
até a intensidade B =3T , conforme o ponto (c), e neste ponto, percebe-se pela
horizontalidade da linha que representa o campo remanescente, que houve uma estagnação,
mesmo que o campo magnetizante continue a crescer: este é o ponto de saturação magnética
positiva do material.
Fase da desmagnetização positiva, com remanente:
• a partir do ponto (c), se o campo magnetizante diminuir para H =1 A/m , o campo
remanescente vai diminuir para B =2,8T , representado pelo ponto (d) do gráfico. Aqui,
chama a atenção o fato de que, para o mesmo campo magnetizante H =1 A/m , termos
dois campos remanescentes com intensidades diferentes, representados pelos pontos (b) e
(d).
• Diminuindo o campo magnetizante para
H =0 A/m , o campo remanescente não voltará
para B =0T , e sim, para B=2,2T , conforme
mostrado no ponto (e) do gráfico.
Fase da magnetização negativa, com remanente:
• se o campo magnetizante crescer negativamente para
H =(−1) A/m , o campo remanescente vai
diminuir para B =0T , representado pelo ponto (f)
do gráfico.
• Aumentando negativamente o campo magnetizante
para H =(−3) A/m , o campo remanescente vai
alcançar a saturação negativa em B=(−3)T , mostrado no ponto (g) do gráfico.
Fase da desmagnetização negativa, com remanente:
• a partir do ponto (g), se o campo magnetizante diminuir negativamente para
H =−1 A/m , o campo remanescente vai diminuir negativamente para B =(−2,8)T ,
representado pelo ponto (h) do gráfico. Aqui, novamente chama a atenção o fato de que,
para o mesmo campo magnetizante H =(−1) A/m , termos dois campos remanescentes
com intensidades diferentes, representados pelos pontos (f) e (h).
• Diminuindo negativamente o campo magnetizante para H =0 A/m , o campo
remanescente não voltará para B=0T , e sim, para B =(−2,2)T , conforme
mostrado no ponto (i) do gráfico.
• Finalmente, para trazermos o campo remanente para B =0T , temos que aumentar
positivamente o campo remanente para H =1 A/m , conforme mostrado no ponto (j) do
gráfico.
7.2 – ELETROMAGNETISMO
Indutor
O indutor prático é um componente elétrico em forma de bobina, pouco dissipativo, reativo, e
armazenador de energia magnética, enquanto houver corrente elétrica circulando nas suas espiras,
ou por curtíssimo período, ao ser desligado do circuito.
3

Abaixo a figura de um indutor reto, com núcleo cilíndrico, e vários símbolos, de acordo com o tipo
de material do núcleo. Quando tivermos que energizar indutores acoplados magneticamente, é
importante observar o sentido das espiras para que haja relação entre a entrada da corrente e o polo
magnético gerado, por isso existe a marca de polaridade, indicada no símbolo por um “ponto”, e
uma marcação no terminal físico (ver indutância mútua). Nos alto-falantes, por exemplo, essa
marcação é feita com os sinais + e – para sincronizar o movimento dos cones de dois ou
mais alto-falantes acusticamente acoplados.
Conforme a aplicação, os indutores podem ter a forma construtiva reta ou toroidal, e conforme a
frequência, os núcleos podem ser:
• Abaixo de 10 Khz : chapas laminadas de ferro silício.
• Acima de 10 Khz : ligas tipo ferrite.
Suas espiras podem ser unidas ou separadas, o seu núcleo pode ser somente com ar, ou preenchido
com material suscetível à magnetização. Os fatores limitadores para a utilização de um indutor são:
• Parâmetros da bobina:
◦ Capacidade de condução de corrente A .
◦ Tensão nominal V
◦ Máxima tensão do isolamento KV .
◦ Frequência Hz
• Parâmetro que define o núcleo:
◦ Frequência Hz
◦ Permeabilidade magnética μ
Fluxo magnético ϕ ( letra grega minúscula “phi”) - representa o campo magnético uniforme
que atravessa um corpo suscetível com uma área S e sua intensidade é proporcional a inclinação
da área em relação a direção e a densidade das linhas do campo magnético. Unidade de medida:
Weber Wb .
ϕ = B.S cosθ
•  (theta) – ângulo entre a direção das linhas de campo e o vetor normal n à superfície.
• Weber – Fluxo magnético através de um corpo suscetível com superfície de 1m² imerso
perpendicularmente num campo magnético de 1 Tesla.
O fluxo magnético será máximo quando a superfície estiver perpendicular às linhas de campo,
portanto o vetor normal ( ⃗n ) ao plano estará a 0° , cujo cosseno é um. Por outro lado, à
proporção que a superfície se inclina num ângulo θ , o fluxo vai diminuindo. e será nulo quando
a superfície estiver paralela às linhas do campo magnético, com o vetor normal a 90° , cujo
cosseno é zero.
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Fluxo magnético instantâneo numa bobina energizada com corrente variável : ϕ (t )=Li(t)
Indutância L
É a constante de proporcionalidade que indica a capacidade de uma bobina energizada gerar e
conservar um campo magnético B para cada ampere variando no indutor com N espiras:
L=N
ϕ
i(t)
. A indutância também é função dos parâmetros físicos do indutor:
L=μ
N ² S
l
• μ Permeabilidade magnética do núcleo.
• N Número de espiras.
• S Área transversal em m².
• l Comprimento em metro.
Unidade de medida: Henry.
1 Henry significa que a variação de um ampere por segundo resulta em uma força eletromotriz
autoinduzida de um volt.
Indução eletromagnética
Oersted descobriu que uma corrente elétrica, passando num condutor retilíneo, cria um campo
magnético circundante e perpendicular à direção do condutor, orientado com sentido Sul / Norte,
conforme a regra da mão direita, pelo princípio das “cargas elétricas positivas em movimento”, ou
corrente convencional.
Da mesma forma, uma corrente elétrica passando numa bobina, cria um campo magnético
perpendicular ao plano das espiras, cuja polaridade, também é dada pela regra da mão direita, para a
corrente convencional: “se a mão direita envolver as espiras da bobina, com os quatro dedos
apontando o sentido da circulação da corrente, o polegar estendido apontará para o polo Norte do
solenoide”.
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Com isso, percebe-se que um condutor quando submetido à passagem de uma corrente elétrica tem
dois campos:
• O campo elétrico, inerente a cada partícula de carga, que se propaga longitudinalmente
dentro do condutor, no sentido da queda de potencial sobre o mesmo.
• O campo magnético, ao redor do condutor, cria um dipolo magnético, perpendicular à
direção do condutor, com sentido Sul / Norte, conforme a regra da mão direita.
Faraday e Henry descobriram o inverso: a variação de um campo magnético, perpendicularmente a
uma bobina, induz uma corrente elétrica em suas espiras, e nos seus terminais aparecerá uma
tensão instantânea autoinduzida:
vL(t )=−N(
dϕ (t)
dt
) Esta expressão é a Lei de Faraday para uma bobina de N espiras, e
significa que a tensão induzida será proporcional ao número de espiras e à taxa de variação
instantânea, ou derivada do fluxo magnético.
Lenz descobriu que a corrente induzida numa bobina, gera um campo magnético contrário ao
movimento do campo magnético indutor, da seguinte forma:
Ao aproximarmos o polo norte de um ímã, do núcleo de uma bobina, ocorrerá a “expansão” do
campo magnético B sobre as espiras, o que provocará a indução de uma corrente elétrica. Esta
corrente induzida criará um campo magnético “reverso” no núcleo da bobina, cujo polo norte ficará
frontal do polo norte do ímã que se aproxima, provocando a repulsão entre os dois, que será mais
intensa quanto mais rápido for o movimento (Lei de Faraday). Se o movimento parar, cessará todo
o processo.
Fazendo-se agora o movimento reverso, afastando o polo norte do ímã que estava junto do núcleo
da bobina, ocorrerá a retração do campo magnético B sobre as espiras, e o efeito se inverte, com
o solenoide criando um polo sul frontal ao polo norte do ímã, o que gera uma força de atração entre
os dois. Por isso há uma força magnética entre indutor e induzido sempre contrária ao movimento
6

de aproximação ou afastamento, o que requer um dispêndio de energia mecânica para manter o
movimento capaz de gerar uma corrente elétrica.
Resumo da Lei de Lenz: A corrente induzida produz um campo magnético oposto à variação do
fluxo magnético que a gerou.
Fenômeno da autoindutância
A tensão autoinduzida instantânea ou f.c.e.m é dada por: vL(t )=−[L
di(t)
dt ] (7.01).
Entendendo o termo
di(t)
dt
da fórmula (7.01) em três cenários:
1. Se a corrente é constante, com qualquer amplitude ou polaridade, a sua derivada é zero,
representada por uma reta horizontal, cuja tangente é zero e vL(t )=0V .
2. Se uma corrente estiver crescendo em termos absolutos −i(t) → 0 → +i(t) , sua
derivada será positiva, representada por uma reta tangente à “curva” i(t)x t , com
inclinação positiva, então vL(t ) será negativa.
3. Por outro lado, se estiver decrescendo em termos absolutos +i(t) → 0 → −i(t ) , sua
derivada será negativa, representada por uma reta tangente à “curva” i(t)x t , com
inclinação negativa, então vL(t ) será positiva.
Nos cenários 2 e 3 a derivada será proporcional à inclinação da reta tangente à “curva” i(t)x t ,
que por sua vez é proporcional à rapidez da variação da corrente. Uma variação brusca da derivada
da corrente provoca um pico de tensão com polaridade invertida.
O que ocorre dentro do indutor
Quando é aplicada uma tensão v(t ) com amplitude crescente sobre um indutor, instantaneamente
haverá uma variação infinitesimal da corrente do circuito (corrente forçante) i(t) , o que gera uma
brusca variação positiva da sua derivada, capaz de gerar um fluxo magnético inicial muito intenso,
que por sua vez provocará o aparecimento de um pico de tensão instantânea autoinduzida
−vL(t ) , ou força contra eletromotriz f .c.e.m , que por sua vez provocará o aparecimento
de uma corrente interna −iL(t) reagindo à variação de amplitude da corrente forçante do circuito,
de forma que i(t)−iL (t)=0 . O resultado deste complexo processo de ação e reação, que ocorre
dentro do indutor, é a reatância indutiva, que não permite a variação brusca da corrente instantânea
i(t) no circuito.
Queda de tensão sobre um indutor - Se o indutor está numa malha, em série com um resistor, a
queda de tensão instantânea é determinada pala LTK da malha vdL(t )= vg(t)−vR(t) e pode ser
determinada também pelo positivo de (7.01) vdL(t )= [L
di(t )
dt ] (7.02).
7

Para deduzir a expressão da corrente instantânea do circuito que alimenta um indutor, em função da
queda de tensão nos seus terminais, vamos manipular a expressão (7.02) aplicando a propriedade
proporcional “o produto dos meios é igual ao produto dos extremos” : L[di(t)]=vdL(t)dt , em
seguida levar o termo da corrente para o primeiro membro di(t)=
1
L
[vdL(t)dt ] e integrar ambos
os membros, deixando a constante
1
L
fora do integrando: ∫
0
t
di(t )=
1
L
∫
0
t
vdL(t)dt teremos
i(t)=
1
L
∫
0
t
vdL (t)dt (7.03).
Reatância indutiva XL – É consequência da Lei de Faraday, e caracteriza a inércia do indutor
às variações da corrente elétrica. É medida em ohms e será detalhada no estudo de corrente
alternada: XL =2π .f .L ou XL =ω .L .
• f é a frequência em Hz .
• 2πf é o fator de conversão para frequência angular ω em radianos/segundo.
• L é a indutância em Henry.
Os transitórios do indutor em CC são consequência da reatância indutiva, embora a abordagem
seja feita de outra forma, pois cada transitório é um evento exponencial, não periódico, portanto
sem a grandeza “frequência”, que é própria de CA .
Indutor ideal em CA – resistência ôhmica nula rL =0Ω , sem capacitância parasita
CP =0Farad e reatância XL pura.
Indutor prático em CA – Todo indutor prático tem
agregados:
• Uma resistência ôhmica em série rL > 0Ω , própria do
fio da bobina.
• Uma capacitância parasita em paralelo CP , por causa
da proximidade dos fios da bobina.
Numa análise real, devem-se considerar estas grandezas
agregadas, que por menores que sejam, vão alterar a reatância
indutiva XL .
Os indutores práticos, quando utilizados em CA , também têm perdas magnéticas, que são
dissipadas na forma de calor:
• Correntes parasitas (Foucault) – são correntes induzidas nos núcleos ferromagnéticos,
cuja intensidade é diretamente proporcional à frequência de variação do fluxo indutor e que
vão circular em “curto circuito”, produzindo perdas térmicas. A forma prática para
minimizar essas perdas é utilizar núcleos ferromagnéticos na forma de pacote de lâminas
delgadas e isoladas eletricamente umas das outras, dispostas longitudinalmente (paralelas
ao eixo entre os polos magnéticos). Os núcleos de “Ferrite”, por terem alta resistividade
elétrica, são menos suscetíveis a esse fenômeno.
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INDUTÂNCIA MÚTUA M
Assunto que tem aplicação prática nos transformadores elétricos.
Se colocarmos duas bobinas isoladas eletricamente sobre o mesmo núcleo magnético, como na fig.
7 – 10, e se uma delas L1 for energizada com corrente de amplitude variável i1(t) , nessa
bobina haverá um campo magnético variável que vai induzir uma tensão variável na bobina vizinha
L2 , e então teremos duas situações:
• Se L2 estiver com os terminais desligados (circuito aberto), não haverá influência de
L2 sobre L1 .
• Se L2 estiver alimentando uma carga, formando uma malha, haverá uma corrente variável
i2(t) que também vai induzir uma tensão em L1 , fenômeno denominado de indutância
mútua M .
O resultado da indutância mútua dependerá da posição
relativa do eixo geométrico das duas bobinas, da
permeabilidade magnética do núcleo μ , e dos
parâmetros geométricos: comprimento l , área
transversal do núcleo S e do número de espiras N1
e N2 , então: M =μ S
N1 .N2
l
Unidade de medida:
Henry H . Em termos de autoindutância L individual,
com L1=μ
N1
2
S
l
e L2=μ
N2
2
S
l
, a indutância mútua
é dada por: M =k√L1. L2 então k =
M
√L1. L2
com 0≤k ≤1 , o que implica que
√L1 .L2 ≥M .
Coeficiente de acoplamento magnético k
Fator adimensional que pode variar de zero a um, refletindo o fluxo magnético efetivo ϕ 2 que a
bobina secundária está aproveitando do fluxo magnético gerado pela bobina primária ϕ 1 , e é
dado por: k =
ϕ 2
ϕ 1
.
• Tende para 1 quando as bobinas são montadas no mesmo núcleo fechado com qualquer
forma geométrica, separadas ou sobrepostas. A forma geométrica do núcleo magnético não
altera a indutância mútua, assim, um núcleo fechado, de forma triangular com uma bobina
em cada lado do triângulo, os fluxos magnéticos estarão perpendiculares ao plano das
espiras, com o máximo aproveitamento;
9

• Assume valores intermediários quando estão em núcleos separados, mas muito próximas, e
posicionadas axial ou paralelamente;
• Tende a zero quando estão em núcleos separados e perpendiculares entre si, mesmo muito
próximas;
O fluxo magnético indutor é máximo quando “corta perpendicularmente” o plano das espiras
induzidas.
Elementos de circuito com indutância mútua - convenções
Convenção dos fluxos:
Considerando um cenário com duas bobinas em posições ideais de acoplamento magnético, vamos
nomeá-las de L1 indutora e L2 induzida. Para que haja fluxo magnético indutor é necessário
que L1 esteja energizada para haver a circulação de uma corrente indutora. E para que haja
indutância mútua M , é necessário que a bobina induzida faça parte de uma malha fechada por
onde circule a corrente induzida.
ϕ1 fluxo magnético total da malha 1.
ϕ11 parte do fluxo magnético total da malha 1 e vinculado somente à malha 1 (autoindutância).
ϕ12 fluxo magnético mútuo gerado pela malha 1 e vinculado à malha 2.
ϕ1 =ϕ 11 + ϕ12
ϕ2 fluxo magnético total da malha 2.
ϕ22 parte do fluxo magnético total da malha 2 e vinculado somente à malha 2 (autoindutância).
ϕ21 fluxo magnético mútuo gerado pela malha 2 e vinculado à malha 1.
ϕ2 =ϕ 22 +ϕ 21
Nos elementos indutivos acoplados magneticamente, a polaridade da tensão mutuamente induzida
M dependerá da combinação dos fluxos magnéticos produzidos, tanto pela bobina indutora
L1 , como pela induzida L2 , o que está intrinsecamente ligado com o sentido relativo das
espiras dessas bobinas.
Duas bobinas acoplados magneticamente estão “em fase” quando o fluxo induzido ϕ2 estiver no
mesmo sentido do fluxo indutor ϕ1 , o que é verificado com a aplicação da regra da mão direita.
Para que isso ocorra é necessário que o sentido das espiras das bobinas seja o mesmo, de forma que
ϕ1 + ϕ2 ⇒ +M . Caso as bobinas tenham sentidos relativos contrários, então:
ϕ1 −ϕ 2 ⇒ −M ou −ϕ 1 + ϕ2 ⇒ −M .
Convenção dos pontos ou marcas de polaridade
Tem como objetivo marcar os terminais de mesma polaridade em bobinas acopladas, e para isso
devem ser considerados, o sentido dos enrolamentos, e o conhecimento dos terminais “p”
(princípio) e “f” (fim) de cada bobina.
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Teste prático da polaridade relativa entre primário e secundário acoplados magneticamente: ao ligar
a chave da malha 1, se o ponteiro do voltímetro saltar à direita e voltar ao centro, a tensão induzida
é positiva, então o terminal marcado será positivo (fig. 7 - 11).
Exemplo de duas bobinas acopladas magneticamente e com marcações em fase (figura 7 – 12):
Análise das tensões :
A bobina indutora L1 faz parte da malha 1, é alimentada por uma fonte de tensão, portanto é um
elemento consumidor, e nos seus terminais haverá uma corrente forçante i1(t) produzindo o
fluxo variável ϕ1 que gera uma f.c.e.m. vL1(t) e uma tensão induzida em L2 v21 (t) .
Então v1(t)=v11 (t)+ v12(t) ou v1(t)= L1
d i1(t)
dt
+ M
di2(t)
dt
.
A bobina induzida L2 faz parte da malha 2, onde o fluxo ϕ1 induz uma tensão v21 (t) , que
cria a corrente i2(t) , que produz o fluxo variável ϕ2 , que gera uma f.c.e.m. vL2 e uma
tensão induzida em L1 v12 (t) . Então v2(t)=v22 (t) + v21 ou
v2(t)= L2
d i2(t )
dt
+ M
di1(t)
dt
.
LTK da malha 1: −vg + [i1(t)R1]+ L
di1(t)
dt
−M
di2(t )
dt
=0 .
LTK da malha 2: −M
di1(t )
dt
+[i2(t )R2] + L
di2(t)
dt
=0 .
Energia magnética potencial acumulada no indutor Em - (FIG. 7 – 19)
A energia potencial magnética é armazenada no Campo magnético no interior do indutor.
Unidade de medida: Joule J .
11

O fluxo eletromagnético instantâneo no indutor é dado por: Φ(t)=L.i(t ) que mostra sua relação
linear com a corrente. Por consequência, a indutância será: L=
Φ(t)
i(t)
que numa representação
gráfica será uma reta, cuja inclinação é dada por : α= tan
−1
[Φ(t)
i(t) ] . Nesse gráfico, a energia
acumulada no indutor é representada pela área obtida pela integração do infinitésimo
dEm(t)=ϕ (t)∗di(t ) no intervalo de i(t)=0 → (I) : ∫dEm(t)= ∫
t=0
t=I
Φ(t).di como
Φ(t)=L.i(t )
∫dEm(t)= ∫
t=0
t= I
L i(t).di constante fora do integrando
∫dEm =L ∫
t=0
t=I
i(t).di resolvendo a integral
EM (t)=L
[i(t)]²
2
ou EM (t)=
1
2
L [i(t)]² Joules.
Como L=
ϕ(t)
i(t)
EM (t)=
1
2
[
ϕ(t)
i(t)
] [i(t )]² ou
EM =
1
2
[ϕMÁX .I MÁX] que representa a área do triângulo
sob a reta L no intervalo 0 → t .
No caso de indutância mútua entre duas bobinas, a energia total é dada por:
EM (t)=
1
2
L1 [i1(t)]² +
1
2
L2 [i2(t )]²± M (i1.i2) (7.04).
Como o indutor é um elemento passivo, sua potência consumida é sempre positiva, portanto
EM ≥0 . independentemente das polaridades das correntes. Lembrando que M =k√L1. L2
então k =
M
√L1. L2
com 0≤k ≤1 , o que implica que √L1 .L2 ≥M .
7.3 - COMPORTAMENTO TRANSITÓRIO DO INDUTOR EM CC
Para o estudo do transitório de carga ou descarga do indutor, vamos colocar um resistor em série
com a fonte de tensão, e assim teremos um circuito RL . A duração do transitório ocorre entre
t(0
+
)→t (≥5τ) onde τ=
L
R
é a constante de tempo do circuito.
Relação tensão corrente no indutor
A queda de tensão no indutor é oposta à tensão autoinduzida: vdL(t)= vL(t) (7.05).
12

Transitório de carga (fig. 7 – 14)
Lembrar a convenção para notação do tempo no instante de transição de um evento:
• Tempo anterior, à esquerda de zero : t =(0
−
) .
• Tempo inicial do evento, à direita de zero: t =(0+
) , que é um valor infinitesimal de “t”.
LTK do circuito RL , para carga do indutor: −VS + vdR(t)+ vdL (t)=0V ou
−VS + Ri(t) +[L
di(t)
dt ]=0V (7.06)
Situação antes da carga t =(0
−
) : indutor descarregado.
Para esta análise vamos considerar que a chave está na posição (c → b) , colocando o resistor
R em paralelo com o indutor para ser descarregado, o que nos dará as seguintes condições
iniciais, antes da próxima carga:
• Tempo da descarga : (t≥5τ ) , onde τ =
L
R
.
• Queda de tensão no indutor descarregado: VdL=0V .
• Tensão autoinduzida −VL =0V .
• Queda de tensão no resistor: VdR =0V .
• Corrente no circuito: I =0 A .
13

Descrição do processo de carga (fig. 7 - 14)
Instante de comutação da chave para a energização do indutor
• Chave na posição (c → a) .
• Tempo inicial t =(0
+
)
• A fonte vai fornecer um degrau positivo de tensão 0→Vf
• Queda de tensão inicial no resistor: um indutor descarregado tem uma inércia altíssima para
variação de corrente (característica da reatância indutiva), ou seja, se comporta como um
circuito aberto, assim, a corrente no resistor é considerada próximo de zero, por isso
teremos: vdR(0+
)=i(0+
) R vdR(0+
)=0.R ou vdR(0+
)=0V .
• LTK(0
+
) : −VS+vdR(0
+
)+vdL(0
+
)=0V ou −VS+0+vdL(0
+
)=0V .
• O aparecimento da f .c.e.m . já foi tratado no estudo da autoindutância, onde se obteve a
expressão da f.c.e.m. (7.01) vL(0+
)=−L
di(0+
)
dt
.
• A queda de tensão nos terminais do indutor que recebe um degrau de tensão inicia o
processo de carga com o valor da fonte e decai exponencialmente
vdL(0
+
)=Vs → VdL(t ≥5 τ)=0V .
• No caminho inverso ocorre o crescimento exponencial da corrente instantânea i(t) no
circuito i(0
+
)= 0 → i(t≥5τ)=IMÁX .
Como no regime permanente X L(t ≥5τ ) → 0 (curto circuito), ao completar a carga, a corrente
máxima do circuito passa a ser limitada apenas pelo resistor IMÁX =
VS
R
.
Deduzir a expressão da corrente instantânea no processo de carga do indutor iL(t) :
• Condição inicial: descarregado i(0−
)=0 A
• Constantes: VS , R e L
• Variável: i(t) .
A LTK do circuito LR para o processo de carga do indutor, dada na expressão (7.06) pode ser
escrita como: L[
di(t )
dt
]+[Ri(t)]=VS , que é uma EDO (equação diferencial ordinária) linear de
primeira ordem e não homogênea. Para resolvê-la, vamos fazer algumas manipulações algébricas
14

para obtermos a corrente no tempo, até que atinja o valor máximo (indutor ideal carregado):
IMÁX =
Vf
R
.
Dividir os termos por L e separar o termo “diferencial” :
di(t)
dt
=
V f−[R i (t)]
L
usaremos a
propriedade proporcional da “permuta dos meios” para agrupar os termos de corrente e tensão no
segundo membro:
dt
L
=
di(t)
Vf −[ R i (t)]
.
Integrar os dois termos em função do tempo:
1
L
∫
0+
t
dt = ∫
i(0+
)
i(t)
1
Vf −[ R i (t)]
di . O primeiro membro
será:
t
L
e então teremos:
t
L
= ∫
i (0+
)
i(t)
1
Vf −[R i (t)]
di (7.07)
Vamos aplicar a regra da substituição para resolver o segundo membro: Vf −[ R i (t)]=u (7.08)
Diferenciar em relação a (i):
du
di
=
d
di
[Vf −Ri] como
dVf
di
=0 pois Vf é constante, e
di
di
=1 , teremos:
du
di
=−R e di =−
du
R
.
A expressão (7.07) ficará:
t
L
=∫
1
u
(−
du
R
) ou
t
L
=−
1
R∫
du
u
sendo ∫
du
u
=ln u ,
teremos:
t
L
=−
1
R
ln|V f−[R i (t)] |i(t)
i(0)
Levar −
1
R
multiplicando, para o primeiro membro:
−[
R
L
]t =ln|Vf −[R i (t )] |
i(t)
i(0
+
)
O primeiro membro desta expressão é relacionado ao tempo de carga do indutor, e mostra o
termo −
R
L
que significa o negativo do inverso da constante de tempo −
1
τ
, o que nos dará
uma curva exponencial decrescente.
O segundo membro relaciona a tensão da fonte com a tensão instantânea no resistor.
Aplicar os limites de integração: −[
R
L
]t =ln {VS−[Ri(t)]}−ln {V f−[R i (0
+
)]}
Aplicar a propriedade “a subtração de logaritmos é igual ao logaritmo do quociente”:
−
[R
L ]t =ln
Vf −[ R i (t)]
Vf −[R i (0+
)]
. Exponenciar os dois membros: e
−
[R
L ]t
=
Vf −[R i (t)]
V f −[ R i (0+
)]
Separar o termo i(t) no primeiro membro: {V f −[ R i (t)]}=e
−
[R
L ]t
{Vf −[R i (0+
)]}
15

i (t )=e
−
[R
L ]t {V f −[ R i (0
+
)]}−Vf
−R
ou i (t )=(Vf
R )−(Vf
R )e
−
[R
L ]t
+i(0+
)e
−
[R
L ]t
.
Substituir −
R
L
=−
1
τ
e simplificar a expressão acima:
iL (t)=
Vf
R
(1−e
−
t
τ
)+ i (0
+
) e
−
t
τ
(7.09) .
Significado da constante de tempo (τ) na carga do indutor completamente descarregado
Abordagem algébrica: Condição anterior: indutor descarregado i(0
−
)=0 A .
Sendo τ =
L
R
, a partir da expressão (7.09), fazendo t =τ ou t =
L
R
, teremos:
i (τ)=
Vf
R
[1−e
−
τ
τ
] (7.10). Sendo −
τ
τ
=−1 , e
−1
=
1
e
e
1
e
=0,367879 , podemos
escrever (7.8) como: i(τ )=(1−0,367879)
Vf
R
ou
i(τ )=0,632121[
VS
R
] (7.11) Onde a corrente no instante t =τ estará com 63%de(IMÁX ) .
Abordagem gráfica através da derivada da corrente (fig. 7 - 15):
Condição anterior: indutor descarregado i(0−
)=0 A .
Condição final: IMÁX=
V f
R
. Ocorre quando
di(t)
dt
=0 com t≥5τ e que significa que a reta
tangente à curva da corrente está na horizontal.
Por outro lado, se plotarmos uma reta tangente à curva da corrente, no ponto inicial da carga
i(0
+
) , essa reta será inclinada e cruzará a reta
horizontal extrapolada, correspondente a IMÁX , no
instante t = τ segundos. Isso nos indica que, se a
carga fosse linear, o indutor estaria completamente
carregado quando t = τ .
A inclinação dessa reta é dada por
α =tan
−1 I MÁX
τ
, onde IMÁX é o cateto oposto
e τ é o cateto adjacente.
16

Dedução: derivar (7.10) em relação ao tempo, com
V f
R
=IMÁX , teremos
di(t)
dt
= IMÁX
d
dt
(1−e
−
t
τ
) , onde
d1
dt
=0 e
d
dt
−e
−
t
τ
=−
e
−
t
τ
τ
, então
di(t)
dt
= IMÁX [−
e
−
t
τ
τ ] . Como no ponto de tangenciamento t = 0 , e sendo e
0
=1 ,
teremos
di(t)
dt
=
I MÁX
τ
ou α =tan
−1 I MÁX
τ
.
Transitório de descarga (fig. 7 - 16)
Sabemos na prática que a carga de um indutor é dissipada instantaneamente na abertura do
interruptor, por isso, estudá-lo durante a descarga requer um interruptor sem retardo entre as
posições “a = fonte” , “b = carga” , com o indutor no polo “c”: liga a carga antes e desliga a fonte
depois.
Neste estudo vamos considerar que o indutor está plenamente carregado no instante anterior
t =0
−
, antes de ser conectado em paralelo com um resistor R : interruptor na posição
c→b .
Situação antes da descarga t =0
−
• Indutor em série com um resistor, alimentado por uma fonte independente de tensão, através
de um interruptor “liga antes, desliga depois”.
• Duração do processo de carga anterior: (t > 5τ )
• Impedância do indutor em regime permanente Z=0Ω ou curto circuito.
• Corrente no circuito no final da carga: i(t > 5τ)= IMÁX onde IMÁX =
Vf
R
• Queda de tensão no indutor carregado: vd L(t > 5 τ)=0V (comporta-se como um curto
circuito)
• Como não há mais variação da corrente
dIMÁX
dt
=0 , a reta tangente ao gráfico da
corrente está na horizontal e a f .c.e.m.=0V .
• Queda de tensão no resistor: vd R(t >5 τ)= IMÁX . R ou vd R(t >5 τ)=VS
• LTK : −VS+VdR+VdL=0V ou −VS+VdR+0=0V
Instante da comutação da chave para a descarga do indutor
• Chave na posição c → b : resistor R em paralelo.
• Tempo inicial t =0
+
17

• Corrente no circuito : i(0
+
) decai bruscamente de IMÁX para um valor positivo muito
menor, e assim, a derivada da corrente no tempo será altíssima e de valor negativo.
• Tensão no indutor: estava em zero volt no regime permanente, e a brusca alteração da
corrente produzirá um pico instantâneo positivo de f.c.e.m. , e o indutor passa a ser a fonte
de tensão: vL(0+
)=I MAX. (R+RSW ) onde RSW é a resistência estimada entre os
contatos no início da abertura do interruptor (switch) da fonte. Como neste caso o resistor de
carga já estava conectado antes do desligamento da fonte, RSW =0Ω e
vL(0
+
)=I MAX. (R) .
• Queda de tensão no resistor: decai bruscamente, proporcionalmente à queda da corrente.
Descrição do processo de descarga (fig. 7 - 16)
Um indutor carregado, ao ser desligado, reage à interrupção da tensão com uma tendência
instantânea da queda da corrente, e esse brusco decaimento da corrente faz com que sua derivada
seja um valor negativo altíssimo, e isso autoinduzirá um pico instantâneo de tensão contrária no
indutor, para se opor à queda da corrente e tentar mantê-la com a mesma amplitude que tinha
quando o indutor estava energizado pela fonte (Lei de Lenz).
Após o pico do instante do desligamento, a tensão positiva autoinduzida vL(t ) vai
decrementando contínua e exponencialmente até zero, junto com a corrente, pois o indutor agora é a
fonte de tensão e está devolvendo a energia armazenada, que vai sendo dissipada no resistor (R) .
Por essa razão, não há porque citar ou representar o gráfico da queda de tensão VdL , que seria
“negativa”. A comparação das figuras 7 – 14 com 7 – 16 nos mostra claramente essa afirmação.
A LTK na descarga do indutor sobre um resistor será: −vL(t )+vd R(t)=0 .
18

Por que há o centelhamento nos contatos do interruptor, quando se desliga um indutor?
De acordo com a expressão da tensão instantânea de pico que aparece sobre o interruptor, no
desligamento, será muitíssimo maior do que Vf que carregou o indutor, e capaz de provocar a
ruptura dielétrica do ar entre os seus contatos, provocando “centelhamento”, conforme veremos no
exemplo a seguir.
Nota: (fig. 7-17) para minimizar o pico de tensão produzido pela f.c.e.m., no
desligamento de cargas indutivas, é recomendado utilizar um diodo polarizado
inversamente (freewheeling), em paralelo com o indutor, para fechar um curto
circuito à corrente de descarga.
Exemplo: calcular a tensão de pico no desligamento de um indutor real, com
resistência interna r =3 Ω , alimentado diretamente por uma fonte de
tensão de 12V CC . A resistência entre os contatos, na abertura do
interruptor, é estimada, por baixo, em: RSW =2K Ω .
Resolução:
• Corrente no indutor no regime permanente: I =
Vs
r
I =
12V
3Ω
= 4 A
• Queda de tensão no indutor: com a corrente estável, não há tensão induzida, mas há a queda
de tensão por causa da resistência interna do indutor: Vd L=I .r VdL= 4 A x 3Ω
VdL= 12V .
• LTK da malha: −VS+VdL =0V ou −12+12=0V
• Ao abrir o interruptor, teremos a resistência total : r+RSW =3Ω+2 KΩ ou
r+RSW = 2.003Ω
• A tensão de pico nos contatos é dada por: V pico = IMAX . (r+RSW)
V pico = 4 A x 2.003Ω ou V pico =8.012V .
Dedução da expressão da corrente de descarga do indutor (condição anterior: carregado)
A partir da LTK do circuito da fig. 7 - 16 −vL(t )+vR (t)=0 ou −L
di(t)
dt
+[R i(t)]=0
Separar o termo diferencial
di(t)
dt
=−
[ R i (t)]
L
e isolar i(t) : −
[i (t)]
L/R
=
di(t)
dt
Separar os termos da corrente no segundo membro
−dt
L/R
=
di(t )
i (t)
e integrar os dois membros:
∫
0+
t
−dt
L/R
= ∫
i(0+
)
i(t)
di
i
ou −[R
L ]t =|ln i| i(t)
i(0
+
)
.
19

Aplicar os limites de integração −
[R
L ]t =[ ln i(0
+
)− ln i(t)]
Aplicar a propriedade “a subtração de logaritmos é igual ao logaritmo do quociente”:
−[R
L ]t =ln
[i(0+
)
i(t ) ] exponenciando os termos e
−
[R
L ]t
=
i(0+
)
i(t)
Finalmente, isolando i(t) , teremos: i(t)=i(0+
) [e
−
[R
L ]t
] ou i(t)=i(0+
) e
−
[ t
τ ] (7.12)
onde τ =
L
R
.
Significado da constante de tempo (τ) na descarga do indutor
Abordagem algébrica: se fizermos t =τ na expressão (7.12) , teremos: i (τ)= i (0+
)[e
−(
τ
τ
)
]
e poderemos escrever: i(τ )=i(0
+
).e
−1
. Como e−1
=
1
e
e
1
e
=0,367879 , então vamos ter:
i (τ)= i (0
+
) 0,367879 . No caso da descarga do indutor plenamente carregado, onde
i(0
−
)=IMÁX =
Vf
R
, teremos: i (τ)=0,367879(I MÁX) .
Abordagem gráfica através da derivada (fig. 7 – 18): se traçarmos uma reta tangenciando a curva
da corrente de descarga no ponto i(0+
) , ela cruzará o eixo horizontal do tempo no ponto
t =τ segundos, e essa reta tangente nos indica que,
se a descarga fosse linear, a corrente no indutor estaria
zerada exatamente quando t =τ . Na prática, a
descarga completa ocorre no tempo t>5τ .
Vamos achar o ângulo (a), formado pela reta tangente à
curva da corrente em t(0
+
) .
Derivar (7.12) em relação ao tempo:
di (t)
dt
=
d
dt
[i(0
+
)e
−
t
τ
] di (t)
dt
=i(0
+
)[d
dt
e
−
t
τ
]
di (t)
dt
=i(0+
)[e
−
t
τ
] d
dt [−t
τ ] di (t)
dt
=i(0+
)[e
−
t
τ
] [−
1
τ ] fazendo t =0
+
e como
e
0
=1 , então
di (0
+
)
dt
=[i(0+
)][−
1
τ ] ou tgα =−
i(0
+
)
τ
, com i(0+
)= IMÁX .
O sinal (-) nos indica que o ângulo (α > 90°) , cujo suplemento é β =tg−1
[I MÁX
τ ] , onde IMÁX
é o cateto oposto e τ é o cateto adjacente.
20

7.4 - ASSOCIAÇÃO DE INDUTORES – diferente do que ocorre com resistores e capacitores, a
associação prática de indutores requer um cuidado extra, pois devem estar magneticamente
separados uns dos outros, para evitar a indutância mútua, que ocorre tanto em CA com nos
transitórios de CC . Em CC , no regime permanente, haverá somente o campo magnético fixo
ao redor dos indutores energizados.
ASSOCIAÇÃO EM SÉRIE DE INDUTORES IDEAIS CC
Informação prática: este tipo de associação é empregada quando é necessário uma indutância com
valor elevado. Podem-se usar indutores com valores diferentes.
• Os indutores ideais (teóricos) não têm resistência interna r =0 Ω .
• Num circuito RL (fig. 7 – 19), com indutores ideais em série, e uma resistência (R)
em série com a fonte, a resistência total do circuito será: Rtotal =R
• O tempo de carga ou descarga t>5τ será : τ =
LEQ
R
.
Indutância equivalente:
• Supondo-se os núcleos com a mesma permeabilidade magnética relativa (mr), o indutor
equivalente LEQ terá:
◦ Um núcleo “comprido”, igual à soma dos comprimentos individuais lEQ = l1+l2+…ln
A área transversal equivalente será igual à média das áreas individuais
SEQ =
S1+S2+…Sn
n
◦ Número de espiras igual à soma das espiras dos indutores da série n=n1+n2+…nn
◦ A indutância equivalente será a soma das indutâncias individuais:
LEQ = L1+L2+L3+... Ln .
Carga Equivalente: O processo de carga estará concluído quando a corrente do circuito ficar
estabilizada no valor IMÁX =
Vf
R
.
Corrente instantânea:
• A corrente instantânea de carga/descarga, que é a variável de estado do indutor, será a
mesma em todos os indutores, e inversamente proporcional à indutância equivalente:
i(t)=
1
LEQ
∫
0
t
vdLEQ(t)dt .
21

Tensões instantâneas durante a carga:
• Individual: vdLn(t)= Ln[di(t)
dt ] .
• Como a corrente é a mesma em todos os indutores, a queda de tensão instantânea do indutor
equivalente será a soma das quedas de tensão instantâneas individuais:
vdLEQ(t)= L1+L2+...Ln[di(t)
dt ] ou vdLEQ(t)=vdL1(t)+vdL2(t)+...vdLn(t) .
• LTK(t ) → −VS+[vdR(t)+vdLEQ(t)]=0V .
• No final do processo de carga a queda de tensão individual será “zero”, portanto sua soma
também será “zero”: VdLEQ =0V .
• LTK(t >5 τ) → −VS+VdR +0=0V .
Exemplo da fig. 7 – 19, com indutores ideais:
LEQ =5+10+50 LEQ =65 H .
IMÁX =
5V
5K Ω
ou IMÁX =1mA
ASSOCIAÇÃO EM SÉRIE DE INDUTORES COM RESISTÊNCIA INTERNA (CC)
São válidas todos os conceitos citados para indutores ideais, exceto:
• Os indutores têm resistência interna r >0 Ω . Lembrar que não estamos considerando
capacitância parasita.
• Num circuito RL em série (fig. 7 – 20), e com uma resistência (R) , também em série
com a fonte, a resistência total do circuito será: Rtotal =R+[rL1+rL 2+...rLn] ou
Rtotal =R+[rLEQ] .
• No final do processo de carga a queda de tensão no indutor equivalente será
VdLEQ = I .rLEQ .
• Carga Equivalente: O processo de carga estará concluído quando a corrente do circuito
ficar estabilizada no valor IMÁX =
V f
Rtotal
.
• O tempo de carga ou descarga t>5τ será: τ =
LEQ
Rtotal
.
22

ASSOCIAÇÃO EM PARALELO DE INDUTORES IDEAIS (CC)
Informação prática: este tipo de associação é empregada quando é necessário uma indutância com
valor diferente dos valores comerciais. Podem-se usar indutores com valores diferentes.
• Os indutores ideais não têm resistência interna r =0 Ω .
• Num circuito RL em paralelo (fig. 7 – 21), e com uma resistência (R) em série com a
fonte, a resistência total do circuito será: Rtotal =R
Indutância equivalente:
• Supondo-se os núcleos com a mesma permeabilidade magnética relativa μr , o indutor
equivalente terá:
◦ Um núcleo “espesso”, com a soma das áreas transversais: SEQ =S1+S2+… Sn , e
comprimento médio ℓEQ =
ℓ1+ℓ2+…ℓn
n
.
◦ Número médio de espiras nEQ =
n1+n2+…nn
n
.
◦ Se as indutâncias forem diferentes, a indutância equivalente será:
LEQ =
1
1
L1
+
1
L2
+
1
L3
+...
1
Ln
. Se forem apenas dois indutores diferentes:
LEQ =
L1∗L2
L1+L2
e se todos forem iguais: LEQ =
L
n
.
◦ A indutância equivalente será sempre menor do que a menor indutância do circuito.
Tensões instantâneas:
• O tempo de carga ou descarga t>5τ será proporcional à indutância equivalente:
τ =
LEQ
R
.
• No transiente de carga, a queda de tensão do indutor equivalente será a mesma em todos os
indutores: LTK(t ) do circuito será: −VS+[vdR(t)+vdLEQ(t)]=0V .
• No final do processo de carga a queda de tensão sobre os indutores, será: VdLEQ =0V .
• LTK(t ≥5 τ) do circuito: −VS+VdR =0V .
23

Correntes instantâneas:
• A corrente de carga/descarga individual, que é a variável de estado do indutor, será
inversamente proporcional a cada indutância: iLn(t )=
1
Ln
∫
0
t
vdLn(t )dt
• Como a tensão é a mesma em todos os indutores em paralelo, a corrente instantânea do
indutor equivalente será: iLEQ(t)=
1
L1
+
1
L2
+...
1
Ln
∫
0
t
vdLEQ(t)dt ou a soma de todas as
correntes instantâneas individuais: iLEQ(t)=iL1(t)+iL2(t)+....iLn(t)
• Carga equivalente: O processo de carga estará concluído quando a corrente do circuito
estiver estabilizada no valor IMÁX =
Vf
R
.
ASSOCIAÇÃO EM PARALELO DE INDUTORES COM RESISTÊNCIA INTERNA (CC)
São válidas todos os conceitos citados para indutores ideais, exceto:
• Os indutores têm resistência interna r >0 Ω .
• Num circuito RL em paralelo (Fig. 7 - 22), e com uma resistência (R) , em série com a
fonte, a resistência total do circuito será: Rtotal =R+rLEQ como
rLEQ =
1
1
r 1
+
1
r2
+...
1
r n
, Rtotal =R+
[
1
1
r 1
+
1
r 2
+...
1
r n ] .
• No final do processo de carga a queda de tensão no indutor equivalente será
VdLEQ = I .rLEQ .
• Carga equivalente: O processo de carga só cessará quando o a corrente do circuito estiver
estabilizada no valor IMÁX =
Vf
Rtotal
.
• O tempo de carga ou descarga t>5τ será proporcional à indutância equivalente, com
τ =
LEQ
Rtotal
.
24

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