4 fontes cc

Análise de circuitos elétricos CC e CA Pedro Barros Neto
4 - FONTES DE ALIMENTAÇÃO BIPOLARES CC
O objetivo de uma fonte de alimentação é fornecer uma tensão ou uma corrente no seu terminal de
saída, para energizar um circuito elétrico.
4.1 - TIPOS DE FONTES
4.1.1 – FONTES INDEPENDENTES
Fonte de tensão (Voltage Supply) Vf : os geradores elétricos práticos criam a força eletromotriz
ℇ , através da transformação de uma determinada energia em energia elétrica.
Fonte de tensão ideal (fig. 4 - 01): é um elemento teórico, sem resistência interna r =0Ω ,
portanto com capacidade de corrente infinita, capaz de fornecer a tesão nominal Vf para uma
carga consumidora que tenha resistência finita 0<RL<∞ .
Condição não permitida: associação em paralelo, por causa de r =0Ω .
Em função da Resistência de carga, existem duas situações não aplicadas para fonte de tensão ideal:
◦ Circuito aberto RL =∞ : a corrente será zero IOUT =0 A .
◦ Curto-circuito RL =0Ω : a corrente será infinita IOUT =∞ pois a tensão teórica se
manteria no valor nominal.
Como sua resistência interna é “zero ohm”, a intensidade da corrente que circula internamente será
dependente apenas das cargas consumidoras RL da malha que a contém IVf =
Vf
RL
. .
Fonte de tensão real (fig. 4 - 01) : é um elemento teórico que tem uma resistência interna
r > 0Ω em série com o elemento ideal de tensão Vf . Como a resistência r é constante, a
corrente I da malha alimentada pela fonte real dependerá da soma da resistência de carga com a
resistência interna, e assim, na saída da fonte, teremos:
• Para circuito aberto RL=∞ → IOUT =0 A e VOUT = Vf .
• Para 0<RL<∞ → IOUT =
Vf
(RL + r )
e VOUT = IOUT . RL .
1

• Para curto-circuito RL=0Ω → IOUT =
Vf
r
e VOUT = IOUT .r .
Fonte de corrente If : Todo gerador elétrico prático é uma fonte de tensão com determinada
capacidade de fornecer corrente, de acordo com sua potência nominal. Não existe um dispositivo
prático que forneça apenas corrente.
Na análise de circuitos, uma fonte de corrente é um elemento teórico que só fornece corrente ao
circuito, e a tensão que aparecerá entre seus terminais será dependente da carga consumidora RL
da malha que a contém.
• Fonte de corrente ideal (fig. 4 - 01):
◦ A corrente de saída será constante, no valor nominal If , independentemente da carga
alimentada IOUT =If .
◦ O elemento ideal gerador de corrente If tem resistência interna infinita r =∞ , e
esta condição não permite que seja associada em série com outra fonte de corrente ideal.
Em função da Resistência de carga, existem duas situações não aplicadas para fonte de corrente
ideal:
◦ Circuito aberto RL =∞ : a tensão nos seus terminais será zero VIf = 0V .
◦ Curto-circuito RL =0Ω : a tensão nos seus terminais será infinita VIf =∞ .
Num gráfico “ resistência de carga x corrente ” a corrente de saída IOUT será um linha reta
horizontal no intervalo 0<RL<∞ (Fig. 4 - 01).
• Fonte de corrente real e independente (fig. 4 - 02): o elemento gerador de corrente ideal
If tem uma resistência interna r em paralelo, por isso a corrente de saída IOUT , a
queda de tensão na saída VdOUT e as potências, terão três situações, em função da carga
consumidora RL :
◦ RL=∞ ou circuito aberto: VdOUT =(If r) e IOUT =If − Ir .
◦ 0<RL<∞ → VOUT =[ If (r∥RL)] e IOUT =
VOUT
(r∥RL)
.
2

◦ RL=0Ω ou curto circuito: VOUT =0V e IOUT =0 A . Situação não permitida.
O gráfico da tensão de saída “ VOUT x corrente de saída IOUT ” será uma reta inclinada na
razão inversa de RL (Fig. 4 - 02).
Exemplo com fonte de corrente real e independente, sem carga (fig. 4 - 03):
Como o circuito está sem carga consumidora, a corrente estará
totalmente sobre a resistência interna r produzindo uma queda
de tensão sobre esse resistor, que é a tensão de saída:
VOUT = If r VOUT =3x 500 ou VOUT = 1.500V .
A elevação de tensão provocada pela fonte será Vr=−[ If .r ] o
que nos dá Vr=−1.500V .
A potência dissipada em r , será: Pr = If
2
.r
Pr = 3
2
x 500 Pr =4.500W .
A potência fornecida pela fonte será: PIf =(Vr). If PIf =(−1.500)3 ou PIf =−4.500W .
Exemplo com fonte de corrente real e independente, com carga (fig. 4 - 04):
Dados: If = 3 A ; r =500Ω ; RL =250Ω .
Pedem-se: Ir IOUT VOUT Pr ; PIf e PRL .
Inicialmente calcularemos o valor de RL∥r =
r. R
r+R
RL∥r =
500x 250
500+250
RL∥r =
125.000
750
ou
RL∥r =166,66 Ω .
A tensão na saída da fonte: VOUT= If (RL∥ r) VOUT =3 x 166,66 ou VOUT =500 V .
Com esses dados podemos calcular as correntes de cada resistor: Ir =
VOUT
r
Ir =
500V
500Ω
ou
Ir =1 A .
IRL =
VOUT
RL
IRL =
500V
250Ω
ou IRL =2 A .
Cálculo das potências:
3

• Fonte de corrente: sendo a elevação de tensão nos terminais da fonte Vr=−VOUT e
PIf =(Vr)I , então a potência fornecida, será: PIf =(−500V ) x3 A ou
PIf =−1.500W .
• Resistores: P=(I
2
)R :
◦ Pr =(12
)500 ou Pr =500 W .
◦ PRL =(2
2
)250 ou PRL =1.000 W
Potência consumida: Pconsumida =Pr+PRL =1.500W . O mesmo resultado é obtido com
Pconsumida =If
2
(RL∥r) Pconsumida =9(166,667) ou Pconsumida =1.500W .
4.1.2 - FONTES DEPENDENTES (controladas)
São elementos de circuito usados para modelar amplificadores e atenuadores. Podem ser de tensão
ou corrente, cujos valores de saída são dependentes de uma tensão V X ou corrente IX
originadas em outra parte do circuito.
A amplitude A da grandeza de saída de uma fonte dependente pode ser amplificada ou atenuada
em relação à sua entrada, conforme quantificado por uma constante numérica, grafada antes do
parâmetro de controle, e que significa: c =
Asaída
Aentrada
.
• c>1 amplificação Asaída> Aentrada .
• c=1 ganho unitário Asaída=Aentrada .
• 0 < c <1 atenuação Asaída< Aentrada .
Fonte de tensão controlada por tensão –
FTCT :(fig. 4 – 05): Vf =5Vi
Equações da saída: IOUT =
Vf
(RO+RL)
e
VdOUT =IOUT RL .
Condições ideais: Ri =∞ e R0 =0Ω .
4

Fonte de tensão controlada por corrente -
FTCC (Fig. 4 – 06): Vf =5 Ii .
Equações da saída: IOUT =
Vf
(RO+RL)
e
VdOUT =IOUT RL . Condições ideais: Ri =∞
e R0 =0Ω .
Fonte de corrente controlada por tensão –
FCCT (Fig. 4 – 07): If =5Vd i .
Equações da saída: VrIf =−[ If (RO∥RL)] ,
IOUT =If − IRO e VdOUT =IOUT RL .
Condições ideais: Ri =∞ e R0 =∞ .
Fonte de corrente controlada por corrente –
FCCC (Fig. 4 – 08): If =5I i
Equações da saída: VrIf =−[ If (RO∥RL)] ,
IOUT =If − IRO e VdOUT =IOUT RL .
Condições ideais: Ri =∞ e R0 =∞ .
4.2 - ASSOCIAÇÃO DE FONTES CC
Fontes ideais de tensão, dependentes ou independentes
Em série (tensão positiva na saída da fonte equivalente):
• Finalidade: somador algébrico de tensão.
• Especificação individual:
◦ Tensão: com qualquer valor.
◦ Corrente: a mesma em todas as fontes e inversamente proporcional à carga resistiva.
◦ Potência: depende diretamente da tensão e da corrente.
• Fonte equivalente:
◦ O sinal do terminal de entrada da fonte equivalente indicará sua condição de
fornecedora - ou consumidora + .
5

◦ Tensão da fonte equivalente: Soma
algébrica das tensões individuais, escritas
com o sinal do terminal de saída:
VEQ=(V f 1)+(Vf 2)+(V f 3)...+(V fn) .
◦ Corrente de saída igual à corrente de
entrada.
◦ Potência total: soma algébrica das potências
individuais.
A fonte que estiver com polaridade invertida provocará
uma queda de tensão Vd e será consumidora de
potência: VEQ=(V f 1)−(V f 2)+(Vf 3)...+(Vfn ) .
Em paralelo:
• Configuração sem aplicação na análise de circuitos pois a fonte ideal de tensão tem
resistência zero, e uma fonte em paralelo “veria” a outra como um curto-circuito.
Nota - os geradores práticos podem ser associados em paralelo:
• Em CC: com a mesma tensão e a mesma resistência interna (somadores de corrente).
• Em CA: além desses requisitos, os geradores devem ter a mesma frequência, e as tensões
sincronizadas (em fase).
Fontes ideais de corrente, dependentes ou independentes
Em série:
• Configuração sem aplicação na análise de circuitos pois a resistência interna é infinita
ri =∞ , e uma fonte em série “veria” a fonte vizinha como um circuito aberto.
Em paralelo (fig. 4 - 10):
• Finalidade: somador algébrico de corrente.
• Especificação individual:
◦ Corrente de cada fonte: com qualquer capacidade.
• Fonte equivalente:
◦ Corrente total: soma algébrica das correntes individuais, com o sinal do terminal de
saída.
◦ Potência total: soma algébrica das potências.
6

Exemplos de casos com duas fontes de corrente
Caso 1 (fig. 4 – 11) – duas fontes ideais e independentes em antiparalelo e correntes iguais.
Corrente nominal das duas fontes: 6 A .
Se a fonte If 1 estivesse solteira, provocaria uma queda
de tensão positiva na carga, com a corrente positiva de
+6 A , enquanto que, se If 2 estivesse solteira, a queda
de tensão seria negativa e a corrente negativa de −6 A .
Como a corrente resultante da associação de fontes de
corrente em paralelo é a soma algébrica dos correntes
individuais, teremos:
IEQ =I f 1+I f 2 IEQ =6 A+(−6 A) ou IEQ =0 A .
Caso 2 (fig. 4 – 12) – duas fontes ideais e
independentes em antiparalelo, mas com correntes
diferentes.
Correntes nominais das fontes:
• If 1 =8 A e If 2 =6 A .
LCK no nó essencial: (If 1−If 2)−IRL =0
(8−6)−IRL =0 (2)−IRL =0 ou IRL = 2 A .
Queda de tensão no resistor de carga VdRL= IRL . RL VdRL=2 A x 3Ω ou VdRL=6V .
Como o circuito é em paralelo, essa também é a tensão sobre as duas fontes.
Potência dissipada no resistor de carga PRL =(I RL
2
) RL PRL = 4 x3 ou PRL = 12W .
Potência da fonte If 1 : Como sua corrente é positiva e o circuito em paralelo, a elevação de
tensão sobre ela será em função da corrente líquida das duas fontes: VrIf 1 =−[VdRL] ou
VrIf 1 =−6V , e o fornecimento de potência PIf 1=VrIf 1(If 1) PIf 1=−6V x8 A
PIf 1=−48W .
Potência da fonte If 2 : Como sua corrente é negativa e o circuito em paralelo, a queda de tensão
sobre ela será em função da corrente líquida das duas fontes: VdIf 2 =VdRL ou VdIf 2 =6V , e o
consumo de potência, será PIf 2=VdIF 2(If 2) PIf 2=6V x6 A ou PIf 2=36W .
Pcons . =PRL + PIf 2 Pcons. =12+ 36 Pcons . = 48W .
7

Caso 3 (fig. 4 – 13) - duas fontes ideais e independentes em paralelo e com as mesmas polaridades.
O resistor de carga ligado nas saídas das duas fontes estará submetido a uma queda de tensão
positiva, e as correntes serão positivas.
Corrente nominal das duas fontes: 6 A .
Corrente equivalente:
IEQ =I f 1+I f 2 IEQ =6 A+6 A IEQ =12 A
Queda de tensão no resistor de carga:
VdRL= IEQ RL VdRL=12 Ax 3Ω VdRL=36V
Como o circuito é em paralelo, essa também é a
tensão sobre as duas fontes.
Potência dissipada no resistor de carga
PRL =(I EQ
2
) RL PRL =144 x 3 ou
PRL = 432W .
Com as fontes iguais, a potência fornecida será igual: ambas estão com uma elevação de tensão de
Vrfontes =−[VdRL ] ou Vrfontes =−36V , então Pfontes =Vrfontes(IEQ) Pfontes=−36V x 12 A ou
Pfontes =−432W .
Associação de fontes reais de tensão, dependentes ou independentes
Em série: a mesma situação conceitual para as fontes ideais, exceto a tensão equivalente, que neste
caso, vai depender da soma das quedas de tensão sobre as resistências internas de cada fonte.
VEQ =(ℇ1+ℇ2 ...+ℇn)−[I (r1+r2 ...+rn)] .
Em paralelo: a mesma situação conceitual para as fontes ideais: sem aplicação na análise de
circuitos.
Associação de fontes reais de corrente, dependentes ou independentes
Em série: a mesma situação conceitual para as fontes ideais: sem aplicação na análise de circuitos.
Em paralelo:
8

• Finalidade: somador algébrico de corrente.
• Especificação individual: A mesma corrente nominal If e a mesma resistência interna
r .
A corrente líquida da fonte equivalente dependerá da resistência de carga, e consequentemente, a
queda de tensão sobre a carga, assim como as potências envolvidas.
Há dois cenários para análise da fonte equivalente:
1. Saída da fonte equivalente aberta, ou RL =∞ .
2. Com uma carga real e finita 0<RL<∞ .
3. Saída da fonte equivalente fechada em curto circuito, ou RL =0Ω (não aplicado).
Em qualquer dos cenários, precisaremos da condutância da fonte equivalente, sem carga:
Gfonte =
1
r1 + r2 =...+ rn
.
Para análise do caso em que há uma carga, precisamos conhecer:
Condutância da carga GCARGA =
1
RL
.
Condutância total GTOTAL =Gfonte + GCARGA .
Tensão nominal nos terminais da fonte equivalente com carga Vf EQ =
If
GTOTAL
.
Corrente líquida de uma fonte: (IfOUT )n =If n−(
V f EQ
rn
) .
Corrente equivalente IEQ =VIf EQ .GTOTAL .
Exemplo (fig. 4 - 15):
Dados: Duas fontes polarizadas diretamente e uma reversa. If = 3 A ; r =2Ω ; RL =5Ω ;
Pedem-se: VdRL ; IOUT individual ; IEQ ; Potência fornecida; Potência consumida;
1. Condutância total: GTOTAL =
1
R1
+
1
R2
+
1
R3
+
1
RL
GTOTAL =
1
2
+
1
2
+
1
2
+
1
5
m.m.c .=10 GTOTAL =
5
10
+
5
10
+
5
10
+
2
10
GTOTAL =
17
10
GTOTAL =1,7 S
9

2. A tensão predominante sobre as fontes será positiva, pelo maior número de fontes polarizadas
diretamente, e apenas uma com sentido inverso : VIf EQ =
If
GTOTAL
VIf EQ =
3 A
1,7S
VIf EQ =1,7647V Esta tensão será igual à queda de tensão sobre RL e sobre a fonte reversa
If 3 .
3. Correntes
Líquida de cada fonte que aponta para o potencial maior IfOUT 1 e IfOUT 2 :
IfOUTn = If n−(
V If EQ
rn
) .
• IfOUT 1 =3−(
1,7647
2
) IfOUT 1 =3−0,882 A ou (IfOUT )1 =(IfOUT )2 =2,12 A . Soma
das duas correntes líquidas diretas (If OUT )1+(IfOUT )2 =2,12+2,12 ou
(IOUT )1+(IOUT )2 =4,24 A .
• Líquida da fonte reversa −If 3 :
• (IOUT )3 =−
[3+(
1,7647
2
)
] (IOUT )3 =−(3+0,882) ou (IOUT )3 =−3,882 A .
• Total na carga: IEQ =[(IOUT )1+(IOUT)2]−(IOUT )3 IEQ =4,24−3,882
IEQ =0,358 A .
4. Potências:
• Individual das fontes positivas If 1 e If 2 , que estão sob elevação de tensão:
PIf =Vr .If onde VrIf =−VIf PIf =−1,7647V x3 A ou PIf =−5,29W .
• Total fornecida pelas duas fontes diretas : PIf( FORN)=2(−5,29) PIf( FORN)=−10,588W .
• Consumida pela fonte reversa If 3 que está sob queda de tensão: PIf 3=VdIf 3 .If 3 onde
VdIf 3=V If 3 e a potência será PIf 3=1,7647V x 3 A ou PIf 3=5,29W .
• Consumida pela condutância total (resistências internas das fontes e resistência de carga):
PG =(VdIf
2
)GTOTAL PG = 1,7647
2
x 1,7 ou PG = 5,29W .
• Consumida total: P(CONS) = PIf 3+PG ou P(CONS)=10,58W .
• Potência consumida somente pela carga PRL=(If EQ)
2
RL PRL=(0,358
2
)5 ou
PRL=0,64W .
10

4.3 - CONVERSÃO DE FONTES CC
Uma fonte de corrente, real e independente, pode
ser equivalente a uma fonte de tensão, real e
independente, desde que as duas forneçam a mesma
corrente e a mesma tensão para uma mesma carga
0<RL<∞ . Somente as suas potências serão
diferentes (Fig. 4 - 16).
Relações entre fontes Thévenin e Norton: rTh =rN , ICC (Th)= IN e VTh =VO(N ) .
Norton em circuito aberto: VO =I N . rN ou VTh = IN . rN e IO (N)= IN −I(rN ) .
Norton com resistor de carga: REQ =rN∥RL VdRL(N)=I N . REQ IR(N)=
VdRL(N )
RL (N)
VrI (N)=−VdRl (N) PI (N )=
[VrI (N)]
2
REQ(N )
e PREQ(N)=(IO)² x REQ(N) .
Thévenin em curto-circuito: IN =
V Th
rTh
.
Thévenin com resistor de carga: REQ =rTh+RL VdRL(Th)=IO(Th). RL(Th) IO (Th)=
VTh
REQ
VrI (Th)=−VdRL(Th) PV (Th)=VeI (Th).IO(Th) P(RREQ)=(IO)² REQ .
Na fig. 4 – 17 temos a demonstração da transformação de fontes:
11

Thévenin em curto-circuito: um amperímetro CC ideal tem resistência “zero”, por isso é
considerado um curto-circuito. ICC =
5V
2Ω
ICC =2,5 A como ICC = I N , a fonte de
Norton será: IN =2,5 A .
Norton em circuito aberto: conectando um voltímetro CC ideal, com resistência infinita, teremos:
VO = 2,5 A x 2Ω ou VO =5V que é o mesmo valor da fonte de Thévenin.
Exemplo - Dado um circuito (fig. 4 – 18) com uma fonte de Thévenin VTh =5V , uma
resistência em série rTh =2Ω e uma resistência de carga RL(Th)=10Ω , pede-se a fonte de
corrente de Norton equivalente.
Aplicando o princípio da conversão de fontes, sabemos que rTh =rN =2Ω ,
RL(N)=RL(Th)=10Ω , e que o valor da fonte de Norton será a corrente de curto-circuito da
fonte de Thévenin.
Thévenin com resistor de carga: REQ =2+10 REQ =12Ω IO =
5V
12Ω
IO =0,416 A .
Norton com resistor de carga: REQ =rN∥RL REQ =2∥10 REQ =1,6667Ω .
Queda de tensão sobre os resistores da fonte Norton: Vd(N ) =I N . REQ Vd(N ) =2,5 Ax1,6667Ω
Vd(N ) =4,17V .
Corrente no resistor da fonte de corrente Ir(N ) =
Vd(N)
r(N )
Ir(N ) =
4,17
2
Ir(N ) =2,08 A .
Corrente de saída da fonte Norton: IO =
Vd(N )
RL(N )
IO =
4,17
10
IO =0,42 A .
Soma das correntes: If =I(RN)+IO ou 2,5 A =2,08 A+0,42 A .
12

Exemplo com conversão de fontes
O circuito resistivo dado na figura (4 - 19) é relativamente
complexo, mas pode ser simplificado pela técnica da
conversão de fontes. Pede-se a potência da fonte Vf 2 , e
para isso precisamos conhecer a corrente manejada por
essa fonte, o que requer o cálculo da resistência
equivalente da malha, assim como a corrente sobreposta
pela fonte Vf 1 .
O processo será transformar Vf 1 sucessivamente em
fonte de corrente e fonte de tensão, o que resultará na simplificação da malha de resistores, até que
seja possível determinar a corrente manejada pela fonte Vf 2 .
Cada passo, das sucessivas transformações, terá sua respectiva figura, e nela aparecerão valores de
corrente e tensão, obtidos num simulador de circuitos, apenas para fins de acompanhamento do
resultado de cada etapa, pois somente no último passo é que poderemos calcular o valor da corrente
I . Notar que a corrente da fonte Vf 2 não pode sofrer alteração em nenhuma das etapas, pois
o objetivo do problema é achar a potência dessa fonte.
Passo 1 - Converter a fonte de tensão Vf 1 (fig. 4 – 19) em uma fonte de corrente (fig. 4 - 20).
• A soma dos resistores R1 e R3 da malha1 nos dará o resistor equivalente a ser
ligado em paralelo com a fonte de corrente. O resistor R2 =3Ω não pode ser incluído
nessa soma porque é compartilhado entre a malha 1 e a malha 2, portanto tem uma corrente
diferente da corrente que passa por Vf 1 , R1 e R3 .
• Resistor equivalente do passo 1: R1+R3 =6 Ω .
• Corrente nos resistores exclusivos da malha1 I(R1+R3)=
5V
6Ω
I(R1+R3)=0,8334 A
que será o valor da fonte de corrente convertida IfCONV =0,8334 A .
13

Passo 2 - Agora temos dois resistores em paralelo (fig. 4 - 20): REQ(passo 1)=6Ω e
R2 =3Ω . Vamos substituí-los por um resistor equivalente: REQ(passo 2)=6∥3
REQ(passo 2)=2Ω .
Durante os passos 1 e 2, as figuras nos informam que as tensões Va e Vb permanecem
inalteradas, assim como a corrente na malha da fonte Vf 2 ou IVf 2 =911,46 mA . Isso significa
que os valores equivalentes estão corretos.
Passo 3 – Converter a fonte de corrente de 0,8334 A em fonte de tensão, com o resistor de
2Ω em série (fig. 4 – 21): Vf ( passo 3) → 0,8334 A x 2Ω=1,67V
Passo 4 - agora temos uma situação idêntica à do passo1 , pois devemos associar, em série, o
resistor de 2Ω com os resistores R4 e R6 , e não incluir o resistor R5 , pois ele é
compartilhado com a outra malha (fig. 4 – 14): REQ(passo 4)=2+ 3+5 =10 Ω .
Passo 5 – converter a fonte de tensão de 1,67V em fonte de corrente com o resistor
REQ(passo 4)=10 Ω em paralelo (fig. 4 – 22):
1,67V
10 Ω
=0,167 A
Passo 6 - associar em paralelo REQ(passo 4)=10 Ω e R5 =2Ω : 10∥2=
10∗2
10+2
=1,667Ω
14

Passo 7 – converter a fonte de corrente de 0,167 A em fonte de tensão, com o resistor de 1,667Ω
em série (fig. 4 – 23): VSEQ =0,167 A∗1,667Ω=0,28V
Passo 8 – achar a resistência equivalente dos resistores R7 e R8 , ligados diretamente à fonte
VS2 (fig. 4 - 23): 6+3=9 Ω
Finalmente temos somente uma malha para aplicarmos a LTK (*) e calcularmos a corrente I .
Notar que a figura 4 - 23 nos mostra que a corrente que passa pela fonte IVf 2 =911,46 mA , em
função da carga, continua preservada, o que significa que o circuito equivalente, à esquerda, está
correto.
(*) Para tensão positiva, adota-se o sinal algébrico do terminal de entrada da corrente, assim, uma
queda de tensão Vd recebe o sinal positivo e uma elevação de tensão Vr recebe o sinal
negativo.
Considerando que Vf 2 é fornecedora de potência, com elevação de tensão, com Vr=−10V e
que VSEQ é consumidora, com queda de tensão , com Vd=0,28V :
LTK =−10+ 9(I )+ 1,67(I )+ 0,28= 0 . Somar e separar os termos de I :
10,67(I)=10−0,28 10,67(I)=9,72 I =
9,72
10,67
ou I =0,911 A .
Potência fornecida pela fonte Vf 2 : P(Vf 2)=Vrf 2.I P(Vf 2)=−10V x 0,911 A
P(Vf 2)=−9,11W .
Potência consumida:
• Fonte transformada: P(VfEQ )=Vd. I P(VfEQ )=0,28V x 0,911 A
P(VSEQ)=0,255W .
• Resistor “A” : PRA = I2
R PRA =0,911432
x1,67 PRA = 1,387W .
15

• Resistor “B” : PRB = 0,91143
2
x9 PRB = 7,476W .
• Total: PVfEQ + PRA + PRB =9,118W .
4.4 – PRÁTICA COM FONTES DE CORRENTE IDEAIS E INDEPENDENTES
Exemplo de apenas uma fonte de corrente provocando duas tensões opostas nas cargas (fig. 4
– 24).
Inicialmente vamos observar toda a malha resistiva ao redor da fonte de corrente.
Resistência da malha1 : Rmalha1 =2Ω .
Resistência da malha2 : Rmalha2 =2+2= 4Ω .
Resistência equivalente do circuito entre os terminais da fonte de corrente: REQ = Rmalha1∥Rmalha2
REQ =2∥4 ou REQ =1,33Ω .
A entrada de If 1 está
depois de um resistor
conectado ao terra, por isso
impondo uma corrente
negativa em R1 , no sentido
do terra para a entrada da
fonte, e assim, a corrente da
fonte será algebricamente
negativa I =−6 A . Com
isso, a elevação de tensão
sobre a fonte de corrente será
positiva:
VrIF1 =−[(−IF 1) REQ ]
VrIF1 =−[−6 x1,3334] ou VrIF1 =8V .
O valor absoluto da corrente da malha I2 , é dado por: |I2|=
VrIF 1
RMALHA2
|I2|=
8V
4Ω
ou
I2 =2 A , mas assume polaridade negativa no braço de R1 , por estar entre o terra e a entrada
da fonte de corrente, então, teremos: VdR1 =(−I2)R1 VdR1 =(−2)2 ou VdR1 =−4V ,
que é a tensão do nó V1 .
A tensão do nó V2 é dada por: V2 =V1 +VrIF1 V2 =(−4) + 8 ou V2 =4V , que é a
queda de tensão sobre R3 , e então, isso define que a corrente I2 , no braço de R3 , é
positiva:
VdR3 =(I2)R3 VdR3 =(2)2 ou VdR3 =4V .
Esta condição especial da corrente I2 , também vai ocorrer com I1 :
16

A corrente I1 tem um valor absoluto, mas assume polaridades simétricas:
• Positiva na saída do nó V2 , com tensão positiva;
• Negativa na entrada do nó V1 , com tensão negativa;
Aplicando a LTK na malha 1, teremos a queda de tensão sobre R2 : VdR2 =VrIF1 ou
VdR2 =8V . Então, o valor absoluto de I1 , será: |I1|=
VdR2
R2
|I1|=
8V
2Ω
ou
|I1|= 4 A .
Balanço das potências:
Potência consumida: PRn =(IRn
2
) Rn
PR1 =(−2
2
)2 ou PR1 =8W . PR2 =(4
2
)2 ou PR2 = 32W e PR3 =(2
2
)2 ou
PR3 =8W .Potência total consumida: PCONS =48W .
Como a fonte de corrente está apontando para um potencial mais alto (−4 V)→(+4V ) , ela está
na condição de fornecedora de potência: PIf 1=VrIf 1(−I f 1) PIf 1=8V x(−6 A) ou
PIf 1=−48W .
Exemplo de apenas uma fonte de corrente em paralelo com a carga e sob tensão negativa (fig.
4 – 25):
A fonte está com dois resistores em paralelo, cuja resistência equivalente é: R1∥R2 =
R1∗R2
R1+R2
R1∥R2 =
2∗3
2+3
R1∥R2 =
6
5
R1∥R2 =1,2Ω ,
Os dois resistores estão conectados na entrada da fonte de corrente, submetidos a uma corrente
negativa, que vai produzir uma queda de tensão negativa VdR =(−I) R .
17

Em contra partida, a elevação de tensão sobre a fonte será positiva: VrIf 1 =−[(−If 1)REQ]
VrIf 1 =−[(−6 A)1,2V ] ou VrIf 1 =7,2V e a queda de tensão nos dois resistores será negativa
VdR =−7,2V .
Já podemos calcular as correntes nos dois resistores: IRn =
VdRn
Rn
.
IR1 =
−7,2V
2Ω
ou IR1 =−3,6 A e IR2 =
−7,2V
3Ω
ou IR2 =−2,4 A .
Balanço das potências:
Potência consumida: PRn =(IRn
2
)Rn .
PR1 =(−3,6
2
)2 PR1 =12,96 x2 ou PR1 =25,92W .
PR2 =(−2,42
)3 PR2 =5,76 x3 ou PR2 =17,28W .
PCONS =43,2W .
Como a fonte de corrente está apontando para um potencial mais alto −7,2V →terra , ela está na
condição de fornecedora de potência: PIf 1=(Vr)If 1 PIS =7,2V x(−6 A) ou
PIf 1=−43,2W .
Associação em paralelo de fontes ideais de tensão e de corrente CC
Como vimos na parte conceitual, as fontes de tensão e de corrente são complementares, portanto
admitem qualquer tipo de associação mista, em série ou paralelo. Quando temos fonte de tensão em
paralelo ou antiparalelo com fonte de corrente, o conceito de tensão positiva ou negativa dependerá
da fonte de tensão.
Exemplo 1 (Fig. 4 – 26) – A fonte de corrente If =1 A está em paralelo com Vf =5V , e a
tensão no nó (a) é definida pela fonte de tensão. Em paralelo, a tensão será a mesma em todos
os elementos, e haverá uma queda de tensão positiva Vd=5V sobre R=10Ω e a corrente
será positiva.
A corrente sobre o resistor será: IR =
VdR
R
IR =
5
10
ou
IR =0,5 A .
A corrente da fonte If =1 A é maior do que a corrente
drenada pelo resistor, logo o restante dessa corrente vai ser
drenada pela fonte de tensão. Assim, pela LCK do nó
18

(a) , teremos: −If +IR+IVf =0 e a corrente reversa, sobre a fonte de tensão, será:
IVf = If −I R IVf =1−0,5 ou IVf =0,5 A .
Neste caso a fonte de tensão está na configuração de consumidora de potência.
Potências:
• Potência consumida pela fonte de tensão: PVf =(Vdf )IVf onde Vdf =Vf ,então
PVf =5V x0,5 A PVf =2,5W .
• Potência dissipada no resistor: PR =(I
2
)R PR =(0,5
2
)10 ou PR =2,5W .
Potência consumida total: PCONS =PVf + PR ou PCONS =5W .
• A fonte de corrente está com uma elevação de tensão entre os seus terminais Vr=−5V ,
na configuração de fornecedora.
Potência da fonte de corrente: PIf =(Vr)I f PIf =−5 x1 PIf =−5W .
Exemplo 2 (Fig. 4 – 27) – A fonte de corrente If =1 A está em antiparalelo com Vf =5V e a
tensão no nó (a) é definida pela fonte de tensão. No
circuito em paralelo, a tensão será a mesma em todos os
elementos, e haverá uma queda de tensão positiva Vd=5V
sobre R=10Ω .
A corrente sobre o resistor será: IR =
VdR
R
IR =
5
10
ou
IR =0,5 A .
LCK do nó (a) : If +IR−IVf =0 IVf = If +IR IVf =1 A+0,5 A ou IVf =1,5 A .
Como a fonte de corrente está apontando para uma tensão menor (terra), fica submetida a uma
queda de tensão VdIf = 5V , por isso está na configuração de consumidora.
Potências:
• A fonte de tensão está com a entrada conectada ao potencial mais baixo (terra), provocando
uma elevação de tensão VrVf =−Vf , e por isso está na configuração de fornecedora.
Potência da fonte de tensão: PVf=VrVf .IVf PVf =(−5V)1,5 A ou PVf =−7,5W .
• Potência dissipada no resistor: PR =(I
2
)R PR =(0,5²)10 ou PR =2,5W .
• Potência consumida pela fonte de corrente: PIf =VdIf . I PIf =5 x1 ou PIf =5W .
Potência consumida total: PCONS =PR+PIf =7,5W .
19

Associação em série de fontes ideais de tensão e de corrente CC
Exemplo 1 (fig. 4 – 28) – A corrente da malha é definida pela fonte de corrente If =1 A .
Seguindo o sentido da corrente, a fonte de tensão
Vf =5V está configurada como fornecedora de
potência, com uma elevação de tensão
VrVf =−Vf ou VrVf =−5V .
A entrada da fonte de corrente está diretamente na
saída da fonte de tensão, portanto com +5V , e a
tensão na sua saída será dada pela queda de tensão
do resistor: VdR =I f . R VdR =1x 10 ou
VdR =10V .
Assim, a fonte de corrente estará sob uma elevação
de tensão, também fornecendo potência:
Vr =−[(V ⁺ )−(V ⁻ )] VrIf =−[10−5] ou VrIf =−5V .
LTK da malha: VrVf +VrIf +VdR = 0 ou −5−5+10 =0 .
Potências:
Resistor PR =(I
2
)R PR=1x 10 ou PR=10W .
Fonte de tensão PVf=(VrVf )I PVf =(−5V)1 A ou PVf=−5W .
Fonte de corrente PIf =(VrIf )If PIf =(−5V )1 A ou PIf =−5W .
Potência fornecida total: PFORN = PVf +PIf =−10W .
Exemplo 2 (fig. 4 – 29) – A corrente absoluta da malha é definida pela fonte de corrente
If =1 A , que impõe uma queda de tensão negativa sobre o resistor , fazendo com que o sinal
algébrico da corrente no braço do resistor, e também da fonte, seja negativo I =−1 A :
VdR =(If )R ou VdR =(−1)10 ou VdR =−10V .
Seguindo o sentido da corrente, algebricamente negativa, a tensão de entrada da fonte de corrente
será −10V e sua saída +5V , pois está conectada diretamente na saída da fonte de tensão
Vf =5V . A elevação de tensão nos terminais da fonte de corrente, com a corrente negativa, será:
VrIf =[(V ⁺)−(V ⁻)] VrIf =[5−(−10)] ou VrIf =15V .
Como a fonte de tensão está sob corrente algebricamente positiva, mas reversa, haverá uma queda
de tensão sobre ela: VdVf =[(V ⁺)−(V ⁻)] VdVf =[5V−0V ] VdVf =5V .
20

LTK da malha: seguindo o caminho da corrente: VdR+VrIS+VdVS =0 ou −10+15−5 =0 .
Potências:
Resistor PR =(I
2
)R PR=(−1
2
)10 ou
PR=10W .
Fonte de tensão consumidora: PVf =(VdVf )I
PVf=(5V)(1 A) ou PVS=5W .
Potência consumida total: PCONS =PR + PVf
ou PCONS =10 + 5=15W .
Fonte de corrente fornecedora PIf =VrIf (If )
PIf =15(−1) ou PIf =−15W .
Circuito equivalente de Thévenin com fontes dependentes e independentes
Exemplo: (Fig. 4 – 30)
Método convencional:
Análise visual das duas partes do circuito:
• Lado esquerdo com duas malhas:
◦ Uma fonte independente de tensão Vf 1 =10V , com a entrada aterrada e com um
resistor na saída R1 =10Ω .
◦ Uma fonte independente de corrente If 1 =2 A , com a entrada aterrada e com um
resistor na saída R2 =5Ω .
◦ Uma FTCT Vf 2 =3VdR4 , com entrada aterrada e compartilhada pelas duas malhas.
• Lado direito com uma malha:
◦ Uma FCCC If 2 =5 I1 , com entrada aterrada e com dois resistores em série na sua
saída: R3 =20Ω e R4 =8Ω .
Apesar das duas partes estarem separadas, tendo apenas o condutor “terra” em comum, há uma
interdependência funcional entre ambas:
• O parâmetro de controle de Vf 2 , no lado esquerdo, é a tensão de saída da malha do lado
direito V0 , que será também a tensão de Thévenin VdR4 =V0 =VTH .
• O parâmetro de controle de If 2 , no lado direito, é a corrente do resistor R1 , na
primeira malha do lado esquerdo.
21

Para obtermos o equivalente de Thévenin, pelo método convencional, primeiro calculamos a tensão
de Thévenin VTH ou tensão de saída do circuito com todas as fontes funcionando, e depois
calculamos a corrente de curto circuito ICC . Com esses dois valores podemos definir a
resistência de Thévenin: RTH =
VTH
ICC
.
1) - Calcular VTH entre os pontos “a” e “b” em circuito aberto V0 na malha do lado direito do
circuito.
VdR4 =8(5I1) ou VTH =40 I1 (4.01) onde I1=
V TH
40
(4.02)
Na malha primeira malha do lado esquerdo, pela Lei de Ohm, a corrente I1 é dada por:
I1 =
10V −3VTH
10Ω
(4.03)
Igualando-se (4.02) com (4.03), teremos:
VTH
40
=
10 −3VTH
10
m.m.c .=40
VTH = 40−12VTH 12VTH +VTH =40 13VTH =40 VTH =
40
13
ou VTH =3,08V
(4.04) .
Substituindo (4.04) em (4.02) vamos encontrar o valor de I1 : I1 =
3,08
40
I1 =0,077 A
(4.05).
2) - Calcular ICC (corrente de curto circuito):
Ao se fechar “a” com “b” na malha do lado direito, o resistor R4 =8Ω é excluído e a tensão
VdR4 é zerada, o que anulará a FTCT VS2 , no lado esquerdo, que assim, poderá ser substituída
por um “jumper”. A corrente de curto circuito, na malha do lado direito, será então: ICC =5 I1
(4.06) .
No lado esquerdo, com a fonte de tensão controlada em curto, o valor de I1 será: I1 =
10V
10Ω
ou I1 =1 A (4.07). Substituindo (4.07) em (4.06), teremos: ICC =5 x1 ou ICC =5 A (4.08).
22

3) calcular RTH
RTh =
VTh
ICC
RTh =
3,08V
5 A
ou RTh =0,61Ω .
Na figura abaixo temos os valores apresentados no simulador de circuitos, comprovando a
consistência dos cálculos.
Exemplo com o mesmo circuito (Fig. 4 - 30), mas utilizando-se a técnica da fonte auxiliar para
calcular a resistência de Thévenin:
Inicialmente anulam-se todas as fontes independentes (curto circuito na fonte de tensão e circuito
aberto na fonte de corrente), mantendo-se as fontes dependentes.
Conectar uma fonte auxiliar de tensão V A ou de corrente IA , nos terminais (a) e (b), sobre
R4 , de forma que tenhamos a tensão de controle da fonte de tensão dependente Vf 2 , e assim,
podermos calcular I1 , que por sua vez vai definir o valor da fonte de corrente If 2 .
23

Neste exemplo, usaremos uma uma fonte auxiliar de tensão independente V A = 10V , cujo valor
será a tensão de Thévenin VTH .
Ao conectar a fonte auxiliar, de pronto teremos VdR4 =10V , que é o parâmetro de controle da
FTCT do lado esquerdo do circuito, e assim, teremos: Vf 2 =3VdR4 Vf 2 =3 x10V ou
Vf 2 =30V .
A corrente I1 é dada por: I1 =
V f 2
R1
I1 =
30
10
ou I1 = 3 A .
A corrente do lado direito do circuito ou corrente de Thévenin : ITH = If 2+
VTH
R4
ITH =(5xI1)+
VTH
R4
ITH =(15)+
10
8
ITH =(15)+1,25 ou ITH =16,25 A .
A resistência de Thévenin será dada pela Lei do Ohm: RTH =
VTH
ITH
RTH =
10V
16,25
ou
RTh = 0,61Ω , resultado idêntico ao calculado pelo método convencional.
4.5 - Teorema da Máxima Transferência de Potência em CC
“A condição necessária para que haja a máxima transferência de potência do gerador CC real,
(equivalente Thévenin), para uma carga dissipativa, é que o valor da Resistência de carga RL
seja igual ao valor da resistência interna (resistência de Thévenin) r do gerador”.
Na figura 4 - 34 temos:
• r resistência interna do gerador (constante).
• RL é a resistência da carga (variável independente).
• Ԑ tensão da fonte ideal (constante).
• VO tensão com circuito aberto RL=∞ .
• VCC tensão de curto-circuito RL=0 Ω .
• Vdr tensão sobre a resistência interna.
24

• VdRL tensão da fonte sobre a carga 0<RL<∞ .
• I corrente do circuito (variável dependente).
Um modelo de fonte de tensão real e independente (ou equivalente Thévenin) tem um elemento
gerador ideal Ԑ que provocará uma queda de tensão Vdr sobre o resistor interno, dada por:
Vdr =ℇ−(I .r) .
De acordo com a resistência da carga, existem três situação operacionais de uma fonte de tensão
independente real:
• 0<RL<∞ com I=
ℇ
(RL+r)
(4.09) e VdRL =I .RL .
• RL=0Ω ou curto-circuito: a corrente será: Icc=
ℇ
r
. Neste caso, a resistência
interna ficará sobrecarregada, e a tensão de saída será: VCC=0V .
• RL=∞ ou circuito aberto: a corrente será nula I=0 A . Neste caso, a tensão nos
bornes da fonte real é dada por: V =ℇ .
Potência máxima do gerador (PG) - é uma grandeza constante, característica do gerador,
conforme valores nominais de Ԑ e r : Pg=ℇ⋅ICC PG =
ℇ²
r
(4.2) ou
PG =r. ICC ² (4.3).
Potência consumida na carga resistiva PRL – é uma grandeza variável e dependente de RL :
PRL =(RL)⋅I ² (4.4).
Substituindo I da expressão (4.4), pela expressão (4.1): P( RL) = RL [
ℇ
(RL + r)
]² e isolando os
termos dos resistores, teremos: P( RL) =ℇ².[
RL
(RL + r)²
] (4.5).
Potência total do sistema (PT) : PT =PG+PRL ou PT =(r I ²)+(RL I ²) (4.6).
A máxima transferência de potência para a carga é uma condição definida quando a derivada da
potência na carga dada na expressão (4.5), em relação à resistência de carga, for igual a zero,
conforme a expressão abaixo:
dP( RL)
dRL
=ℇ ²
[ d
dRL
RL
(RL+r)² ]=0 (4.7).
A derivada zero é representada graficamente na figura 4 – 32 por uma reta horizontal e tangente ao
ponto de pico da curva PR x RL .
A derivada da expressão (4.7)
d
dRL
RL
(RL+r)²
será resolvida pela regra do quociente:
25

[n
d ]'=
(n' .d)−(n.d ')
d ²
(4.8) onde n = numerador e d = denominador.
A derivada do numerador será: (n)'=
dRL
dRL
=1 . A derivada do denominador será:
(d)'=
d(RL +r)²
dRL
, e nesta expressão do denominador aplicaremos a regra da cadeia:
d
dRL
(RL+r)² = 2(RL+r)2−1
[d(RL+r)
dRL
] como dr = 0, o denominador será: 2(RL+r)1 e o
modelo da expressão (4.8) ficará:
[1.(RL+r)²]−[ RL .2(RL+r)]
(RL+r)4
(4.9) Resolvendo o numerador, teremos:
Primeiro termo: (RL + r)²=RL
2
+ 2RL .r + r ² ;
Segundo termo −[ RL. 2 (RL+r)]=−2RL ²−2 RL .r ; somando-se os dois termos:
RL ² + 2 RL .r + r ²
−2 RL ²−2RL .r
−RL ² + r ²
cujo resultado pode ser escrito como: (− RL + r )( RL + r ) .
Escrevendo a expressão (4.9) com este resultado:
(−RL+r)(RL+r)
(RL+r)
4
=
(−RL +r)
(RL+r)
3 e substituindo
em (4.7), teremos:
dP
dRL
=ℇ²
[(−RL+r)
(RL+r)3
]=0 (4.10).
A expressão (4.10) será nula somente quando RL =r , pois anulará o seu numerador. Esta será a
condição em que ocorrerá a máxima transferência de potência do gerador para a carga.
Potência entregue pelo gerador, na condição de máxima transferência:
Substituindo RL=r em (4.5), teremos:
PRL
máx=ℇ²
[ RL
(RL+ Rl)² ] P( RL)máx =ℇ²
[ RL
(2 RL)² ] P( RL)máx =ℇ²
[ RL
4 RL²
] ou
P( RL)máx =
ℇ²
4 RL
(4.11) Como a potência do gerador é dada em (4.2) por: PG =
ℇ²
r
, e
usando a condição RL=r para substituir em (4.11), teremos:
26

PRLmáx =
PG
4
(4.12) ou PRLmáx =25 % de PG .
Potência total PT do sistema, na condição de máxima transferência:
Substituindo RL=r em (4.6), teremos: PT =RL⋅I ²+RL⋅I ² ou PT =2RL⋅I ² da expressão
(4.1) temos I=
1
(RL+r)
ℇ ou I=
ℇ
2 RL
, então: PT =2 RL[
ℇ
2 RL
]² PT =2 RL
ℇ²
4 RL
PT =
ℇ²
2RL
como PG =
ℇ²
RL
teremos PT =
PG
2
(4.13) , ou PT =50% .
Rendimento do sistema na condição de máxima transferência:
ηmáx.=
PRLmáx .
PT máx.
utilizando (4.12) e (4.13), teremos:
ηmáx.=
PG
4
PG
2
ηmáx.=
PG
4
x
2
PG
ηmáx.=
1
2
ou ηmáx. =50% .
27

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