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1. Universidade Federal de Santa Maria Centro de Ciências Naturais e Exatas
Departamento de Matemática Prof.: Vinicius de Abreu Oliveira
Nome: _____________________________________________________________
Data limite para entrega: 17 / 07 / 2009 Turma: 10
Exame Final de Equações Diferenciais 2
Q.01 – O circuito elétrico que aparece na figura abaixo está descrito pelo sistema de equações
diferenciais
 1 
d I  0 L  I 
 =  
dt V  − 1

 1  V 
−  
 C RC 
sendo I a corrente do indutor e V a queda de voltagem no capacitor. Faça o que se pede:
a) Mostre que os autovalores da matriz dos coeficientes são reais e distintos se L > 4 R 2 C e
são complexos se L < 4 R 2 C .
b) Achar I (t ) e V (t ) se R = 1 Ω , C = 1 2 F e L = 1 H , adote I (0) = 2 A e V (0) = 1 V .
c) Achar I (t ) e V (t ) se R = 1 Ω , C = 1 F e L = 4 H , adote I (0) = 1 A e V (0) = 2 V .
Q.02 – Sabe-se que a freqüência do n-ésimo harmônico de uma onda estacionária em uma corda
na
de comprimento total L é dada por ωn = . Sendo assim, resolva o problema proposto
2L
estimando u ( x, t ) e a freqüência natural da onda (forma genérica).
a 2u xx = utt , em ℜ
u (0, t ) = u x ( L, t ) = 0 , em t >0
u ( x,0) = f ( x), u t ( x , 0) = g ( x ) , em 0< x<L