A - MATEMÁTICA PARA ANÁLISE DE CIRCUITOS CA edição.pdf

Análise de circuitos elétricos CC e CA Pedro Barros Neto
A – Ferramentas matemáticas para análise de circuitos em corrente alternada
A.1 -Fatoração de polinômios
Fatorar o polinômio de grau 4: s4
+ 4 s3
+5 s2
+2 s
Primeiro fator - a incógnita “s” é fator comum a todos os termos, assim vamos separá-la:
s(s3
+ 4 s2
+ 5 s+ 2) . Com isso temos o primeiro fator s .
Segundo fator – fatorar a expressão de grau 3, entre parêntesis:
Este fator terá a forma (s −r) , pois todos os termos são múltiplos de “s” (o último termo é
2s0
) e r =
p
q
é obtido com o Teorema das Raízes Racionais:
Toma-se o coeficiente do primeiro termo an =1 , cujo divisor é q=1 .
Toma-se o último termo a0 =2 , cujos divisores são p =±1;±2 .
Agora vamos testar os valores que podem tornar “r” uma raiz do polinômio de grau 3
s3
+ 4 s2
+ 5 s + 2=0 .
Com p =1 , teremos: r =
p
q
=
(1)
1
= 1 substituindo “s” por “r” (1)
3
+ 4(1)
2
+ 5(1)+ 2=12
Com p =−1 , teremos: r =
p
q
=
(−1)
1
=−1 (−1)
3
+ 4(−1)
2
+ 5(−1)+ 2= 0 ou
−1+ 4 −5+ 2=0 então o fator comum será [s−(−1)] (s + 1) .
Terceiro fator - fazer a divisão do polinômio de grau 3 por (s + 1) :
s
3
+ 4 s
2
+5 s + 2
(s + 1)
. Executar o processo de divisão de polinômios:
Passo 1 - Para obter o primeiro termo do quociente:
• Dividir o termo do dividendo com incógnita de grau maior ou igual, pelo termo da incógnita
de maior grau do divisor:
s3
s
=s
2
.
• Multiplicar o quociente encontrado, pelo dividor s2
(s +1)= s3
+ s2
.
• Subtrair do dividendo, o produto encontrado, para obter o primeiro resto, que será um
polinômio de grau 2: (s
3
+ 4s
2
+ 5s + 2)−(s
3
+ s
2
)=3s
2
+ 5s + 2
1

s
3
+ 4 s
2
+5 s + 2∣s +1
−s
3
−s
2
s
2
3s2
+ 5s +2
Passo 2 - Para obter o segundo termo do quociente:
• Dividir o termo de maior grau do primeiro resto, pelo termo de maior grau do divisor:
3 s
2
s
=3 s .
• Multiplicar o divisor pelo segundo termo do quociente (s + 1)3 s=3s2
+ 3s .
• Subtrair do primeiro resto, o produto encontrado, para obter o segundo resto:
(3s2
+ 5s + 2)−(3 s2
+3 s)=2s + 2
s3
+ 4 s2
+ 5 s+ 2∣s+ 1
−s3
−s2
s2
+3 s
3s
2
+ 5s +2
−3s2
−3 s
2s + 2
Passo 3 - Para obter o terceiro termo do quociente:
• Dividir o termo de maior grau do segundo resto , pelo termo de maior grau do divisor:
2 s
s
=2 .
• Multiplicar o divisor pelo terceiro termo do quociente (s + 1)2=2s + 2 .
• Subtrair do segundo resto, o produto encontrado, para obter o terceiro resto:
(2s + 2)−(2s + 2)=0 .
s3
+ 4 s2
+ 5 s +2∣s +1
−s3
−s2
s2
+3 s + 2
3s2
+ 5s +2
−3 s
2
−3s
2s + 2
−2s −2
0
O quociente s2
+ 3 s + 2 é o terceiro fator do polinômio dado, na forma de um polinômio de grau
2, que deve ser fatorado também.
Neste caso, a=1 permite aplicar a fatoração na forma de (s + r1)(s + r2) e as raízes podem
ser definidas pela aplicação de x
2
+ Sx + P , onde S → somadasraízes e
P → produtodasraízes .
2

ou s2
+(r1 + r2)s + (r1.r2) .
A raiz r1 pode ser determinada pelo M.D.C dos coeficientes M .D.C. de(3;2;1)=1 .
Fazendo r1 =1 , e sendo c =r1.r2 ou 2=1.r2 , então r2 =
2
1
ou r2 =2 .
Verificação: b=r1 + r2 ou b=1+ 2=3 o que confirma as raízes encontradas. Então os
fatores serão: (s + 1)(s + 2) .
Assim, os fatores encontrados, são: s , (s + 1) e (s + 1)(s + 2) e a expressão
s
4
+ 4 s
3
+5 s
2
+2 s será fatorada como s(s + 1)2
(s + 2) .
A.2 - Geometria no círculo
O número pi (p) - É um número irracional que expressa a
relação entre o comprimento c ou perímetro de uma
circunferência e seu diâmetro d , cujo valor é 3,1416... .
Significa quantos diâmetros cabem no comprimento da
circunferência, conforme podemos ver na circunferência
retificada da fig. A-01.
π=
c
d
→ c=π d ou c=2π r .
como c=360° e d=2r , teremos: π=
360
2r
ou π=
180
r
(A.1)
Radiano (rd) – significa o raio da circunferência como unidade de medida do comprimento angular
de um arco.
Correlação entre graus e radianos:
Da expressão (A.1) podemos fazer: rd=
180
π
então rd =57,3° .
Um radiano corresponde a um arco de circunferência de 57,3°.
Correspondência de graus e radianos em ângulos importantes:
30°→
π
6
45° →
π
4
60°→
π
3
90°→
π
2
180°→π
270°→
2π
3
Converter graus em radianos:
π rd → 180°
α rd → x
ou α =π [ x
180° ]rd onde x é o ângulo dado em graus e α é o
ângulo procurado, em radianos.
3

Exemplo: converter x=330° em radianos: α = π [330
180 ]rd simplificando por 3
α =
11.π
6
rd
Converter radianos em graus:
A medida angular em radianos é representada por: α=
n. π
d
onde n≥1 e d≠0 .
Casos particulares quando d =1 :
• n=1 teremos α =π .
• n=2 teremos α =2π .
π rd → 180°
α rd → x
ou x=
180
π
∗α rd x=
180
π
∗(
n.π
d
) ou x=
n180
d
.
Exemplo: converter em graus: α =
11.π
6
rd → x=
11∗180
6
x=
1.980
6
ou
x=330° .
Menor determinação positiva angular de um arco de circunferência m.d . p.
A determinação angular de um arco é representada por α(k) , onde α pode ser dado em graus
ou radianos e k representa o número de voltas completas antes do início do arco com a
m.d . p. .
Em trigonometria, quando nos referimos a um arco α ≥360° ou α(k≥1) , significa que o
ponto p girou uma ou mais voltas completas k . Para determinação das funções
trigonométricas desses arcos, precisamos do arco congruente dentro da primeira volta α(k<1) ou
0 <α <360° ou 0 <α <2 π rd , a que chamamos de menor determinação positiva angular.
Achar a m.d . p. de um arco em graus:
O ângulo dado deverá ser α≥360° e o cálculo é feito pela fórmula: α(k<1) =
α(k≥1)
360
.
• O resto r será a menor determinação positiva em graus: r =α(k<1) .
• A parte inteira do quociente q indicará o número de voltas k≥1 do arco dado.
Exemplo: α =627° calcular k e a menor determinação positiva angular:
α(k<1) =
627
360
dividindo: 627/360
267 1
• o resto r=267 é a menor determinação positiva angular, no terceiro quadrante :
α(k<1) =267° .
4

• O quociente q=1 nos indica que o arco dado tem uma volta completa k =1⇒360°
com sua extremidade na segunda volta, ou seja: 360°+267° =626° .
Obs.: na calculadora 627 ÷ 350= 1,7416666666667 onde a parte inteira do quociente é 1 e o
resto é obtido pela parte decimal vezes 360 → 0,74166666667∗360=267 .
Achar a m.d . p. de um arco em radianos:
O ângulo dado deverá ser α≥2π na forma α(k≥1) =
n.π
d
com d≠0 .
• Converter para graus: g=n
[180°
d ]
• Dividir o resultado por 360: g /360
(r) q
onde o resto (r) será a m.d . p. do ângulo
dado e a parte inteira do quociente q será o número de voltas completas antes da
m.d . p. .
• Converter a m.d . p. de graus para radianos.
Exemplo: calcular o número de voltas e a m.d . p. de: α(k≥1) =
25π
3
• Converter para graus: g= 25
[180°
3 ] g=25∗60° g=1.500° .
• Dividir o resultado por 360°: 1.500 /360
(60) 4
onde o resto nos dá a m.d . p.=60° e o
quociente significa 4 voltas completas para o início da mdp .
• Converter a m.d . p. para radianos: α =π [ 60°
180° ] α =π [1
3 ] ou α = π
3
rd .
A.3 - Trigonometria
Razões trigonométricas no triângulo retângulo - a trigonometria
se fundamenta na relação entre as medidas dos lados de um
triângulo retângulo, referenciados a um de seus ângulos agudos.
Na Fig. A-03 nomeamos o ângulo ϕ , e temos
a → hipotenusa , b → catetooposto e c →catetoadjacente ,
assim, teremos três razões trigonométricas principais, todas reais e
positivas. Lembrando que, qualquer divisão só é determinada se
tiver denominador ≠0 .
• Seno senϕ =
b
a
cateto oposto sobre a hipotenusa, com 0≤sen ≤1 ;
5

• Cosseno cosϕ =
c
a
cateto adjacente dobre a hipotenusa, com 0≤cos≤1 ;
• Tangente tan ϕ =
sen
cos
ou
b
a
÷
c
a
→
b
a
x
a
c
ou tanϕ =
b
c
cateto oposto sobre
cateto adjacente, com 0≤tan <+∞ .
Cada uma das três razões acima tem sua razão inversa, todas também reais positivas:
• Secante (sec) é o inverso do seno sec =
1
sen
ou sec =
a
b
com 1≤sec < ∞ ;
• Cossecante (csc) é o inverso do cosseno csc =
1
cos
ou csc =
a
c
com 1≤csc <+∞ ;
• Cotangente (ctg) é o inverso da tangente ctg =
1
tan
ctg =
cos
sen
ou ctg =
c
b
com
0≤ctg <+∞
Funções trigonométricas circulares
As funções trigonométricas circulares são uma ampliação do domínio das razões trigonométricas no
triângulo retângulo, pois passam dos reais positivos para os reais inteiros.
Características do Círculo trigonométrico (Fig. A-04)
• dois eixos ortogonais e orientados, que se cruzam no
centro;
• eixo horizontal ou dos cossenos, onde esta função assume
os valores crescentes, da esquerda para a direita, de
cos180° =−1 a cos0° ou360° =1 ;
• eixo vertical ou dos senos, onde esta função assume os
valores crescentes, de baixo para cima, de
sen270° =−1 a sen 90° = 1 ;
• origem angular (0° ou 0 rd) na extremidade positiva do
eixo horizontal, e após uma volta k , teremos 360° ou 2π rd .
• quatro quadrantes de 90° ou
π
2
rd , com ordem crescente no sentido anti-horário, a partir
da origem angular;
Frequência das funções periódicas
• linear com t = segundo : f (t)=
período
t
, medida em ciclos por segundo ou Hertz
(Hz).
6

• Velocidade angular f (ω )=
θ
t
indica o deslocamento angular por segundo, medida em
radianos por segundo rd/s .
• Deslocamento ou posição angular instantânea: ω t =θ medido em radianos.
Quando o deslocamento angular se dá de forma continuada, as funções trigonométricas sinusoidais
podem ser associadas simultaneamente ao tempo t ou à posição angular θ correspondente.
Período (T):
• Período linear, em tempo: T(s)=
1
f
.
• Período angular, em radianos: T(rd)=
2π
ω
.
• Relação do deslocamento angular com a frequência linear: ω =
2π
T
como T =
1
f
vem ω=2πf .
As funções trigonométricas podem ser representadas graficamente por meio de curvas num sistema
de eixos ortogonais “amplitude x tempo” ou “amplitude x instante angular”, e as curvas das três
funções principais são denominadas de: senoide, cossenoide e tangentoide (Fig. A-05).
Principais características do seno:
• É uma função contínua e ímpar, com período angular T = 2π .
• É atrasado fasorialmente em relação ao seno .
• A amplitude a( y)=senθ é dada pela projeção do raio unitário sobre o eixo
trigonométrico vertical, e à proporção que o raio gira, no sentido anti-horário, senθ
assumirá os seguintes valores:
◦ 1° quadrante: cresce positivamente de 0 a 1.
◦ 2° quadrante: decresce positivamente de 1 a 0.
◦ 3° quadrante: cresce negativamente de 0 a -1.
◦ 4° quadrante: decresce negativamente de -1 a 0.
• Estes valores se repetirão para quantas voltas (k)
forem executadas pelo raio unitário.
Principais características do cosseno:
• É uma função contínua e par, com período angular
de T =2π .
• É adiantado fasorialmente em relação ao seno
π
2
rd .
• A amplitude a(x)=cosθ é dada pela projeção
do raio unitário sobre o eixo trigonométrico
horizontal, e à proporção que o raio gira, no
sentido anti-horário, cosθ assumirá os
seguintes valores:
◦ 1° quadrante: decresce positivamente de 1 a 0.
◦ 2° quadrante: cresce negativamente de 0 a -1.
◦ 3° quadrante: decresce negativamente de -1 a 0.
7

◦ 4° quadrante: cresce positivamente de 0 a 1.
• Estes valores de repetirão para quantas voltas (k) forem executadas pelo raio unitário.
Principais características da Tangente:
• É uma função descontínua, por não ter valor definido ao redor de 90° (p/2) e 270° (3p/2), e
ímpar, com período T = π .
• Eixo das tangentes: é uma reta vertical que tangencia o círculo trigonométrico na
extremidade positiva do eixo horizontal, que é o ponto tanθ = 0 . É orientada de baixo
para cima com alcance de −∞ a +∞ .
• A função é dada por tanθ =
senθ
cosθ
, o que corresponde à medida do segmento de reta
sobre o eixo das tangentes, definido pelo ponto de cruzamento com a extrapolação do raio
unitário R , até o ponto zero.
• À proporção que o raio unitário girar no sentido anti-horário, a tangente assumirá os
seguintes valores descontínuos:
◦ 1° quadrante: cresce positivamente, e à proporção que se aproxima de 90°, tgθ →∞ .
◦ 2° quadrante: após passar de 90°, decresce negativamente de −∞ até 0 .
◦ 3° quadrante: cresce positivamente, e à proporção que se aproxima de 270°, tgθ →∞ ,
com o mesmo comportamento do 1° quadrante.
◦ 4° quadrante: após passar de 270°, decresce negativamente de −∞ até 0 , com o
mesmo comportamento do 2° quadrante.
Relação fundamental da trigonometria: se transpusermos o triângulo retângulo para dentro do
círculo trigonométrico, e a hipotenusa como raio unitário, pelo teorema de Pitágoras, teremos:
sen2
θ +cos2
θ =1 (A.2), onde o cateto oposto y(t) é o seno e o cateto adjacente x(t) o
cosseno.
Principais identidades trigonométricas:
sen(x + y)= sen(x)cos( y) + sen( y)cos(x)
sen(x − y)= sen(x)cos( y) − sen( y)cos(x)
sen(2 x)=2 sen(x)cos(x)
cos( x + y)=cos(x)cos( y) − sen( y)sen(x)
cos( x − y)=cos(x)cos( y)+ sen( y)sen(x)
cos(2x)=cos2(x) − sen2(x)
Funções trigonométricas inversas f
−1
Determinação do arco, a partir de uma função trigonométrica inversa (diferente de oposta).
A função tangente inversa pode ser escrita como: tan
−1
θ = x ou arctan= x .
Exemplo: Qual o arco, em graus, cuja tangente é 1 ou tan
−1
θ =1
Utilizando a calculadora científica:
8

• Setar a unidade para graus DEG
• Apertar a tecla de função inversa inv ou 2nd
• Apertar a tecla do valor 1 e a função tg
−1
• O resultado no display será 45 ou tan−1
45° =1
A.4 – Grandezas escalares e vetoriais
• Escalar – tem apenas uma dimensão: é definido por um número real, seguido de sua
unidade de medida. Exemplos: temperatura, tempo, comprimento, etc...
• Vetorial – pode ser em duas dimensões (plano), ou três dimensões (espaço), e é definida por
três parâmetros (fig. A-05):
◦ MÓDULO ou INTENSIDADE: é definido por um
número real, seguido de sua unidade de medida. É
o comprimento do vetor, numa escala gráfica.
◦ DIREÇÃO ou parâmetro angular (q) - indica a
inclinação do módulo em relação a uma reta ou
um plano de referência, geralmente horizontal ou
vertical.
◦ SENTIDO – representa a condição “de / para” ou
“origem / extremidade”, que pode ser:
direita/esquerda, cima/baixo, norte/sul, e seus
inversos. É representado pela seta na extremidade do vetor.
• As grandezas vetoriais são representadas por letras maiúsculas ou minúsculas em negrito
v ou V , ou por letras maiúsculas e minúsculas normais e sobrelinha com seta ⃗
v ou ⃗
V .
• O módulo de uma grandeza vetorial é simbolizado por letra normal maiúscula ou minúscula
v ou V , ou por letra em negrito e entre duas barras verticais |v| ou|V| .
Decomposição de um vetor - Considere o vetor
V da figura A-06. Para determinar graficamente
suas componentes retangulares, adota-se um
sistema de eixos cartesianos e os componentes
serão as projeções do vetor nos dois eixos
perpendiculares.
Esses componentes também são vetores e têm
seus módulos dados por:
Vx =V .cosθ e V y =V .senθ
Como consequência, podemos fazer a decomposição ou a composição algébrica de um vetor,
através da trigonometria.
Composição de um vetor - podemos fazer a Composição de um vetor pela soma vetorial dos seus
componentes retangulares: V =Vx+Vy , e para calcular o módulo, usamos o Teorema de
Pitágoras, haja vista que suas componentes retangulares são os catetos de um triângulo retângulo
(fig. A - 07):
9

V=√(V x)²+(V y )²
Com os módulos dos componentes retangulares podemos calcular também o ângulo do vetor em
relação ao eixo horizontal:
θ=tan−1
[V y
V x
] A composição de um vetor é a adição dos seus componentes retangulares.
Adição de dois vetores Vad =V1+V2
Paralelos (mesma direção) – são adicionados somente
vetores com o mesmo sentido.
Não paralelos (qualquer direção e sentido) :
1. Adição pelo método algébrico: é feita com a
técnica da decomposição dos vetores dados para
utilizar seus componentes na composição do vetor
resultante.
Exemplo da figura A - 08: calcular algebricamente o vetor resultante (Vs) e fazer o gráfico:
Dados: V1 = 20 mm; a = 45°.
V2 = 10 mm; b = 105°
Decomposição de V1:
x1=V1. cos45° → x1=20(0,707) ou x1=14,14mm .
y1=V1. Sen45° → y1=20(0,707) ou y1=14,14mm .
Decomposição de V2:
x2=V2. cos105° → x2=10(−0,26) ou x2=−2,6mm
y2=V2. sen105° → y2=10(0,966) ou y2=9,66mm
Composição de Vs:
xs=x1+ x2 → xs=14,14+(−2,6) → xs=11,54 mm
ys= y1+ y2 → ys=14,14+9,66 → ys=23,8mm
Módulo Vs:
Vs=√(Vx)²+(Vy)² → Vs=√(11,54)²+(23,8)² → Vs=√√133,17+566,44
Vs=√699,61 Vs=25,45
Cálculo de q :
θ =tan−1 ys
xs
→ θ =tan−1 23,8
11,54
→ θ =tan−1
(2,06) → θ =64,1°
10

2. Adição pelo método geométrico (Fig. A-09):
• Processo “triangular”: os vetores dados são posicionados no plano de forma sequencial:
plotar o primeiro vetor num plano qualquer e plotar o segundo vetor com a origem
posicionada na seta do antecessor. O vetor soma será o fechamento do triângulo, com o
sentido “da origem do primeiro para a extremidade do segundo”.
• Processo “paralelogramo”: os dois vetores
são plotados num plano qualquer, com as
origens coincidentes e, a partir de
extremidade do primeiro vetor, plotar o
paralelo do segundo vetor. Repetir o
processo com o segundo vetor, para fechar o
paralelogramo, cuja diagonal será o vetor soma V s .
Subtração de dois vetores - é a adição do primeiro vetor com
o oposto do segundo. Vdif =V1+(−V2) .
Subtração algébrica: adicionar o primeiro vetor com o oposto
do segundo, conforme os processos da adição de vetores vistos
no tópico anterior.
Subtração geométrica (fig. A - 10):
• Processo geométrico “triangular”: os dois vetores são
posicionados num plano qualquer, com suas origens coincidentes, e o vetor diferença será o
fechamento do triângulo, com sentido da extremidade do segundo (subtraendo) para a
extremidade do primeiro (minuendo).
• Processo geométrico “paralelogramo”: inicialmente os dois vetores são posicionados no
plano qualquer, com as origens coincidentes, em seguida plota-se o oposto do segundo vetor
(subtraendo). Traçar o paralelogramo pelas extremidades do primeiro e do oposto do
segundo vetor. O vetor diferença será a diagonal desse paralelogramo.
A.5 – Números complexos
Conjuntos numéricos
• C - números complexos: é o mais
abrangente, pois contém o conjunto dos
números reais ( R), que por sua vez, contém
todos os outros conjuntos numéricos:
• I – números irracionais: não podem ser
escritos na forma de frações pois a parte
decimal não é periódica, mas infinita.
11

• Q – números racionais: podem ser obtidos pela divisão de dois números reais, com divisor
diferente de zero.
• Z – números inteiros: números reais positivos e negativos, inclusive o zero.
• N – números naturais: inteiros positivos, inclusive o zero.
Um número complexo z (minúsculo em negrito) é representado graficamente num sistema de eixos
ortogonais, denominado plano “z” ou Plano de Argand – Gauss, como um ponto (p) de
coordenadas (x,y).
O módulo (r) é a distância entre a origem (0) do sistema de eixos até o ponto (p). A posição angular
do ponto (p) é dada em graus ou radianos, e tem origem na extremidade direita do eixo “x”. A parte
positiva do eixo “y” tem o operador + j e a parte negativa, o operador − j , que significa:
j =√−1 ou j2
=−1 O operador imaginário pode ser representado por “i” ou “j”.
Usaremos “j” para não confundir com “i” de corrente elétrica instantânea.
Em ℝ∄ √−64 mas em ℂ∃√−64=√(−1)∗√64 ou √−64= j 8
Representação retangular ou algébrica: z = x±j y
Onde:
• z é um número complexo, composto de duas partes;
• Norma: expressão positiva de x²+ y ² .
• Módulo: r =√x ²+ y ² .
• O primeiro termo (x) representa a componente Real (ℜ) .
• O segundo termo (± j y) representa a componente Imaginária (ℑ) onde (±j) é o operador
da parte imaginária.
Os sinais sinusoidais podem ser representados na forma exponencial complexa, a partir da forma
trigonométrica z =r ( cos θ± j sen θ) ou através das fórmulas de Euler z =r e
(± jθ)
,
cujos desdobramentos são: e
−jθ
= cosθ − j senθ e e
jθ
= cosθ + j senθ .
Adicionando-se as duas expressões obteremos o dobro do cosseno:
12

e
− jθ
=cos(θ )− j sen(θ )
ejθ
=cos(θ ) + j sen(θ )
e
jθ
+ e
− jθ
=2cos(θ )
ou 2cos(θ )=(ejθ
+ e− jθ
) .
Subtraindo-se as duas expressões obteremos o dobro do seno:
−e− jθ
=−cos(θ ) + j sen(θ )
e
jθ
e
jθ
−e
− jθ
= j 2 sen(θ )
ou j 2 sen(θ )=(e
jθ
−e
− jθ
) .
• θ ou ω t → neste caso, o argumento é dado em radianos, no sentido anti-horário.
Representação polar:
Coordenadas polares: z =r ∠θ somente módulo e argumento, onde:
• (r ,θ ) par de coordenadas polares;
• r =√x ²+ y ² módulo do vetor radial | z |;
• θ =tan−1
(y
x ) argumento ou ângulo entre o módulo e o eixo Real positivo, medido em
graus ou radianos no sentido anti-horário;
• r(cosθ ) parte real;
• r . j(senθ ) parte imaginária.
Propriedades dos números complexos:
◦ Conjugado: z =a – j b z
◦ Oposto: – z=–a – j b
◦ Inverso :
1
z
=
z
(z∗z)
1
z
=
(a – j b)
[(a+ jb)∗(a– j b)]
◦ Igualdade: z1= z2 ⇔ (a+ jb)=(c+ j d) ⇔ a= c e b=d
◦ Multiplicação do operador imaginário pelo seu conjugado ( j).(−j)=1
◦ Potenciação do operador imaginário ( j ) n
:
Expoentes pares: Expoentes ímpares:
j 0
= 1 por definição j 1
= j por definição
j 2
= (√−1∗√−1) = -1 j 3
= j 2
*j = -1 j = - j
13

j 4
=j 2
* j ² = -1 * -1 = 1 j 5
= j 4
* j = 1 j → j
j 6
= j 5 *
j = j *
j = -1 j 7
= j 6
* j = -1 j → - j
j 8
= j 4
* j 4
= 1 j 9
= j 8
. j = 1 j → j
Percebe-se que há um ciclo de quatro, na repetição dos resultados:
Expoentes pares 0, 4, 8, 12, 16... → resultado = 1
Expoentes pares 2, 6, 10, 14, 18... → resultado = - 1
Expoentes ímpares 1, 5, 9, 13... → resultado = j
Expoentes ímpares 3,7,11,15... → resultado = - j
Operações com complexos:
2.7.7.1 - Adição ou Subtração na forma retangular:
Dados z1 =a1+ jb1 e z2 =a2+ jb2 , teremos:
z1±z2 =(a1 ± a2) + j(b1 ±b2 )
Adição e subtração na forma polar, somente para Complexos com o mesmo argumento, ou opostos.
Multiplicação na forma retangular: segue o princípio algébrico da multiplicação de binômios,
respeitando-se as regras de multiplicação do operador complexo j .
Multiplicação na forma polar: Multiplicam-se os módulos e somam-se os argumentos.
Dados : z 1= r 1 ∠θ1 e z 2=r 2 ∠θ2 teremos: z 1 . z 2=r1 .r 2 ∠(θ1 + θ2)
Divisão na forma retangular: Multiplicam-se o numerador e o denominador pelo conjugado do
denominador.
Divisão na forma polar: dividem-se os módulos e subtraem-se os argumentos.
Função exponencial periódica no domínio do tempo:
A função exponencial é definida por: x(t)= Aeat
,sendo reais a amplitude A(0) , o expoente
α e e → número de Euler 2.718281828459... ou base Neperiana.
• a > 0 → x(t) crescente .
14

• a=0 → x(t)= A(função constante) .
• a <0 → x(t) decrescente .
Função Exponencial no domínio da frequência complexa (s)
É representada pela expressão Ae
st
sendo s=±σ ± jω a frequência complexa, onde:
• ±σ é o termo da componente Real de s , denominado “frequência neperiana”, dado
em Neper/segundo (*). Assim, a exponencial e
σ t
é responsável pela alteração contínua
da amplitude A da função sinusoidal, no domínio do tempo.
(*) A dimensão de σ é definida a partir da unidade do ln , dada em Neper. Dedução:
a(t )= Ae
σ t
eσ t
=
a(t)
A
σ t =ln[a(t)
A ] σ =
ln
t [a(t)
A ] onde σ =
Np
s
.
• ω é o termo da componente Imaginária ± jω , dado em rd/s . Se ω ≠0
representará a frequência angular da função sinusoidal no domínio do tempo e ±jω t
será a posição angular instantânea ou ± jθ . O valor absoluto da frequência angular é
|ω| . Se ω =0 , a função será constante, puramente exponencial a(t )= Ae
±σ
.
A exponencial complexa na forma fatorada e
(σ ± jω )t
ou expandida e
σ t
e
± jω t
.
Substituindo o fator imaginário pela fórmula de Euler e
± jt
=(cosω t ± j senω t) .
Funções que podem ser representadas por est
:
• Constante: k =k e
0t
com σ = 0 e ômega =0 → s =0 → e =1 ;
• Exponencial monotônica com ω =0 → s =±σ :
◦ s =+σ a(t )= Ae
σ
crescente;
◦ s =−σ a(t )= Ae
−σ
decrescente;
• Sinusoidal com amplitude constante: a(t )= Ae
±jω t
com σ =0 e ω ≠0 → s=(± jω )
15

• Sinusoidal variando a amplitude exponencialmente a(t )= Ae
±σ ±jω t
com:
◦ σ =+α : a frequência Neperiana será positiva e a função temporal será uma senoide
com frequência angular constante e amplitude crescente, e valor instantâneo
a(t )= Ae
(σ ± jω)t
; com ω =0 , teremos a(t )= Ae
(σ + ω 0)t
◦ σ =−α : a frequência Neperiana será negativa e a função temporal será uma senoide
com frequência angular constante e amplitude decrescente, e valor instantâneo
a(t )= Ae(−σ ± jω)t
; com j =0 , teremos a(t )= Ae
(−σ +ω0)t
.
Representação gráfica da função exponencial complexa est
no Plano da Frequência complexa:
s=σ ±jω .
• O eixo Real σ é domínio da frequência Neperiana e cruza o eixo imaginário no ponto
j = 0 ;
• O eixo imaginário ±jω é o domínio da frequência angular e cruza o eixo σ no
ponto σ =0 ;
Relação entre os domínios z e s
• s=
1
T
ln z ou s=σ ±jω .
• z =e
sT
ou z =e
σ T
e
ω T
A relação entre as expressões acima, mostram que:
O eixo imaginário ± jω do plano s cruza o eixo da frequência Neperiana em σ = 0 Np/s
(Neper por segundo) e traduzem o valor da frequência Neperiana constante, e corresponde ao raio
unitário e
0
→ r =1 do círculo complexo z . Com isso, cada raio em z corresponderá a um
eixo imaginário paralelo ao eixo “sigma zero” , e assim:
16

• Os raios internos ao raio unitário do plano z corresponderão a valores negativos no eixo
σ .
• Os raios externos ao raio unitário do plano z corresponderão a valores positivos no eixo
σ .
Exemplo: o valor de σ =1 Np /s no plano s , à direita do eixo “sigma zero”, corresponde a
e
1
=e , que é um raio externo ao raio unitário do plano z .
Os eixos horizontais do plano s traduzem o valor da frequência angular constante, e
correspondem aos eixos que dividem os quatro quadrantes, conferidos no sentido anti-horário de
ω , e assim:
• A metade positiva do eixo imaginário do plano é dividida igualmente em duas partes, que
correspondem respetivamente ao 1° e 2° quadrantes do plano .
• Os dois setores da metade negativa corresponderão respectivamente ao 3° e 4° quadrantes.
Assim, as regiões circulares do círculo z corresponderão a regiões retangulares no plano da
frequência complexa s .
Representação gráfica dos complexos
Representação retangular ou algébrica no plano z: z = x± j y
O número complexo será representado por um ponto (z), cujas coordenadas complexas serão as
projeções desse ponto nos eixos “x” e “y”, conforme segue:
• O eixo Real (x) é o domínio da função cosseno;
• O eixo Imaginário ( ± j y) é o domínio da função seno;
• O operador imaginário “j” é positivo acima da origem e negativo para baixo.
PLANO POLAR
• Coordenadas polares z =r ∠θ : o módulo “r” é plotado radialmente a partir da origem
(0), com o ângulo indicado pelo argumento angular (q), referente ao eixo “x” positivo
(ângulo zero).
• Forma Trigonométrica z =r ( cos θ± j sen θ) :
◦ A projeção do módulo no eixo “x” é proporcional ao cosseno do argumento angular (q),
portanto os valores de “x” serão sinalizados e proporcionais ao cosseno de (q).
17

◦ A projeção do módulo no eixo “y” é proporcional ao seno do argumento angular (q),
portanto os valores de “y” serão sinalizados e proporcionais ao seno de (q).
Funções Exponenciais e Logarítmicas:
• e =2,71828
• e
0
=1
• Se y=e
x
,então x =ln y
• e
ln x
=x
• e
x
∗e
y
= e
x + y
• (e
x
)
y
=e
x . y
• ln e =1
• ln(x∗y)=ln x + ln y
• ln(x
y )=ln x – ln y
• ln e
x
=x
• ln a
x
=x ln a
Conversão da forma polar para a forma retangular:
Exemplo:
Dado: z =4 e
− jπ /6
z =4 ∠−π /6 z =4 ∠330°
Onde: r =4 θ =(
−π
6 )rad → 360°−30° =330°
18

cos(
−π
6 )= √3
2
→ 0,86 sen
(
−π
6 )=−
1
2
→ 0,5
A conversão será: 4 e
− jπ /6
= 4(√3
2 )+ j 4(−1
2 )
Resposta: 4 e−jπ /6
=2 √3− j2 ou 4 e−jπ /6
=3,46− j 2
Conversão da forma retangular para a forma polar:
O módulo será dado por: r=√x ²+ y ²
O argumento será dado por: θ=tan
−1
(
y
x
) (A.3)
De acordo com a combinação do valor Real com o sinal do operador j o quadrante correto é
dado na tabela abaixo.
Quando o argumento calculado por (A.3) for num quadrante diferente do apontado na tabela de
conversão, esse valor deverá ser corrigido através da adição de π .
Exemplo:
Dado: z =3+ j 4 onde x=−3 e y =4
Observando a tabela de conversão vemos que os dados referem-se a um argumento no segundo
quadrante.
Inicialmente calcular o módulo (r): r =√(−3)²+4² r =√9+16 r =√25 ==> r=5
Em seguida calcular o argumento (q): θ =tan
−1
[ 4
(−3)] ==> θ =tan−1
[−1,33]
Este valor, na calculadora, dará θ =−0,927rad que convertido em graus
θ ° =(−0,927)∗57,3 ou θ ° =−53,12° . Este ângulo negativo está no quarto quadrante pois
é simétrico a um ângulo positivo do primeiro quadrante. Conforme a tabela (*), o argumento deverá
ser do segundo quadrante, por isso vamos adicionar π ao resultado:
19

−(4/3)+π =1,8 ==> θ =tan−1
[1,8] ==> θ =2,214 rad ou126,87°
Resposta: −3+ j 4 =5∠126,87° ou 5e
j 2,214
A.6 – Decibel dB
O Bell foi adotado a partir do desenvolvimento do sistema de telefonia analógica, em homenagem a
Graham Bell, inventor do telefone, para solucionar o impasse de comparar grandezas com largo
espectro, como é o caso da audição humana, capaz de perceber sons de intensidades muito baixas,
de 10−12
W /m2
ou10 pico Wattes/m², até sons extremamente intensos como 100W /m2
.
Sob o ponto de vista de um sistema elétrico, trata-se do logaritmo da relação entre os valores
absolutos da saída e da entrada de uma mesma grandeza, utilizado para representar o ganho ou a
atenuação de potência Ap ou de tensão Av .
É utilizado também para fazer a medição absoluta dessas grandezas, num ponto do sistema,
comparado o valor encontrado com um valor de referência da mesma grandeza, dado em dBm
para potência de referência em miliwatte e dBu para tensão de referência em Volt.
A Resposta da audição humana não é linear, mas aproximadamente logarítmica (*).
Exemplo: um ouvinte posicionado a uma distância fixa da fonte sonora percebe uma determinada
intensidade inicial, e para que ele perceba o dobro dessa intensidade, é necessário elevar 10 vezes
a intensidade da fonte, não apenas o dobro.
20

(*) Lei de Weber-Fechner: "a resposta de qualquer estímulo aos sentidos humanos é proporcional
ao logaritmo da intensidade do estímulo".
A utilização de logaritmos permite simplificar os cálculos: transforma potência em produto,
produto em soma e divisão em subtração.
Ganho ou atenuação de potência e valor absoluto da potência num ponto do sistema
Ganho ou atenuação de potência num sistema: A(dB)= 10log
Psaída
Pentrada
(A.4).
Medição da potência absoluta num ponto do sistema: P(dBm)=10log
P
Pref
(A.5)
onde Pref =1mW é o nível de potência típico de um sistema com uma tensão de 0,775V
aplicada numa impedância de 600Ω .
Ganho ou atenuação de tensão e valor absoluto da tensão num ponto do sistema Se tomarmos
a potência elétrica como função da tensão e da carga, teremos P=
V
2
R
e a partir da expressão
(A.4), teremos: A(dB)=10log
[V saída
2
Rsaída
]
[Ventrada
2
Rentrada
]
A(dB)=10log
{( V saída
Ventrada
)
2
(Rentrada
Rsaída
)} como
10logx2
=(2)10logx e 10 log(x. y)=10log x +10 log y , vem:
A(dB)= 20log
Vsaída
Ventrada
+10log
Rentrada
Rsaída
onde o primeiro termo é o ganho ou atenuação de tensão
num sistema, representado por A (dB)= 20log
Vsaída
Ventrada
(A.6)
Valor absoluto da tensão num ponto do sistema:
dBu=20log
V
Vref
(A.7) , onde Vref =0,775V .
VALORES IMPORTANTES DE GANHO E ATENUAÇÃO DE POTÊNCIA OU TENSÃO
X saída
Xentrada
AX (dB)
Descrição
10 +10 dB Ganho de 10 dB: a grandeza de saída é dez vezes maior do que a grandeza
de entrada.
2 +3 dB Ganho de 3 dB: a grandeza de saída é duas vezes maior do que a grandeza
de entrada.
1 0 dB Ganho de zero dB: a grandeza de saída é igual à grandeza de entrada.
21

0,5 -3 dB Atenuação de 3 dB: a grandeza de saída é metade da grandeza de entrada.
0,1 -10 dB Atenuação de 10 dB: a grandeza de saída é dez vezes menor do que a
grandeza de entrada.
Exemplo: calcular o ganho (amplificação) do sistema cuja potência de saída é o dobro da potência
de entrada. Psaída =2Pentrada ou
Psaída
Pentrada
=2 . Aplicando a fórmula (A.4): A(dB)=10log 2
como na tabela ou na calculadora, log 2=0,3 , teremos A(dB)=10∗(0,3) ou A =3dB .
A.7 - Equação diferencial ordinária (EDO) linear de 2a
. Ordem
P
[d
2
y(t)
dt
2 ]+ Q[dy(t)
dt ]+ R[ y(t)]= G(t) (A.8) onde:
• t é a variável independente;
• y é a variável dependente ou resposta;
• G(t) é a função forçante (ou excitação);
Se:
• G(x)≠ 0 a função é não homogênea;
• G(x)= 0 a função é homogênea;
P,Q e R sãoconstantes e P≠0
A solução de (A.8) necessita de duas integrações para obter o valor de y(t) , o que requer duas
condições iniciais t =0 a serem dadas : y(0)= y0 e y’(0)= y’0 .
EDO homogênea
Se fizermos
d2
y(t)
dt2
= y″ e
dy(t)
dt
= y ' neste caso a equação homogênea pode ser escrita na
forma ay ”+ by' + cy = 0 (A.9).
Se y1 e y2 forem soluções de (A.8) e tomarmos α1 e α2 como constantes reais,
para fazermos y =α1 y1 +α2 y2 (A.10) e y' =α1 y'1 +α2 y'2 (A.11) e
y″ =α1 y″1 +α2 y″2 (A.12).
Substituindo (A.10), (A.11) e (A.12) em (A.9):
a(α1 y″1 +α2 y″2)+ b(α1 Y '1 +α 2Y '2)+ c(α 1 y1 + α2 y2)=0 ou
α1(ay″1 + b y '1 + c y1) +α2(a y″2 + b y '2 + c y2)=0 que é o princípio da superposição: a
combinação linear das soluções y1 e y2 , também é uma solução da EDOH.
Resolver a equação (A.9) passa por resolver sua equação algébrica característica:
ar
2
+ br + c =0 , que por ser uma equação do 2° grau, tem três casos:
22

• Δ > 0 duas raízes reais e distintas com a solução y(t)=c1e
rt
+c2e
rt
;
• Δ=0 duas raízes reais e iguais com a solução y(t)=c1e
rt
+c2r e
rt
;
• Δ < 0 duas raízes complexas e conjugadas com a solução
y(t)=c1e
λ t
cosω t +c2 e
λ t
senω t , onde λ é a componente real e ω é a
componente imaginária.
A.8 – Funções dos sinais elétricos especiais
Função rampa
Reta inclinada - No plano Cartesiano a reta inclinada é dada por f (t)=±Kt ± y (A.13).
O termo ±Kt é a função rampa, e significa que a cada t = 1s a amplitude crescerá ou
decrescerá “K” unidades.
A variável “y” é a ordenada de interseção dessa reta com o eixo “y” ou f (0)= y e essa variável
pode ser definida a partir de uma ordenada conhecida, ou seja: y =f (t)−(±Kt) (A.14) .
A inclinação será: β =tg−1
(K
t ) , como t =1s , teremos β =tg−1
(K)
Rampa unitária - Ocorre quando a inclinação K =±1 , cujo sinal positivo indica rampa
ascendente e negativo, rampa descendente.
Se tomarmos a origem do plano cartesiano como início da rampa unitária K =1 , teremos
y =0 , então a expressão (A.13) ficará f (t)=±1t ±0 ou f (t)=t paraτ > t > 0 e
f (t)=0 parat ≤0 , onde τ é a constante de tempo do circuito.
Quando K ≠(±1) a inclinação terá o valor de K =
f (b)− f (a)
b−a
(A.15).
A função rampa é definida pela sua inclinação Kt .
Função degrau
Degrau unitário ou função de Heaviside
23

Significa que a saída de um sistema, anteriormente com nível “zero”, transita instantaneamente para
o nível “um” , e é dada por f (t)= H .
Se tomarmos a origem do plano cartesiano como início do degrau unitário, teremos:
H =0 para t < 0 e H =1 para t > 0 , logo f (t) ∄ para t =0 .
A descontinuidade do início desta função induz o conceito de transição linear infinitesimal no ponto
de descontinuidade, para qualquer degrau, e assim teremos:
• Instante imediatamente anterior a “zero” : −ϵ=0−
• Instante imediatamente posterior a
“zero” : ϵ=0
+
Neste caso, teoricamente, teríamos
A(0)= H / 2 ou A(0)=1/ 2 .
Degrau qualquer, com amplitude “A”
Para H ≠1 a função degrau será
f (t)= A(t) .
A função degrau é definida pela sua amplitude A .
A função degrau é a derivada primeira da função rampa
d A t (t)
dt
= A(t ) .
Degrau unitário finito ou “janela de amostragem”
f (t)= H(t ± a)−H (t ±b) (A.16) com |b|>|a| 0 para a> t > b
1 para a≤t ≤b , onde H (t ±a) é a borda de subida que “abre a janela” e −H (t ±a)
é a borda negativa, que “fecha a janela”.
Impulso unitário – função teórica de amplitude infinita, largura
tendendo a zero e área unitária.
δ (t)=0 para t < 0−
e t > 0+
e então, por definição, o impulso
será referenciado na linha do tempo por uma posição ou instante τ
(tau) e a sua área é dada por: ∫
0
−
0
+
δ (t −τ ) dτ =1 .
O impulso é definido pela sua área “S”.
Como sua área é constante, f (0+
−0−
) → ∞ quando (0+
− 0−
) → 0 .
24

A função impulso unitário é a derivada primeira da função degrau unitário
dH (t)
dt
=δ (t −τ ) ou
a derivada segunda da função rampa unitária
d2
t (t)
dt
2
=δ (t −τ ) .
Quando o impulso unitário está multiplicada por uma constante, assume a amplitude dessa
constante A .δ ((t −τ ))= A(t −τ ) .
Representação de uma função finita com o uso da função degrau unitário
Uma aplicação útil em análise de sinais e sistemas é utilizar a função degrau unitário para fazer o
“chaveamento” de um ou de vários sinais disponíveis na entrada de um sistema, para obter um sinal
finito na saída, cada um dentro de uma “janela de amostragem” definida pela variável “t”.
A expressão analítica de cada
segmento do sinal de saída será o
produto do sinal de entrada pela pela
respectiva função degrau unitário:
f (t)=g(t)[H (t−a)−H (t−b)] (A
.17).
Exemplo A.8.1: Imagine que há um
sinal contínuo de amplitude
A =f (t)=2 ud na entrada de um
sistema, mas que só precisamos desse
sinal na saída por três segundos,
exatamente no intervalo 1≤t ≤4 .
O resultado da aplicação da expressão
(A.17) será f (t)=2[H (t−1)−H (t−4)] cujo gráfico é um degrau com amplitude 2, que inicia
em t = 1s e termina em t =4 s conforme figura (A - 24):
A borda de subida é dada por
f (t)= A[H (t −1)] 2[1(t −1)] ou
f (t)=2(t −1) .
A borda de descida é dada por
f (t)= A[−H (t −1)] 2[−1(t −4)] ou
f (t)=−2(t −4) .
Nos instantes fora da “janela de amostragem” o
sinal de saída estará em zero.
25

Exemplo A.8.2: Escrever a expressão analítica de uma onde triangular simétrica e finita, formada
por três segmentos de rampa com pontos de inflexão em t =−4 s , t = 0 s , t =8 s e
t =12s (fig. A – 25).
Cada “janela de amostragem” será representada pela
expressão f (t)=(±Kt ± y)[H (t−a)−H (t−b)] (A.18).
Primeiro segmento:
Intervalo da “janela de amostragem”: −4 s≤ t ≤0 s .
Cálculo dos valores que definem o termo que representa a
rampa (A.13) f (t)=±Kt ± y , onde a constante de
inclinação é dada pela expressão (A.15)
K =
f (b)−f (a)
b −(a)
K =
f (0)− f (−4)
0−(−4)
.
K =
(120)−(0)
4
K =30 .
Pela simetria do gráfico deduzimos que a constante de
inclinação terá o mesmo valor absoluto para os três
segmentos, mudando apenas os sinais algébricos.
A ordenada de interseção da rampa com o eixo “y” é dada
por (A.14): y =f (t)−(±Kt)
y =f (0)−(30∗0) y =120−(30∗0) ou y =120 . Então a rampa, dada por (A.8), será:
f (t)=30t +120 . e a expressão da “janela de amostragem” (A.18) será:
f (t)=(30t + 120)[ H (t +4)−H (t)] .
Segundo segmento:
Intervalo da “janela de amostragem”: 0 s≤ t ≤8 s .
A constante de inclinação: K =
f (8)− f (0)
8−(0)
. K =
(−120)−(120)
8
K =−30 .
A ordenada de interseção da rampa com o eixo “y” é dada por: y =f (8)−[(−30)∗8]
y =−120−[−240] y =−120 +240 ou y =120 . Então a rampa será:
f (t)=−30t +120 , e a expressão da “janela de amostragem”, será:
f (t)=(−30t + 120)[ H(t)−H (t−8)] .
26

Terceiro segmento:
Constante de inclinação: K =
f (12)−f (8)
12−(8)
K =
(0)−(−120)
4
K =
0 +120
4
ou K =30 .
A ordenada de interseção da rampa com o eixo “y” é dada por: y =f (8)−(30x 8)
y =−120−240 ou y =−360 . Então a rampa será: f (t)=30t +360 , a expressão da
“janela de amostragem” será: f (t)=(30t + 360)[ H (t −8)−H (t−12)] e a expressão geral, será:
f (t)=(30t + 120)[ H (t +4)−H (t)]+ (−30t + 120)[H (t)−u(t−8)] +
(30t + 360)[H (t −8)−H (t−12)]
.
Exemplo A.8.3 – Escrever a expressão analítica da curva contínua da fig. (A – 26).
Este exemplo segue o mesmo conceito dos anteriores.
Cada “janela de amostragem” será representada pela expressão (A.18)
f (t)=(±Kt ± y)[H (t−a)−H (t−b)] .
Primeiro segmento:
Intervalo da “janela de amostragem”:
−9 s≤ t ≤−6 s .
Cálculo dos valores que definem a função
rampa, onde a constante de inclinação é dada
por K =
f (−6)− f (−9)
−6−(−9)
.
K =
(15)−(0)
3
K =5 .
Pela simetria do gráfico deduzimos que a
constante de inclinação das rampas terá o
mesmo valor absoluto para os três segmentos,
mudando apenas os sinais algébricos.
A ordenada de interseção da rampa com o eixo
“y” é dada por y =f (−6)−[5∗(−6)] y =15 +30 ou y =45 . Então a rampa será:
f (t)=5t +45 , e a expressão da “janela de amostragem”, será:
f (t)=(5t + 45)[H (t+9)−H (t+6)] .
Segundo segmento:
Intervalo da “janela de amostragem”: −6 s≤ t ≤−3 s .
Função contínua, com K = 0 e y =15 .
27

Então a expressão da “janela de amostragem”, será: f (t)=(15)[H (t +6)−H (t +3)] .
Terceiro segmento:
Intervalo da “janela de amostragem”: −3 s≤ t ≤3 s .
Cálculo dos valores que definem a função rampa (2) , onde a constante de inclinação é dada pela
expressão (A.10) K =
f (3)−f (−3)
3−(−3)
. K =
(−15)−15
6
K =
−30
6
ou K =−5 .
A ordenada de interseção da rampa com o eixo “y” é dada por (A.9) y =f (−3)−[(−5)∗(−3)]
y =15−[15] ou y =0 .
Então a rampa será: f (t)=−5t , e a expressão da “janela de amostragem”, será:
f (t)=(−5t)[ H (t+3)−H (t−3)] .
Quarto segmento:
Função contínua, com K = 0 e y =−15 .
Então a expressão da “janela de amostragem”, será: f (t)=(−15)[H (t−3)−H (t−6)] .
Quinto segmento:
Cálculo dos valores que definem a função rampa, onde a constante de inclinação é dada pela
expressão K =
f (9)− f (6)
9−(6)
. K =
0−(−15)
3
K =
15
3
ou K = 5 .
A ordenada de interseção da rampa com o eixo “y” é dada por y = f (6)−[5∗(6)]
y =−15−30 ou y =−45 . Então a rampa será: f (t)=5t −45 , e a expressão da “janela
de amostragem”, será: f (t)=(5t −45)[ H (t−6)−H (t−9)] .
Expressão geral da saída:
f (t)=(5t + 45)[H (t+9)−H (t+6)] +(15)[H (t+6)−H(t+3)] +(−5t)[ H (t+3)−H (t−3)] +
(−15)[H (t−3)−H (t−6)] +(5t −45)[H (t−6)−H (t−9)]
.
Exemplo A.8.4: Dada a senoide da figura (A - 27), com amplitude instantânea
g(t)=50sen
(
π
2
t
) e frequência angular f =
1
2π
rad/s , escrever a expressão da “janela de
amostragem” no intervalo 0 s≤ t ≤4 s .
28

A “janela de amostragem” será pela expressão (A.17)
f (t)= g(t)[H (t−a)−H (t−b)] ou
f (t)=(50sen
π
2
t)[H (t )−H (t−4)]
Pontos importantes da senoide: sen
π
2
x 0=0
f (0)=(50x 0)=0 .
sen
π
2
x 1=1 f (1)=(50 x1)=50 .
sen
π
2
x 2=senπ =0 f (2)=(50 x 0)=0 .
sen
π
2
x 3=sen
3π
2
=−1 f (3)= [50 x(−1)]=−50 .
sen
π
2
x 4 =sen2π =0 f (4)=(50 x 0)=0 .
A.9 - Transformada de Laplace
É a conversão de uma função do domínio do tempo f (t) e
definida nos reais não negativos, para o domínio da frequência
complexa F(s) ℒ [f (t)]= F(s)=∫
0
∞
f (t )e−st
dt (A.19)
aplicando a integral imprópria na função temporal, de zero a
infinito, vezes a função exponencial, cujo expoente
s =σ + jω é uma variável complexa, definida no plano da
frequência complexa “s”.
Com isso, equações íntegro
diferenciais, no domínio do
tempo positivo (t>0) ,
são convertidas e resolvidas com álgebra complexa, e o resultado
pode ser transformado inversamente para o domínio do tempo
ℒ
−1
[F(s)] ⇔ f (t) (A.20).
A expressão transformada permite visualizar, de forma rápida,
como um sistema vai se comportar, através da localização dos
“zeros” e "polos" no plano da frequência complexa (s).
29

A transformada inversa de Laplace é utilizada para converter as funções do domínio da frequência
(s) para o domínio tempo (t).
Quando tivermos as funções de transferência e as respostas dos sistemas elétricos representadas por
grandes frações polinomiais no domínio (s), temos que separá-las em frações menores ou frações
parciais, para facilitar a utilização da tabela de transformadas inversas. As operações e funções
diretas ou inversas, aplicadas na análise de circuitos elétricos, são apresentadas em tabelas,
excluindo a necessidade de deduções matemáticas.
A análise de circuitos com a aplicação da transformada de Laplace segue o mesmo conceito da
análise no domínio do tempo: Leis de tensão e de corrente de Kirchhoff e Lei de Ohm.
Os casos em que devem-se considerar as condições iniciais dos elementos reativos são estudados
para aprofundamento teórico nos circuitos em regime natural ou no regime de transitório de carga e
descarga.
Conversão dos elementos de circuito (modelos matemáticos)
Resistor no domínio (t):
vR(t)= Ri(t ) iR(t )=
v(t )
R
Z=R Ω .
Resistor no domínio (s)
VR (s)= R.I (s) em Volts / segundo.
IR(s)=
V (s)
R
em Amperes / segundo.
Z=RΩ Ohms / segundo.
Indutor no domínio (t): Z= XL =ω LΩ iL(t)=
v(t)
XL
ou iL(t)
1
L
∫
0
1
v(τ )dτ
com a condição inicial i(0+
)=0 A : vL(t )= L
di(t )
dt
. Se i(0+
)= Io ≠0 A , onde Io é um
valor da corrente inicial, vL(t )= L[di(t)
dt
−Io] .
Impedância do indutor no domínio (s): Z=sLΩ
Com a condição inicial i(0+
)=0 A : I =
V
sL
V =sL.I .
Se i(0
+
)= Io ≠0 A , onde Io é uma corrente inicial, o indutor pode ser
trabalhado de duas formas equivalentes:
30

1- Uma fonte de tensão independente L. Io , com
polaridade invertida, em série com a impedância
indutiva sL , o que dá a expressão da tensão:
V (s)=sL.I −L.Io .
2 - Uma fonte de corrente independente
Io
s
em
paralelo com a impedância indutiva , o que dá a expressão
da corrente: I(s)=
V (S)
sL
+
Io
s
.
Se Io= 0 A , então os modelos no domínio da frequência ficam simplificados para uma
indutância com impedância sL .
Capacitor no domínio (t): Z= XC =
1
ω C
Ω onde ω C é a admitância capacitiva em
Siemens. vC (t )=i(t) XC ou vC (t )
1
C
∫
0
1
i(τ )dτ .
Com a condição inicial v(0+
)=0V : iC (t)=C
dv(t )
dt
.
Se v(0
+
)=V o ≠0V teremos: iC (t)=C[dv(t)
dt
+Vo] .
Capacitor no domínio (s):
Impedância do capacitor no domínio (s): Z=
1
sC
Ω .
Com a condição inicial v(0+
)=0V I(s)=sC .V V (s)=
I(s)
sC
.
Se v(0+
)=V o ≠0V onde Vo é uma tensão inicial, o capacitor pode
ser trabalhado de duas formas equivalentes:
1- Uma fonte de tensão independente
V o
s
, diretamente polarizada, em série com a impedância
capacitiva
1
sC
, o que dá a expressão da tensão V (s)=( 1
sC )I (s)+
V o
s
.
2 – Uma fonte de corrente independente C .Vo , inversamente polarizada, em paralelo
com a impedância capacitiva, o que dá a expressão da corrente: I(s)=sC .V (s) –C.Vo .
31

Se Vo =0V , então os modelos no domínio da frequência ficam simplificados para um capacitor
com impedância
1
sC
.
Transformadas operacionais
d i(t)
dt
= I (s) s −I (0
+
)
d
2
i(t)
dt2
= I(s) s2
− I (0+
) ∫
−∞
t
i(t) dt =
I (s)
s
d v(t )
dt
=V (s) s −V (0+
)
d2
v(t)
dt
2
=V (s) s2
−V (0+
) ∫
−∞
t
v(t) dt =
V (s)
s
Transformadas funcionais
Impulso unitário infinito, ou delta de Dirac δ (t)
A função impulso é uma abstração matemática, que serve para simular a reação de um sistema à
aplicação de um sinal de entrada muito intenso e de duração menor do que a constante de tempo do
próprio sistema.
Pode ser deduzida a partir de uma função temporal genérica, com um parâmetro temporal variável,
que apresente duas características decorrentes de quando o parâmetro “duração” se aproximar de
zero, ou seja, quando esse sinal de tornar infinitamente curto:
• A amplitude tende para infinito.
• A área sob a função variável permanecerá constante.
O conceito da função impulso também permitirá que seja definida a derivada de uma função
descontínua para acharmos a transformada de Laplace dessa derivada.
Função contínua e função descontínua na origem
Na figura 19 – 01 temos, na primeira imagem, a representação de uma função exponencial contínua,
e na segunda imagem temos a mesma função, mas de forma descontínua no eixo vertical:
f (t)=0,t <0;f (t)=e
−α t
,t >0 .
Na figura 19 – 02 vamos analisar a função descontínua da figura 19 - 01 com a ampliação da escala
do eixo do tempo, de forma que a “subida do sinal” em t =0 seja percebida como uma rampa
teórica, distribuída igualmente entre os instantes infinitesimais 0
−
=−n e 0
+
=ϵ , ao redor
de t =0 , e que é representada por f (t)=Kt + y(0) .
32

A inclinação dessa rampa, dada por K =
f (ϵ)−f (−ϵ)
ϵ−(−ϵ)
, fazendo-se f (−ϵ)=0 e f (ϵ)=1 ,
teremos: K =
1−0
ϵ −(−ϵ)
ou K =
1
2ϵ
.
Então a expressão da rampa teórica, será: f (0)=
1
2ϵ
t + 0,5 . A derivada dessa rampa, quando
ϵ→0 , é a função degrau
df (0)
dt
=
1
2ϵ
, com área constante e unitária, e que representa a
função impulso unitário δ (t) . Quanto mais os limites laterais aproximarem-se de zero, mais sua
amplitude se aproximará do infinito.
Quando a função impulso unitário está multiplicada por uma constante, assume a amplitude dessa
constante f (t)= Aδ (t±n) .
33

Representação da função impulso
A função impulso pode ocorrer em qualquer instante
diferente de zero, e neste caso, representa-se como:
δ (t −n) para n= to e t =δ (t + n) para
n=−to .
Então, teremos: δ (t)=0 para t≠n ,
δ (t)=∞ para t=n .
Propriedade de filtragem (sifting) da função impulso
Quando tivermos a integral ∫
−∞
∞
f (t)δ (t −n)dt onde f (t) é uma função contínua em t =n e
δ (t−n)=0 quando t≠n , podemos reescrevê-la como f (t)∫
−∞
∞
δ (t −n)dt =f (t) .
Definição da transformada de Laplace ℒ [f (t)]= F(s)=∫
0
∞
f (t )e
−st
dt .
Transformada da função impulso
ℒ δ (t)=∫
0
−
∞
δ (t)e−st
dt =e−st
Como t = 0 , teremos ℒ δ (0)=1 e, de uma forma geral,
ℒ Aδ (t)=∫
0
−
∞
Aδ (t)e
−st
dt = A∫
0
−
∞
δ(t)dt = A .
Transformada da função degrau - A função degrau é definida pela sua amplitude: se A =(±1)
, então f (t)=(±1) . Se A ≠(±1) , então f (t)=(±A) .
ℒ [ A (t)]=F(s)=∫
0
∞
A .e
−st
dt F(s)= A∫
0
∞
e
− st
dt . Fazer a substituição: u=−st
du
dt
=
d(−st)
dt
du
dt
=−s dt =
du
−s
. Assim teremos A∫
0
∞
eu
(du
−s ) . Integrar
A
−s
∫
0
∞
e
u
du
A
−s
|e
u
|0
∞
. Desfazer a substituição e aplicar os limites
A
−s
[e
−st
]0
∞
com e−s∞
=0 e e0
=1 :
A
−s
(0 −1)
A
−s
(−1) ou F(s)=
A
s
.
34

Transformada da função rampa - A função rampa é definida pela sua inclinação: se K =(±1) ,
então f (t)=t , mas se K ≠(±1) , então f (t)=(±Kt) e a inclinação será
K =
f (b)− f (a)
b−a
, onde “b” é o tempo final e “a” o tempo inicial.
ℒ [Kt ]=F(s)=∫
0
∞
Kt.e
−st
dt Fazer a substituição: u=−st
du
dt
=
d(−st)
dt
du
dt
=−s
dt =
du
−s
t =
u
−s
e integrar por partes: K∫
0
∞
( u
−s).e
u
(du
−s ) ou
K
s
2 ∫
0
∞
u.e
u
du .
K
s2
[u.e
u
−e
u
]0
∞ K
s2
[e
u
(u −1)]0
∞
Desfazer a substituição
K
s2
[e
−st
(−st−1)]0
∞
aplicar os
limites com e
−s∞
=0 e e
0
=1 :
K
s
2
{0 −[1(0−1)]}
K
s
2
{1} . Então: F(s)=
K
s
2
.
Transformada do impulso delta de Dirac - O impulso é definido pela sua área: se A =1 ,
então δ (t ±n)=1(t ±n) , mas se A ≠1 , então Aδ (t ±n)= A(t ±n) .
A transformada do impulso unitário, é: ℒ [δ (t)]= F(s)=∫
0
∞
1(e
−st
)dt . Como por definição
∫
0
−
0
+
δ (t) dt =1 ou F(s)=1 .
Transformada da função exponencial:
A função é definida por: x(t)= Ae
at
,sendo reais a amplitude inicial A(0) , o expoente α e
e → número de Euler 2.718281828459... ou base Neperiana.
• a > 0 → x(t) crescente .
• a=0 → x(t)= A(função constante) .
• a <0 → x(t) decrescente .
Decrescente:
ℒ [ Ae
−α t
]=F(s)=∫
0
∞
Ae
−α t
.e
−st
dt = A∫
0
∞
e
−(α +s)t
dt . Fazer a substituição:
u=−(α + s)t
du
dt
=−(α + s) dt =
du
−(α + s)
e então, teremos: = A∫
0
∞
eu du
−(α + s)
ou
35

=
A
−(α + s)
∫
0
∞
eu
du . Integrar =
A
−(α + s)
[eu
]0
∞
desfazer substituição
=
A
−(α + s)
[e
−(α + s)t
]0
∞
=
A
−(α + s)
[e
−∞
−e
0
] =
A
−(α + s)
[0−1] ou F(s)=
A
(s + α)
.
Crescente:
ℒ [ Ae
α t
]=F(s)=∫
0
∞
Ae
α t
.e
−st
dt = A∫
0
∞
e
(α − s)t
dt . Fazer a substituição: u=(α −s)t
du
dt
=(α −s) dt =
du
(α −s)
e então, teremos: = A∫
0
∞
eu du
(α − s)
ou
=
A
(α − s)
∫
0
∞
e
u
du . Integrar =
A
(α − s)
[e
u
]0
∞
desfazer substituição =
A
(α − s)
[e
(α − s)t
]0
∞
=
A
(α − s)
[e
−∞
−e
0
] =
A
(α − s)
[0 −1] ou F(s)=
A
(s −α )
.
Transformada da função seno
Os sinais sinusoidais podem ser representados na forma exponencial complexa, a partir da forma
trigonométrica z =r ( cos θ± j sen θ) ou através das fórmulas de Euler z =r e(± jθ)
,
cujos desdobramentos são: e−jθ
=cosθ − j senθ e ejθ
=cosθ + j senθ .
Subtraindo as duas expressões obteremos o dobro do seno:
−e
− jθ
=−cos(θ ) + j sen(θ )
e
jθ
e
jθ
−e
− jθ
= j 2 sen(θ )
ou j 2 sen(θ )=(e
jθ
−e
− jθ
) . E então:
sen(θ )=
(ejθ
−e−jθ
)
j2
. Fazer as manipulações algébricas: ℒ senω t = ℒ
(ejω t
−e−jω t
)
j 2
ℒ senω t = ℒ
1
j 2
(e
jω t
−e
− jω t
) ℒ senω t =
1
j2
(ℒ e
jω t
− ℒ e
− jω t
) como a transformada
da exponencial crescente é ℒ e
at
=
1
s−α
e da exponencial decrescente é ℒ e
−at
=
1
s + α
e
fazendo α = j ω , teremos ℒ senω t =
1
j2 [ 1
s− jω
−
1
s + jω ] aplicar m.m.c. para operar as
frações entre chaves: ℒ senω t =
1
j2 [ s + jω
(s− jω )(s + jω)
−
s − jω
(s− jω )(s + jω) ]
36

ℒ senω t =
1
j2 [ 2 jω
(s− jω )(s + jω)] aplicar o “produto da soma pela diferença” no
denominador ℒ senω t =
1
j2 [ 2 jω
s2
−( jω )2
] simplificar e operar −( jω )
2
=ω2
ℒ senω t =
ω
s
2
+ω2
.
Transformada da função cosseno
A partir das fórmulas de Euler z =r e(± jθ)
, cujos desdobramentos são:
e
− jθ
jθ
= cosθ + j senθ .
Adicionando as duas expressões obteremos o dobro do cosseno:
e− jθ
=cos(θ )− j sen(θ )
ejθ
ejθ
+ e− jθ
=2cos(θ )
ou 2cos(θ )=(e
jθ
+ e
− jθ
) . . E então:
cos(θ )=
(ejθ
+ e− jθ
)
2
. Fazer as manipulações algébricas: ℒ cosω t = ℒ
(ejωt
+ e− jω t
)
2
ℒ cosω t = ℒ
1
2
(e
jω t
+ e
− jω t
) ℒ cosω t =
1
2
(ℒ e
jω t
+ ℒ e
−jωt
) como a transformada da
exponencial crescente é ℒ e
at
=
1
s−α
e da exponencial decrescente é ℒ e
−at
=
1
s + α
e
fazendo α = j ω , teremos ℒ cosω t =
1
2[ 1
s− jω
+
1
s + jω ] aplicar m.m.c. para operar as
frações entre chaves: ℒ senω t =
1
2 [ s + jω
(s− jω )(s + jω)
+
s − jω
(s − jω )(s + jω )]
ℒ senω t =
2 s
2 [ 1
(s − jω)(s + jω )] aplicar o “produto da soma pela diferença” no
denominador ℒ senω t =
[ s
s
2
−( jω )
2
] simplificar e operar −( jω )2
=ω2
ℒ cosω t =
s
s2
+ ω2
.
37

Laplace da derivada da função impulso
Inicialmente vamos considerar um pulso triangular agudo, com a área unitária S =1 ,
posicionado simetricamente no eixo f (t) , onde o lado esquerdo é uma rampa ascendente, o lado
direito uma rampa descendente, e a base b=2ϵ , no eixo t , tem os
vértices no intervalo (−ϵ) 0 (ϵ ) .
O modelo é utilizado porque f (t) → δ (t) se ϵ → 0 .
Com os dados do triângulo S =1;b= 2e , resta calcular a altura
f (0)=h .
A partir de S =
b x h
2
, teremos 1=
(2ϵ )h
2
, assim h=
2
2ϵ
ou
f (0)=
1
ϵ
. Calcular as inclinações das rampas:
Lado esquerdo K =
f (0)−f (−ϵ )
0−(−ϵ)
K =
1
ϵ −0
ϵ
ou K =
1
ϵ2
onde a rampa é: Kt =
1
ϵ2
t
cuja derivada é
d
dt [1
ϵ 2 ]t =
1
ϵ2
.
Lado direito K =
f (ϵ )−f (0)
ϵ −0
K =
0−
1
ϵ
ϵ
ou K =−
1
ϵ2
onde a
rampa é: Kt =−
1
ϵ2
t cuja derivada é
d
dt [−
1
ϵ2 ]t =−
1
ϵ 2
.
Aplicar a definição da transformada de Laplace na soma das duas funções
degrau, e depois o limite de ϵ → 0 :
ℒ [δ ' (t)]= lim
ϵ → 0 [∫
−ϵ
0−
( 1
ϵ 2)e
−st
dt + ∫
0+
ϵ
(−
1
ϵ 2 )e
−st
dt
]
ℒ [δ ' (t)]= lim
ϵ → 0 [(1
ϵ 2 )∫
−ϵ
0−
e
−st
dt + (−
1
ϵ 2)∫
0+
ϵ
e
−st
dt
]
= lim
ϵ → 0 ( 1
ϵ 2 )[−
1−e−sϵ
s ]+
(−
1
ϵ 2)[−
esϵ
−1
s ] = lim
ϵ → 0 [e
−sϵ
+ e
sϵ
−2
sϵ2 ] (A.31).
=[e−s∗0
+ es∗0
−2
s∗0 ] =[1+ 1−2
0 ] ℒ [δ ' (t)]=[0
0 ] uma indeterminação para aplicar
L’Hôpital em (A.31):
Derivar o numerador:
d
dϵ
(e
−sϵ
+ e
sϵ
−2) =−s e−sϵ
+ s esϵ
38

Derivar o denominador:
d
dϵ
sϵ2
=2 sϵ .
Aplicar ℒ [δ ' (t)]= lim
ϵ → 0
[−se−sϵ
+ sesϵ
2sϵ ] (A.32) =
[−s + s
(2s)0 ] ou ℒ [f '(t)]=
[0
0 ] uma
indeterminação para aplicar L’Hôpital em (A.32):
Derivar o numerador:
d
dϵ
(se
−sϵ
+ se
sϵ
) =s2
e−sϵ
+ s2
esϵ
Derivada do denominador:
d
dϵ
2sϵ =2 s .
Aplicar ℒ [δ ' (t)]= lim
ϵ → 0
[s2
e−sϵ
+ s2
esϵ
2 s ] (A.28) =[s2
+ s2
2 s ] =[2s2
2s ] ou
ℒ [δ ' (t)]=s .
Transformada inversa de Laplace
Quando aplicamos a transformada de Laplace em análise de circuitos, vamos chegar a uma
expressão polinomial racional própria grau D > grau N , da forma
F(s)=
N(s)
D(s)
ou F(s)=
an sn
+ a(n−1) s(n−1)
+…+a1 s +a0
bm s
m
+ b(m−1) s
(m−1)
+…+b1 s +b0
(A.21),
Caso a fração seja imprópria, deverá ser transformada como trataremos em um tópico à frente.
Frações parciais
Os polinômios de (A.21) podem ser escritos como uma soma de frações parciais com a forma
F(s)=
A
(s−p1)
+
B
(s−p2)
+...
N
(s−pn)
.
Para isso, o denominador D(s) deve estar devidamente fatorado, para se determinar as suas raízes,
pois para cada raiz distinta haverá um termo da decomposição, ou para cada raiz múltipla rn
haverá “n” termos.
Exemplo A.9.1: Decompor em frações parciais F(s)=
s + 4
s(s + 1)2
(s + 2)
, cujo denominador é a
fatoração de s
4
+ 4 s
3
+5 s
2
+2 s , já estudado no item (A-1) - Fatoração de polinômios.
As raízes Reais do denominador, pela ordem, serão: r1 =0 , r2 =r3=−1 duas raízes Reais e
idênticas, para o termo quadrático, e r4 =−2 que é a raiz Real e distinta do último termo. Isto
significa que a decomposição terá quatro frações, uma para cada raiz:
39

F(s)=
A
(s)
+
B
(s+2)
+
C
(s+1)
2
+
D
(s+1)
A cada termo de F(s) será associado um termo de f(t),
conforme tabela de conversão reversa:
F(s)=
K
s
⇔ f (t)=K degrau f (t)= A
F(s)=
K
(s + a)
⇔f (t)= K e−at
exponencial f (t)=Be−2t
e f (t)=D e−t
F(s)=
K
(s + a)
n
⇔ f (t)=
K
(n−1)!
t
(n−1)
e
−at
exponencial com n=1,2,3...
f (t)=
C
(2−1)!
t
2−1
e
−1t
ou f (t)=C t e
−t
. Então f (t)= A + B e
−2t
+ C te
−t
+ De
−t
.
O cálculo das constantes dos numeradores será visto nos exemplos seguintes.
Polos e zeros
A expressão (A.21) também pode ser escrita como F(s)=
K (s + z1)(s + z2)...(s + zn)
(s + p1)(s + p2)...(s + pm)
com
K =
an
bm
e onde p → polo e z → zero .
Polos de F(s) – são as raízes do polinômio do denominador − p1 , − p2 … − pm , valores de
“s” que vão “zerar” o denominador e fazer com que F(s)= ∞ .
Zeros de F(s) - são as raízes do polinômio do numerador −z1 , − z2 … −zn , valores de “s”
que vão “zerar” o numerador e fazer com que F(s)=0 .
Exemplo A.9.2 : Achar polos e zeros de F(s)=
2s
2
+24 s + 64
s3
+ 9s2
+ 26s + 24
Fatorar o numerador F(s)=2(s2
+ 12s + 32) Raízes da equação do 2° grau do numerador, com
a=1 . Como “c” é múltiplo de “b”, podemos aplicar a fatoração na forma de (s + r1)(s + r2)
onde as raízes podem ser definidas por x
2
+ Sx + P ou s
2
+(r1 + r2)s + (r1∗r2) .
Com b= 12 e c =32 teremos m.m.c .=8 , que será um raiz. Considerando r1 =8 , a
outra raiz é obtida por b=r1 + r2 , então r2 =b−r1 r2 =12−8 ou r2 =4 .
Fatorar o denominador F(s)=s3
+ 9 s2
+ 26 s + 24
Como todos os termos são múltiplos de “s” (o último termo é 24 s
0
) , a incógnita “s” será uma
parcela de fator comum, composto na forma (s −r) onde “r” é obtido com o Teorema das
Raízes Racionais: toma-se o coeficiente do primeiro termo an =1 , cujo divisor é q=1 , e o
último termo a0 =24 , cujos divisores são p=[±(1;2;3; 4;6;8;12;24;)] .
40

Inicialmente vamos testar r =
p
q
=
(−1)
1
=−1 como raiz de: s
3
+ 9 s
2
+ 26 s + 24= 0
(−1)3
+ 9(−1)2
+ 26(−1)+ 24= ou −1+ 9−26 + 24=6 não é raiz.
Testar r =
p
q
=
(−2)
1
=−2 (−2)
3
+ 9(−2)
2
+ 26(−2)+ 24 = ou −8 +36 −52 + 24=0
então um fator comum será [s−(−2)] ou (s + 2) .
Testar r =
p
q
=
(−3)
1
=−3 (−3)
3
+ 9(−3)
2
+ 26(−3)+ 24= ou −27 + 81−78 + 24=0
então outro fator comum será [s−(−3)] ou (s + 3) .
Testar r =
p
q
=
(−4)
1
=−4 (−4)3
+ 9(−4)2
+ 26(−4)+ 24 = ou
−64 + 144−104 +24 =0 então outro fator comum será [s−(−4)] ou (s + 4) .
Testar r =
p
q
=
(−5)
1
=−5 (−5)3
+ 9(−5)2
+ 26(−5) + 24= ou
−125+ 225−130+ 24 =−6 não é raiz.
Fatores encontrados: (s + 2)(s + 3)(s + 4) .
Assim, F(s)=
2(s + 8)(s+ 4)
(s + 2)(s + 3)(s + 4)
onde os “zeros” Reais do
numerador, são: z1=−8 ; z2=−4 ; e os polos Reais do
denominador, são: p1 =−2 ; p2 =−3 ; p3 =−4 ;
As funções de Laplace F(s) ocorrem no domínio da frequência
complexa, enquanto as funções f(t) ocorrem no domínio do tempo,
cujos planos são espacialmente ortogonais (Fig. A - 35): se tivermos com o plano “s” de frente, o
seu eixo imaginário jω (vertical) será o mesmo eixo f(t), enquanto o eixo “t” está apontado para
trás, perpendicularmente ao ponto de origem dos eixos do plano “s”.
s=σ ± jω a frequência complexa, onde:
±σ é o termo da componente Real ℜ , denominado “frequência neperiana”, dado em
Neper/segundo.
ω é o termo da componente Imaginária ± jω , dado em em rd/s .
O plano “s” é emulado no plano complexo “z” porque há casos em que zeros e polos das
transformadas de Laplace podem ser funções complexas.
Polinomiais impróprias
São funções racionais da forma F(s)=
N(s)
D(s)
com grau N > grau D .
41

O processo inicial será fatorar o numerador da fração imprópria dada, para que tenhamos uma soma
de dois numeradores com graus menores do que o grau do denominador
comum:
1- dividir o coeficiente de maior grau do numerador pelo seu correspondente no denominador, cujo
quociente
Nx
maior
Dxmaior
= K será o fator comum do novo numerador.
2- multiplicar D . K = M
3- subtrair M do numerador original −M +N =novo N
4- a fração resultante será da forma:
K +(novo numerador)
mesmo denominador
Exemplo A.9.3: Cálculo dos resíduos pelo método da substituição
Dada a função F(s)=
s + 10
(s + 2)(s +3)
ela será decomposta para F(s)=
A
(s + 2)
+
B
(s +3)
Multiplicar a expressão dada pelo denominador do primeiro termo e aplicar s =−2 :
A =(s+ 2)F(s)|s=−2 A =
s + 10
(s +3)|s=−2
A =
−2+ 10
(−2+3)
=
8
(1)
A = 8 .
Multiplicar a expressão pelo denominador do segundo termos e aplicar s =−3 :
B =(s + 3)F(s)|s=−3 B =
s + 10
(s +2)|s=−3
B =
−3+ 10
(−3 +2)
=
7
(−1)
B =−7 .
Exemplo A.9.4: com dois polos Reais e distintos
F(s)=
s + 3
s
2
+3 s + 2
fatorar o denominador F(s)=
s + 3
(s + 1)(s + 2)
Verificar natureza dos polos, através do discriminante da equação de 2° grau do denominador:
Δ=32
−[4 x 2] Δ=9−[8] ou Δ=1 o que confirma dois polos Reais e distintos.
Identidade da fração decomposta
s + 3
(s + 1)(s + 2)
≡
A1
s+1
+
A2
s + 2
e os resíduos serão:
A1 =[(s + 1) F(s)]s=−1 =
[s + 3
s + 2 ]s=−1
A1 =
(−1)+ 3
(−1) +2
=
2
1
ou A1 =2 .
A2 =[(s + 2) F(s)]s=−2 =
[s + 3
s+ 1 ]s=−2
A2 =
(−2) +3
(−2) + 1
=
1
−1
ou A2 =−1 .
42

Como f (t)= ℒ−1
[ F(s)] , então: = ℒ
− 1
[ 2
s + 1 ]+ ℒ
− 1
[−1
s + 2] pela tabela de
conversão F(s)=
k
s +α
≡f (t)=K e−α t
u(t) ou f (t)=2 e
−t
−1 e
−2t
para t ≥0
Processo inverso
Exemplo A.9.5: Composição ou simplificação de frações parciais:
2
(s + 1)
−
1
(s +2)
aplicar
o m.m.c.
2(s + 2)
(s + 1)(s + 2)
−
(s + 1)
(s + 1)(s + 2)
2 s + 4− s−1
(s +1)(s + 2)
s+3
s2
+ s + 2s + 2
s+3
s2
+ 3s + 2
ou
na forma fatorada, seguindo o modelo s
2
+ Ss + P onde S = Soma e P=Produto
s+3
(s + 1)(s + 2)
.
Exemplo A.9.6: com fração imprópria
F(s)=
s3
+ 5s2
+ 9s + 7
s2
+ 3s + 2
dividir
N
D
s
3
+ 5s
2
+ 9s + 7⌊ s
2
+ 3s + 2
−s
3
−3 s
2
−2s s + 2
2s
2
+ 7s + 7
−2s
2
− 6s −4
s + 3
quociente resto
F(s)= s + 2+
s + 3
s
2
+ 3s + 2
denominador
fatorar o denominador F(s)=s +2 +
s+3
(s + 1)(s + 2)
e associar
cada termo desta expressão com um modelo da tabela de conversão para o domínio do tempo.
Como o terceiro termo já foi convertido no exemplo anterior, agora vamos converter os dois
primeiros termos:
• o primeiro será: F(s)=s≡ f (t)=
dδ (t )
dt
e F(s)=1≡ f (t)= δ (t) .
f (t)=
dδ (t )
dt
+ 2δ (t)+ 2 e−t
−1 e−2t
para t ≥0−
Exemplo A.9.7: com polos Reais múltiplos
F(s)=
s
2
+ 2s +3
(s + 1)
3
(A.22) O denominador terá raízes de multiplicidade m =3 em s =−1 ,
portanto a decomposição terá “m” frações parciais em ordem crescente, com expoentes de 1 a 3:
F(s)=
A1
(s + 1)
+
A2
(s + 1)2
+
A3
(s +1)3
(A.23) e as constantes dos numeradores são calculadas com
43

An =
1
(m−n)!
d
(m−n)
ds(m−n)
[(s+x)
m
F(s)]s=−x (A.24) com n=1,2,3... .
Aplicar a expressão (A.24) para obter cada constante:
A1 =
1
(3−1)!
d
(3−1)
ds
(3−1)
[s
2
+ 2s + 3]s=−1 A1 =
1
(2!)
d
(2)
ds
(2)
[s
2
+ 2s + 3]s =−1
A1 =
1
2
[2]s=−1 A1 =
1
2
[2] ou A1 =1 .
A2 =
1
(3−2)!
d(3−2)
ds(3−2)
[ s2
+ 2s + 3]s=−1 A2 =
1
(1!)
d
ds
[ s
2
+ 2s + 3]s=−1
A2 =1 [2s + 2]s= −1 A2 = 2(−1)+ 2 ou A2 =0 .
A3 =
1
(3−3)!
d(3−3)
ds(3−3)
[s
2
+ 2s + 3]s=−1 A3 =
1
(0!)
d(0)
ds(0)
[s
2
+ 2 s+ 3]s=−1
A3 =1x1[(−1)
2
+2(−1)+ 3] ou A3 =2 .
Então: f (t)= ℒ− 1
[ 1
(s +1)]+ ℒ− 1
[ 0
(s + 1)2
]+ ℒ−1
[ 2
(s + 1)3
]
Aplicar: F(s)=
K
(s + a)
m
⇔ f (t)=
K
(m−1)!
t(m−1)
e−at
para t ≥0 .
Primeiro termo: f (t)=
1
(1−1)!
t1−1
e−1t
ou f (t)=e−t
.
Segundo termo nulo.
Terceiro termo: f (t)=
2
(3 −1)!
t
3−1
e
−1t
f (t)=
2
(2)!
t
2
e
−t
ou f (t)=t
2
e
−t
.
Então ℒ
−1
[s
2
+ 2s + 3
(s + 1)
3
]= e
−t
+t
2
e
−t
.
Exemplo A.9.8: com polos Reais múltiplos
Dado: F(s)=
100(s+25)
s(s+5)
3
expandir para
K
s
+
A1
(s+5)
+
A2
(s+5)2
+
A3
(s+5)3
.
A primeira fração será em função do fator “s” e a constante do numerador será: K =|F(s).s|s=0
K =
|100(s+25)
(s + 5)
3 |s =0
K =
100(25)
(5)
3
K =
2.500
125
ou K =20 .
44

O fator do denominador com raízes múltiplas terá “m” frações expandidas em ordem crescente,
cujas constantes dos numeradores serão obtidas com:
An =
1
(m−n)!
d(m−n)
ds
(m−n)
[(s+x)
m
F(s)]s=−x sendo m =expoente e n=1,2,...m .
A1 =
1
(3−1)!
d
(3−1)
ds
(3−1)
[(s+5)
3
F(s)]s=−5 A1 =
1
(2)!
d2
ds
2 [100(s +25)
s ]s=−5
.
A1 =
1
2[5.000
s3 ]s=−5
A1 =
1
2(5.000
−125) A1 =
1
2
(−40) ou A1 =−20 .
A2 =
1
(3−2)!
d
(3−2)
ds
(3−2)
[(s+5)
3
F(s)]s=−5 A2 =
1
(1)!
d
ds [100(s +25)
s ]s=−5
A2 =
1
1[−2.500
s
2 ]s=−5
A2 =(−2.500
25 ) ou A2 =−100 .
A3 =
1
(3−3)!
d
(3−3)
ds(3−2)
[(s+5)
3
F(s)]s=−5 A3 =
1
(0)!
d
0
ds
0 [100(s + 25)
s ]s=−5
como 0!=1 e
d0
ds0
=1 , teremos A3 =[100(20)
−5 ]s=−5
A3 =(2.000
−5 ) ou A3 =−400 .
Então F(s)=
100(s+25)
s(s+5)3
=
20
s
−
20
(s+5)
−
100
(s+5)2
−
400
(s+5)3
.
Uma forma de verificar os resultados, é testar a expansão atribuindo o valor do “zero” s =−25 ,
que anula o numerador de F(s) :
20
25
−
20
(25 +5)
−
100
(25 + 5)
2
−
20
(25+ 5)
3
ou
0,8−0,666...7 −0,11111...−0,0148...=0 .
Utilizar tabelas para aplicar a transformada inversa nas frações:
O primeiro termo é um degrau:
K
s
= K(t) parat >0 ou
20
s
=20 .
Para os termos reais e repetidos, de multiplicidade “m”, aplicar:
F(s)=
K
(s + a)
m
⇔ f (t)=
K
(m−1)!
t
(m−1)
e
−at
Segundo termo
A
(s + α )
= Ae
−α t
.
Terceiro termo
A
(s + α )
2
= Ate
−α t
.
45

Quarto termo
A
(s + α )
3
= At2
e−α t
.
Assim, ℒ
−1
[100(s+25)
s(s+5)
3
]=20−20e
−5t
−100t e
−5t
−400t
2
e
−5t
.
Exemplo A.9.9: conversão com polos Reais distintos
F(s)=
86 s−78
5 s
3
−6s
2
−59 s+ 12
fatorar denominador
F(s)=
86 s−78
(s + 3)(s−4)(5 s−1)
decompor em frações parciais
F(s)=
A
(s + 3)
+
B
(s −4)
+
C
(5s −1)
calcular as constantes dos numeradores pelo método da
substituição:
[86s −78= A(s−4)(5 s−1)]s=−3 86(−3)−78= A[−3−4][5(−3)−1]
−258−78= A[−7][−16] −336=112 A A =
336
−112
ou A =−3 .
[86s −78= B(s+3)(5s−1)]s= 4 86(−4)−78=B[4+3][5(4)−1]
344−78=B[−7][19] 266= 133B B =
266
133
ou B =2 .
[86s −78=C(s+3)(s−4)]s=0,2 86(0,2)−78=C[0,2+3][0,2−4]
17,2−78=C[3,2][−3,8] −60,8=−12,16 C C=
60,8
12,16
ou C =5 .
F(s)=
−3
(s + 3)
+
2
(s −4)
+
5
(5s −1)
ou F(s)=
−3
(s + 3)
+
2
(s −4)
+
1
(s−0,2)
Da tabela de conversão, tiramos: F(s)=
1
(s + a)
⇔f (t)= K e−at
, então:
f (t)=−3 e−3 t
+ 2 e4 t
+ e0,5 t
.
Exemplo A.9.10: conversão com polos Reais distintos
Dado F(s)=
8s2
+ 30s + 30
(s + 1)(s + 2)(s + 3)
, decompor em frações parciais
46

F(s)=
A
(s + 1)
+
B
(s + 2)
+
C
(s + 3)
.
Calcular resíduos: A =[(s + 1) F(s)]s=−1
A =
[8s
2
+ 30s + 30
(s + 2)(s + 3) ]s =−1
A =
8(−1)2
+30(−1) +30
(−1 +2)(−1 +3)
A =
8 −30 + 30
(1)(2)
A =
8
2
ou
A =4 .
B =[(s + 2)F(s)]s=−2 B =
[8 s
2
+ 30 s +30
(s +1)(s +3) ]s=−2
B =
8(−2)2
+ 30(−2)+ 30
(−2+ 1)(−2+ 3)
B =
32−60 + 30
(−1)(1)
A =
−2
−1
ou B =2 .
C=[(s + 3)F(s)]s=−3 C =
[8s
2
+ 30s + 30
(s +1)(s+ 2) ]s=−3
C =
8(−3)
2
+ 30(−3)+ 30
(−3+ 1)(−3+ 2)
B =
72−90+ 30
(−2)(−1)
C=
12
2
ou C =6 .
Reescrever F(s)=
4
(s + 1)
+
2
(s + 2)
+
6
(s + 3)
e aplicar a transformada inversa com polo Real para
cada termo:
K
s +α
⇔ K e
−α t
u(t) f (t)=4 e
−t
+ 2 e
−2t
+ 6 e
−3 t
Exemplo A.9.11: conversão com dois polos complexos conjugados
Lembrar que neste caso, a função no domínio do tempo será uma sinusoidal amortecida.
Dada: F(s)=
2s +12
s
2
+ 2s +5
resolver a equação do 2° grau do denominador:
Δ=22
−[4.1.5] Δ= 4−[20] Δ=−16 √−16= j 4 solução imaginária.
As raízes complexas serão:
r1 =
−2+ j 4
2
r1 =−1+ j2
r1 =
−2− j 4
2
r1 =−1−j 2
Quando tivermos um par de polos complexos e conjugados, a decomposição será para a “soma de uma
função senoidal amortecida com uma função cossenoidal amortecida”.
Na forma fatorada, a equação de 2° grau é escrita como: a(s−r1)(s −r2) como neste caso a=1 ,
teremos: [s−(− 1+ j 2)][s −(−1− j 2)] ou [s + 1− j 2][s + 1 + j 2] e a função ficará:
47

F(s)=
2 s+ 12
[s + 1− j 2][s + 1 + j 2]
.
Operando o produto dos complexos do denominador, teremos:
[s + 1− j 2][s + 1 + j 2]=(s + 1)2
+ 22
pela propriedade dos números complexos
(a+bi)(a−bi)=a
2
+b
2
com (s + 1)=a .
Então o denominador assume a forma encontrada em tabela de conversão (s + 1)
2
+ 2
2
.
A manipulação do numerador consiste em colocar o termo (s + 1) em evidência, e para isso
vamos operar
2 s +12
(s + 1)
=2+ 10 e assim o numerador ficará 2(s+ 1)+ 10 . Agora
F(s)=
2s +12
s
2
+ 2s +5
=
2(s + 1) + 10
(s+ 1)
2
+ 2
2
ou, em termos de frações parciais:
F(s)=
2(s + 1)
(s + 1)
2
+ 2
2
+
10
(s +1)
2
+ 2
2
ou F(s)=
2(s + 1)
(s + 1)
2
+ 2
2
+ 5
2
(s + 1)
2
+ 2
2
.
A fatoração numerador 10 tem como objetivo isolar o número 2 , por ser igual à base do
termo 2
2
do denominador, a assim podermos adequar os termos das frações parciais com
modelos da tabela de conversão, conforme veremos a seguir:
O primeiro termo
(s + 1)
(s + 1)
2
+ 2
2
tem como correspondente na tabela a função cosseno amortecido:
f (t)=e
−α t
cos(ω t )⇔
s + a
(s + a)
2
+ω2
.
O segundo termo
2
(s + 1)
2
+ 2
2
tem como correspondente na tabela a função seno amortecido:
f (t)= e
−α t
sen(ω t)⇔ ω
(s + a)
2
+ ω2
. Nos dois casos, ω =2 e α =1 .
Como f (t)= ℒ
−1
[ F(s)] , então: f (t)=2 ℒ− 1
[ (s + 1)
(s + 1)2
+ 22
]+ 5 ℒ−1
[ 2
(s +1)2
+ 22
] ou
f (t)=2e
−t
cos2t + 5e
−t
sen2t para t ≥0 .
Exemplo A.9.12: conversão com dois polos complexos conjugados
Dada a expressão F(s)=
s +1
s(s
2
+ 2s + 2)
, achar a transformada inversa de Laplace.
O denominador já nos indica que teremos um polo Real igual a zero, referente à variável “s”, fora
do parêntesis e dois polos complexos da equação de 2° grau entre parêntesis.
48

Os polos, referentes à equação de 2° grau serão encontrados a seguir: Δ=2
2
−[4.1.2]
Δ= 4−[8] Δ=−4 √−4 = j 2 solução imaginária.
As raízes complexas (dois polos conjugados) serão:
r1 =
−2+ j 2
2
r1 =−1+ j
r2 =
−2−2 j
2
r2 =−1−j
teremos: [s−(−1+ j )][s−(−1− j )] [s + 1− j ][s + 1+ j] e a função ficará:
F(s)=
s + 1
s(s + 1− j)(s + 1+ j)
.
Neste ponto temos que decompor a expressão em frações parciais, e neste exemplo vamos utilizar o
método convencional para determinar os resíduos F(s)=
A
s
+
B
s+ 1− j
+
B∗
s + 1+ j
.
Cálculo dos resíduos:
A =[s F(s)]s= 0 =
[ s+ 1
(s
2
+ 2s + 2)]s=0
A =
[ 0 +1
(0
2
+ 2x 0+ 2)]s=0
A =
1
2
ou A =0,5 .
B =[(s + 1− j) F(s)]s=(−1+ j)≡
[ s +1
s(s + 1+ j)]s=(−1+ j)
B =
[ (−1+ j)+ 1
(−1+ j)[(−1 + j) +1 + j] ]
Eliminar os termos simétricos: ≡[ (−1+ j) + 1
(−1+ j)[(−1+ j) + 1+ j]] B =
[ j
(−1+ j)[ j + j]]
B =
[ j
2 j(−1 + j) ] B =
[ 1
2(−1 + j)] multiplicar a expressão pelo conjugado do
denominador: B =
[ 1
2(−1 + j)
x
(−1− j)
(−1− j)] (A.21) . Explicitando o produto dos dois complexos
dos denominadores:
(−1+ j)(−1− j)=[(−1)(−1)] +[(−1)(−j)]+ [ j(−1)] +[ j(− j)]
= [1] + [ j] − [ j] −[ j2
] como j
2
=−1 , teremos:
(−1+ j)(−1− j)=1−[−1] ou (−1+ j)(−1− j)=2 . E a expressão (A.21) ficará:
B =
(−1− j)
2(2)
B =
−1− j
4
B =−
1
4
− j
1
4
ou B =−0,25− j 0,25 e o seu
conjugado B
∗
=−0,25 + j 0,25 . Então F(s)=
0,5
s
+
(−0,25− j 0,25)
s +(1− j)
+
(−0,25+ j 0,25)
s +(1 + j)
.
Da tabela de conversão, tiramos:
49

Primeiro termo (degrau): F(s)=
K
s
⇔ f (t)=K ou F(s)=
K
s
⇔ f (t)=0,5
Segundo termo: F(s)=
K
(s + a)
⇔f (t)= K e
−at
F(s)=
(−0,25− j 0,25)
[s +(1− j)]
⇔f (t)=K e
−at
como α =(1− j) , teremos f (t)=(−0,25− j 0,25 )e
−1t
e
jt
.
Fórmula de Euler aplicada ao fator imaginário de uma exponencial complexa:
e
− jθ
jθ
=cosθ + j senθ .
Aplicar Euler no fator imaginário da exponencial f (t)=(−0,25− j 0,25 )e−t
[cos(t) + j sen(t)]
ou f (t)=e
−t
(−0,25− j 0,25 )[cos(t) + j sen(t)] aplicar distributiva
f (t)=e
−t
−0,25cos(t)− j 0,25sen(t)−j 0,25cos(t )−j 0,25∗ j sen(t) como (−j)( j)=1 ,
teremos f (t)=e
−t
−0,25cos(t)− j 0,25sen(t)−j 0,25cos(t ) +0,25 sen(t ) (A.25).
Terceiro termo: F(s)=
1
(s + a)
⇔f (t)= K e
−at
F(s)=
(−0,25 + j0,25)
[ s+ (1 + j)]
⇔f (t)= K e−at
como α =(1+ j) , teremos f (t)=(−0,25+ j 0,25)e−1t
e− jt
.
Aplicar Euler no fator imaginário da exponencial f (t)=(−0,25+ j 0,25)e
−t
[cos(t)− j sen(t)]
ou f (t)=e
−t
(−0,25+ j 0,25)[cos(t)− j sen(t)] aplicar distributiva
f (t)=e−t
[−0,25cos(t) + j 0,25sen(t)+ j 0,25cos(t) + j 0,25∗(−j) sen(t)] como
(−j)( j)=1 , teremos f (t)=e−t
[−0,25cos(t) + j 0,25sen(t)+ j 0,25cos(t) +0,25 sen(t)]
(A.26).
Operar algebricamente (A.25) com (A.26) :
f (t)=e−t
[−0,25cos(t)− j 0,25 sen(t )− j0,25cos(t) +0,25 sen(t)] (A.25).
f (t)=e
−t
[−0,25cos(t) + j 0,25sen(t)+ j 0,25cos(t) +0,25 sen(t)] (A.26).
f (t)=e
−t
[−0,5cos(t) +0,5 sen(t)] (A.27).
Finalmente basta juntar o primeiro termo
A
s
=0,5 com (A.27) :
f (t)=0,5−0,5 e
− t
[−sen(t) + cos(t )] ou
F(s)=
s +1
s(s2
+ 2s + 2)
⇔f (t )=0,5−0,5 e− t
[cos(t)−sen(t )] .
50

Exemplo A.9.13: conversão com dois polos complexos e conjugados
Achar a transformada inversa de Laplace F(s)=
100 s +300
s3
+ 12s2
+ 61 s+ 150
.
Inicialmente, fatorar numerador e denominador:
Numerador:
100 s +300
100
=(s + 3) , ou 100(s +3) .
Denominador:
Todos os termos são múltiplos de “s” (o último termo é 150s
0
) , portanto a incógnita “s” será
uma parcela do fator comum procurado, que terá a forma (s −r) , onde r =
p
q
, obtido com o
Teorema das Raízes Racionais: toma-se o coeficiente do primeiro termo an =1 , cujo divisor é
q=1 , e o último termo a0 =150 , cujos divisores são
p=[±(1;2;3;5;6;10;15;...150;)] .
Como na calculadora obtivemos r =−6 , vamos testar o resultado r =
p
q
=
(−6)
1
=−6 como
raiz de: s3
+ 12s2
+ 61s + 150=0
(−6)
3
+ 12(−6)
2
+ 61(−6) +150 =−216 + 432−366+ 150=−582 + 582=0 . O fator procurado,
será: [s−(−6)] ou (s + 6) . A fatoração do denominador é completada com a divisão
s3
+12s2
+ 61s + 150∣s + 6
−s3
−6s2
s2
+6 s + 25
6 s
2
+ 61s +150
−6s2
−36 s
25s + 150
−25 s−150
0
Então, o denominador fatorado, será (s + 6)(s2
+ 6s + 25) e a expressão dada é reescrita como:
F(s)=
100 (s + 3)
(s + 6)(s
2
+6 s + 25)
. Resolver a equação de 2° grau do denominador:
Δ=62
−[4 x 25] Δ=36−[100] Δ=−64 √Δ= j 8 solução imaginária.
Raízes da equação: r1 ,r2=
−6± j8
2
r1 =−3+ j 4 e r2 =−3− j 4 .
teremos: [s−(− 3+ j 4)][ s−(−3− j 4)] ou [s +(3− j 4)][s +(3 + j 4)] e a função ficará:
51

F(s)=
100 (s + 3)
(s + 6)(s + 3− j 4)(s +3 + j 4)
cuja decomposição, será:
F(s)=
A
(s + 6)
+
B
(s +3− j 4)
+
B∗
(s + 3 + j 4)
(A.28) Calcular os resíduos:
A =[(s + 6)F(s)]s=−6 A =
[ 100 (s +3)
(s
2
+6 s +25)]S=−6
A =
100 (−6 + 3)
(36−36+25)
A =
100 (−3)
25
A =
−300
25
ou A =−12 .
B =[(s + 3− j4)F(s)]s=−3+ j4 B =
[ 100 (s + 3)
(s + 6)(s +3 + j 4)]S=−3 + j4
B =
100 [(−3 + j 4) + 3]
[(−3+ j 4) +6][(−3 + j 4) + 3 + j 4]
simplificar B =
100 ( j 4)
(3 + j 4)( j8)
B =
400 j
(3 + j 4)( j8)
B =
50
3+ j 4
racionalizar B =
50(3−j 4)
3+ j 4(3−j 4)
como ( j)(−j)=1
B =
150− j200
9+ 16
B =
150− j200
25
ou B =6 −j 8 e B∗
= 6+ j 8 .
Na forma exponencial pode ser dado por: B =10e
− j53,13°
e B
∗
=10e
j 53,13 °
, onde:
Módulo r =√x ²+ y ² r =√6²+8² r =√36+64 r =√100 ou r =10 .
Argumento θ =tan−1
(y
x ) θ =tan−1
(8
6 ) θ =tan
−1
(1,33) ou θ =53,13°
Na forma polar: B =10∠−53,13° e B∗
=10∠53,13°
Agora podemos reescrever (A.28) como F(s)=
−12
(s + 6)
+
10∠−53,13°
(s + 3− j 4)
+
10∠53,13°
(s + 3 + j 4)
Transformada inversa do primeiro termo com polo Real:
K
s +α
⇔ K e
−α t
u(t)
Transformada inversa dos termos com polos Complexos e conjugados:
K
s +α − j β
+
K∗
s +α + j β
⇔ 2 K e−α t
cos(β t +θ )u(t) então:
f (t)=−12 e
−6 t
+ 20 e
−3t
cos(4t + 53,13°) .
Exemplo A.9.14 : representação de zeros e polos no plano complexo “s”:
52

F(s)=
4 s3
+ 28s2
+ 80s + 96
s4
+ 14 s3
+ 80s2
+ 192s
. Primeira fatoração F(s)=
4(s
3
+ 7s
2
+ 20s + 24)
s(s3
+ 14s2
+ 80 s +192)
.
Continuar fatorando os polinômios do numerador e do denominador, conforme metodologia do
exemplo A.9.11, e a expressão dada será reescrita como:
F(s)=
4(s +3)(s2
+ 4 s + 8)
s(s + 6)(s
2
+ 8 s +32)
.
Os passos seguintes servirão apenas para a análise de polos e zeros: como
no denominador aparecem polos complexos e conjugados, a definição dos
resíduos (frações parciais) será feita por outro método, conforme veremos
adiante.
Raízes da equação de 2° grau do denominador (s
2
+ 8 s +32) :
Δ= 82
−[4∗32] Δ=64−[128] Δ=−64 e √Δ= j 8 que
é uma raiz imaginária.
As raízes serão r1 =
−8 + j 8
2
ou r1 =−4 + j 4 e r2 =−4− j4 . Na forma fatorada, a equação
de 2° grau é escrita como: a(s−r1)(s −r2) como neste caso a=1 , teremos:
[s−(−4 + j 4)][s −(− 4− j 4)] ou (s + 4− j 4)(s + 4 + j 4) .
Finalmente temos o denominador totalmente fatorado: s(s +6)(s + 4 − j 4)(s + 4 + j 4) .
Raízes da equação de 2° grau do numerador (s
2
+ 4s + 8) :
Δ= 42
−[4∗8] Δ=16−[32] Δ=−16 e √Δ= j 4 que é uma raiz imaginária.
As raízes serão r1 =
−4 + j 4
2
ou r1 =−2 + j 2 e r2 =−2− j2 . Na forma fatorada, a equação
de 2° grau é escrita como: a(s−r1)(s −r2) como neste caso a=1 , teremos:
[s−(− 2+ j 2)][s −(−2− j 2)] ou (s + 2− j 2)(s + 2+ j 2) .
Finalmente temos o numerador totalmente fatorado: 4(s+ 3)(s + 2− j 2)(s + 2+ j 2) .
Agora teremos F(s)=
4(s + 3)(s + 2− j 2)(s +2 + j 2)
s(s + 6)(s+ 4− j 4)(s + 4 + j 4)
.
Análise de polos e zeros
Polos de F(s) : Reais(0);(−6) e Complexos(−4 + j 4);(−4− j 4) .
Zeros de F(s) : Real(−3) e Complexos(−2 + j2);(−2− j 2) .
Observar que polos e zeros são todos finitos e com as componentes Reais sempre negativas
σ ≤0 , o que implica que as transformadas inversas terão termos exponenciais decrescentes. Os
53

termos imaginários indicam que haverá funções periódicas conjugadas cos± sen ,
“envelopadas” por exponenciais decrescentes.
Prévia das transformadas inversas:
Polo Real (0) : corresponde ao primeiro fator do denominador “s”, cuja a transformada inversa
será uma função degrau F(s)= A
1
s
⇔ f (t) A(t) , onde “A” será definido no cálculo dos
resíduos.
Polo Real (−6) : corresponde ao segundo fator do denominador, cuja transformada inversa será
uma função exponencial F(s)=
B
(S + 6)
⇔ f (t)=B e−6t
, onde “B” será definido no
cálculo dos resíduos.
Decompor em frações parciais
Calcular os resíduos dos polos Reais pelo método convencional: usar o numerador expandido e o
denominador somente com fatores Reais:
A =[(s)∗F(s)]s= 0 A =
[4 s
3
+ 28s
2
+ 80s + 96
(s + 6)(s
2
+ 8s +32) ]S=0
A =
96
192
A =
1
2
.
B =[(s + 6)∗F(s)]s =−6 B =
[4s
3
+ 28s
2
+ 80 s + 96
(s)(s
2
+ 8s +32) ]S =−6
B =
[4(−6)
3
+28(−6)
2
+ 80(−6) + 96
(−6)((−6)2
+ 8(−6)+32) ]S =−6
B =
4(−216)+ 28(36)−480 + 96
(−6)(36−48 +32)
B =
−864 + 1.008 −384
(−6)(20)
B =
−240
−120
ou B =2 .
Calcular os resíduos dos polos Complexos:
Quando tivermos no problema um par de polos complexos e conjugados, teremos um circuito de
segunda ordem com resposta oscilatória subamortecida, com ω0 >α e frequência angular
amortecida (dumpped) : ωd =√(ωo
2
−α2
) rd/ s cujas raízes serão
r1 =−α + jω d rd/ s cujo conjugado será: r2 =−α − jωd rd /s .
Neste caso, as frações parciais podem ser obtidas por um método que nos leve a resolver os polos
complexos para um termo que represente a “soma de uma função senoidal amortecida com uma
função cossenoidal amortecida”, e resolva também os polos Reais.
O procedimento consiste em fatorar parcialmente o denominador, para evidenciar os termos Reais e
a equação de 2° grau, manter o numerador expandido e escrever todas as frações parciais, mas com
o termo complexo na forma
K ' s + K ' '
s2
+ bs + c
.
54

Assim, a partir de
4 s
3
+ 28 s
2
+ 80 s + 96
s(s + 6)(s
2
+ 8s + 32)
=
A
s
+
B
(s + 6)
+
(Cs+D)
(s
2
+ 8s + 32)
, multiplicar os dois
membros pelo denominador s(s +6)(s2
+ 8s + 32) .
4 s
3
+ 28s
2
+ 80s + 96 =[s(s + 6)(s
2
+ 8 s + 32)]
[A
s
+
B
(s +6)
+
(Cs +D)
(s
2
+ 8s + 32) ]
4 s3
+ 28s2
+ 80s + 96 = A(s + 6)(s2
+ 8 s + 32)+ B(s)(s2
+ 8 s +32)+ (Cs+D)(s)(s+ 6)
4 s3
+ 28s2
+ 80s + 96 = As3
+ 14 As2
+ 80 As +192 A + Bs3
+ 8Bs2
+ 32Bs+
Cs3
+ 6Cs2
+ Ds2
+ 6 Ds
Igualar coeficientes das variáveis de mesmo grau do primeiro membro com as do segundo membro:
[s
3
] → 4 = A + B + C
[s
2
] → 28=14 A + 8 B+ 6C + D
[s
1
] → 80= 80 A + 32B + 0+ 6 D
[s
0
] → 96= 192 A
Resolver os valores das constantes:
[s
0
] → 96=192 A → A =
96
192
ou A =
1
2
, idêntico ao resultado já obtido no início, com
o método da substituição.
[s
1
] → 80=80 A + 32B + 0+ 6 D → 80=80(0,5) + 32B+ 0 + 6 D
80=40 + 32B+ 0 + 6 D → 80−40= 32B + 0+ 6 D ou 40=32B + 0+ 6 D (A.26).
[s2
] → 28=14 A + 8 B+ 6C + D → 28=14(0,5) + 8B +6C + D
28=7+ 8 B+ 6C + D → 28−7=8B + 6C + D ou 21=8B + 6C + D (A-27).
Resolver sistema com (A.26) e (A.27):
40=32B + 0 + 6 D
21=8B + 6C + D
multiplicar segunda parcela por (−4) 40=32B + 0 + 6 D
−84=−32B−24C −4 D
−44 =0−24C+2 D 2D =−44 + 24C ou D =−22 +12C (A.28).
Substituindo (A.28) em (A.27) 21=8B + 6C + (−22+ 12C) 43= 8 B+ 18C (A.29).
[s3
] → 4 =0,5 + B + C ou 3,5= B + C (A.30).
Resolver sistema com (A.29) e (A.30):
43=8 B+ 18C
3,5=B + C
multiplicar segunda parcela por (−8) 43 = 8B + 18C
−28=−8 B−8C
15=10C
C=
15
10
ou C= 1,5 .
55

De (A.30) B =3,5−1,5 ou B =2 idêntico ao resultado já obtido no início, com o método
convencional.
De (A.28) D =−22 +12(1,5) D =−22 +18 ou D =−4 .
Colocar os valores dos resíduos e manipular a expressão de polos complexos para uma forma
compatível com a tabela de transformadas inversas, convertendo
(Cs +D)
(s
2
+ 8 s +32)
para
(Cs +D)
(s + α )
2
+ωd
2
.
Anteriormente já vimos a técnica de fatoração da equação de 2° grau do denominador, aplicando o
produto das raízes complexas. Agora vamos utilizar outro método, que é chamado de “completar o
quadrado”:
Dada a expressão as
2
+ bs + c , com a=1 , ou s
2
+ bs + c (A.40) é útil expressá-la como
(s+α )2
+ω2
(A.41), que é um termo muito ocorrente nas tabelas de transformação de Laplace.
Igualando as duas expressões e expandindo o quadrado perfeito do segundo membro:
s
2
+ bs + c =(s +α )
2
+ω2
s
2
+ bs + c =s
2
+ 2α s +α 2
+ω2
. Igualando os coeficientes da
mesma potência:
[s2
] → 1=1 [s1
] → b =2α [s0
] → c=α 2
+ω2
ou α =
b
2
e
ω2
=c −α2
Completar o quadrado de s
2
+ 8 s +32 α =
8
2
ou α =4 ; ω2
=32−4
2
ω2
=32−16 ou ω2
= 16 , com ω =4 . Então s
2
+ 8 s +32=(s + 4) +16 .
Assim teremos
4 s
3
+ 28 s
2
+ 80 s + 96
s(s + 6)(s
2
+ 8s + 32)
=
1
2
s +
2
(s + 6)
+
(
3
2
s − 4)
(s + 4)
2
+ 4
2
.
A transformada inversa dos termos Reais será com as expressões:
F(s)= A
1
s
⇔ f (t) A(t) ou f (t)=
1
2
(t) .
F(s)=
B
(S + 6)
⇔ f (t)=B e−6t
ou f (t)=2 e−6 t
.
O termo complexo será manipulado para a forma
56

(Cs +D)
(s + α )
2
+ωd
2
⇒ e−α t
{C cos(ωd t)+[D −α C
ωd
]sen(ωd t)} , onde falta calcular o coeficiente
do seno:
−4−
[4∗(3
2)]
4
=−
5
2
. f (f )=
3
2
e−4 t cos(4 t)−
5
2
e−4 t sen(4 t)
Resposta f (t)=
1
2
(t)+ 2 e
−6t
+
3
2
e
−4t
cos(4 t)−
5
2
e
−4t
sen(4t) .
TEOREMAS DE LAPLACE
Deslocamento no domínio do tempo
Notação de sinais no tempo: Considerando t =0 como referência, sempre que anotarmos vários
sinais de um mesmo sistema:
• Sinal que inicia em “b”, no lado negativo do eixo “t”, portanto antes do instante de
referência, está adiantado e é anotado como (t + b) .
• Sinal que inicia em “a”, no lado positivo do eixo “t”, portanto depois do instante de
referência, está adiantado e é anotado como (t −a) .
Uma função qualquer multiplicada pela função degrau unitário é dada por f (t) u(t ) . Se essa
função tiver um deslocamento temporal α , sua representação será: f (t −α ) u(t −α ) e sua
correspondente no domínio da frequência, será f (t −α ) u(t −α )≡e
−α s
F(s) para α > 0 e
t≥0 .Se aplicarmos Laplace nessa função ℒ [u(t)]=
1
s
a mesma operação para a função
deslocada, será: ℒ [(t −α)u(t −α )]=e−α s 1
s
o que é válido para qualquer função.
Deslocamento no domínio da frequência
57

ℒ [e−α s
f (t)]= F(s +α ) ou seja, trocar o domínio F(s) por F(s +α ) .
Como ℒ {senω t }=
ω
s
2
+ω2
, ℒ {e−α s
senω t}=
ω
(s + α)
2
+ω2
e também
ℒ {cosω t}=
s
s
2
+ ω2
, ℒ {e
−α s
senω t}=
(s +α )
(s + α)
2
+ω2
.
Mudança na escala do tempo f(t)
Expansão: f (tα )=
1
α
F( s
α ) , com
α > 0
Se ℒ {cos t}=
s
s
2
+ 1
então
ℒ {cosω t}=
1
ω
[
s
ω
( s
ω )
2
+ 1]
ℒ {cosω t}=
[
s
ω
s
2
ω + ω ] multiplicar por
ω : ℒ {cosω t}=
s
s
2
+ ω2
Exemplo: ℒ {cos2 t }=
s
s
2
+ 4
Compressão: f (
t
α
)=α F(α s) , com α > 0 .
f =500 Hz → t =0,002 s ou g(2∗0,002)=250 Hz
Se ℒ {cos t}=
s
s
2
+ 1
então ℒ {cos
t
ω }=ω F(ω s)=ω
[ ω s
(ω s)2
+ 1] ou
ℒ {cos
t
ω }=
[ ω2
s
(ω2
s
2
) + 1] Exemplo: ℒ {cos
t
2
}=
[ 4 s
4 s
2
+ 1]
Teorema do valor final
58

É utilizado para avaliar o comportamento de uma função no domínio do tempo, em regime
estacionário, quando t →∞ , a partir de sua transformada no domínio da frequência, quando
s→0 . Só é válido se os polos no domínio “s” forem Reais negativos, ou Complexos com
σ < 0 , o que significa que ocorrem no semiplano esquerdo de “s”.
lim
t→∞
f (t)=lim
s→0
+
sF(s) .
Exemplo: dada F(s)=
50(s + 3)
(s + 1)(s + 2)
com ℒ−
F(s)= f (t)=100e−t
−50e−2 t
Achar o valor final lim
t →∞
f (t)=lim
s→0
+
s
[ 50(s +3)
(s + 1)(s + 2)] =lim
s→0
+ [50 s
2
+3 s
s
2
+3 s + 2] =lim
s→0
+ [0
2 ] ou
lim
t→∞
f (t)=0
Teorema do valor inicial
É utilizado para avaliar o comportamento de uma função no domínio do tempo quando t =0
+
, a
partir de sua transformada no domínio da frequência, quando s→∞ . É válido para qualquer tipo
de polo.
lim
t→0
+
f (t)=lim
s→∞
sF(s) .
Exemplo: mesma expressão do caso anterior.
Achar o valor inicial lim
t→ 0
+
f (t)=lim
s→ ∞
s[ 50(s +3)
(s + 1)(s + 2)]
=lim
s→∞ [50 s2
+3 s
s2
+3 s + 2] ou =lim
s→∞ [∞
∞ ] que é uma indeterminação. Aplicar L’Hôpital:
Derivar o numerador
d
ds
50s
2
+ 3s =100 s + 3 . Derivar o denominador
d
ds
s
2
+ 3 s +2=2s + 3 então =lim
s→∞
100s + 3
2s + 3
=
∞
∞
. Como ainda há indeterminação, aplicar
novamente L’Hôpital: derivar o numerador
d
ds
100s2
+ 3=100 . Derivar o denominador
d
ds
2s + 3=2 então =lim
s→∞
100
2
=50 ou lim
t→ 0
+
f (t)=50 .
Exemplo A.9.13:
A figura (A - 42) representa uma função contínua e finita na saída de um sistema, com duração de
12 segundos, na forma de uma onda triangular simétrica, com amplitudes de pico de ±12 unidades.
59

Essa função é o resultado do “chaveamento sequencial” de três rampas simétricas e disponíveis na
entrada do sistema, utilizando-se a função degrau unitário H (t) para fazer o chaveamento.
Pedem-se:
a)- determinar f (t) que represente a figura ao lado, e em seguida, aplicar a transformada de
Laplace.
b)- Aplicar a derivada primeira na função da resposta (a), mostrar seu gráfico e aplicar a
transformada de Laplace.
c)- Aplicar a derivada segunda na função da resposta (a), mostrar seu gráfico e aplicar a
transformada de Laplace.
Resposta (a) – definir a função resultante, com a
soma das três “janelas de amostragem”.
Primeiro segmento:
Intervalo da “janela de amostragem”:
0 s≤t ≤3 s .
Expressão da “janela de amostragem” com a função
rampa:
f (t)=(±Kt ± y)[H (t−a)−H (t−b)] (A.18),
onde a função rampa é dada pela expressão (A.13)
f (t)=±Kt ± y .
Cálculo da constante de inclinação (A.15) :
K =
f (3)−f (0)
3−0
K =
−12−0
3
ou
K =−4 .
Pela simetria do gráfico deduzimos que a constante de inclinação terá o mesmo valor absoluto para
os três segmentos, mudando apenas os sinais algébricos.
Ordenada de interceptação da rampa com o eixo “y” com a expressão (A.14) y =f (t)−(±Kt)
y = f (3)−[(−4)∗3] y =−12+12 y =0 .
Rampa descendente f (t)=−4t .
A expressão fatorada, da primeira “janela de amostragem”, será:
f (t)=(−4 t)[H(t − 0)−H (t −3)] .
Segundo segmento:
Intervalo da “janela de amostragem”: 3 s≤t ≤9 s .
Componentes da função rampa:
60

Constante de inclinação : K =
f (9)− f (3)
9−3
K =
12−(−12)
6
K =
24
6
ou K =4 .
Ordenada de interceptação da rampa com o eixo “y”.
y =f (9)−[(4)∗9] y =12−36 y =−24 .
Rampa ascendente f (t)=4t −24 .
A expressão fatorada, da segunda “janela de amostragem”, será:
f (t)=(4 t −24)[ H(t−3)−H (t −9)] .
Terceiro segmento:
Intervalo da “janela de amostragem”: 9 s≤t ≤12 s .
Componentes da função rampa:
Constante de inclinação: K =
f (12)−f (9)
12−9
K =
0−(12)
3
K =
−12
3
ou K =−4 .
Ordenada de interceptação da rampa com o eixo “y”.
y =f (9)−[(−4)12] y =12 +48 y =60 .
Rampa descendente f (t)=−4t+60 .
A expressão fatorada, da terceira “janela de amostragem”, será:
f (t)=(−4 t + 60)[ H (t−9)−H(t −12)] .
Manipulações algébricas para aplicar a transformada de Laplace:
Expressão geral fatorada:
f (t)=(−4 t)[H (t)−H (t −3)] +(4t −24)[ H (t−3)−H (t −9)]
+(−4t + 60)[H (t−9)−H (t −12)]
.
Expressões expandidas de cada “janela”, para simplificação da expressão geral:
Primeira: f (t)=−4t H (t)+4t H (t −3) .
Segunda: f (t)=4t H (t−3)−4t H (t −9)−24 H (t −3) + 24 H (t −9) .
Terceira f (t)=−4t H (t −9)+ 4t H (t −12) +60H (t −9)−60 H (t −12) .
Eliminar os termos com coeficientes opostos: −24 + 24=0 e 60−60=0 .
Somar algebricamente os termos semelhantes:
f (t)=−4t H (t)+8t H(t −3)−8t H (t −9)+ 4t H (t −12) .
61

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