O documento apresenta os principais conceitos sobre matrizes, incluindo: (1) definição de matriz e exemplos de diferentes tipos; (2) operações básicas como adição, subtração e multiplicação; (3) conceito de matriz inversa.
1. OTÁVIO LUCIANO CAMARGO SALES DE MAGALHÃES 1
FACULDADE DA FUNDAÇÃO DE ENSINO DE MOCOCA
MOCOCA – SP
ÁLGEBRA LINEAR – 3º PERÍODO – CIÊNCIA DA
COMPUTAÇÃO
Prof. Mestre Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães
professor.otavio@yahoo.com.br
CAPÍTULO 2 – MATRIZES
1. CONCEITOS
Matriz
Matriz é um conjunto de números disposto em tabelas com m linhas e n colunas. É
um modelo abstrato que serve para resolução de sistemas lineares.
Exemplos:
A=(
√
) B=[ ] C=[ ] D=( )
E=[ ] F=(
√
) G=( ) H=[ ]
As matrizes possuem m linhas e n colunas, ou seja, as matrizes são 2x3 (A), 3x3 (B), 3x3 (C), 4x4
(D), 3x5 (E), 4x2 (F), 1x3 (G) e 3x1 (H).
Fonte: Wikipédia
Tanto faz usar parênteses, colchetes, parênteses duplos, etc.... Apenas não use barras horizontais
similares ao de módulo, pois elas são utilizadas para determinantes, que veremos no próximo capítulo.
Para referir a um elemento da linha i e coluna j, temos o elemento que chamamos de aij. Não
podemos usar m e n, pois esses valores são usados para o número de linhas e colunas.
OBSERVAÇÃO
Ainda que incomum, é correto o uso do símbolo barras duplas para representar uma matriz:
‖ ‖
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As matrizes B, C e D possuem o mesmo número de linhas e colunas então são chamadas de
matrizes quadradas, no caso, de ordem 2, 3 e 4:
B=[ ] C=[ ] D=( )
As matrizes G e H são chamadas de matriz linha e matriz coluna, por ter 1 linha e 1 coluna
respectivamente.
G=( ) H=[ ]
Uma matriz é um vetor com disposições peculiares. Uma matriz m x n é uma ‘espécie’ de vetor no
IRm x n
. Não entraremos em detalhes específicos.
Matrizes Quadradas
Vimos anteriormente que sistemas com ‘n’ variáveis precisam de ‘n’ equações. Também falamos
que as matrizes são modelos abstratos para resolução de sistemas. Ora, não é complicado dizer que uma
matriz quadrada de ordem n é uma modelação de sistemas lineares, e, por isso, são interessantes.
Um conceito utilizado em matrizes quadradas é o de diagonal. Os desenhos do site Brasil Escolar
deixam claro, sem maiores definições o que é uma diagonal de uma matriz.
Quando falarmos em diagonal simplesmente, estamos nos referindo à diagonal principal.
Note que os elementos da diagonal principal são os aij com i=j, i.e., a11, a22, a33, ..., ann.
Uma matriz que todos os elementos que não estão na diagonal principal são zeros é chamada de
matriz diagonal. Exemplos:
[ ] [ ]
Chamamos de matriz identidade ou matriz unidade, as matrizes diagonais cujos elementos da
diagonal são todos 1. É um tipo muito especial e importante de matriz.
3. OTÁVIO LUCIANO CAMARGO SALES DE MAGALHÃES 3
I2=[ ] I3=[ ] I4[ ]
Vamos utilizar apenas I2, I3, I4, I5, ..., In para as matrizes identidades de ordem 2, 3, 4, 5, etc.
Observação
É possível se falar em matriz quadrada de ordem 1, ou seja, a matriz 1x1. Ex: [3]. É estranho, mas
é válido!
Matriz Oposta
Um conceito útil é a matriz oposta, onde todo aij é substituído -aij
A=(
√
) -A=(
√
)
Matriz Transposta
Seja a matriz m x n, a transposta At
é a matriz n x m, onde se invertem as linhas e as diagonais.
Por exemplo:
A=(
√
) At
=
(
√
)
D=( ) Dt
=( )
Na matriz transporta trocamos todos os aij por aji, evidentemente, manter-se-ão os elementos da
diagonal principal, onde i=j.
2. OPERAÇÕES COM MATRIZES
Adição e Subtração
A+B=(aij+bij)mxn em que 1<i<m e 1<j<n
Exemplo
( ) ( ) (
( )
)=( )
Só é possível efetuar a adição de matrizes se ambas possuem a mesma quantidade de linhas e
colunas. Ou seja, só dá pra somar uma matriz n x m com outra n x m.
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A subtração é a soma da matriz com a oposta da outra. A-B=A+(-B). Basta efetuar as subtrações
membro a membro
( ) ( )=(
( )
( )) ( )
Multiplicação por escalar
Se k é um número real, A matriz, kA=(kaij)mxn em que 1<i<m e 1<j<n.
Exemplo
5x[ ⁄ ]=[ ]
A multiplicação por escalar pode ser feita em qualquer direção. Veja
( )x2=( )
Multiplicação de Matrizes
Para multiplicar matrizes faz-se a multiplicação de cada linha da matriz do 1º fator por cada coluna
da matriz do 2º fator, colocando o resultado da multiplicação da i-ézima linha da primeira matriz pela j-
ézima coluna da segunda matriz no elemento aij. Esse produto é o que estudamos no ano passado (Prof.
Kiihl) em Geometria Analítica e se chamada de produto interno entre vetores.
Falando é bem complicado. Pior ainda é falar das restrições: o número de colunas da primeira
matriz precisa ser igual ao número de linhas da segunda coluna. Ou seja, se a primeira matriz é m x n e a
segunda m’
x n’
, é obrigatório que n=m’
. Afirmação complexa, que é intuitiva na prática (ou seja, você não
precisa pensar nisso para fazer o produto, que automaticamente será inviável se não cumprir esse
quesito).
Veja alguns exemplos ilustrados retirados de inúmeros sites:
Exemplo 1
Fonte: http://www.essaseoutras.com.br/wp-content/uploads/2012/04/multiplicacao-matrizes.jpg
7. OTÁVIO LUCIANO CAMARGO SALES DE MAGALHÃES 7
Exemplo 7
Fonte: http://diegodonah.files.wordpress.com/2009/11/fig3.gif?w=660
Exemplo 8
Fonte: http://seusaber.com.br/wp-content/uploads/2013/01/exemplo-multiplicacao-matrizes.png
APLICAÇÕES DO PRODUTO DE MATRIZES
Veja uma aplicação da Multiplicação de Matrizes no cotidiano no link:
http://educacao.uol.com.br/matematica/multiplicacao-de-matrizes-problema-resolvido.jhtm
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VÍDEOS NO YOUTUBE QUE ENSINAM A MULTIPLICAR MATRIZES
Veja vídeos no Youtube sobre Multiplicação de Matrizes
http://www.youtube.com/watch?v=4cgHNvfMICg
http://www.youtube.com/watch?v=rk-yocwSq60
http://www.youtube.com/watch?v=V2LRnz54-dQ
http://www.youtube.com/watch?v=qqqUx4UWXtM
http://www.youtube.com/watch?v=UlL1Xl_prO8
http://www.youtube.com/watch?v=RsFn3FFgHq0
http://www.youtube.com/watch?v=WRZcwm6h4Mc
http://www.youtube.com/watch?v=jBJTRCTvOI8
http://www.youtube.com/watch?v=BEQjaqaBxTg
Assistam aos vídeos para aprender como se efetua o produto de matrizes
Vejam vários vídeos e escolham a melhor explicação
Não esqueçam de falar para seus filhos, irmãos e conhecidos jovens que a Internet é uma gigante
biblioteca de aprendizado e conhecimento. Ainda que ela sirva para jogos, fazer amigos, vender e comprar
coisas, ela também serve para aprender!
Não Validade da Propriedade Comutativa da Multiplicação de Matrizes
Vamos mostrar isso com exemplo, sem preocupar com rigor matemático (o objetivo agora é o
aprendizado)
Exemplo:
A= e B=
AxB= x =
BxA= x =
Note que as respostas são diferentes, logo A e B não são comutativas.
Observação
1) Toda matriz quadrada de ordem n ao ser multiplicada pela matriz identidade de mesma ordem, dá
o mesmo resultado que a operação invertendo os fatores. Ou seja A.In=In.A para qualquer matriz
quadrada A de ordem n.
2) Existem matrizes A e B onde vale A.B=B.A,são chamdas de matrizes comutáveis.
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Faça outros testes na calculadora online do Prof Cardy:
http://www.profcardy.com/calculadoras/aplicativos.php?calc=20
Aplicação do Produto de Matrizes (Retirado de [2])
Pesquise em um supermercado, em um sacolão e em uma mercearia os preços dos seguintes
produtos: uma dúzia de ovos, um quilo de laranjas e um quilo de batatas. Suponde que você queira formar
duas cestas básicas, a primeira contendo 2 dz. de ovos, 5 kg de laranja e 3 kg de batatas, e a segunda
contendo 6 dz. de ovos, 2 kg de laranjas e 4 kg de batatas, estime quanto você vai gastar em cada
estabelecimento para fazer cada uma das cestas básicas. Traduza seus cálculos para a forma de
matrizes.
Vamos supor que encontramos os seguintes valores:
A composição de cada uma das cestas básicas é dada pela seguinte tabela:
Para determinar o custo de cada cesta em cada estabelecimento, devemos construir uma outra
tabela, a saber, de estabelecimentos por cestas (esta tabela conterá 6 elementos). Para calcular o custo
da cesta A no supermercado, basta multiplicar os elementos da primeira linha da Tabela I (preços dos
produtos no supermercado) pelos elementos correspondentes da primeira coluna da Tabela II (quantidade
necessária de cada produto), e então somar os 3 últimos números encontrados.
1,50.2+0,50.5+0,80.3=7,90
Da mesma forma, para calcularmos o custo da cesta B na mercadoria, devemos somar os três
números obtidos pela multiplicação dos elementos da terceira linha da Tabela I com os elementos
correspondentes da segunda coluna da Tabela II:
2,00.6+1,00.2+1,50.4=20,00
Seguindo esse raciocínio, obtemos a Tabela abaixo contendo o custo de cada cesta em cada
estabelecimento:
Traduzindo para o vocabulário de matrizes, se P é a matriz de preços
e C é a matriz de cestas básicas
então a matriz PC, que representa a matriz de custos, é dada por:
ou seja, a matriz PC é o produto da matriz P pela matriz C.
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3. MATRIZ INVERSA
É um tipo muito importante de matriz, que nos será útil no decorrer do curso.
Uma matriz quadrada A de ordem n é invertível quando existe uma outra matriz A-1
, tal que
A.A-1
=In,
sendo In a matriz identidade.
Nem toda matriz é invertível.
Cálculo da Matriz Inversa.
Ache a inversa de A= ( )
Resolução: ( ) ( ) ( )
( )=( )
Temos dois sistemas:
{ {
Resolvendo o sistema { por adição, o transformamos em { , logo 11b=1, b= , e,
como a=4b, então a= .
Idem para{ , transformamos em { e temos 11d=2, d= , e, como 3d=-2c, temos
que -2c= , logo c= .
Logo A-1
= ( )
4. DEFINIÇÃO MATEMÁTICA DE MATRIZ
Definição:
Matriz é um conjunto de números reais (ou complexos) dispostos em forma de tabela, isto é,
distribuídos em m linhas e n colunas, sendo m e n números naturais não nulos.
A=[ ]
Notação: A=(aij)mxn com i=1,2,..., m e j=1,2,..., n.
aij – elemento genérico da matriz A
i – índice que representa a linha do elemento aij
j – índice que representa a linha do elemento aij
m x n – ordem da matriz. Lê-se “m por n”.
Se eu digo que uma matriz A=(aij)2x3 é definida por aij=i+j2
, temos que a matriz é:
( )
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5. OUTROS CONCEITOS
Matriz Nula – é a matriz que todos elementos são zero. A notação é Omxn ou On para matrizes quadradas.
Exemplo:
O3=[ ]
Matriz Triangular Superior – é a matriz quadrada onde todos elementos abaixo da diagonal principal são
zero.
Exemplo:
[ ]
Matriz Triangular Inferior – é a matriz quadrada onde todos elementos acima da diagonal principal são
zero.
Exemplo:
[ ]
Matriz Simétrica – é a matriz quadrada onde A=At
Exemplo:
[ ]
Matriz Anti-Simétrica – é a matriz quadrada onde A=-At
[ ]
Traço – é a soma dos elementos da diagonal principal.
A= [ ], então trA=3+(-2)+4+5=10
Matriz Idempotente – é a matriz onde A2
=A.
Exemplo:
[ ] (Verifique!)
Matriz Normal – é aquela onde A.At
=At
.A
Exemplo:
( ) (Verifique!)
Matriz Ortogonal – é aquela onde A-1
=At
Exemplo:
( ) (Verifique!)
12. OTÁVIO LUCIANO CAMARGO SALES DE MAGALHÃES 12
SITES PARA VOCÊS APRENDEREM MATRIZES
[1] http://www.mct.uminho.pt/disciplinas/alb_com_mec/alb_cap1_i.pdf
[2] http://www.cadtec.dees.ufmg.br/NucleoEAD/Forum/Arquivos/matrizedeterminantes%5B1%5D.pdf
[3] http://www.ime.uerj.br/ensinoepesquisa/livros/Apostila_AlgLinI_2012.pdf
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FACULDADE DA FUNDAÇÃO DE ENSINO DE MOCOCA
MOCOCA – SP
ÁLGEBRA LINEAR – 3º PERÍODO – CIÊNCIA DA
COMPUTAÇÃO
Prof. Mestre Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães
professor.otavio@yahoo.com.br
CAPÍTULO 2 – MATRIZES
1. CONCEITOS
Matriz
Matriz é um conjunto de números disposto em tabelas com m linhas e n colunas. É
um modelo abstrato que serve para resolução de sistemas lineares.
Exemplos:
A=(
√
) B=[ ] C=[ ] D=( )
E=[ ] F=(
√
) G=( ) H=[ ]
As matrizes possuem m linhas e n colunas, ou seja, as matrizes são 2x3 (A), 3x3 (B), 3x3 (C), 4x4
(D), 3x5 (E), 4x2 (F), 1x3 (G) e 3x1 (H).
Fonte: Wikipédia
Tanto faz usar parênteses, colchetes, parênteses duplos, etc.... Apenas não use barras horizontais
similares ao de módulo, pois elas são utilizadas para determinantes, que veremos no próximo capítulo.
Para referir a um elemento da linha i e coluna j, temos o elemento que chamamos de aij. Não
podemos usar m e n, pois esses valores são usados para o número de linhas e colunas.
OBSERVAÇÃO
Ainda que incomum, é correto o uso do símbolo barras duplas para representar uma matriz:
‖ ‖](https://image.slidesharecdn.com/matrizes-160420144747/85/Matrizes-1-320.jpg)
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As matrizes B, C e D possuem o mesmo número de linhas e colunas então são chamadas de
matrizes quadradas, no caso, de ordem 2, 3 e 4:
B=[ ] C=[ ] D=( )
As matrizes G e H são chamadas de matriz linha e matriz coluna, por ter 1 linha e 1 coluna
respectivamente.
G=( ) H=[ ]
Uma matriz é um vetor com disposições peculiares. Uma matriz m x n é uma ‘espécie’ de vetor no
IRm x n
. Não entraremos em detalhes específicos.
Matrizes Quadradas
Vimos anteriormente que sistemas com ‘n’ variáveis precisam de ‘n’ equações. Também falamos
que as matrizes são modelos abstratos para resolução de sistemas. Ora, não é complicado dizer que uma
matriz quadrada de ordem n é uma modelação de sistemas lineares, e, por isso, são interessantes.
Um conceito utilizado em matrizes quadradas é o de diagonal. Os desenhos do site Brasil Escolar
deixam claro, sem maiores definições o que é uma diagonal de uma matriz.
Quando falarmos em diagonal simplesmente, estamos nos referindo à diagonal principal.
Note que os elementos da diagonal principal são os aij com i=j, i.e., a11, a22, a33, ..., ann.
Uma matriz que todos os elementos que não estão na diagonal principal são zeros é chamada de
matriz diagonal. Exemplos:
[ ] [ ]
Chamamos de matriz identidade ou matriz unidade, as matrizes diagonais cujos elementos da
diagonal são todos 1. É um tipo muito especial e importante de matriz.](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)