matrizes (operações) exercíciosNesse artigo será abordado operações com matrizes, tipos de matrizes e algunsexercicios de ...
Observe os exemplos seguintes para melhor compreensão.Exemplo: Dadas as matrizes abaixo, efetue A + B.Solução: Temos que:S...
Onde L1C1 é o produto escalar dos elementos da linha 1 da 1ª matriz peloselementos da coluna1 da segunda matriz, obtido da...
Para que seja uma matriz identidade uma matriz tem que ser quadrada do tipo:2x2 , 3x3, 4x4, etc. e os elementos da diagona...
Portanto, concluímos que as matrizes A e B são inversas entre si.Exercícios Matrizes1) Multiplicando-se uma matriz 3 x 4 p...
7) Caso exista, encontre a inversa da matrizGabarito:1) 3 x 5 2) x = - a ou x = 0 3) - 360 4) x = 5 y = - 4 t = 1 z = 6 5)...
Próximos SlideShares
Carregando em…5
×

Matrizes

3.474 visualizações

Publicada em

0 comentários
2 gostaram
Estatísticas
Notas
  • Seja o primeiro a comentar

Sem downloads
Visualizações
Visualizações totais
3.474
No SlideShare
0
A partir de incorporações
0
Número de incorporações
2
Ações
Compartilhamentos
0
Downloads
48
Comentários
0
Gostaram
2
Incorporações 0
Nenhuma incorporação

Nenhuma nota no slide

Matrizes

  1. 1. matrizes (operações) exercíciosNesse artigo será abordado operações com matrizes, tipos de matrizes e algunsexercicios de vestibulares passados para fixação da matéria e preparação para ovestibular.MatrizesAs matrizes são estruturas matemáticas organizadas na forma de tabela comlinhas e colunas, utilizadas na organização de dados e informações e dispostos emm linhas e n colunas., matriz de ordem 3 x 1. (3 linhas e 1 coluna)., matriz de ordem 3 x 3. (3 linhas e 3 colunas)., matriz de ordem 4 x 2. (4 linhas e 2 colunas)Transposta de uma matriz A : é a matriz Atobtida de A permutando-se aslinhas pelas colunas e vice-versa.Exemplo:A matriz Até a matriz transposta da matriz A .Adição de matrizesEsta operação só pode ser feita com matrizes de mesmo número de linhas e mesmo númerode colunas (mesma ordem). A soma dessas matrizes irá resultar em outra matriz quetambém terá o mesmo número de linhas e de colunas.Os termos deverão ser somados com os seus termos correspondentes.Concluímos que:Dada duas matrizes, A e B, as duas de ordem m x n. Então, A + B = C, comC de ordem m x n ↔ a11 + b11 = c11.
  2. 2. Observe os exemplos seguintes para melhor compreensão.Exemplo: Dadas as matrizes abaixo, efetue A + B.Solução: Temos que:Subtração de matrizesDadas duas matrizes de mesmo tipo, A e B, denomina-se matriz diferença (A-B) a matrizobtida subtraindo-se os elementos correspondentes de A e B. As matrizes subtraídasdevem ter a mesma ordem (mesmo número de linhas e colunas) e a matriz obtidacom a subtração (matriz diferença) também deve ter o mesmo número de linhas ecolunas que as matrizes subtraídas.Concluímos que:Dada duas matrizes, A e B, as duas de ordem m x n. Então A – B = C deordem m x n ↔ a11 – a11 = c11Exemplo: Considerando as matrizes abaixo, efetue A – B.Solução: Temos que:Produto das matrizesDada uma matriz A = (aij)mxn e um número real k, denomina-se matriz produto donumero real K por A, a matriz obtida multiplicando-se cada um dos seus elementospor k.Em outras palavras, cada elemento de C é calculado multiplicando-seordenadamente os elementos da linha i da matriz A pelos elementoscorrespondentes da coluna j da matriz B e , a seguir, somando-se os produtosobtidos. Veja abaixo:Vamos mostrar o produto de matrizes com um exemplo:
  3. 3. Onde L1C1 é o produto escalar dos elementos da linha 1 da 1ª matriz peloselementos da coluna1 da segunda matriz, obtido da seguinte forma:L1C1 = 3.2 + 1.7 = 13. Analogamente, teríamos para os outros elementos:L1C2 = 3.0 + 1.5 = 5L1C3 = 3.3 + 1.8 = 17L2C1 = 2.2 + 0.7 = 4L2C2 = 2.0 + 0.5 = 0L2C3 = 2.3 + 0.8 = 6L3C1 = 4.2 + 6.7 = 50L3C2 = 4.0 + 6.5 = 30L3C3 = 4.3 + 6.8 = 60, e, portanto, a matriz produto será igual a:O produto entre duas matrizes A e B é definido se , e somente se, o número de colunas damatriz A for igual ao numero de linhas da matriz B. Assim:MATRIZ QUADRADAÉ A MATRIZ CUJO NÚMERO DE LINHAS É IGUAL AO DE COLUNAS.PORTANTO, SE AM×N É QUADRADA, M = N. EXEMPLO:QUANDO A MATRIZ É QUADRADA NELA PODEMOS PERCEBER A PRESENÇA DEUMA DIAGONAL SECUNDÁRIA E UMA DIAGONAL PRINCIPAL.MATRIZ IDENTIDADE
  4. 4. Para que seja uma matriz identidade uma matriz tem que ser quadrada do tipo:2x2 , 3x3, 4x4, etc. e os elementos da diagonal principal devem ser iguais a 1 eos outros elementos iguais a 0.Exemplo:Matriz diagonalPara que seja uma matriz diagonal uma matriz tem que ser quadrada do tipo:2x2, 3x3, 4x4, etc. e os elementos que não são da digonal principal devem seriguais a zero.Matriz inversaConsidere uma matriz quadrada A de ordem n. Se existir uma matriz quadrada B, damesma ordem, tal que: AB = In sendo In a matriz identidade, ou seja, uma matriz teráuma matriz inversa se for quadrada e se o produto das duas matrizes for igual a umamatriz identidade quadrada de mesma ordem das outras.Então a matriz B será chamada inversa da matriz A, sendo indicada por A(-1). Nessecaso dizemos que a matriz é inversível. Se não existir a matriz B, dizemos que a matriz A não tem inversa, ou seja, não éinversível. Se a matriz inversa existir, ela é única.Exemplo:Determinar, se existir, a inversa da matriz A =e B= são inversas entresi.Para que seja verdade o produto de G . K = I3
  5. 5. Portanto, concluímos que as matrizes A e B são inversas entre si.Exercícios Matrizes1) Multiplicando-se uma matriz 3 x 4 por uma matriz 4 x 5 obtém-se uma matriz deque tipo?a a2) (UNICAMP) Supondo a ≠ 0, determine x tal que A² = 0, onde A é a matriz A= (x x ).3) Na matriz B = (bij)3x3, onde bij = -2, se i < j , calcule a12*a22*a32.5i, se i = j3ij, se i > j4) Adicione as matrizes e determine os valores das incógnitas.5) (MACK) Se A é uma matriz 3 x 4 e B uma matriz n x m, então:a) existe A + B se, e somente se, n = 4 e m = 3;b) existe AB se, e somente se, n = 4 e m = 3;c) existem AB e BA se, e somente se, n = 4 e m = 3;d) existem, iguais, A + B e B + A se, e somente se, A = B;e) existem, iguais, AB e BA se, e somente se, A = B.6) (PUC) Se A, B e C são matrizes quadradas e At, Bt e Ct são suas matrizestranspostas, e igualdade falsa entre essas matrizes é:a) (A = B) . C = A . C + B . Cb) (A + B)t= At+ Btc) (A . B)t= At. Btd) (A - B)C = AC - BCe) (At)t= A
  6. 6. 7) Caso exista, encontre a inversa da matrizGabarito:1) 3 x 5 2) x = - a ou x = 0 3) - 360 4) x = 5 y = - 4 t = 1 z = 6 5) C 6) C 7)

×