Apostila verao 19 passos 1

V
I Programa de Verão do
PODEMOS / UEMG
PROF. OTÁVIO LUCIANO CAMARGO SALES DE MAGALHÃES
PASSOS - 2019
CADERNO 1
- Radiciação
- O Mundo das Equações
- Geometria Métrica

I PROGRAMA DE VERÃO DO PODEMOS / UEMG
PASSOS – 2019
Programação:
VB.1 – RADICIAÇÃO
VB.2 – O MUNDO DAS EQUAÇÕES
VB.3 – GEOMETRIA MÉTRICA
VB.4 – ESTATÍSTICA
VB.5 – FUNÇÕES
Aulas Presenciais: 4, 11, 18 e 25 de janeiro e 1º de fevereiro de 2019
Local: UEMG, Prédio Principal, Auditório 1
Metodologia:
1) Aulas Expositivas
2) Tarefas na Plataforma Moodle (todos alunos devem estar no grupo
de WhatsApp onde serão passados login, senha e instrução. São 5
tarefas. As tarefas realizadas constarão do certificado)
3) Provas: dia 18 de janeiro – VB.1, VB.2 e VB.3. Dia 1º de fevereiro –
VB.4 e VB.5. (Não há reprovação. Os alunos que tirarem mais que 5,0
em quaisquer um dos submódulos terão sua nota mencionada no
Certificado).
Certificado: A Carga Horária é de 100 horas.
TODA ORIENTAÇÃO ADICIONAL SERÁ FEITA VIA GRUPO DE
WHATSAPP E BLOG – FIQUEM ATENTOS
Esse curso pressupõe auto-estudo. Temas para estudar em casa constarão no WhatsApp e Blog do
PODEMOS. Não há fiscalização se você estudou ou não (vistos ou registros, por exemplo): o que vale é a
auto-disciplina do aluno.

I PROGRAMA DE VERÃO DO PODEMOS – TURMA B - Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães
35.9.9214.0594 goo.gl/pjykRW goo.gl/JD6Vhj goo.gl/PSGwJT
1
VB.1 AULA 1 – Radiciação
Submódulo VB.1
Referência: AULAS 1 e 4 do B5 (ESTÁ NA APOSTILA DO B5 – 1ª VERSÃO)
Concentramos duas aulas longas do B5 aqui. Você dá conta de estudar
sozinho essa aula!
s
Conceito
LEIA COM ATENÇÃO ESSE
QUADRO
Radiciação:
√ 𝒂
𝒏
= 𝒃 quando 𝒃 𝒏
= 𝒂
Essa definição é sempre válida para:
• 𝑛 ∈ ℕ; e
• 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ+.
Acontece que a restrição de usarmos apenas
números positivos é deixada de lado quando
trabalhamos com valor de n ímpar.
Tabela de Potências
QUADRO
𝟐 𝟐
= 𝟒 𝟑 𝟐
= 𝟗 𝟒 𝟐
= 𝟏𝟔 𝟓 𝟐
= 𝟐𝟓
𝟔 𝟐 = 𝟑𝟔 𝟕 𝟐 = 𝟒𝟗 𝟖 𝟐 = 𝟔𝟒 𝟗 𝟐 = 𝟖𝟏
𝟏𝟎 𝟐
= 𝟏𝟎𝟎 𝟏𝟏 𝟐
= 𝟏𝟐𝟏 𝟏𝟐 𝟐
= 𝟏𝟒𝟒 𝟏𝟑 𝟐
= 𝟏𝟔𝟗
𝟐 𝟑
= 𝟖 𝟑 𝟑
= 𝟐𝟕 𝟒 𝟑
= 𝟔𝟒 𝟓 𝟑
= 𝟏𝟐𝟓
𝟔 𝟑
= 𝟐𝟏𝟔 𝟕 𝟑
= 𝟑𝟒𝟑 𝟖 𝟑
= 𝟓𝟏𝟐 𝟗 𝟑
= 𝟕𝟐𝟗
𝟐 𝟒
= 𝟏𝟔 𝟑 𝟒
= 𝟖𝟏 𝟒 𝟒
= 𝟐𝟓𝟔 𝟓 𝟒
= 𝟔𝟐𝟓
𝟐 𝟓 = 𝟑𝟐 𝟑 𝟓 = 𝟐𝟒𝟑 𝟐 𝟔
= 𝟔𝟒 𝟑 𝟔
= 𝟕𝟐𝟗
𝟐 𝟕
= 𝟏𝟐𝟖 𝟐 𝟖
= 𝟐𝟓𝟔 𝟐 𝟗
= 𝟓𝟏𝟐 𝟐 𝟏𝟎
= 𝟏𝟎𝟐𝟒
QUADRO
Nome dos Termos
√ 𝒂
𝒏
= 𝒃
n – índice (n=2 não aparece no índice, não escrito)
a – radicando
b – raiz
√ - radical
Quando o índice é 2, a raiz é chamada de quadrada.
Quando o índice é 3, a raiz é chamada de cúbica.
Radiciação de Números Naturais
1) Calcule:
a)
3
27 b)
4
81 c)
3
64
d)
3
125 e)
4
16 f)
5
32
2) Ache:
a)
33
278 + b)
53
32.125
c)
43
16216 − d) 9814

3) Se 210
=1024, calcule
10
1024 .
4) Calcule
9
512 .
5) Calcule:
a) 81 b)
4
81
c) 16 d)
4
16
e) 256 f)
4
256
Que conclusão que você tira? Registre.
6) Calcule:
a) 256 b)
8
256
7) Calcule
4
625
QUADRO
TABELA DE POTÊNCIAS DE DOIS
𝟐 𝟎
= 𝟏 𝟐 𝟏
= 𝟐 𝟐 𝟐
= 𝟒 𝟐 𝟑
= 𝟖
𝟐 𝟒
= 𝟏𝟔 𝟐 𝟓
= 𝟑𝟐 𝟐 𝟔
= 𝟔𝟒 𝟐 𝟕
= 𝟏𝟐𝟖
𝟐 𝟖
= 𝟐𝟓𝟔 𝟐 𝟗
= 𝟓𝟏𝟐 𝟐 𝟏𝟎
= 𝟏𝟎𝟐𝟒 𝟐 𝟏𝟏
= 𝟐𝟎𝟒𝟖
𝟐 𝟏𝟐
= 𝟒𝟎𝟗𝟔 𝟐 𝟏𝟑
= 𝟖𝟏𝟗𝟐 𝟐 𝟏𝟒
= 𝟏𝟔𝟑𝟖𝟒 𝟐 𝟏𝟓
= 𝟑𝟐𝟕𝟔𝟖
𝟐 𝟏𝟔
= 𝟔𝟓𝟓𝟑𝟔 𝟐 𝟏𝟕
= 𝟏𝟑𝟏𝟎𝟕𝟐 𝟐 𝟏𝟖
= 𝟐𝟔𝟐𝟏𝟒𝟒 𝟐 𝟏𝟗
= 𝟓𝟐𝟒𝟐𝟖𝟖
8) Use uma tabela de potências de 2 e responda:
a)
12
4096
b)
14
16384
c) 65536
d)
1513
327688192 +
9) Ache
33
278 + .
Você se lembra que
2−1
=
1
2
? Estude o assunto!! Essencial!

2
10) Ache 2-1
+
3
8
11) Abaixo não é para usar cancelamento se você
já conhece a técnica. É para resolver a expressão:
a) ( )3
3
8 b)
3 3
8
c) ( )4
4
1 d)
4 4
1
e) ( )2
9 f)
2
9
12) Calcule 121495 −
13) Ache a metade da
333
125278 ++ .
14) Ache o valor de (se preciso, use uma
calculadora):
a)
4
3
8
b)
3 6
8
c)
4 8
10
15) Calcule (vá “chutando” até encontrar o valor)
a)
3
8000
b)
4
160000
Que conclusão que você tira? Registre e verifique, entendendo o porquê.
16) Ache o valor de
3
1000000000
17) Se a=
3
8000 e b=2+32
, ache o valor de
2
10
−
− b
a
18) Ache a metade da 3
64000000
Calculando Raízes por Fatoração
QUADRO
Uma das formas de calcular uma raíz é pela
fatoração. Vamos usar números pequenos, porém,
ela é mais útil para números grandes.
√144
24
32
√144
= √2432
= 22
3
= 12
Observe os
círculos
vermelhos,
multiplique os
fatores
2 ∙ 2 ∙ 3 = 12
√216
3
23
33
√216
3
= √23
333
= 2 ∙ 3
= 6
Observe que
como o índice
é 3,
circulamos 3
números
2 ∙ 3 = 6
Aqui estamos usando propriedades da radiciação
meio que intuitivamente. Veremos elas em detalhes!
Toda vez que aparecer a mãozinha LEIA
1) Utilizando-se da fatoração, descubra as raízes.
Você pode fazê-la apenas circulando os números
repetidos:
a)√2401
b) √5184
c)√1728
3
d)√3375
3
e) √104976
4
f) √759375
5
Regra Prática de Simplificação de
Raízes
QUADRO
O que faremos a seguir é apenas uma simplificação
bem útil, que nos permitirá escrever raízes de forma
mais simples. As propriedades que fundamentam as
regras aprenderemos nessa aula.
Os valores fora do círculo são multiplicados e se
mantém dentro da raiz. Os valores dentro do círculos
são multiplicados e ficam fora da raiz.
Raiz Quadrada
√12 = 2√3
√108
= 2 ∙ 3√3
= 6√3
√540
= 2 ∙ 3√3 ∙ 5
= 6√15

3
√72
= 2 ∙ 3√2
= 6√2
√360
= 2 ∙ 3√2 ∙ 5
= 6√10
√30, não
pode ser
simplificado
1) Simplifique, se possível, utilizando-se da
fatoração:
a) √12 b) √20
c) √18 d) √150
e) √192 f) √400
g) √140 h) √98
QUADRO
Raiz Cúbica
√81
3
= 3√3
3
√324
3
= 3√2 ∙ 2 ∙ 3
3
= 3√12
3
√648
3
= 2 ∙ 3√2
3
= 6√2
3
Analogamente, em grupos de quatro, vocês
simplificam raízes quarta.
fatoração:
a) √108
3
b)√360
3
c) √54
3
d) √72
3
h) √96
3
i) √625
3
j) √720
3
k) √729
3
(Faça as fatorações em um rascunho)
fatoração:
a) √32
4
b) √162
4
c) √80
4
d) √1280
4
3) Simplifique √160
5
.
Radiciação de Números Inteiros
QUADRO
Sabemos que:
52
= 25 e (−5)2
= 25
Não faz sentido dizermos que √25=5 e que √25=-5.
Não é possível uma única operação ter dois
resultados diferentes!
Definimos então, que a raiz quadrada de um número
positivo é positivo.
Aliás, se n for par
√ 𝒂
𝒏
= 𝒂
Sendo b>0.
Já para a<0 NÃO EXISTE raiz quadrada ou de índice
par de números negativos:
Ex:
• √−36 não existe
• √−1
4
não existe
Quanto ao índice ímpar, a definição
√ 𝒂
𝒏
= 𝒂
Sempre é válida:
Ex:
• √−8
3
= −2
• √−1
5
= −1
1) Calcule, se for possível:
a)
3
27− b)
3
27 c)
4
16
d)
4
16− e) 36− f)
g) h)
5
32−
2) Ache o valor de x:
a) x2
=16 b) x2
=49 c) x2
=-1
36
5
32

4
d) x3
=-27 e) x3
=8 f) x3
=-1
g) x4
=16 h) x4
=-16
Note que o exercício 2 não trata de raízes! Mas é fundamental para
compreendê-las.
3) Resolva
3 322
27.35 −−
4) Calcule:
a)
3
8000− b)
4
160000−
5) Calcule:
a)
5
100000 b)
3
27000−
Radiciação de Números Racionais
Existe uma crise no ensino das frações e números decimais. Mas esse é
um dos assuntos mais básicos do Ensino Fundamental, séries iniciais. Procure
entender e aprender os exercícios.
1) Calcule:
a)
6
0 b) 3
27
8−
2) Ache o valor de
9
1
3
25
4
+
3) Ache o valor de O valor de 0,0000646
4) Calcule o valor de 33 001,0
27
8
−−
1ª Propriedade da Radiciação
QUADRO
1ª Propriedade
√ 𝒙 𝒏𝒏
= 𝒙, com 𝒙 ∈ ℝ+, 𝒏 ∈ ℕ e 𝒏 > 𝟏
Exemplo de aplicação:
a)√733
= 7
b) √52 = 5 (quando não há índice ele é 2)
c) √(𝑥 − 4)44
= 𝑥 − 4 para 𝑥 ≠ 4
d) √(−4)2 não pode ser simplificado, pois o
radicando é negativo!
Veja que, apesar da propriedade não dar essa
abertura, temos que é possível cancelar
expoentes e índices quando eles são ímpares,
mesmo que o número seja negativo:
√(−1)33
= −1
1) Dê o valor das expressões:
a)√52 b) √182
c) √(
1
3
)
2
d) √𝑥2 (𝑥 ≥ 0)
e) √(4𝑎3)2 (𝑎 ≥ 0) f) √(𝑥 − 4)2 (𝑥 ≥ 4)
2) Dê o valor das expressões:
a) √533
b) √744
c) √(5𝑥)66
(𝑥 ≥ 0)
d) √(𝑎3 𝑏2)99
(𝑎, 𝑏 ≥ 0)
3) Decomponha os números a seguir em fatores
primos e calcule usando essa propriedade:
a) √49 b) √729
6
c) √625
4
d) √343
3
Faça as fatoração num rascunho!
4) É possível simplificar?
a) √(−5)33
b) √(−5)44
5) Verifique quanto vale √(−4)2.
(Não use a propriedade, pois ela não funciona!)
QUADRO
2ª Propriedade
√ 𝒙 𝒎𝒏
= √ 𝒙 𝒎:𝒑𝒏:𝒑
, com 𝒙 ∈ ℝ+, 𝒎, 𝒏, 𝒑 ∈ ℕ, 𝒏 > 𝟏
e 𝒎 ≠ 𝟎
Exemplos de aplicação:
a)√546
= √54:26:2
= √523

5
b) √3515
= √35:115:5
= √353
c) √348
= √34:48:4
= √3. Note que índice 2 e
expoente 1 não precisam ser escritos!
d) √5155
= √515:55:5
=√531
= 53
. Note que √
1
não
faz sentido, é o mesmo que nada escrever no
índice!
e) √(4𝑥3)64
= √(4𝑥3)6:24:2
= √(4𝑥3)3 para 𝑥 ≥ 0
1) Simplifique os radicais (considere no item ‘g’:
a>0 e no item ‘h’: a,b>0)
a) √31015
b) √4318
c) √7918
d) √3159
e) √1069
f) √𝑥1421
g) √𝑎1220
h) √(𝑎𝑏)69
2) Determine o valor de x em cada igualdade
(basta raciocinar ou usar proporções):
√7315
= √74𝑥
⇒
15
3
=
𝑥
4
⇒ 3𝑥 = 60 ⇒ 𝑥 =
60
3
⇒ 𝑥
= 20
a) √3814
= √34𝑥
b) √548
= √5 𝑥
c) √11515
= √11 𝑥3
d) √8 𝑥10
= √8
5
Lembre-se que na ausência do índice, ele é 2 e na ausência do
expoente ele é 1.
3) Decomponha o radicando em fatores primos e
use a 2ª propriedade para simplificar os radicais:
a) √32
10
b) √27
9
c) √81
16
d) √16
6
e) √64
8
f) √1024
12
Faça as fatoração num rascunho!
QUADRO
3ª Propriedade
√√ 𝒙𝒏𝒎
= √ 𝒙𝒎𝒏
, com 𝒙 ∈ ℝ+, 𝒎, 𝒏 ∈ ℕ e 𝒎, 𝒏 > 𝟏
a) √√7
35
= √7
5∙3
= √7
15
b) √√4
3
= √4
3∙2
= √4
6
c) √√5 = √5
2∙2
= √5
4
Lembre-se que na ausência do índice ele é 2.
1) Escreva sob a forma de uma única raiz (no item
‘e’ – x>0):
a)√√3
5
b) √√3
c) √√ 𝑥75
d) √√7
33
e) √√ 𝑥
6
f) √√√5
g) √√√4
3
h) √√√5
5
i) √√ √5
1136
j) √√√√7
2) Usando as propriedades aprendidas,
simplifique ao máximo possível os radicais a
seguir (lembre-se de fatorar o radicando):
a) √√64
43
b) √√243
5
3) Determine o valor de x nas igualdades:
a) √√ 𝑥
𝑥5
= √ 𝑥
15
b) √√5
𝑥7
= √5
14
c) √√3
𝑥
= √3
10
d) √√√7=√√7
𝑥4
e) √√5
𝑥6
= √√5
4𝑥
f) √√10
𝑥𝑥
= √√10
94
4) Explique como usar uma calculadora para
determinar √3
8
. Por qual motivo essa regra
funciona?
QUADRO
4ª Propriedade
√ 𝒙𝒚𝒏
= √ 𝒙𝒏
√ 𝒚𝒏
, com 𝒙, 𝒚 ∈ ℝ+, 𝒏 ∈ ℕ e 𝒏 > 𝟏
a) √5.7 = √5√7
b) √4.7
3
= √4
3
√7
3
c) √3𝑎𝑏
7
= √3
7
√ 𝑎7
√𝑏
7
(com a,b>0)

6
1) Escreva como um produto de radicais (no item
“b” – a,b>0; no item “c” – x,y>0):
a) √3 ∙ 11 b) √𝑎𝑏
c) √5𝑥2 𝑦 d) √4 ∙ 13
3
e) √5 ∙ 9 ∙ 3
7
f) √3𝑎𝑏55
2) Decomponha os radicandos em fatores primos
e escreva cada radical como produto de radicais:
a) √10 b) √21
6
c) √15
7
d) √30
3
e) √154
5
f) √12
3
3) Transforme as multiplicações em um único
radical:
a) √5
3
∙ √7
3
b) √7
4
∙ √13
4
c) √4
3
∙ √12
3
d) √5 ∙ √3
e) √8
3
∙ √4
3
∙ √3
3
f) √2 ∙ √5 ∙ √7
g) √𝑥2 𝑦33
∙ √𝑥4 𝑦
3
h) √𝑥53
∙ √2𝑥33
∙ √3𝑥113
4) Simplifique ao máximo (use mais propriedades):
√2320
∙ √2
2
QUADRO
5ª Propriedade:
√
𝒙
𝒚
𝒏
=
√ 𝒙𝒏
√ 𝒚𝒏 , com 𝒙, 𝒚 ∈ ℝ+, 𝒚 ≠ 𝟎, 𝒏 ∈ ℕ e 𝒏 > 𝟏
Exemplos de Aplicação:
a) √
5
3
=
√5
√3
b) √
1
5
5
=
√1
5
√5
5
1) Transforme em um quociente de radicais
(suponha que no item ‘b’ – y>0):
a) √
1
5
b) √
𝑥4
𝑦3
c) √
7
5
3
d) √
2
13
6
2) Transforme em produtos e quocientes de
radicais (suponha que no item ‘b’ - y≠0, no item ‘c’
– x>0):
a) √
3𝑥
5
3
b) √
4𝑥
5𝑦
5
c) √
1
5𝑥
d) √
3𝑥2
7𝑦4
QUADRO
6ª Propriedade
( √ 𝑥
𝑛
)
𝑝
= √ 𝑥 𝑝𝑛
, com 𝑥 ∈ ℝ+, 𝑝 ∈ ℝ , 𝑛 ∈ ℕ e 𝑛 >
1
Exemplos de Aplicação:
a) Para efetuarmos (√5
3
)
6
, podemos fazer
√563
e usar a 2ª propriedade e obtermos
√531
= 53
= 125
b) Podemos fazer o cancelamento (√3
5
)5
=
3
c) Para efetuar √853
eu posso usar essa
propriedade “ao contrário”: √853
=
(√8
3
)
5
= 25
= 32
1) Calcule os seguintes valores:
a) √2723
b) √493
c) √1634
d) √8154
e) √1693 f) √255
g) √1024710
h) √62534
2) Calcule combinando a 6ª e a 2ª propriedade:
a) (√3
4
)
8
b) (√5
3
)
9
3) Simplifique:
a) (√5
5
)
5
b) (√3
7
)
7
Propriedades da Radiciação
QUADRO
Propriedades
Sejam 𝑥, 𝑦, 𝑚, 𝑛, 𝑝𝜖ℝ, sendo x, y positivos.
R1 √ 𝑥 𝑛𝑛
= 𝑥
R2 √ 𝒙𝒚𝒏
= √ 𝒙𝒏
√ 𝒚𝒏
R3 √
𝒙
𝒚
𝒏
=
√ 𝒙𝒏
√ 𝒚𝒏
R4 √ 𝒙 𝒎𝒏
= √ 𝒙 𝒎𝒑𝒏𝒑

7
R5 √ 𝒙 𝒎𝒏
= √ 𝒙 𝒎:𝒑𝒏:𝒑
R6 (√ 𝒙𝒏
)
𝒑
= √ 𝒙 𝒑𝒏
R7 √√ 𝒙𝒏𝒎
= √ 𝒙𝒎𝒏
Note que mudamos os números das propriedades e
também acrescentamos as R4 e R5 para a 2ª
Propriedade, além de pequena alteração na R6.
Não há um padrão nessas propriedades. Isso varia
de autor para autor!
1) Simplificar os radicais (use as propriedades):
64d)
5c)
3b)
2a)
3
3 3
4 8
12 6
2) Reduza à uma só raiz
3 4)
3 8)
5 10)
c
b
a
5 32)
3 27)
3 4 5)
f
e
d
3 22)
3 3 12)
)
i
ah
ag
4 3 85)
64)
2)
m
l
aj
3) Simplificar os radicais:
160c)
32b)
320a)
4
3
80h)
625g)
40f)
18e)
12d)
4
3
3
Exemplo:
363.3.23.3.23.3.23.2108
1
22
2
22
1
32
=====
RRP
(existem modos mais rápidos que você pode inventar)
0)ceba,(comcb8ac)
0)(a16ab)
0)(aaa)
963
3 5
5 13



( )4
2
10
3
5
10
3
3f)
32e)
64d)
1024c)
32b)
16a)
x
x
b)3a)
3 4
3 7
2-
3
27
f)
502e)
34
29
.
58
17
d)
8c)
54b)
48a)
3 4
3
a
Simplificação de Radicais
QUADRO
Vamos combinar as propriedades estudadas na Aula
1 para simplificarmos radicais.
O que faremos aqui explica bem a regra prática
apresentada na Aula 1.
Também já fizemos isso em um exercício anterior.
Mas aqui está mais formalizado!
Simplifique
a)√𝟔𝟑 =⏞
𝑭𝒂𝒕𝒐𝒓𝒂𝒏𝒅𝒐
𝒐 𝒓𝒂𝒅𝒊𝒄𝒂𝒏𝒅𝒐
√𝟑 𝟐 𝟕 =⏞
𝑹𝟐
√𝟑 𝟐
√𝟕 =⏞
𝑹𝟏
𝟑√𝟕

8
b)√𝟏𝟎𝟖𝟎
𝟑
=⏞
√𝟐 𝟑 𝟑 𝟑 𝟓
𝟑
=⏞
𝑹𝟐
√𝟐 𝟑𝟑
√𝟑 𝟑𝟑
√𝟓
𝟑
=⏞
𝑹𝟏
𝟐 ∙ 𝟑√𝟓
𝟑
= 𝟔√𝟓
𝟑
Em alguns casos é preciso usar a propriedade da
potenciação para conseguir aplicar a propriedade da
radiciação:
a)√𝟏𝟐𝟓 =⏞
√𝟓 𝟑 =⏞
𝑷𝒓𝒐𝒑𝒓𝒊𝒆𝒅𝒂𝒅𝒆
𝑷𝒐𝒕𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂çã𝒐
√𝟓 𝟐 𝟓 =⏞
𝑹𝟐
√𝟓 𝟐√𝟓
=⏞
𝑹𝟏
𝟓√𝟓
b)√𝟏𝟐𝟖
𝟑
=⏞
√𝟐 𝟕𝟑
=⏞
√𝟐 𝟑 𝟐 𝟑 𝟐
𝟑
=⏞
𝑹𝟐
𝟐 ∙ 𝟐√𝟐
𝟑
=⏞
𝑹𝟏
𝟒√𝟐
𝟑
c) √𝟔𝟒𝟖 =⏞
√𝟐 𝟑 𝟑 𝟒 =⏞
√𝟐 𝟐 𝟐 ∙ 𝟑 𝟐 𝟑 𝟐
=⏞
𝑹𝟐
√ 𝟐 𝟐√𝟐√ 𝟑 𝟐√ 𝟑 𝟐 =⏞
𝑹𝟏
𝟐 ∙ 𝟐 ∙ 𝟑√𝟐 = 𝟏𝟐√𝟐
1) Simplifique os radicais usando das
propriedades da radiciação. Tenha consciência
das operações utilizadas.
a)√32 ∙ 13
b) √3 ∙ 555
c) √24 ∙ 3 ∙ 5
4
d) √2 ∙ 35 ∙ 5
5
e) √2 ∙ 33 ∙ 533
f) √543
g) √37
h) √23 ∙ 32
i) √28 ∙ 394
j) √2115
2) Considere os valores de x e y positivos:
a)√𝑥5
b)√𝑦43
c) √𝑥2 𝑦3
d)√𝑥5 𝑦75
e) √𝑥9
f)√𝑦125
g)√𝑦109
h) √𝑥1310
3) Simplifique os radicais:
a)√45
b) √300
c) √500
d) √54
3
e) √128
6
f) √270
g) √192
5
h) √176
4
i) √1200
j) √375
3
4) Considere √2 = 1,41 e √3 = 1,73, que são
valores aproximados, e determine os valores
aproximados a seguir:
Primeiramente fatore e simplifique como você fez no exercício
anterior, e depois substitua os valores acima, dados.
a) √18
b) √48
c) √32
d) √200
e) √162
f) √75
QUADRO
Olha o tipo de cancelamento que você NÃO
PODE fazer:
2 + √8
2
= √8
Como falamos na Aula 2 (fatoração), você só
pode cancelar se numerador e denominador
estejam fatorados.
Sabemos que √8 = 2√2, então o correto é:
2 + √8
2
=
2 + 2√2
2
=
2(1 + √2)
2
= 1 + √2
Note que FATORAMOS o numerador.

9
4) Simplifique o radical e simplifique a expressão
colocando o fator comum em evidência:
a) 5 + √50
b) 3 − √18
c) 10 − √8
d) 10 + √200
Exemplo: 9 + √45 = 9 + 3√5 = 3(1 + √5)
5) Simplifique as frações. Veja que é fundamental,
nesse caso, fatorar os termos:
a)
2+√12
2
b)
10−√50
5
c)
2+√8
2
d)
7−√98
14
6) Simplifique as frações (necessário usar a
fatoração, colocando fatores comuns em
evidência0:
a)
4+√12
6+√27
b)
3+√27+√18
4+√32+√48
7) Se √12 = 3,46, determine um valor para √300.
Nessa questão, se você tentar fazer seguindo uma regra, não vai
conseguir. É necessário pensar e aplicar as propriedades!
8) Simplifique os radicais, usando várias
propriedades:
a)√√1536
b) √√√4096
3
Redução de Radicais para um
mesmo índice
QUADRO
Eu quero saber qual radical simplificado resulta em
3√2.
Basta fazer o processo inverso usando as
propriedades da operação:
3√2 = √32√2 = √322 = √18
Note que é pegar o número fora da raiz e “jogar para
dentro” elevando à potência correspondente ao
índice.
Outros exemplos:
a) 2√3
3
= √233
√3
3
= √233
3
= √24
3
b) 3√3
5
= √355
√3
5
= √365
= √729
5
c) √3√3
35
= √√333
√3
55
= √√333
35
= √3415
= √81
15
d) 3√324
= √344
√324
= √34324
= √364
= √33
Note que você usou várias propriedades para efetuar
as expressões. Procure entender cada uma delas.
Refaça os exemplos do caderno, identificando as propriedades
utilizadas. Essa informação é IMPORTANTE.
1) Introduza os fatores externos no radicando:
a) 7√3
b) 2√5
c) 10√2
d) 5√7
e)5√2
3
f) 2√10
6
2) Considerando a e b números positivos,
introduza os fatores externos no radicando:
a) 6√ 𝑎
b) 2𝑎√𝑏
c) 5𝑎√ 𝑎
d) 2𝑎𝑏√𝑎𝑏
e) 𝑏√𝑎𝑏
3
f) 𝑎√2𝑎
5
g) 3𝑏√𝑎𝑏
4
3) Transformem as expressões em um único
radical usando as propriedades da radiciação:
a) √ 𝑥√𝑥236
b) √ 𝑥√𝑥2 𝑦35
4) Introduza os fatores externos no radicando:
a) 2√3
b) 7√5
3
c) 2√2
5
d) √ 𝑥√ 𝑥
35
5) Sendo a, b, c números reais positivos, mostrar
que a b c a b c3 6 212
= .

10
Redução de Raízes ao mesmo
índice
QUADRO
Vamos reduzir para o mesmo índice:
a)√3
3
e √3
4
Como os índices são 3 e 4, vamos transformar
ambos os índices em 12, pois 12=mmc(3,4) – é
múltiplo comum de 3 e 4.
Usando a propriedade R4 (2ª propriedade) temos
que:
√3
3
= √3412
√3
4
= √3312
Portanto, para reduzir √3
3
e √3
4
ao mesmo índice,
temos √3412
e √3312
.
b) √256
e √239
mmc(6,9)=18
Então: √256
= √21518
e √239
= √2618
Portanto, a redução ao mesmo índice é √21518
e √2618
Pesquise: “Redução de Raízes (Radicais)
ao mesmo índice” no Youtube.
1) Reduza ao mesmo índice:
a)√2
3
e √3
4
b) √5 e √5
4
c) √4, √2
3
e √3
4
d) √𝑥45
e √𝑦23
e) 5 e √4
3
Lembre-se que 5 = √5
1
2) Reduza os radicais ao mesmo índice:
√𝑥𝑦23
, √𝑥34
e √ 𝑦
3) Reduza ao mesmo índice:
43
3
35
37
4 53 2
5,2,3e)
5,3d)
4,7c)
3,2,6b)
2,3,5a)
Exemplo: Para reduzir ao mesmo índice o item “a” reduzimos os
índices 2 (raiz quadrada o índice é 2, ou seja, quando não tiver índice,
índice 2), 3 e 4 à um mesmo número – sendo o melhor número para
isto, o mínimo múltiplo comum de 2, 3 e 4, ou seja, 12. Depois
aplicamos em cada item R4.
Veja:
12 662 61
555 == x x
;
12 843 423 2
333 == x x
;
12 1534 354 5
222 == x x
.
Comparação de Radicais
QUADRO
Para comparar dois radicais, o primeiro passo é
reduzir os radicais a um mesmo índice.
a) Compare √2 e √3
3
Reduza à um índice comum (que você já notou ser
idêntico ao reduzir à um denominador comum):
mmc(2,3)=6
√2 = √23
6
= √8
6
√3
3
= √326
= √9
6
Como 8<9, temos que:
√2 < √3
3
b) Coloque em ordem crescente √2 , √5
3
e √7
4
.
Reduza à um índice comum:
mmc (2,3,4)=12
√2 , √5
3
e √7
4
√2612
, √5412
e √7312
√64
12
, √625
12
e √343
12
Colocando em ordem crescente:
√64
12
< √343
12
< √625
12
E portanto a resposta é:
√2 < √7
4
< √5
3
Pesquise: “Comparação de raízes
(radicais)”
Fonte: http://matemagicaa.blogspot.com/2012/03/reducao-dos-
radicais-ao-mesmo-indice.html
1) Comparar os radicais:
a) 5 23 3
e
b) 36
e 24
Atenção: Para comparar radicais é fundamental reduzi-los ao
mesmo índice.
2) Escrever em ordem crescente os números
5 2 93 3 3
, , .
3) Escrever em ordem decrescente os números
5 2 34 3
, , .
4) Coloque em ordem √7
3
, √3 e √524
.

11
VB.1 AULA 2 – Racionalização de Denominadores
Submódulo VB.1
Referência: AULAS 7 do B5 (ESTÁ NA APOSTILA DO B5 – 1ª VERSÃO)
Esse é um tema básico do 9º ano, onde aqui, não aprofundamos. Exige
domínio dos produtos notáveis.
EXERCÍCIOS OBRIGATÓRIOS
Racionalização de Denominadores
QUADRO
Racionalizar denominadores é uma prática de retirar as
raízes de um denominador e transformá-lo em número
inteiro.
Por Exemplo
1
√2
pode ser racionalizado multiplicando
denominador e numerador por √2:
2
2
22
21
2
1
==
(Sempre é permitido multiplicar numerador e
denominador por um mesmo número diferente de zero)
Para racionalizar, por exemplo
5
√2+1
é racionalizado ao se
multiplicar numerador e denominador por √2 − 1:
( )
( )( ) 525
1
525
12
525
1212
125
12
5
−=
−
=
−
−
=
−+
−
=
+
Note que há duas formas de escrever o mesmo radical
1
√2
ou
√2
2
. Padronizamos escolhendo a 2ª forma. Parece-me
que a padronização é o maior motivo da racionalização!!!
Mas há vários outros motivos.
Educadores mostram que uma das vantagens é que,
sabendo que √2 = 1,41421356237. .., ao tentar
transformar
1
√2
em numero decimal, seria muito trabalhoso
dividir 1 por 1,41421356237. ... Já a divisão para
transformar
√2
2
é bem mais simples, pois é dividir
1,41421356237. ... por 2, o que é evidentemente mais
fácil!
Explicação em vídeo 3:45
O Porquê
https://youtu.be/mdclHUK6xn8
1º Caso de Racionalização
QUADRO
Para racionalizar denominadores onde há
apenas uma raiz quadrada simples no
denominador é algo bastante fácil de ser feito.
Basta multiplicar denominador e numerador
pela raiz quadrada do denominador:
Exemplos:
a)
5
√3
=
5
√3
∙
√3
√3
=
5√3
3
(É bastante óbvio que
√3 vezes √3 é 3, pela própria definição
do que é raiz quadrada)
b)
√2
√3
=
√2
√3
∙
√3
√3
=
√6
3
c)
3
2√2
=
3
2√2
∙
√2
√2
=
3√2
2∙2
=
3√2
4
(Note que
basta multiplicar numerador e
denominador por √2, não sendo
necessário multiplicar por 2√2)
d) √
2
3
=
√2
√3
=
√2
√3
∙
√3
√3
=
√6
3
1) Racionalize os denominadores:
a)
2
5
b)
23
2
c)
7
5
d)
52
3
e)
3
1
f)
35
23

12
2) Determine o valor de x em cada caso,
apresentando a resposta racionalizada quando o
caso:
a) 3𝑥2
= 5
3x²=5, então 𝑥2
=
5
3
e 𝑥 = ±√
5
3
= ±
√5
√3
∙
√3
√3
= ±
√15
3
b) 5𝑥² = 1
c) 4𝑥² = 1
d) 5𝑥2
+ 3 = 1
e) 3(4𝑥2
− 1) = 1
3) (Taubaté) Simplificando a expressão
2
3
3
2
+ , obtém-se:
a)1 b) c)
5
6
d)
13
5
e)
5 6
6
13
6
Faça cada racionalização separada e depois some os resultados
4) Racionalize os denominadores a seguir:
a)
1−√3
√3
Lembre-se e entenda o porquê ao efetuar (1 − √3)√3 = √3 − 3
b)
3−√2
√2
c)
√5+√2
√5
d)
√3−√2
√3
e)
2+√2
√2
f)
1+√2
√5
QUADRO
Quando a raiz não é quadrada, é preciso fazer
um “malabarismo” com as propriedades das
raízes. O malabarismo é muito complexo de se
explicar com palavras, veja e tente
compreender, à luz das propriedades:
a)
1
√2
3 =
1
√2
3 ∙
√223
√223 =
√223
√233 =
√223
2
=
√4
3
2
b)
5
√25
3 =
5
√523 =
5
√523 ∙
√5
3
√5
3 =
5 √5
3
√533 =
5 √5
3
5
= √5
3
c)
1
√9
5 =
1
√325 =
1
√325 ∙
√335
√335 =
√335
√355 =
√27
5
3
d)
5
√16
3 =
5
√243 =
5
√243 ∙
√223
√223 =
5 √243
√263 =
5 √16
3
4
Se você não entendeu, procure na Internet
explicações, e veja o “aulão”. É fundamental
saber fazer.
Sempre que apresentarmos exemplos é
importante entender 100% dos exemplos. Leia-
os, copie-os, grife-os.
Aulão de Racionalização
31:35
https://youtu.be/MIe15OfMTWQ
1) Racionalizar o denominador de:
a)
3
√4
4
b)
5
√7
7
c)
3
√2
4
d)
2
√32
7
e)
2
5 √8
4
f)
8
√10000
7
a)
1
√635
b)
2
√279
c)
4
√834
d)
20
√10811
3) Resolva as equações e racionalize os
resultados:
a)3𝑥3
− 5 = 0 b)5𝑥4
− 1 = 0

13
a)
1
√635
b) 5
2
3
c)
5 2
3
7
d)
3 2
6
6
Lembre: Quando deixamos apenas em forma de radicais, sem
colocar o valor aproximado, falamos que DEIXAMOS INDICADOS, já
que é impossível dar o valor exato, ante a infinitude de casas
decimais
QUADRO
Vamos racionalizar denominadores que contém
somas e diferenças, onde um dos termos é uma
raiz quadrada.
Para resolvermos essas racionalizações, vamos
usar o seguinte produto notável:
𝑥2
− 𝑦2
= (𝑥 + 𝑦)(𝑥 − 𝑦)
Se tivermos, por exemplo:
√3 + 1
Podemos estrategicamente multiplica-lo por:
√3 − 1
(algumas vezes chamado de conjugado)
Teremos então:
(√3 + 1)(√3 − 1) = (√3)
2
− 1 = 3 − 1 = 2
Note que conseguimos encontrar um número
inteiro. Isso sempre funciona com soma de
raízes quadradas:
Então:
Exemplo 1
1
√3 + 1
=
1
√3 + 1
∙
√3 − 1
√3 − 1
=
√3 − 1
(√3)
2
− 12
=
√3 − 1
3 − 1
=
√3 − 1
2
Dependendo do denominador teremos que
aplicar a propriedade distributiva, conhecida por
chuveirinho, que estudamos no Módulo B2.
Exemplo 2
5
√2 + 1
=
5
√2 + 1
∙
√2 − 1
√2 − 1
=
5(√2 − 1)
(√2)
2
− 12
=
5√2 − 5
2 − 1
=
5√2 − 5
1
= 5√2 − 5
Ou ainda:
Exemplo 3
√3 + 1
√3 − 1
=
√3 + 1
√3 − 1
∙
√3 + 1
√3 + 1
=
(√3)
2
+ √3 + √3 + 1
(√3)
2
− 12
=
4 + 2√3
3 − 1
=
4 + 2√3
2
Note que
4+2√3
2
tem todos coeficientes pares, o
que faz com que eu possa “fatorar por
evidência” o numerador para fazer um
cancelamento:
4 + 2√3
2
=
2(2 + √3)
2
= 2 + √3
Note que NÃO É DIFÍCIL, mas é preciso
dominar técnicas de manipulação algébrica, que
você aprende APENAS COM A PRÁTICA.
Veja mais um exemplo, mas complicado.
Exemplo 4
1
1 + √2 + √3
=
1
1 + √2 + √3
∙
1 + √2 − √3
1 + √2 − √3
=
1 + √2 − √3
(1 + √2)
2
− (√3)
2
=
1 + √2 − √3
1 + 2√2 + (√2)
2
− 3
=
1 + √2 − √3
1 + 2√2 + 2 − 3
=
1 + √2 − √3
2√2
=
1 + √2 − √3
2√2
∙
√2
√2
=
(1 + √2 − √3)√2
2√2√2
=
√2 + √4 − √6
2√4
=
√2 + 2 − √6
2 ∙ 2
=
2 + √2 − √6
4
=
Eu sei que é complicado! Que exigem muitos
cálculos, e que é fácil errar. Por isso é preciso
fazer muitos exercícios! Só a prática leva para a
perfeição!
1) Faça a racionalização das seguintes
expressões:
a)
62
4
−

14
h)
26
5
−
b)
35
2
−
i)
25
34
+
c)
23
7
−
j)
13
9
+
d)
67
32
+
k)
37
3
+
e)
79
12
+
l)
311
26
−
f)
35
5
+
m)
135
6
+
g)
73
34
+
n)
104
8
−
2) Racionalize o denominador de:
12
12
f)
323
1
e)
13
3
d)
132
2
c)
35
2
b)
25
2
a)
−
+
+
−
+
−
+
No item ‘f’ você terá que fazer o chuveirinho!
4) Racionalizar os denominadores de:
5
1
f)
37
8
e)
13
2
d)
221
1
c)
2
1
b)
2
1
a)
3 2
3
+
−
++
−
No item “c” você precisará pensar! Uma dica é usar
sucessivamente a racionalização! É um desafio. Persistindo a dúvida,
fale comigo!
5) (MACK) Racionalizando o denominador da fração
3
4 2 2 3−
temos:
a) 3 + 4 2 b) 2 +12 3 c)
8 2
d) e)82 6
16 3
3
12 2 6 3
20
+ +
6) (FUVEST) O valor da expressão
2 2
2 1
−
−
é:
a) 2 b)
1
2
c)2 d)
1
2
e) 2 +1
7)(G.V.)
3 5 2 13
7 5 3 13
−
+
é igual a:
a)
183-23 65
b)
5 65
3
c) -
1
15
d) -
7
128
e)1
128
3 13−

15
VB.1 AULA 3 – Potência de Expoente Fracionário
Submódulo VB.1
Trata-se de tema básico do 9º ano. Vale a pena ser estudado com certo
cuidado e observando-se os atalhos.
s
Potência de Expoente Fracionário
QUADRO
Podemos afirmar que:
𝑎
𝑚
𝑛 = √𝑎 𝑚𝑛
Isso vale para qualquer a positivo e n≠0.
Vale uma regra mnemônica:
m está por cima! (está bem!)
então
m está por dentro!
E
n está por baixo! (está mal!)
então
m está por fora!
Mas o que explica isso? Usando as propriedades
𝑎
𝑚
𝑛 =⏞
𝑅1⇐
√(𝑎
𝑚
𝑛 )
𝑛𝑛
=⏞
𝑃3
√ 𝑎
𝑚∙𝑛
𝑛
𝑛
= √𝑎 𝑚𝑛
(Existem outras explicações)
1) Escreva em forma de potência com expoente
fracionário:
a)√223
b) √𝑎35
c) √5 d) √𝑥34
e) √2
3
f) √ 𝑎
g) √ 𝑥 h) √ 𝑎4
i) √𝑥56
j) √53
Lembre-se que na ausência de índice ele é 2 e na ausência de
expoente ele é 1. Então √ 𝑥 = √𝑥12
= 𝑥
1
2
l)
1
√3
= √
1
3
= √3−1
Você pode fazer direto, sem as transformações acima!
m)
1
√4
3 n)
1
√𝑎35
2) Escreva na forma de radical (simplifique, e não
escreva 1 no expoente e 2 no índice quando for o
caso):
a) 2
3
4 b)3
1
4
c) 5
2
3 d) 2
1
2
e) 𝑎
1
3 f) 𝑥
3
2
g) 𝑎
1
2 h) 𝑥
2
3
i) 8−
1
2 j) (𝑎3
𝑏)
1
4
k) 𝑚−
3
4 l) 5
4
3
m) 6
5
2
3) Fatore os radicandos e escreva na forma de
potência com expoente fracionário:
a)√32
3
Por exemplo, 32=25
(após fatoração) Então trocamos 32 por 25
.
Efetue os cálculos das fatorações em um rascunho
b) √25
3
c)√27
4
d) √125
4
e) √8
7
f) √512
8
g) √32
h) √216
3
No caso do 216, você vai fatorar e encontrar 23
33
. Isso é o mesmo
que 63
certo?
QUADRO
Como eu calcularia?
a) 𝟑𝟐
𝟑
𝟓
32
3
5 = √3235
= √32768
5
= 8
Difícil, não?
Então você pode usar uma estratégia mais
eficaz:
32
3
5 = √3235
= (√32
5
)
3
= 23
= 8
Você entendeu? Você pode fazer direto
√3235
b) 𝟏𝟒𝟒 𝟏,𝟓
Antes de fazer o cálculo, converta o 1,5 em
fração, ou seja 1,5 =
3
2
. Portanto:
𝟏𝟒𝟒 𝟏,𝟓
= 𝟏𝟒𝟒
𝟑
𝟐 = √ 𝟏𝟒𝟒 𝟑 = 𝟏𝟐 𝟑
= 𝟏𝟕𝟐𝟖

16
c) 𝟐𝟓−
𝟏
𝟐
Esse é bem simples:
𝟐𝟓−
𝟏
𝟐 = √ 𝟐𝟓−𝟏 = 𝟓−𝟏
=
𝟏
𝟓
4) Calcule as potências:
a)25
1
2
b) 125
2
3
c)81−
1
4
d)810,75
e) 640,666…
f) 4−0,333…
g) 5
2
3
h) 90,5
i) 6−0,1
j) 8
2
3
k) 27
1
3
l) 49−
1
2
m) 0
3
4
n) 1
3
5
o) 80,666…
p) 10240,1
QUADRO
Você já percebeu?
𝟒𝟗
𝟏
𝟐 = √𝟒𝟗
𝟔𝟒
𝟏
𝟐 = √𝟔𝟒
𝒙
𝟏
𝟐 = √ 𝒙
𝟏𝟎𝟎 𝟎,𝟓
= √𝟏𝟎𝟎
Portanto:
Elevar um número a ½ ou 0,5 é o mesmo que
tirar sua raiz quadrada!
5) Calcule mentalmente (direto):
a)144
1
2 b) 36
1
2
c) 121
1
2 d) 400
1
2
e) 90,5
f) 1690,5
g) 160,5
h) (
36
25
)
0,5
i) 9−
1
2 j) 8
1
2
Expoente -1/2 resulta no inverso da raiz quadrada
6) Efetue e racionalize o denominador da
resposta:
3−
1
2
7) Quanto vale 1251
1
3?
8) Mostre que √8 = 2√2 usando expoente
fracionários.
QUADRO
Quando o expoente é fracionário e maior que
1, podemos fazer o seguinte “truque”:
125
4
3 = 1251+
1
3 = 125√125
3
= 125 ∙ 5 = 625
Isso não adiantou nada, mas resolve para casos
como
2
3
2 = 21+
1
2 = 2 ∙ 2
1
2 = 2√2
9) Vimos que 2
3
2 = 21+
1
2 = 2 ∙ 2
1
2 = 2√2.
Por outro lado 2
3
2 = √23 = √8 = 2√2.
Faça o mesmo, das duas formas, com:
a) 3
3
2
b) 5
4
3
QUADRO
As mesmas propriedades das potências
para expoentes inteiros valem para
expoentes racionais:
P1 𝑎 𝑚
𝑎 𝑛
= 𝑎 𝑚+𝑛
P2
𝑎 𝑚
𝑎 𝑛 = 𝑎 𝑚−𝑛
(𝑎 ≠ 0)
P3 (𝑎 𝑚
) 𝑛
= 𝑎 𝑚𝑛
P4 (𝑎𝑏) 𝑛
= 𝑎 𝑛
𝑏 𝑛
P5 (
𝑎
𝑏
)
𝑛
=
𝑎 𝑛
𝑏 𝑛 (𝑏 ≠ 0)
Só que nunca se esqueça que para somar
frações precisamos “achar o mínimo” (sic)
Ex: 5
1
25
2
3 = 5
1
2
+
2
3 = 5
3+4
6 = 5
7
6
10) a)Verifique, usando expoentes fracionários,
que √ √ 𝑥
𝑚𝑛
= √ 𝑥
𝑛𝑚
para 𝑥 positivo
b) Verifique com expoentes fracionários √ 𝑥 𝑚𝑛
=
√ 𝑥 𝑚𝑝𝑛𝑝
para 𝑥 > 0 e 𝑝 ≠ 0.

17
11) Você já notou que 𝑥
1
3 = 𝑥0,333…
= √ 𝑥
3
?
Com base nisso, calcule:
a)27
1
3 b) 125
1
3
c) 216
1
3 d) 729
1
3
e) 640,333…
f) 13310,333…
g) 8−
1
3 h) 50,333…
12) Calcule e racionalize o denominador:
20,666…
13) Calcule e simplifique ao máximo
8
5
3
14)Reduza a uma só potência. Suponham
satisfeitas as condições de existência.
a)2
1
3 ∙ 2
1
4
b) 𝑎
2
3 ∙ 𝑎
1
2
c) 5
1
2 ∙ 5
3
2
d)2
1
3: 2
1
4
e)𝑎
4
5: 𝑎
2
3
f)𝑎 ∙ 𝑎
1
3
g) 62
∙ 6
1
2 ∙ 6
1
3
h) 𝑥 ∙ 𝑥
2
3 ∙ 𝑥
1
2
i) (12
1
2)
4
3
j) (5
3
7)
7
2
k) 𝑥−
1
3 ∙ 𝑥−
2
5
l) 𝑥0,5
∙ 𝑥
É necessário relembrar as operações com frações, que percorrem
toda Educação Básica e foram estudadas detalhadamente no
PODEMOS B1
QUADRO
Calculando raízes na calculadora e celular
É muito comum calculadoras não possuírem
teclas para calcular raízes de índice diferente de
2 (algumas calculadoras tem tecla para raiz
cúbica também).
Para calcular √2
3
podemos usar a tecla de
potência, em geral representada por ^, e efetuar
2 ^ (1/3).
A calculadora fx-82, uma das calculadoras
científicas mais simples, que custa entre 2 e 3
dólares americanos, tem uma tecla:
Você pode usar + para calcular
direto a raiz. O Shift ativa a escrita em cima da
tecla.
Para raízes cúbicas há a tecla (tem que
ser precedida de SHIFT)
Porém, na calculadora padrão de celulares
Motorola, Lenovo e Samsung não há botão de
raiz n-ézima:
Tela da parte científica da calculadora do Moto
G 5
Nesse caso:
a)√5
3
digita-se 5 ^ (1/3)
b) √13
7
digita-se 13 ^ (1/7)
15) Usando a calculadora do seu celular,
calcule com 4 dígitos após a vírgula. Não esqueça
de fazer o arredondamento (5º dígito após a
vírgula maior ou igual a 5, você soma 1 ao 4º
dígito):
a) √5
3
b) √13
7
c) √7
5
d) √11
8
e) √137
3
f) √1536
11
g) √1,03636
h) √0,0033
16) Calcule:
a)11,942
b)064,355

18
VB.1 AULA 4 – Cálculo com Radicais
Submódulo VB.1
Referência: AULAS 13 e 16 do B5 (ESTÁ NA APOSTILA DO B5 – 1ª VERSÃO)
E um assunto do 9º ano, mas considerado por alguns autores como
aprofundamento. Essa matéria é dedutível, sem necessidade de se ater muito
ao estudo.
s
Redução de Radicais ao mesmo índice
QUADRO
Vamos rever alguns assuntos já vistos na Aula
4, para introduzirmos o tópico
Redução de radicais ao mesmo índice
a) √𝑎26
e √𝑏54
mmc(6,4)=12
12:6=2 e 2x2=4
12:4=3 e 3x5=15
√𝑎412
e √𝑏1512
b) √223
; √534
e √3
mmc(3,4,2)=12
√2812
, √5912
e √3615
1)Reduza ao mesmo índice os radicais (suponham
satisfeitas as condições de existência)
a) √5
3
e √2
b) √ 𝑎, √ 𝑥4
e √𝑦23
(a, 𝑏, 𝑥 ≥0)
c) √𝑎34
e √𝑏
6
(a, b ≥ 0)
d) √𝑎 − 𝑏 e √𝑎 + 𝑏
4
(a≥b≥ 0)
e) √𝑎25
e √𝑎34
(a≥0)
f) √
𝑎
𝑏3 e √
𝑏
𝑎2
3
(a,b>0)
2)(Ismael Reis) Determine um radical:
a) de índice 4 e de mesmo valor que √2912
.
b) de índice 15 e de mesmo valor que √323
.
c) de índice 8 e de mesmo valor que √𝑥34
.
d) de índice 2 e de mesmo valor que √𝑎48
.
e) com expoente de radicando igual a 3 e de
mesmo valor que √796
.
f) com expoente de radicando igual a 18 e de
mesmo valor que √725
GABARITO
2) a) √234
; b) √31015
; c) √𝑥68
; d) √ 𝑎; e) √73; f) √71845
Comparação de Radicais
QUADRO
Comparação de radicais
1º Caso: Radicais com o mesmo índice
a)√8 > √3 pois 8 > 3
b) √10
3
>√4
3
pois 10>4
2º Caso: Radicais com índices diferentes
a) √5 e √4
3
mmc(2,3)=6
√536
e √426
√125
6
e √16
6
√125
6
> √16
6
Logo: √5 > √4
3
b) √3
4
e √2
mmc(4,2)=4
√3
4
e √224
√3
4
e √4
4
√3
4
< √4
4
Logo √3
4
< √2
c) √2
3
e √4
6
mmc(3,6)=6
√226
e √4
6
√4
6
= √4
6
Logo √2
3
= √4
6
1) (Edwaldo Bianchini) Compare usando sinais
de igualdade ou desigualdade
a)√2 e √3
b)√15
3
e √8
3
c) √243
e √253

19
d) √3 e √2
3
e) √8 e √264
f) √5
4
e √6
3
g) √5 e √10
6
h) √2214
e √3221
i) √336
e √324
2) (Ismael Reis) Coloque os radicais em ordem
crescente:
a) √5, √4
3
, √2
4
b) √2
3
, √3
6
, √5
4
c) √7
4
, √12, √8
d) √2, √
1
3
, √5, √
3
4
e) √
6
5
3
, √
8
7
3
, √4
3
Radicais Semelhantes
QUADRO
Radicais Semelhantes
Para serem semelhantes, dois radicais
precisam ter o mesmo índice e o mesmo
radicando.
Exemplo:
a) 2√3 e −4√3 são radicais semelhantes
b) 7√5 e 7√3 não são radicais semelhantes pois
os radicandos são diferentes
c) √5
3
e √5 não são radicais semelhantes pois
os índices são diferentes
1)Identifique os pares de radicais semelhantes:
a)√3 e 2√3
b)√ 𝑎
3
e √𝑏
3
c)2√ 𝑎 e 5√ 𝑎 (a≥0)
d)5√ 𝑥 e √ 𝑥 (x≥0)
e) √ 𝑎
3
e √ 𝑎 (a≥0)
f) √2
4
e 10√2
4
Simplificando frações com radicais
QUADRO
Note que isso é bastante óbvio e já foi feito na
aula de racionalização de denominadores como
consequência natural das operações
1) Simplifique, não esquecendo de fatorar antes
denominador ou numerador:
a)
5+√50
15
b)
10+√200
25
c)
2+√12
2
d)
5+√50
3+√18
Adição e Subtração de Radicais
QUADRO
Adição e Subtração de Radicais
1º Caso: Radicais Semelhantes
a) 2√3 + 7√3 − 3√3 = (2 + 7 − 3)√3 = 6√3
b) 10√3
5
+ 4√3
5
− √3
5
= (10 + 4 − 1)√3
5
= 13√3
5
c) 3√5 + 2√7 − 5√5 + √7 + 4√7 = (3 − 5)√5 +
(2 + 1 + 4)√7 = −2√5 + 7√7
A expressão não pode ser mais reduzida, então
ela fica indicada −2√5 + 7√7 (forma mais
simples)
d) 5√2 + 3 − 7√2 + 5 = (5 − 7)√2 + 8 =
−2√2 + 8
A expressão pode ficar como −2√2 + 8 ou ser
fatorada como −2(√2 − 4), que pode ser
conveniente em certas situações
1)Efetue:
a)2√5 + √5 − 6√5
b)5√3
5
+ 2√3
5
− 2√3
5
+ √3
5
c) 4√2 + 6√3 − 2√2 + 9√3
d)5√ 𝑥 − 9√ 𝑥 (x≥0)
e) −4 + √3
5
+ 2√3
5
− 4
f) 2√5
3
− 2√5 + 3√5 + 3√5
3
g) 3 + √2 + 7 − 5√2
h)√ 𝑎
3
+ √ 𝑎
3
+ √ 𝑎
3
GABARITO
a)−3√5 b) 6√3
5
c) 2√2 + 15√3
d)−4√ 𝑥 e) 3√3
5
f) 5√5
3
+ √5
g) 10 − 4√2 h) 3√ 𝑎
3
QUADRO
2º Caso: Radicais simplificáveis:
a)√18 + √50
Simplificando ambas raízes temos: 3√2 +
5√2 = 8√2
b) 2√27 + 5√12 − 2√75 = 2 ∙ 3√3 + 5 ∙ 2√3 −
2 ∙ 5√3 = 6√3
c)√16
3
+ √54
3
= 2√2
3
+ 3√2
3
= 5√2
3

20
1)(Edwaldo Bianchini) Calcule as somas
algébricas
a) √20 + √45
b) √50 + √18 − √8
c) 2√27 − 5√12
d) 4√63 − √7
e) √50+√98 − √72
f) √12 + √75 + √108
g) 2√54 + 3√24 − 5√6
h) 3√4𝑥 + √9𝑥 − √25𝑥 (x≥0)
i) 5√ 𝑥 + √36𝑥 − 2√4𝑥 (x≥0)
j) √4(𝑥 − 2) + √9(𝑥 − 2) (x≥2)
k)5√
8𝑥
125
− √
18𝑥
5
+ 7√
2𝑥
245
(x≥0)
l) √98 − 2√13 + 3√162 − √117
m)
√2
2
+
√50
4
n)
1
2
√8𝑥 +
2
7
√98𝑥 (x≥0)
2) (Ismael Reis) Simplifique:
a) 4√54
3
+ 2√250
3
− 3√16
3
b)
2
3
√25
3
+
1
4
√25
3
− 8√25
3
c) √2
3
+ √16
3
+ √54
3
+ √128
3
d) 5√16
3
− 3√250
3
−
1
3
√128
3
e) √40
3
+ √1029
3
− √625
3
f)
1
2
√24
3
−
2
3
√54
3
+
3
5
√375
3
−
1
4
√128
3
a) √24𝑎23
+ √9𝑎46
+ √192𝑎23
(a≥0)
b) 𝑎√4𝑎86
+ √128𝑎43
+ 2√16𝑎
3
(a≥0)
Simplifique as raízes dividindo índice e expoente
por um divisor comum. (Há também outras
possibilidades, como reduzir tudo ao mesmo
índice)
a)4√
3
2
+
2
3
√
3
2
−
1
8
√
3
2
b) 8√
3
4
− 2√
3
16
a) √432
3
− √250
3
+ √
1
32
5
b) √45𝑥3 − √80𝑥3 + √5𝑎2 𝑥 (x≥0)
c) 8√
3
4
−
1
2
√12 + 4√27 + 2√
3
16
d) √9𝑥 + 27 + 3√4𝑥 + 12 (x≥-3)
e) 𝑎√𝑎2 𝑥 + √4𝑎2 𝑏2 𝑥 + 𝑏√𝑏2 𝑥 (a,b,x≥0)
GABARITO
1) a)5√5 b)6√2 c)−4√3
d) 11√7 e) 6√2 f)13√3
g) 7√6 h) 4√𝑥 (x≥0) i) 7√𝑥 (x≥0)
j) 5√𝑥 − 2 (x≥2) k)0 l) 34√2 − 5√13
m)
7√2
4
n) 3√2𝑥 (x≥0)
2) a) 16√2
3
b)−
85
12
√25
3
c)10√2
3
d)−
19
3
√2
3
e) 7√3
3
− 3√5
3
f) 4√3
3
− 3√2
3
3) a) 7√3𝑎23
b) (𝑎 + 2)2
√2𝑎
3
4) a)
109√6
48
b)
7
2
√3
5) a) √2
3
+
1
2
b) (𝑎 − 𝑥)√5𝑥 (x≥0) c)
31
2
√3
d) 9√𝑥 + 3 (x≥-3) e) (𝑎 + 𝑏)2
√𝑥 (x≥0)
MAIS EXERCÍCIOS
1) (Giovanni, Castrucci, Giovanni Jr) Determine
os perímetros das figuras a seguir:

21
2) (Giovanni, Castrucci, Giovanni Jr) Qual é o
perímetro de um triângulo de lados 4√96 cm,
5√216 cm e 4√486 cm ?
3) (Giovanni, Castrucci, Giovanni Jr) Considere
que √5 = 2,23 e que √2 = 1,41 dê o valor de
√5000 + √500 + √50 + √5
4) (Giovanni, Castrucci, Giovanni Jr)
Simplifique:
a)
3√20+√80−2√45
8
b)
√28+√175
√63
c)
√50−√18
√200
5) (Giovanni, Castrucci, Giovanni Jr) Dados a,
b, c, tais que:
𝑎 = 1 − √8
𝑏 = 1 + √50
𝑐 = 2 − √98
Calcule:
a) 𝑎 + 𝑏 + 𝑐
b) 𝑎 − 𝑏 − 𝑐
Multiplicação de Radicais
QUADRO
Multiplicação de Radicais
a)√5 ∙ √2 = √10
b)√2
4
∙ √8
4
= √16
4
= √244
= 2
c)5√3 ∙ 3√ 𝑎 = 15√3𝑎 (a≥0)
d) √ 𝑥 ∙ √𝑥3 𝑦 ∙ √ 𝑦 = √𝑥4 𝑦2 = 𝑥2
𝑦 (x,y≥0)
1)(Edwaldo Bianchini) Determine os produtos
a) √5
3
∙ √6
3
b) √2 ∙ √8
c) √2 ∙ √6 ∙ √3
d) √5 ∙ √10
e) √4
3
∙ √6
3
f) √𝑎34
∙ √𝑎54
(a≥0)
g) 3√2 ∙ 4√3 ∙ √15
h) √𝑎2 𝑏 ∙ √𝑎𝑏3 (a,b≥0)
i) 5√
2
3
∙ √
5
3
GABARITO
a)√30
3
b) 4 c) 6 d) 5√2 e) 2√3
3
f) 𝑎2
g) 36√10 h) 𝑎𝑏2
√ 𝑎 i)
5√10
3
QUADRO
2º Caso: Radicais com índices diferentes
Reduz-se ao mesmo índice
a) √2 ∙ √2
3
= √236
∙ √226
= √256
b) √3 ∙ √2
4
= √324
∙ √2
4
= √18
4
c) √ 𝑎
3
∙ √ 𝑥4
= √𝑎412
∙ √𝑥312
= √𝑎4 𝑥312
(x≥0)
2)(Edwaldo Bianchini) Determine os produtos:
a)√3 ∙ √323
b)√4
3
∙ √8
c)√3
3
∙ √2 ∙ √4
4
d)√ 𝑥4
∙ √𝑥3 (x≥0)
e)√ 𝑎
3
∙ √ 𝑎4
∙ √ 𝑎
5
(a≥0)
f)√ 𝑥
6
∙ √𝑥23
∙ √ 𝑥 (x≥0)
GABARITO
a)3√3
6
b) 4√2
6
c) 2√3
3
d) 𝑥√𝑥34
e) √𝑎4760
f) 𝑥√ 𝑥3
QUADRO
3º Caso: Produto de uma soma de radicais não
semelhantes por um radical
Usa-se a Propriedade Distributiva
a) √2(√2 + 2) = √4 + 2√2 = 2 + 2√2
b) √3(√2 − √3) = √6 − √9 = √6 − 3
c)(5 + √7)(2 − √7) = 10 − 5√7 + 2√7 − √49 =
10 − 5√7 + 2√7 − 7 = 3 − 3√7
3)(Edwaldo Bianchini) Determine os produtos:
a) √5(1 + √5)
b) √7(√2 + √3)
c) 2√3(√3 + 2)
d) (√5 + 10)(√5 − 1)
e) (3√2 − 2)(√2 + 3)
f) (√7 − 1)(√7 + 4)
GABARITO
a) √5 + 5 b) √14 + √21 c) 6 + 4√3
d) 9√5 − 5 e) 7√2 f) 3√7 + 3

22
Divisão de Radicais
QUADRO
Divisão de Radicais
a)√20: √10 = √2
b) √𝑥5: √𝑥4 = √ 𝑥 (a≥0)
c)√32
3
: √4
3
= √8
3
= 2
d) √4: √25 = √
4
25
=
2
5
2º Caso: Produto de uma soma de radicais não
semelhantes por um radical
a) √2: √2
3
= √236
: √226
= √2
6
b) √6
3
: √3 = √626
: √336
= √36
6
: √27
6
= √
36
27
6
= √
4
3
6
1)(Edwaldo Bianchini) Determine os quocientes:
a)√12: √3
b)√50: √2
c)
√49
√25
d)
√2
√3
e)√𝑎83
: √𝑎23
f)√15𝑥25
: √3𝑥
5
(x>0)
g)√3
3
: √4
3
h)12√6:3√2
2)(Edwaldo Bianchini) Determine os quocientes:
a)√9
3
: √3
b)√4
3
: √2
c)√𝑎34
: √𝑎25
(a>0)
d)√4
4
: √8
6
e)
√6
6
√2
f)
√ 𝑎
3
√ 𝑎
6 (a>0)
GABARITO
1)a)2 b) 5 c) 7/5 d)√6/3 e) a² f) √5𝑥
5
g) √
3
4
3
h)4√3
2)a)√3
6
b) √2
6
c) √𝑎720
d) 1 e) √
3
4
6
f) √𝑎
6
3) (A Conquista da Matemática) A área de um
triângulo é dada pela metade do produto da
medida da base pela medida da altura. Nessas
condições, calcule, na forma decimal, a área do
triângulo da figura, adotando que √3 ≈ 1,73
4)(A Conquista da Matemática)No retângulo
seguinte, as medidas indicadas são dadas em
centímetros. Determine:
a) o perímetro do retângulo
b) a área do retângulo
5)(A Conquista da Matemática)Determine o
perímetro e a área do retângulo da figura abaixo
6)(A Conquista da Matemática)Qual é a área do
triângulo da figura a seguir?
7)(A Conquista da Matemática)Qual é o número
real x expresso por
√6(√2 + 1) − √2 ∙ √3 ?
8)(A Conquista da Matemática)Usando a
definição, calcule:
a)(1 + √5)
2
b)(√5 + √3)
2
c)(2 − √3)
2
d)(√7 − √2)
2
Potenciação de Radicais
QUADRO
Basta usar as propriedades que já aprendemos no
decorrer do módulo:
Exemplos:
a)(√3)
2
= 5 (cancelamento)
b)(√4
5
)
5
= 4
c)(√9
3
)
2
= √923
= √(32)23
= √343
= √33 ∙ 3
3
=
= √333
∙ √3
3
= 3√3
3
(uma sucessão de operações
todas estudadas nesse módulo B5)
d)(√ 𝑎
6
)
5
= √𝑎56
(não há mais como simplificar)

23
1) (Edwaldo Bianchini) Calcule as potências,
supondo nos itens “m” e “n” valores positivos :
a)(√5)
2
b)(√2)
2
c)(√3
3
)
4
d) (√5)
3
e) (√3
3
)
5
f) (3√5)
2
g) (2√3
3
)
4
h) (3√𝑎23
)
2
i) (2√25)
2
j) (𝑥√ 𝑦3
)
4
k)(𝑎√ 𝑎)
5
l) (√𝑎𝑏23
)
3
m)(
𝑎
𝑏
√
𝑏
𝑎
)
2
n)(
2𝑥
𝑦
√
𝑦
4𝑥
4
)
5
o)(
2
5
√3𝑥)
3
QUADRO
Vamos aplicar os produtos notáveis em radicais:
Exemplos:
a)(√3 + √5)
2
= (√3)
2
+ 2√3√5 + (√5)
2
=
3 + 2√15 + 5 = 8 + 2√15 .
(usamos o quadrado da soma)
b)(3 − √2)
2
= 32
− 2 ∙ 3√2 + (√2)
2
=
9 − 6√2 + 2=11 − 6√2.
(usamos o quadrado da diferença)
c)(5 − √3)(5 + √3) = 52
− (√3)
2
= 25 − 3 = 22
(usamos o produto da soma pela diferença)
2)(A Conquista da Matemática)Aplicando a regra
dos produtos notáveis, calcule:
a)(√3 + √2)
2
b)(1 − √7)
2
c)(4√2 + 5)(4√2 − 5)
d)(2 + √10)
2
e)(√11 + √7)(√11 − √7)
f)(3√3 + √2)
2
g)(7 + √19)(7 − √19)
h)(−3√5 + 1)(−3√5 − 1)
3) Desenvolva 4√8 − (√2)
3
.
Radiciação de Radicais
QUADRO
Basta usar as propriedades que já aprendemos no
decorrer do módulo:
Exemplos:
a)√√5 = √5
4
b)√√√3
34
= √3
24
c)√√80 = √80
4
= √245
4
= 2√5
4
d)√3√2 = √√322 = √18
4
(note que introduzimos o fator
externo no radicando)
Verifique que essa propriedade, já estudada
anteriormente, é coerente
√√5
4
3
= (√5
4
)
1
3
= (5
1
4)
1
3
= 5
1
12 = √5
12
1)(Edwaldo Bianchini) Efetue as radiciações:
a)√√10
5
b)√√8
3
c)√√4
3
d)√√5
43
e) √√27
3
d) √√32
5
e)√√√ 𝑎
f)√√√𝑎123
3
g)√2√2
3
h)√ 𝑎√2
QUADRO
Quando temos um trinômio quadrado perfeito, é fácil
calcular sua raiz quadrada:
√ 𝑥2 − 6𝑥 + 9 = √(𝑥 − 3)2 = 𝑥 − 3
(satisfeitas condições de existência)
No caso do polinômio cubo perfeito, o mesmo raciocínio
(no caso você deve ter feito o aprofundamento interessante
da alua 5):
√ 𝑥3 + 3𝑥2 + 3𝑥 + 1
3
= √(𝑥 + 1)33
= 𝑥 + 1
1) Efetue, supondo satisfeitas as condições de
existência:
a) √4𝑥2 + 4𝑥 + 1
b) √𝑥2 − 10𝑥 + 25
c) √
𝑥2−8𝑥+16
𝑥2+4𝑥+4
d)√
𝑥3+2𝑥2+𝑥
𝑥
*e)√𝑥3 + 6𝑥2 + 12𝑥 + 8
3

24
VB.1 AULA 5 – Relações Métricas no Triângulo Retângulo
Submódulo VB.1
Muitos estranham essa inserção no B5, porém, entendemos ser necessário
dominar o Teorema de Pitágoras e algumas aplicações o mais cedo possível.
Deixar para o B6 tema tão importante poderia ser um erro. Por isso inserimos
aqui no VB1.1.
s
O Teorema de Pitágoras
QUADRO
Já estudamos o Teorema de Pitágoras na Aula
9 e no submódulo 4.2:
A soma dos quadrados dos catetos é igual ao
quadrado da hipotenusa!
Exemplo de aplicação com radicais:
Note que se o valor desconhecido for um dos
catetos, você deve reajustar as fórmulas:
.
Teoria sobre o Teorema de
Pitágoras 9:10
https://youtu.be/xDE-oO6ndzE
Correção em vídeo da lista
de 10 exercícios abaixo
27:37
https://goo.gl/enPkiq
EXERCÍCIOS BÁSICOS
Correção em vídeo 5:49
Ex. 1
https://youtu.be/U-cERDc-6uA
1) Ache o valor de x em cada caso:

25
Ex. 2
https://youtu.be/GF0nCQCwMz0
Ex. 3
https://youtu.be/W1bIcf1H-q4
3) Ache a medida da diagonal:
Ex. 4
https://youtu.be/PgoEM1i0bls
4) Ache a medida do lado do quadrado:
Ex. 5
https://youtu.be/lFN1dT5ds3g
5) (Pitágoras – UTP Tripod – Portugal) Calcule
a área das figuras:
Ex. 6
https://youtu.be/whWq2w3fpek
6) (IFSP/2015) O transporte alternativo é uma maneira
de se locomover usando um meio diferente dos mais
tradicionais. A bicicleta é um exemplo disso. Em alguns
lugares, ela é usada porque é mais barata, como no
interior do Brasil e em países como a Índia e China.
Outras pessoas escolhem andar de bicicleta por uma
questão ideológica, porque elas não agridem o meio
ambiente e não causam tantos transtornos quanto os
carros. Usando uma bicicleta, uma pessoa sai do ponto
A e se dirige ao ponto B. O percurso, dado em km,
representado pelos segmentos AC, CD e DB está
esboçado no gráfico abaixo.
Considerando √2 = 1,4, assinale a alternativa que
apresenta a distância percorrida pela pessoa do ponto
A ao ponto B.
a) 56 km. b) 21 km. c) 20 km.
d) 15 km. e) 10 km.
Ex. 7
https://youtu.be/rxAtCzc_AeE

26
7) O exercício abaixo foi notícia pois relaciona o
cotidiano dos estudantes com o Teorema de Pitágoras.
O exercício foi elaborado pela professora Claire
(@tqlsnrise), professora de um subúrbio em Paris.
Cristiano Ronaldo está com ciúmes do dab de Paul
Pogba e tenta demonstrar que ele não é perfeito.
Segundo a Declaração Universal dos Direitos do Dab
(DUDDDD), o dab só é perfeito se os triângulos
representados na figura forem retângulos. Será o dab
de Pogba perfeito?
a)Não, pois só o braço esquerdo responde às regras do
Teorema de Pitágoras.
b)Não, pois só o braço direito responde às regras do Teorema
de Pitágoras.
c)Não, pois nenhum dos braços responde às regras do
Teorema de Pitágoras.
d)Sim, pois ambos braços responde às regras do Teorema de
Pitágoras.
e) Não é possível concluir.
Fonte: http://www.dn.pt/desporto/interior/o-teorema-de-pitagoras-explicado-por-pogba-e-
cristiano-ronaldo-5499775.html
Ex. 8
https://youtu.be/THQKakZuLJA
8) (UERJ) Millôr Fernandes, em uma bela homenagem à
Matemática, escreveu um poema do qual extraímos o
fragmento abaixo:
Às folhas tantas de um livro de Matemática,
um Quociente apaixonou-se um dia doidamente
por uma Incógnita.
Olhou-a com seu olhar inumerável
e viu-a do ápice à base: uma figura ímpar;
olhos rombóides, boca trapezóide,
corpo retangular, seios esferóides.
Fez da sua uma vida paralela à dela,
até que se encontraram no Infinito.
"Quem és tu?" – indagou ele em ânsia radical.
"Sou a soma dos quadrados dos catetos.
Mas pode me chamar de hipotenusa."
(Millôr Fernandes. Trinta Anos de Mim Mesmo.)
A Incógnita se enganou ao dizer quem era. Para atender ao
Teorema de Pitágoras, deveria dar a seguinte resposta:
(A) "Sou a soma dos catetos. Mas pode me chamar de
hipotenusa."
(B) "Sou o quadrado da soma dos catetos. Mas pode me
chamar de hipotenusa."
(C) "Sou o quadrado da soma dos catetos. Mas pode me
chamar de quadrado da hipotenusa."
(D) "Sou a soma dos quadrados dos catetos. Mas pode me
chamar de quadrado da hipotenusa."
Ex. 9
https://youtu.be/lyKlrXMLXEE
9) (Mundo Educação) A distância entre os muros laterais de
um lote retangular é exatamente 12 metros. Sabendo que
uma diagonal desse lote mede 20 metros, qual é a medida do
portão até o muro do fundo?
a) 8 metros b) 10 metros c) 12 metros
d) 14 metros e) 16 metros
Ex. 10
https://youtu.be/HbnMnc3Rmn4
10) (ENEM). Na figura abaixo, que representa o projeto de
uma escada de 5 degraus de mesma altura, o comprimento
total do corrimão é igual a:
A) 1,8 m. B) 1,9 m. C) 2,0 m.
D) 2,1 m E) 2,2 m.
Fonte: https://portalmath.wordpress.com/tag/hipotenusa/
MAIS EXERCÍCIOS

27
3) Ache o valor de u nos trapézios:

28
4) Ache o valor de x e y:
Aplicações do Teorema de Pitágoras
QUADRO
Existem três aplicações do Teorema de
Pitágoras mais clássicas:
- Diagonal do Quadrado
- Altura do Triângulo Equilátero
- Área do Triângulo Equilátero
DIAGONAL DO QUADRADO
Fórmula:
𝒅 = 𝓵√𝟐
Diagonal Do Quadrado
3:15
https://youtu.be/kcMjqBNqgrU
QUADRO
ALTURA DO TRIÂNGULO EQUILÁTERO
Fórmula:
𝒉 =
𝓵√ 𝟑
𝟐
Altura do Triângulo Equilátero
7:08
https://youtu.be/2gfOj3Dzmmg
QUADRO
ÁREA DO TRIÂNGULO EQUILÁTERO
Fórmula:
𝑨 =
𝓵 𝟐
√ 𝟑
𝟒
Área do Triângulo Equilátero
3:42
https://youtu.be/XetxGLJbEA4

29
Exercícios abaixo do Colégio NOMELINI Anglo:
(faça no caderno)
Ex. 1 a 14
https://goo.gl/FBtbZw
1- O perímetro de um quadrado é 20 cm. Determine
sua diagonal. Resp. 5√2 cm.
2- A diagonal de um quadrado tem 7√2 cm. Determine
o perímetro do quadrado. Resp. 28 cm.
3- O perímetro de um retângulo é 14 cm. Um dos
lados mede 4 cm. Determine a diagonal do
retângulo. Resp. 5 cm
4- Calcule a altura de um triângulo eqüilátero cujo lado
mede 4√3 cm.
5- O perímetro de um triângulo eqüilátero é 18 cm.
Calcule a altura do triângulo. Resp. 3√3 cm.
6- A altura de um triângulo eqüilátero mede 5√3 cm.
Calcule o perímetro deste triângulo. Resp. 30 cm.
7- Calcule a altura de um triângulo isósceles, sabendo
que os lados congruentes medem 25 cm cada um
e a base 14 cm. Resp. 24 cm.
8- Um retângulo que mede 2cm x 3 cm, quanto mede
sua diagonal? Resp. d = √13
9- Em um losango a diagonal maior mede 24 cm e a
menor 10 cm, quanto mede o lado do losango?
Resp. l = 13 cm
10- As diagonais do losango medem 10 cm e 24 cm.
Determine o perímetro do losango. Resp. p = 52
cm
11- O lado de um losango mede 17 cm e uma de suas
diagonais tem 30 cm. Determine a outra diagonal.
Resp. 16 cm
12- Um trapézio retângulo de 15 cm de altura tem as
bases medindo 10 cm e 18 cm. Determine o lado
oblíquo do trapézio. Resp. 17 cm
13- As bases de um trapézio isósceles medem 17 cm e
5 cm e od lados iguais medem 10 cm cada.
Determine a altura do trapézio. Resp. 8 cm
14- Um triângulo retângulo e isósceles está inscrito
numa circunferência de 9 cm de raio. Determine a
medida dos lados congruentes do triângulo. Resp.
9√2 cm
Relações Métricas no Triângulo
Retângulo
LEIA COM ATENÇÃO
ESSE QUADRO
Vamos apresentar as fórmulas e os nomes, mas é
fundamental que vocês assistam os vídeos (os dois
conjuntos em Playlist), que totalizam quase 50
minutos de vídeo:
NOTE QUE: 1) Todo triângulo tem 3 alturas, e o triângulo
retângulo tem 2 delas coincidentes com os catetos. A
terceira altura, em relação à hipotenusa, é chamada de h.
2) As projeções m e n são relativas aos catetos b e c,
conforme indicado na figura. Mas há fontes em livros e na
Internet que associam as projeções m e n com os catetos
c e b respectivamente (o contrário).
RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO
RETÂNGULO
Teoria sobre Relações
Métricas no Triângulo
Retângulo 30:19
https://goo.gl/P4Bt9W
DEMONSTRAÇÃO DAS RELAÇÕES MÉTRICAS – Anote a
explicação do professor feita em vídeo para compreender
todas as relações e de onde elas saem – é preciso dominar
o assunto de semelhança de triângulos

30
Demonstração das Relações
Métricas no Triângulo
Retângulo 18:01
https://youtu.be/AdhvcMBKUUc
1) (Maria Helena M² Baccar – Colégio Pedro II)
Determine as medidas a, h, m e n no triângulo
retângulo ABC a seguir.
Determine os valores de b, c e h no triângulo
retângulo ABC abaixo.
Em um retângulo ABCD, tem-se AB = 8 cm e BC
= 6 cm. Determine:
a) a medida da diagonal AC ;
b) a distância do ponto B à diagonal AC ;
c) a medida da projeção ortogonal do lado
AB sobre a diagonal AC .
Em um triângulo retângulo ABC, a hipotenusa BC
e o cateto AB medem 30cm e 18cm,
respectivamente. Traça-se a altura AH . Calcule
as medidas dos segmentos AC e AH .
5 ) (Maria Helena M² Baccar – Colégio Pedro II)
Na figura, o triângulo ABC é retângulo em Â.
Sabendo-se que AD = 2, CD = 8 e BD = 5, a
medida do lado BC é (CUIDADO!)
a) 11 b) 12 c) 13 d) 14
6 ) (Maria Helena M² Baccar – Colégio Pedro II)
Em uma residência, há uma área de lazer com
uma piscina redonda de 5 m de diâmetro. Nessa
área há um coqueiro, representado na figura por
um ponto Q.
Se a distância de Q (coqueiro) ao ponto de
tangência T (da piscina) é 6 m, a distância d=QP,
do coqueiro à piscina, é:
a) 4 m b) 4,5 m c) 5 m d) 5,5 m e) 6 m
7) (Colégio Pentágono) Em uma residência, há
uma área de lazer com uma piscina redonda de 5
m de diâmetro. Nessa área há um coqueiro,
representado na figura por um ponto Q.
Se a distância de Q (coqueiro) ao ponto de
tangência T (da piscina) é 6 m, a distância d = QP,
do coqueiro à piscina, é:
a) 4 m b) 4,5 m c) 5 m d) 5,5 m e) 6 m
8) (Colégio Pentágono) No triângulo EMA
suponha que MA = 3cm, AE=4cm e ME=5cm.
Calcule a medida x
(dica: primeiro calcule IA, depois EI, depois IM ...)

31
9) (Colégio Pentágono) A chácara de Ângela tem
a forma de um triângulo retângulo e as dimensões
indicadas na figura. Qual a distância entre o portão
e o poço?
10) (Colégio Pentágono) A figura representa a
vista frontal de uma casa. Determine as medidas
x, y e h das dimensões do telhado dessa casa.
QUADRO
MNEMÔNICA PARA DECORAR
Fonte: Objetivo

32
VB.2 AULA 6 – Equações Fracionárias do 1º Grau
Submódulo VB.2
AULA 26 do módulo B5 (ESTÁ NA APOSTILA DO B5 – 1ª VERSÃO)
Esse é um assunto típico do 8º ano e exige que você tenha pleno domínio de
Fatoração de Polinômios. Para aprender esse assunto você precisará treinar
muito.
s
Equações Fracionárias do 1º Grau
QUADRO
Exemplo 1:
3
𝑥
+
5
2
= 4
Condição de Existência – denominador não pode
ser zero
𝑥 ≠ 0
Logo:
𝑈 = ℝ − {0}
OBS: ℝ − {0} = ℝ∗
O mmc de 𝑥 e 2 é 2𝑥:
6
2𝑥
+
5𝑥
2𝑥
=
8𝑥
2𝑥
Como 2𝑥 não é zero, podemos cancelar os
denominadores
6 + 5𝑥 = 8𝑥
8𝑥 − 5𝑥 = 6
3𝑥 = 6
𝑥 =
6
3
𝑥 = 2
Logo:
𝑆 = {2}
Exemplo 2
2𝑥
𝑥 + 3
− 2 =
5
𝑥
Condições de Existência:
𝑥 + 3 ≠ 0 → 𝑥 ≠ −3
𝑥 ≠ 0
𝑈 = ℝ − {−3,0}
MMC dos denominadores
𝑥(𝑥 + 3)
Resolução:
2𝑥2
𝑥(𝑥 + 3)
−
2𝑥(𝑥 + 3)
𝑥(𝑥 + 3)
=
5(𝑥 + 3)
𝑥(𝑥 + 3)
2𝑥2
− 2𝑥(𝑥 + 3) = 5(𝑥 + 3)
2𝑥2
− 2𝑥2
− 6𝑥 = 5𝑥 + 15
−6𝑥 − 5𝑥 = 15
−11𝑥 = 15
11𝑥 = −15
𝑥 = −
15
11
Solução:
𝑆 = {−
15
11
}
Exemplo 3
6
𝑥2 − 9
+
𝑥 + 4
𝑥 + 3
=
𝑥 + 6
𝑥 − 3
Condição de Existência
(𝑥2
− 9) = (𝑥 + 3)(𝑥 − 3)
𝑥 + 3 ≠ 0 → 𝑥 ≠ −3
𝑥 − 3 ≠ 0 → 𝑥 ≠ 3
𝑈 = ℝ − {−3,3}
MMC dos denominadores:
(𝑥 + 3)(𝑥 − 3)
Resolução:
6
(𝑥 + 3)(𝑥 − 3)
+
(𝑥 + 4)(𝑥 − 3)
(𝑥 + 3)(𝑥 − 3)
=
(𝑥 + 6)(𝑥 + 3)
(𝑥 + 3)(𝑥 − 3)
6 + (𝑥 + 4)(𝑥 − 3) = (𝑥 + 6)(𝑥 + 3)
6 + 𝑥2
+ 4𝑥 − 3𝑥 − 12 = 𝑥2
+ 6𝑥 + 3𝑥 + 18
4𝑥 − 3𝑥 − 6𝑥 − 3𝑥 = +18 + 12 − 6
−8𝑥 = +24
8𝑥 = −24
𝑥 = −
24
8
𝑥 = −3
Mas como -3 está excluído da condição de
existência
𝑆 = ∅
1)(Edwaldo Bianchini) Resolva as equações
fracionárias em seu caderno. A condição de
existência precisa ser encontrada:
a)
4
5
−
1
𝑥
=
17
15
𝑆 = {−3}
b)2 +
2
𝑥
=
1
2𝑥
𝑆 = {−
3
4
}

33
c)
1
2𝑥
+
3
4
=
4
3𝑥
+
1
3
𝑆 = {2}
d)
1
𝑥
+
2
𝑥
=
3
2𝑥2 𝑆 = {
1
2
}
e)
𝑥−2
𝑥
=
1
2
𝑆 = {4}
f)
3𝑥−1
2𝑥
=
2
5
𝑆 = {
5
11
}
2) (Edwaldo Bianchini) Resolva as equações
a)
12
𝑥
=
4
𝑥−2
𝑆 = {3}
b)
4𝑥
3𝑥−2
= 2 𝑆 = {2}
c)
2
𝑥−3
−
1
4
=
5
𝑥−3
−
1
3
𝑆 = {39}
d)
8
𝑥−1
=
2
3𝑥−1
𝑆 = {
3
11
}
e)
𝑥+4
𝑥−5
=
𝑥−3
𝑥+1
𝑆 = {
11
13
}
f)
5𝑥−1
𝑥+2
=
5𝑥+1
𝑥−2
𝑆 = {0}
3) (Edwaldo Bianchini) Resolva as equações
a)
8
𝑥2−4
+
𝑥+1
𝑥−2
=
𝑥
𝑥+2
𝑆 = ∅
b)
𝑥+3
𝑥−1
+
2
𝑥2−1
=
𝑥−2
𝑥+1
𝑆 = {−
3
7
}
c)
2
𝑥−3
+
4
𝑥2−9
= 0 𝑆 = {−5}
d)
3𝑥
𝑥−4
−
𝑥+1
𝑥+4
=
2𝑥2+19
𝑥2−16
𝑆 = {1}
e)
𝑥−1
𝑥(𝑥+3)
+
1
𝑥−3
=
2𝑥2+6
𝑥(𝑥2−9)
𝑆 = ∅
f)
𝑥+2
2𝑥−1
−
𝑥−3
𝑥−5
=
−8+3𝑥−𝑥2
(𝑥−5)(2𝑥−1)
𝑆 = ∅
*4) (Edwaldo Bianchini) Resolva as equações
a)
2
𝑥+2
+
8𝑥−1
𝑥2+5𝑥+6
=
5
𝑥+3
𝑆 = {1}
b)
𝑥
𝑥−1
+
2𝑥
𝑥+2
=
3𝑥2−𝑥+2
𝑥2+𝑥−2
𝑆 = {2}
c)
𝑥+7
𝑥+3
−
𝑥−4
𝑥−3
=
3𝑥+1
𝑥2−9
𝑆 = {5}
d)
𝑥+7
𝑥+5
−
𝑥+6
𝑥+4
=
𝑥
𝑥2+9𝑥+20
𝑆 = {−2}
5) (Adaptado – Brasil Escola) Associe os
problemas com as equações correspondentes:
a)R$ 14.000,00 deveriam ser distribuídos
igualmente a um certo número de pessoas. Antes
de a distribuição ser feita, 10 pessoas foram
embora, sendo necessário distribuir apenas R$
12.000,00 para que cada um recebesse o mesmo
valor que receberia no inicio. Qual era o número
de pessoas inicialmente?
b)Carlos executou um trabalho em 8 dias. Mário
executou o mesmo trabalho em x dias. Juntos,
eles executaram o mesmo trabalho em 3 dias.
Determine o valor de x.
c)Um veículo com uma velocidade média percorre
4000 km que separam a cidade A da cidade B em
x horas. Outro veículo, com a mesma velocidade
média do primeiro, percorre os 2200 km que
separam a cidade C da cidade D em (x – 12)
horas. Determine o valor de x. Calculamos a
velocidade média de um móvel dividindo o espaço
percorrido por ele pelo tempo gasto no percurso.
( ) ( )
( )
6) Resolva os problemas obrigatoriamente por
equações:
a)(Brasil Escola) Uma confecção produzia
diariamente 200 calças. Após a contratação de 20
costureiras, a fábrica passou a produzir 240
calças. Quantas costureiras trabalhavam nessa
confecção antes dessa contratação?
b) A soma de um número com o inverso do seu
consecutivo é igual ao próprio número menos uma
unidade. Que número é esse?
c)A razão entre a idade que Luciana terá daqui a
5 anos e a idade que ela tinha há 5 anos é 3/2.
Qual a idade atual de Luciana?
7) Numa distribuição de 720 kg de alimentos, duas
famílias não compareceram, o que permitiu que
cada uma das outras famílias recebesse 40
quilogramas de alimentos.
a) Quantas eram as famílias que deveriam receber
alimentos?
b) Quantas famílias compareceram?
c) Se todas as famílias tivessem comparecido,
quantos quilogramas de alimentos cada uma
receberia?

34
VB.2 AULA 7 – Equações Literais
Submódulo VB.2
Esse módulo será inserido no PODEMOS B6.1, porém, não está ainda inserido
no material oficial, que ainda não está pronto, pois a primeira oferta do B6 se
inicia em março/2018.
Esse assunto exige domínio de Fatoração de Polinômios e é impossível
dominá-lo sem você treinar as equações em casa. E um assunto típico do 8º
ano. Algumas equações a seguir são muito difíceis.
s
Equações Literais
QUADRO
Observe as seguintes equações na
variável x:
a) ax=b
b) 3x-2x=d
c) (2x-m)(3x-2)=2p
Além da variável x existem outras letras
que estão representando coeficientes. Essas
letras são chamadas parâmetros.
Na equação ax=b, a variável x é os
parâmetros são as letras a e b. Esses parâmetros
são usados como se fossem números (variáveis).
Equações como essa são chamadas
equações literais.
Exemplos (Ismael Reis):
a) 4𝑥 + 3𝑎 = 2𝑥 + 7𝑎, na variável x
4𝑥 − 2𝑥 = 7𝑎 − 3𝑎
2𝑥 = 4𝑎
𝑥 =
4𝑎
2
𝑥 = 2𝑎
𝑆 = {2𝑎}
Note que o que não é a variável, vai para o segundo
membro como número
b) 4𝑥 + 3𝑎 = 2𝑥 + 7𝑎, na variável a
3𝑎 − 7𝑎 = 2𝑥 − 4𝑥
−4𝑎 = −2𝑥
4𝑎 = 2𝑥
𝑎 =
2𝑥
4
𝑎 =
𝑥
2
𝑆 = {
𝑥
2
}
c) 2𝑚𝑥 − 6𝑎 = 3𝑏 − 6𝑚𝑥
2𝑚𝑥 + 6𝑚𝑥 = 3𝑏 + 6𝑎
8𝑚𝑥 = 3𝑏 + 6𝑎
𝑥 =
3𝑏 + 6𝑎
8𝑚
Condição de existência 𝑚 ≠ 0
𝑆 = {
3𝑏 + 6𝑎
8𝑚
, 𝑐𝑜𝑚 𝑚 ≠ 0}
d) 𝑎𝑥 + 3 = 2(3𝑏 − 𝑥)
𝑎𝑥 + 3 = 6𝑏 − 2𝑥
𝑎𝑥 + 2𝑥 = 6𝑏 − 3
𝑥(𝑎 + 2) = 6𝑏 − 3
𝑥 =
6𝑏 − 3
𝑎 + 2
Condição de existência 𝑎 ≠ −2
𝑆 = {
6𝑏 − 3
𝑎 + 2
, 𝑐𝑜𝑚 𝑎 ≠ −2}
e) 𝑎 −
𝑥
𝑏
=
𝑥
𝑎
− 𝑏
Condição de existência inicial 𝑎 ≠ 0 e b≠ 0
𝑎2
𝑏 − 𝑎𝑥
𝑎𝑏
=
𝑏𝑥 − 𝑎𝑏2
𝑎𝑏
−𝑎𝑥 − 𝑏𝑥 = −𝑎𝑏2
− 𝑎2
𝑏
𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 = 𝑎𝑏2
− 𝑎2
𝑏
𝑥(𝑎 + 𝑏) = 𝑎𝑏(𝑏 + 𝑎)
Note que 𝑎 + 𝑏 podemos sempre trocar por 𝑏 + 𝑎 e
vice-versa
𝑥 =
𝑎𝑏(𝑎 + 𝑏)
𝑎 + 𝑏
Supondo que 𝑎 + 𝑏 ≠ 0 que equivale a 𝑎 ≠ −𝑏,
cancelamos e ficamos com
𝑥 = 𝑎𝑏
𝑆 = {𝑎𝑏, 𝑐𝑜𝑚 𝑎 ≠ 0, 𝑏 ≠ 0 𝑒 𝑎 ≠ −𝑏}
Fique atento que essa equação em “e” não é
fracionária, ainda que use um método parecido de
mmc. Equações fracionárias dependem da variável
no denominador.

35
1) (Ismael Reis) Resolva no caderno as seguintes
equações literais na variável x com 𝑈 = ℝ.
a) 𝑎𝑥 = 𝑏 + 𝑐𝑥 Resposta:
𝑏
𝑎−𝑐
com a≠c
b) 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 − 𝑐 = 𝑥 Resp:
𝑐
𝑎+𝑏−1
com a+b-1≠ 0
c) 𝑎𝑥 − 7 = 5𝑥 + 8 Resp:
15
𝑎−5
com a≠5
d) 2𝑎 + 𝑥 = 𝑎 + 1 Resp: 1 − 𝑎
e) 𝑎(𝑥 − 2) = 2(3 − 𝑥) + 𝑎 Resp: 3 com a≠-2
f) 𝑎(𝑥 − 1) + 𝑏(𝑥 + 1) = 0 Resp:
𝑎−𝑏
𝑎+𝑏
com a ≠ -b
g)
𝑥
𝑎
+
𝑥
𝑏
= 1 Resp:
𝑎𝑏
𝑎+𝑏
com a≠0, b ≠0 e a≠-b.
h)
𝑥−𝑎
𝑏
+
𝑥−𝑏
𝑎
= 0 Resp:
𝑎2+𝑏2
𝑎+𝑏
com a≠0, b ≠0 e a≠-b.
i)
𝑎𝑥−𝑏
𝑐
+ 𝑎 =
𝑥+𝑎𝑐
𝑐
Resp:
𝑏
𝑎−1
com c≠0 e a≠1
j)𝑎 +
𝑥−𝑎
𝑏
= 𝑏 +
𝑥−𝑏
𝑎
R: 𝑎 + 𝑏 − 𝑎𝑏 c/ a≠0, b ≠0 e a≠b.
k)
𝑥−𝑎
𝑎𝑏
−
𝑥−𝑏
𝑎𝑐
=
𝑥−𝑐
𝑏𝑐
R:
𝑏2
𝑎+𝑏−𝑐
com a≠0, b ≠0 e a+b≠c.
l)
𝑎(𝑥−𝑎)
𝑏
+
𝑏(𝑥−𝑏)
𝑎
= 𝑥 R: 𝑎 + 𝑏 a≠0, b ≠0 e a²+b²≠ab.
m)
2𝑥+𝑏
𝑎
−
𝑥−𝑎
𝑏
=
3𝑏𝑥+(𝑏−𝑎)2
𝑎𝑏
R:
2𝑎𝑏
𝑎+𝑏
c/ a≠0, b ≠0 e a≠-b.
n)
𝑥−𝑎2
𝑏
+
𝑥−𝑏2
𝑎
= 𝑎 + 𝑏 R: 𝑎2
+ 𝑏2
c/ a≠0, b ≠0 e a≠-b.
o)
𝑥
𝑎
+
𝑎
𝑏
(𝑎 − 𝑥) −
𝑏
𝑎
(𝑥 − 𝑎) = 1 R:a c/ a≠0, b ≠0 e a²+b²≠b.
2) (Ismael Reis) Resolva no caderno as seguintes
equações literais na variável x com 𝑈 = ℝ.
a)𝑎𝑥 −
1
3
= 2𝑥 R:
1
3𝑎−6
com a≠2
b)𝑚𝑥 −
1
2
𝑥 = 5 R:
10
2𝑚−1
com m≠
1
2
c)3𝑚(5𝑥 + 1) = 10 + 3𝑚 R:
2
3𝑚
com 𝑚 ≠ 0
d)𝑚2
𝑥 + 𝑥 = 𝑚3
+ 𝑚𝑥 + 1 R: 𝑚 + 1 com 𝑚2
≠ 𝑚 − 1
e)𝑚𝑥 + 𝑛2
= 𝑛𝑥 + 𝑚2
R: 𝑚 + 𝑛 com m≠n
f)𝑎𝑏𝑥 + 𝑎2
= 𝑏𝑥 + 2𝑎2
− 𝑎 R:
𝑎
𝑏
com b≠0 e a≠1
g)𝑎𝑥 − 𝑎2
𝑏 + 𝑏𝑥 = 𝑎𝑏2
R: 𝑎𝑏 com a+b≠0
h)(𝑎2
− 𝑥)(𝑎2
+ 𝑥) = 𝑎4
− 2𝑎𝑥 − 𝑥2
R: 0 com a≠0
i)
2𝑎𝑥+2𝑎𝑏
𝑎𝑏
= 4 R: b com a≠0 e b≠ 0
j)
𝑥
𝑎
+ 2𝑏𝑥 − 𝑎 = 2𝑎2
𝑏 R: 𝑎2
com ab≠ −
1
2
k)
𝑎2 𝑥−𝑏2 𝑥
𝑎−𝑏
− (𝑎 − 𝑏)𝑥 = 2𝑎𝑏 R: a com a≠b e b≠ 0
l)
𝑚2 𝑛𝑥+𝑛2 𝑚𝑥
𝑚−𝑛
= 𝑚𝑥2
+ 𝑛𝑥2
R: 0,
𝑚𝑛
𝑚−𝑛
com m≠n e m≠ −𝑛
m)
𝑥−2
𝑎
−
4+𝑎2
2𝑎
=
𝑎−𝑥
2
R:
2(𝑎2+4)
𝑎+2
com a≠ −2
n)
𝑥+𝑎
𝑏−𝑎
+
𝑥+𝑏
𝑏+𝑎
−
2𝑏𝑥
𝑎2−𝑏2 = 1 + 𝑥 R:
2𝑎2
𝑏2−𝑎2−4𝑏
com 𝑏2
− 𝑎2
− 4𝑏 ≠0
o)
𝑥−𝑎
𝑎+𝑏
+
𝑥+𝑎
𝑎−𝑏
−
𝑏2
𝑎2−𝑏2 = 1 R:
𝑎−2𝑏
2
c/ a≠0, b ≠0 e a≠-b
p)
𝑥
𝑎
− 1 +
𝑥
𝑎+𝑏
+
2𝑎𝑏
𝑎2−𝑏2 =
𝑥
𝑎−𝑏
R:a c/a≠0,b ≠, a≠-b e a²-2ab-b²≠0
q)
𝑥
𝑎𝑏+𝑏2 +
𝑥
𝑎2+𝑎𝑏
=
2
𝑎𝑏
R: 2c/ a≠0, b ≠0 e a≠-b
r)
𝑎(𝑥−𝑏)
𝑎𝑏+𝑏2 −
2𝑏𝑥−𝑎𝑥
𝑎2+𝑎𝑏
= 1 −
𝑎−𝑏
𝑎+𝑏
R:
𝑎𝑏
𝑎−𝑏
c/ a≠0, b ≠0, a≠b e a≠-b
s)
3𝑎
𝑥+𝑎
−
𝑥+𝑎
𝑥−𝑎
= −
𝑥2
𝑥2−𝑎2 R: 4a c/ a≠0
t)
𝑥+𝑎+𝑏
𝑥+𝑎
=
𝑥+𝑎−𝑏
𝑥−𝑎
−
𝑎2+𝑏2
𝑥2−𝑎
R: −
𝑎+𝑏
2
c/ a≠b
3) Resolva a equação 3x-2a+3=2x-2a+4:
a) na variável x
b) na variável y
4) A Equação do Amor - Resolva a equação, na
variável x: 4x+4te=[(a+m)2
-(a-m)2
]o
5) Outra versão da equação do amor:
(Probleminha – RPM 8) Peça a alguém muito
especial que resolva esta equação:
)()(
)(
BOCX
CTE
B
AM
BBOCX
XBCAM
+
−=
+
+
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES
Resolva as equações literais na variável x:
x
aa
yxyx
xa
a
xaa
xa
x
aaxax
axaxaxxbaxaxax
22x
5
8)1)())(7
2
2
3
)6
2
3
3
2
)5
1053
4))(3)(4)3(2)33)255)1
22
=+=−−+
−
=−
+
−=−
=
−
−
+
+=−−−−=−+=−

36
VB.2 AULA 8 – Resolvendo Equações por Fatoração
Submódulo VB.2
AULA 8 do módulo B5 (ESTÁ NA APOSTILA DO B5 – 1ª VERSÃO)
Esse é um assunto típico do 8º ano e exige que você tenha pleno domínio de
Fatoração de Polinômios. Para aprender esse assunto você precisará treinar
muito.
s
Lei dos Produtos Nulos
QUADRO
Quando eu tenho vários números multiplicados e o
produto é zero, pelo menos um deles é zero.
Simplificadamente:
Se 𝑎1 ∙ 𝑎2 ∙ 𝑎3 ∙ … ∙ 𝑎 𝑛 = 0, então 𝑎1 = 0 ou 𝑎2 = 0 ou
... ou 𝑎 𝑛 = 0 (um dos números é zero).
Isso é bem útil para resolver equações:
(𝑥 − 3)(𝑥 + 4)(2𝑥 − 1) = 0
A equação acima tem 3 raízes, dependendo de
igualar cada um dos fatores a zero:
𝑥 − 3 = 0 ou 𝑥 + 4 = 0 ou 2𝑥 − 1 = 0
𝑥 = 3 ou 𝑥 = −4 ou 𝑥 =
1
2
𝑆 = {−4,
1
2
, 3}
1) Resolva as equações, na variável x, sendo
U=IR:
a)(𝑥 − 4)(𝑥 + 6)(𝑥 − 10)(𝑥 + 5) = 0
b)4(𝑥 − 6)(𝑥 + 4)(−𝑥 − 12) = 0
Obviamente não é necessário escrever que 4=0, e a equação tem
apenas 3 raízes.
c)(2𝑥 − 4)(−2𝑥 + 6)(3𝑥 − 11) = 0
d)(3𝑥 − 𝑎)(4𝑥 + 𝑎)(−9𝑥 + 3𝑎) = 0
Aqui temos uma equação literal. As raízes são em função de ‘a’,
ou seja, do tipo 𝑥 =
𝑎
3
e)(𝑥 − 3)(2𝑥 − 6) = 0
Não é correto colocar na solução 𝑆 = {3,3}. Sabemos que num
conjunto não colocamos duas vezes o mesmo número! A solução fica
apenas 𝑆 = {3}. Dizemos que no caso 3 tem multiplicidade 2 na
equação.
f)𝑥(𝑥 + 4)2(𝑥 − 6)(−3𝑥 + 4)3
= 0
Na equação, podemos ignorar os expoentes. Mas -4, por
exemplo, tem multiplicidade 2 (pois o expoente de x+4) é 2.
g)(
𝑥
2
− 1) (
3𝑥
4
− 2) (3𝑥 − 6) = 0
h)𝑥(3𝑥 + 2) = 0
i)𝑥2(2𝑥 + 5)3
= 0

37
2)Resolva as equações, sendo U=IR:
a)(3𝑥 − 4)(2𝑥 + 5)(4𝑥 − 3) = 0
b)(𝑥 − 2)23(𝑥 + 45)56(4𝑥 − 3) = 0
c)3(𝑥 − 2)6(𝑥 + 7)26(𝑥 − 14)25
= 0
d)(2𝑥 +
3
4
) (5𝑥 −
1
4
) (
3
6
− 4𝑥) = 0
e)(4𝑥2
− 16)(𝑥3
− 8) = 0
Precisamos resolver a equação de grau n. Se o grau for PAR eu
coloco ±. Veja: 4𝑥2
− 16 = 0, então : 4𝑥2
= 16 e 𝑥2
= 4, temos então
𝑥 = ±2
f)[
2𝑥2−4
5
+ 2𝑥(𝑥 − 2)] [3𝑥3
− 27] = 0
g)(𝑥3
+ 27) (3𝑥 −
1
2
)
6
(5𝑥 + 4) = 0
h)(3𝑥 + 2𝑥 − 4𝑦 + 6)(5𝑥 − 𝑦 + 4 − 𝑥 + 2𝑦) = 0
Trata-se de uma equação literal na variável x. y é um parâmetro.
3) Na minha calculadora efetuei vários produtos
encontrei resultado 0. Com esta afirmação,
podemos conhecer um dos fatores, com toda a
certeza. Que fator é este?
Multiplicidade de uma Raiz
QUADRO
Uma equação polinomial de grau n tem exatamente
n raízes complexas se considerarmos que um
número pode ser mais de uma vez sua raiz.
Por exemplo: 𝑥2
= 0 tem duas raízes, e as duas são
zero. Dizemos que a multiplicidade da raiz 0 é 2.
Veja:
(𝑥 − 4)(𝑥 + 3)(2𝑥 − 8) = 0
As raízes são 4, -3 e 4. Como o 4 repete duas vezes,
dizemos que a multiplicidade do 4 é 2.
Raízes 4 com multiplicidade 2; e -3 com
multiplicidade 1.
Outros Exemplos:
a) (𝑥 − 3)8(𝑥 + 4)11
= 0. Raiz 3 –
multiplicidade 8; raiz -4 – multiplicidade 11.
b) 𝑥3
− 8 = 0. Raiz 2 – multiplicidade 3.
1)Resolva as equações, na variável x, sendo U=IR
e dê a multiplicidade das raízes:
a) 𝑥 ∙ 7 ∙ 2 = 0
b)(𝑥 + 2)2
𝑥 = 0
c) (𝑥 − 8)(15 − 2)(7 + 2) = 0
d) (0𝑥 − 3)(5𝑥 − 4) = 0
e) (𝑥2
− 4)(2𝑥 − 2) = 0
f) (𝑥3
− 8)(𝑥2
− 4) = 0
g) (𝑥 − 3)(2𝑥 − 6)(𝑥 + 7)(2𝑥 + 14) = 0
h) (𝑦2
+ 3)(𝑦 − 5)(𝑦2
+ 1) = 0
i) 𝑥2(𝑥 − 2) − 0
j) (𝑥 + 3)(𝑥 − 2,4) (𝑥 −
1
2
) = 0
k)
5(𝑥−2)
3
= 0
m) (𝑥 − 7)2
= 0
n) (𝑦2
− 1)(𝑦 − 5) = 0
o) 𝑥(𝑥 + 5)2
= 0
p) (𝑥 − 7,4) (𝑥 +
3
4
) (𝑥 + 5) = 0
q) (𝑥 − 2)2(𝑥 − 5)2
= 0
r) (𝑥 − 7)2
= 0

38
F) Resolva as equações em x, sendo U=IR, e dê
a multiplicidade de cada uma:
a) (𝑐 + 4𝑐 − 3(𝑐 − 2))(3𝑥 − 2) = 0
A equação não é em c, é em x, mas você aqui pode descobrir o
valor de c.
b) (𝑥 − 6)(𝑥 + 2)25
= 0
c) (𝑥 + 5)0(𝑥 − 4)3(𝑥 + 5) = 0
d) (𝑥 − 3)(𝑥 − 2)(𝑥 − 1)𝑥(𝑥 + 1)(𝑥 + 2)(𝑥 + 3) = 0
e) (2𝑥 −
4
5
) (√3𝑥 − 4)(√2𝑥 + 3) = 0
f) (√ 𝑥 − 1)(𝑥2
− 49)(3 𝑥
− 27) = 0
g) (5𝑥 − 3)26(4𝑥 − 12)34(5𝑥2
− 125)33
= 0
3) Resolva as equações, sendo U=IR:
a)(−30 − 2 + 65𝑥)(11 − 5𝑥 + 15 + 11𝑥)𝑥 = 0
b)(
𝑥+1
3
+
3𝑥−1
2
−
2𝑥+1
4
+ 3)
2
(
𝑥−1
2
+
𝑥+2
3
− 6)
11
= 0
c)(3𝑥 − √2)[2(2𝑥 + 1) − 1 − 3(𝑥 + 4)] = 0
d)[5(3𝑥 − 4) − 7(2𝑥 − 3) − 2𝑥 − 11]6
𝑥(𝑥 − 2) = 0
Equações e Fatoração
QUADRO
A fatoração de alguns polinômios permite a
resolução de equações. Veja os exemplos:
Exemplo 1
𝑥2
− 4𝑥 = 0
𝑥(𝑥 − 4) = 0
𝑥 = 0 𝑜𝑢 𝑥 − 4 = 0
𝑥 = 0 𝑜𝑢 𝑥 = 4
S={0,4}
Exemplo 2
𝑥3
− 4𝑥2
= 0
𝑥2(𝑥 − 4) = 0
𝑥2
= 0 𝑜𝑢 𝑥 − 4 = 0
𝑥 = 0 𝑜𝑢 𝑥 = 4
S={0,4}
Nesse equação 0 tem multiplicidade 2.
Exemplo 3
𝑥3
− 4𝑥 = 0
𝑥(𝑥2
− 4) = 0
𝑥2
= 0 𝑜𝑢 𝑥2
− 4 = 0
𝑥 = 0 𝑜𝑢 𝑥2
= 4
𝑥 = 0 𝑜𝑢 𝑥 = ±2
S={-2,0,2}
1) Resolva as equações a seguir, na variável 𝑥,
sendo 𝑈 = ℝ:
a) 𝑥2
− 5𝑥 = 0
b) 𝑦2
+ 6𝑦 = 0
c) 5𝑥2
− 3𝑥 = 0
d)−2𝑥2
+ 6𝑥 = 0
e) √3𝑥2
+ 3𝑥 = 0
f)
2𝑥2
3
− 4𝑥 = 0
g) 𝑥3
− 2𝑥2
= 0
h) 𝑥3
− 8𝑥2
= 0
i) 𝑥4
− 𝑥3
= 0
2)Resolva as equações a seguir, na variável 𝑥,
sendo 𝑈 = ℝ:
a) 𝑥2
− 9 = 0
Aqui gostaríamos que vocês fatorassem pela diferença entre dois
quadrados:
𝑥2
− 9 = 0
(𝑥 − 3)(𝑥 + 3) = 0
𝑥 − 3 = 0 𝑜𝑢 𝑥 + 3 = 0
𝑥 = 3 𝑜𝑢 𝑥 = −3

39
b) 𝑥2
− 64 = 0
c) 9𝑥2
− 16 = 0
d) 𝑥2
− 10𝑥 + 25 = 0
Aqui é proibido usar a fórmula de Bháskara (“delta”). Temos que
usar a fatoração do TQP. Como x²-10x+25 é um TQP, podemos
trocar essa expressão por (x-5)². O mesmo com os itens “e” e “f”. Se
você fizer o “delta” está errado!
𝑥2
− 10𝑥 + 25 = 0
(𝑥 − 5)2
= 0
𝑥 − 5 = 0
𝑥 = 5
e) 𝑥2
+ 6𝑥 + 9 = 0
f) 9𝑥2
+ 12𝑥 + 4 = 0
g) 64𝑥2
− 81 = 0
h) 𝑥2
− 15𝑥 = 0
3) Resolva as equações, sendo U=IR (simplifique
as equações, e use as técnicas já conhecidas).
Aqui há várias técnicas:
a)(𝑦 + 5)(𝑦 + 3) = 15
b) (𝑡 + 5)2
− 2 = 23
c) (3𝑥 + 4)(2𝑥 − 1) = −4
d) (𝑥 − 4)2
+ 2(𝑥 − 8) = 0
Antes de resolver, desenvolva o produto notável, aplique a
distributiva, e simplifique a expressão.
e)
𝑦2
4
+
𝑦
3
=
𝑦
2
f)
𝑥−4
2
−
𝑥2−6
3
= 0
g)
𝑥2
4
+
𝑥
2
=
2𝑥
3
h)3𝑥(𝑥 + 2) = 𝑥(𝑥 + 10)

40
4) Resolva as equações, na variável x, sendo
U=IR (use a fatoração):
a)𝑥³ − 9𝑥 = 0
b)𝑥³ + 𝑥² − 4𝑥 − 4 = 0
Aqui devemos fatorar por agrupamento:
𝑥3
+ 𝑥2
− 4𝑥 − 4 = 0
𝑥2
(𝑥 + 1) − 4(𝑥 + 1) = 0
(𝑥 + 1)(𝑥2
− 4) = 0
𝑥 + 1 = 0 𝑜𝑢 𝑥2
− 4 = 0
𝑥 = −1 𝑜𝑢 𝑥2
= 4
𝑥 = −1 𝑜𝑢 𝑥 = ±2
S={-2,-1,2}
c)𝑥³ − 2𝑥² + 𝑥 = 0
d)𝑥³ + 2𝑥² − 9𝑥 − 18 = 0
e)𝑥3
− 5𝑥2
− 4𝑥 + 20 = 0
f)𝑥³ + 𝑥² − 𝑥 − 1 = 0
5) a) Na equação (2x+1)(2x-1)=0, pode-se concluir
que 2x+1=0 ou que 2x-1=0. Qual é, então, o
conjunto-solução de (2x+1)(2x-1)=0?
b) Na equação (2x+1)(2x-1)=3, pode-se concluir
que 2x+1=3 ou que 2x-1=3? Por quê?
6)Resolva as equações, na variável x, sendo
U=IR (use a fatoração):
a)49𝑥³ − 16𝑥 = 0
b)𝑥³ + 10𝑥² + 25𝑥 = 0
c)4𝑥³ − 12𝑥² + 9𝑥 = 0
d)3𝑥 + 6 + 𝑥² − 4 = 0
e)3𝑥 + 6 + 𝑥² + 2𝑥 = 0
f)𝑥³ + 2𝑥² − 9𝑥 − 18 = 0
g)𝑥³ − 5𝑥² − 3𝑥 + 15 = 0

41
7) Qual é o conjunto solução da equação
(𝑥 − 2)(𝑥 + 5)(𝑥 − 3) = 0?
a) {5,2,3} b) {-5,2,3} c) {-5,-2,3}
d) {-5,-2,-3} e) {0}
8) Qual é a soma das soluções da equação a
seguir?
(2𝑥 − 3)(5𝑥 + 2) = 0
a) 0,4 b) 1,1 c) 1,5 d) 5 e) 11
9) A raiz da equação 3𝑥³ − 24 = 0 é:
a) 2 b) -2 c) 3 d) -3
e) nenhuma das anteriores
10) Resolva a equação
(𝑥 + 2)² + 3(2𝑥 − 1) = 𝑥²
a) x= 3/5 b) x=3/2 c) x=3/10
d) x=10/3 e) x=-1/10
11) A equação x²=9 tem como solução:
a) {3} b) {-3} c) {3,-3}
d) {3,9} e) {3,-3,9,-9}
REFORÇANDO
Resolva as equações
1) (𝑥 − 2)(2𝑥 + 4)(3𝑥 − 6) = 0
2) 3(𝑥 − 5)²(2𝑥 − 10)³ = 0
3) 𝑥² − 8𝑥 = 0
4) 𝑥5 − 3𝑥4 = 0
5) 𝑥² − 16 = 0
6) 𝑥² + 4𝑥 + 4 = 0
7) 4𝑥² + 16𝑥 + 4 = 0
8) (𝑦 + 5)(𝑦 + 3) = 15
9) (𝑡 + 5)² − 2 = 34
10) 𝑥³ + 𝑥² − 4𝑥 − 4 = 0
11) 𝑥³ − 2𝑥² + 𝑥 = 0
12) 3𝑥 + 6 + 𝑥² − 4 = 0
13) 49𝑥³ − 16𝑥 = 0
14) 𝑥³ + 10𝑥² + 25𝑥 = 0
15) 3𝑥 + 6 + 𝑥² + 2𝑥 = 0
Resolver em ℝ
16) x²-6x=0
17) 3x³-27x²=0
18) x³+3x²-x-3=0
19) x²-6x+9=0
20) x³-6x²+9x=0
21) (x-3)²(2x-1)5
(3x-6)8
=0
Equações e Fatoração do Trinômio do
2º Grau
QUADRO
Resolva a equação
𝑥2
+ 5𝑥 + 6 = 0
Podemos fatorar o trinômio do 2º Grau por soma e
produto S=5 e P=6, achamos os números 2 e 3:
(𝑥 + 2)(𝑥 + 3) = 0
𝑥 + 2 = 0 𝑜𝑢 𝑥 + 3 = 0
𝑥 = −2 𝑜𝑢 𝑥 = −3
Usando a fatoração do polinômio do 2º Grau, resolva
as equações:
a) x²+7x+10=0
b) x²-6x+8=0
c) x²-9x+14=0
d) x²+x-12=0
e) x²-9x+18=0
f) x²-x-12=0
g) x²+7x-8=0
h) x²-2x-15=0
i) x²-11x-12=0
j) m²-13m+12=0
k) t²+8t+12=0
l) k²-2k-8=0

42
VB.2 AULA 9 – Equações do 2º Grau (sem fórmula)
Submódulo VB.2
Esse é um assunto que será abordado no PODEMOS B6.1 e essa aula será
inserida, da forma como está, ou remodelada, no livro do POMEMOS B6.
Como ainda não está pronto, não podemos precisar o número da aula.
s
Equações Binomias
QUADRO
São equações da forma 0=+ baxn
.
Resolvemos ela isolando o x:
a
b
xbax nn
−=−=
No conjunto IR, se n for par: n
a
b
x −= , se n for
ímpar: n
a
b
x −= .
Exemplos, sendo U=IR:
a)
21616
3
48
483 4444
===== xxxxx
b)
5125125
5
625
6255 3333
−=−=−=−=−= xxxxx
Resolva no caderno, sendo U=ℝ
1) 6x2-216=0
2) 5x2=125
3) 6x3-48=0
4) x6-64=0
4) 3x3+81=0
5) x2+64=0
6) x2-108=0
7) 2x2-80=0
8) 5x2+25=6x2+9
9) 6(x2+1)-2(x2+4)=1
10) 20
3
2
4
3
4 22
+=−
xx
11) 3)1(
2
)2( 2
2
++=
+
x
xx
12) 2x5-5=x5+27
13) x101=-1
14) x102=1
15) 3x2-1=0
Equações do 2º Grau Incompletas – 1º
Caso – c=0
QUADRO
Uma equação do 2º grau possui a forma:
𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
Padronizaremos para resolver equações:
- A letra “a” para o coeficiente do termo do 2º grau
- A letra “b” para o coeficiente do termo do 1º grau
- A letra “c” para o termo independente
Nós podemos dizer que uma equação onde 𝑎 = 0
não é do 2º grau. Então é necessário ter a
diferente de zero!
Quando tanto b quanto c são não nulos, dizemos
que a equação é completa:
𝑥2
+ 3𝑥 − 4 = 0
3𝑥2
+ 4𝑥 − 3 = 0
São exemplos de equações completas.
Se faltar qualquer termo, dizemos que a equação
é incompleta
5𝑥2
− 3𝑥 = 0 é incompleta pois falta do termo
independente (c=0)
3𝑥2
− 4 = 0 é incompleta pois falta o termo do 1º
grau (b=0).
3𝑥2
= 0 é incompleta pois b=0 e c=0. Nesse caso
as duas raízes são zero.
Para resolver equações onde o c=0 basta
utilizar a fatoração e a Lei dos Produtos Nulos
como já vimos no B5.1:
5𝑥2
− 4𝑥 = 0
𝑥(5𝑥 − 4) = 0
𝑥 = 0 ou 5𝑥 − 4 = 0
𝑥 = 0 ou 5𝑥 = 4
𝑥 = 0 ou 𝑥 =
4
5
𝑆 = {0,
4
5
}

43
1) x2-5x=0
2) x2+3x=0
3) 3x2+8x=0
4) 4x2-x=0
5) 3x2-9x=0
6) y2+6y=0
7) 3 x2+3x=0
8) 5 x2-5x=0
9) x2+5 2 x=0
10) (y+5)(y+3)=15
11) (3x+4)(2x-1)=-4
12) (x+5)(x-1)=2x-5
13) 5x2-3x=0
14) -2x2+6x=0
15) -3x2+5x=0
16) -4x2-5x=0
17) -5x2-2x=0
18) 3x2-4x=0
19) (t+5)2-2=23
20) (3x+4)(2x-1)=-4
21) (x+5)2=2x+25
22) (x-3)2=9
23) (x+2)2=4
24) (x+1)2=3x+1
25)
2x
3
2
-4x=0
26)
x
4
x
2
2x
3
2
+ =
27)
x 4
2
x 6
3
0
2
−
−
−
=
QUADRO
Temos que observar que:
- Apenas quando o termo 𝑐 = 0 uma das raízes é
igual a zero.
- Sempre quando o termo 𝑐 = 0 uma das raízes é
igual a zero.
Note que:
Toda equação do 2º grau pode ser escrita da
forma
𝒂(𝒙 − 𝒙′)(𝒙 − 𝒙′′) = 𝟎
Sendo 𝑥′
e 𝑥′′ as raízes (tem professor que usa
𝑥1e 𝑥2).
Veja no exemplo 5𝑥2
− 4𝑥 = 0
𝑎 = 5 e vimos que 𝑥′
= 0 e 𝑥′′
=
4
5
Veja que a expressão
5(𝑥 − 0) (𝑥 −
4
5
)
Equivale a
5𝑥2
− 4𝑥
Monte equações cujas raízes são:
a) 5 e 2 b) 3 e -2
c) 7 e -1 d) -9 e -6
e) 0 e 4 f) 2/3 e 5
g) -3 e 3 h) -4 e 4
i) 0 e -2 j) 0 e 0
Equações do 2º Grau Incompletas – 2º
Caso – b=0
QUADRO
As equações onde falta o termo do 1º grau, são
equações binômias simples, e podem ser
resolvidas como já aprendemos:
3𝑥2
− 12 = 0
3𝑥2
= 12
𝑥2
=
12
3
𝑥2
= 4
𝑥′
= 2 ou 𝑥′′
= −2
S={2,-2}
28) x2-49=0
29) x2-81=0
30) x2-40=0
31) x2-128=0
32) 3y2-75=0
33) -x2=4
34) 2x2-20=0
35) y2+3=0
36) 3x2+48=0
37) 4x2-9=0
38) 4x2-5=0
39) 8x2-40=0
40) (x+5)(x-4)=x+16
41) (x+6)(x-4)=2x+12
42) (x-5)2=2x(x-5)
43) x2-10=0
44) 2x2+50=0

44
45) 3x2-21=0
46) -5x2+20=0
47) 9x2=25
48) 4x2-5=0
49) x 8
5x 8
x 3
+ =
−
−
50)
x 10
2
4x 2
x 2
+
=
−
−
51)
x
25
1
9
0
2
− =
52) 3x2+5x=0
53) x2-x=0
54) -4x2-12x=0
55) x2-100=0
56) 9x2-25=0
57) (3y-4)(3y+1)=14-9y
58) (2x-1)(x+2)=3x-7x2
59) (x+2)(x+5)=7x
60) (x-4)2+2(x-8)=0
61)
y
4
y
3
y
2
2
+ =
62) m 10
8m
m 2
+ =
−
63)
3x 1
x 1
x 2
x
10
x x
2
−
−
+
+
=
−
QUADRO
Temos que observar que:
- Apenas quando o termo b= 0 ambas raízes são
simétricas
- Sempre quando o termo b= 0 ambas raízes são
simétricas
Podemos reescrever as duas sentenças:
Uma equação do 2º grau tem duas raízes
simétricas se e somente se b=0
Mostre que é verdadeira a afirmação: “Uma equação
do 2º grau tem duas raízes simétricas se e
somente se b=0” usando 𝒂(𝒙 − 𝒙′)(𝒙 − 𝒙′′) = 𝟎
QUADRO
Vimos então que:
b=0 Raízes Simétricas
c=0 Uma das raízes é zero
Aplicação em exercícios:
a)Calcule p na equação x2-6x+p+5=0 de modo que
uma das raízes seja nula.
Temos que ter c=0, portanto p+5=0 e p=-5.
b) Determinemos o valor de k na equação x2-(k-3)x-
25=0 para que as raízes sejam simétricas.
Temos que ter b=0, portanto k-3=0 e k=3
Resolva no caderno
1) Determinar m na equação x2+(m-1)x+2m+6=0 de
modo que uma das raízes seja nula.
2) Determinemos o valor de m na equação x2+(m-1)x-
12=0 para que as raízes sejam simétricas.
3) Determine o valor de p na equação x2-(2p+5)x-1=0
para que as raízes sejam simétricas.
4) Determine o valor de k para que a equação x2-
kx+3k+1=0 para que:
a) suas raízes sejam simétricas
b) uma das raízes seja nula
c) determine qual seria a equação nos dois
casos acima
5) Determine os valores de a para que a equação x2-
(a2-3a)x+4=0 seja incompleta.
6) Determine os valores de a para que a equação
x2+(3x-2)x+(x2-2x)=0 seja incompleta.
7) Dado a2-3a=0 e b2-4b=0, determine o valor de a2+b2.
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES
1) 𝑥2
− 5𝑥 = 0 S={0,5}
2) 5𝑥2
− 3𝑥 = 0 S={0,3/5}
3) −2𝑥2
+ 6𝑥 = 0 S={0,3}
4) √3𝑥2
+ 3𝑥 = 0 S={0,- √3}
5) (𝑦 + 5)(𝑦 + 3) = 15 S={0,-8}
6) (𝑡 + 5)2
− 2 = 23 S={0,-10}
7) 𝑥2
− 49 = 0 S={-7,7}
8) 3𝑦2
− 75 = 0 S={-5,5}
9) −𝑥2
+ 4 = 0 S={-2,2}
10) 9𝑥2
− 25 = 0 S={-5/3,5/3}
11) (3𝑦 − 4)(3𝑦 + 1) = 14 − 9𝑦 S={-√2, √2}
12) (2𝑥 − 1)(𝑥 + 2) = 3𝑥 − 7𝑥2
S={-√2/3, √2/3}
13) (𝑥 − 4)2
+ 2(𝑥 − 8) = 0 S={0,6}
14) (𝑥 + 2)(𝑥 + 5) = 7𝑥 S=∅

45
15) 𝑥 + 8 =
5𝑥−8
𝑥−3
S={-4,4}
16)
3𝑥−1
𝑥−1
+
𝑥+2
𝑥
=
10
𝑥2−𝑥
S={- √3, √3}
Equações do 2º Grau Completando
Quadrados
QUADRO
Resolução de equações completando quadrados
Existem várias técnicas de resolução de
equações, a mais natural é a resolução completando
quadrados.
Veja o exemplo (um exemplo dos mais
simples):
Como resolver a equação 2x2-12x+4=0.
(1) Divida a equação pelo valor do coeficiente a
(neste caso 2): x2-6x+2=0
(2) Passe o termo independente para o 2º
membro: x2-6x= -2
(3) Complete o 1º membro de modo que ele seja
um trinômio quadrado perfeito (lembre-se
que o mesmo número somado ao 1º membro
deve ser somado ao 2º membro): x2-6x+9=-
2+9(x-3)2=7
(4) Então:
73737)3( 2
==−=− xxx
.
Achamos S={ 73,73 −+ }
Esta técnica chama-se resolver a equação
completando quadrados, mas alguns o chamam de
método da fatoração, que iremos diferenciar.
Exemplo mais limpo
Resolva completando quadrados:
𝑥2
− 8𝑥 + 15 = 0
𝑥2
− 8𝑥 = −15
𝑥2
− 8𝑥 + 16 = −15 + 16
(𝑥 − 4)2
= 1
𝑥 − 4 = ±√1
𝑥 − 4 = 1 ou 𝑥 − 4 = −1
𝑥 = 5 ou 𝑥 = 3
Então 𝑆 = {5,3}
Resolva no caderno pelo complemento de quadrados:
1) x2-6x-7=0
2) x2-8x+12=0
3) x2-6x-40=0
4) x2+2x-99=0
5) 4x2-36x+72=0
6) 9x2+30x+41=0
7) 100x2-100x+25=0
8) 100x2-100x-200=0
9) x2/9+8x/3-425=0
Você pode multiplicar a equação toda por 9
10) x2-6x+9=0
11) 4x2-4x-8=0
12) 4x2-36x-63=0
13) x2+x+5=0
Para que x²+x vire um quadrado por adição, você deve somar
1
4
,
pois 𝑥2
+ 𝑥 +
1
4
= (𝑥 +
1
2
)
2
. Há professores que usam a fórmula
𝑏2
4𝑎2
para achar o valor que deve ser somado!
14) x2-x+11=0
15) x2-6x=0
Resolva pelo complemento de quadrados:
16) x2+8x+16=0
17) x2-3x+1=0
18) 25a2+20a+4=0
19) x2-11x+18=0
20) x2+5x-24=0
QUADRO
Método da Fatoração
Alguns autores fazem o seguinte:
𝑥2
+ 8𝑥 + 15 = 0
𝑥2
+ 3𝑥 + 5𝑥 + 15 = 0
Fatoram por agrupamento
𝑥(𝑥 + 3) + 5(𝑥 + 3) = 0
(𝑥 + 5)(𝑥 + 3) = 0
𝑥 + 5 = 0 ou 𝑥 + 3 = 0
𝑥 = −5 ou 𝑥 = −3
Perceba que é uma outra forma de resolver
equações, mas que exige um pouco de raciocínio.
21) (Concurso Professor de Matemática 5ª à 8ª
séries – Prefeitura Municipal de Mogi das Cruzes-
SP/2003) Um professor de Matemática propôs ao seu
aluno que resolvesse a seguinte equação do 2o grau:
4x2-20x+26=0. Após escrever a sentença (4), esse
aluno concluiu que a equação não tinha raízes reais.
4x2-20x+26=0 (1)
4x2-20x=0-26 (2)
4x2-20x+25=-26+25 (3)
(2x-5)2=-1 (4)
Pode-se afirmar que o aluno
a) não chegou à conclusão correta, pois, para tanto, ele
deveria ter aplicado, logo de início, a fórmula de
Bhaskara.
b) não chegou à conclusão correta, pois errou na
passagem de (2) para (3).
c) chegou à conclusão correta, apenas por coincidência
pois ele nada poderia concluir a partir da sentença (4).
d) chegou à conclusão correta apenas por coincidência,
pois errou na passagem de (2) para (3).
e) chegou à conclusão correta e todas as passagens
estão corretas.

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