O documento descreve matrizes, definindo-as como tabelas com elementos dispostos em linhas e colunas. Apresenta exemplos de matrizes de diferentes tipos (quadrada, triangular, diagonal, identidade e nula) e operações como transposição.
2. Parte 1: Definição, representação
genérica e lei de formação
ESTUDO DAS MATRIZES
3. Definição
Uma matriz do tipo m x n é uma tabela com (m . n) elementos
dispostos em m linhas e n colunas.
m = 2 (duas linhas)
n = 3 (três colunas)
m = 1 (uma linha)
n = 3 (três colunas) (Matriz linha)
m = 4 (quatro linhas)
n = 1 (uma coluna) (Matriz coluna)
1 5 9
7 2 0
A =
2 0 6
B =
3
8
12
5
C =
A2x3
B1x3
C4x1
Matriz A do tipo 2x3
Matriz B do tipo 1x3
Matriz C do tipo 4x1
Exemplos:
4. Representação genérica
De modo genérico, uma matriz A, do tipo mxn pode ser representada por:
Cada elemento (ou termo) da matriz é representado por uma letra
com dois índices: aij em que i indica a linha e j a coluna em que o
elemento está posicionado.
Amxn Matriz genérica A do tipo mxn
12. Lei de formação da matriz
23
22
21
13
12
11
b
b
b
b
b
b
B
3
b11 = 2 . 1 + 1
4 5
5 6 7
b12 = 2 . 1 + 2
b13 = 2 . 1 + 3
b21 = 2 . 2 + 1
b22 = 2 . 2 + 2
b23 = 2 . 2 + 3
Uma matriz pode ser descrita por uma lei de formação, regra que
descrevem os elementos da matriz segundo a posição que eles ocupam
nas linhas e colunas.
Lei de formação da matriz B2 x 3: bij = 2i + j
Exemplo 1:
13. 4 . 3 – 2²
Na matriz A = (aij)4x4 , onde aij = 4i – j², o valor de 2.a32 é:
Exemplo 2:
a32 =
Resolução:
aij = 4i – j² Lei de formação
12 – 4
a32 =
8
a32 =
Logo, 2.a32 = 2.8 = 16
Exercícios resolvidos
15. Questão 01:
a11
=
B =
b) 1
1
3
3 4
5
a11 a12
a21 a22
C =
1 - 1
1
- 1
c)
a12 a13
a21 a22 a23
=
A =
a)
a12
a22
a11
a21
a31 a32
3 5
4 6
5 7
C =
Exercícios propostos
Resolução:
16. Parte 2: Tipos de matriz e operações
ESTUDO DAS MATRIZES
17. Matriz quadrada
É toda matriz em que m = n, ou seja, o número de linhas é igual ao de colunas.
7
2
5
3
A m = n = 2
Matriz quadrada de ordem 2
9
0
11
1
1
0
3
5
2
B m = n = 3
Matriz quadrada de ordem 3
15
22
1
0
1
3
0
2
9
5
8
1
0
0
1
5
C m = n = 4
Matriz quadrada de ordem 4
diagonal principal
diagonal principal
diagonal principal
diagonal secundária
diagonal secundária
diagonal secundária
Exemplos:
18. Matriz triangular
Matriz quadrada em que os elementos acima (ou abaixo) a diagonal principal são nulos.
7
2
0
3
A
9
4
11
0
1
5
0
0
2
B
15
22
1
9
0
3
7
2
0
0
8
1
0
0
0
5
C
diagonal principal
diagonal principal
diagonal principal
7
0
5
3
D
9
0
0
7
1
0
8
4
2
E
15
0
0
0
0
3
0
0
23
4
8
0
1
6
4
5
F
diagonal principal
diagonal principal
diagonal principal
19. Matriz diagonal
Matriz quadrada em que os elementos acima e abaixo da diagonal principal são nulos.
1
0
0
8
A
4
0
0
0
8
0
0
0
2
B
12
0
0
0
0
7
0
0
0
0
2
0
0
0
0
1
C
diagonal principal
diagonal principal
diagonal principal
20. Matriz identidade
Matriz quadrada em que os elementos da diagonal principal são
iguais a um e os outros elementos são iguais a zero.
1
0
0
1
2
I
1
0
0
0
1
0
0
0
1
3
I
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
4
I
diagonal principal
diagonal principal
diagonal principal
23.
1
5
4
7
0
2
t
A
Matriz transposta
At
: matriz transposta de A.
At
é a matriz cujas linhas são, ordenadamente, as colunas de A.
1
4
0
5
7
2
A
A quantidade de linhas de At
é igual à quantidade de colunas de A, e a
quantidade de colunas de At
é igual à quantidade de linhas de A.
24. Igualdade de matrizes
Duas matrizes A e B são iguais se e somente se elas são do mesmo tipo
e seus elementos correspondentes são iguais.
1
3
12
0
1
5
3
2
A
7
8
2
1
6
2
8
8
1
3
2
3
2
B
IGUAIS IGUAIS IGUAIS
IGUAIS IGUAIS IGUAIS
1
1
1
4
3
2
3
2
C
4
1
3
1
2
1
2
3
D C ≠ D
não são do mesmo tipo.
A = B
mesmo tipo
25. Adição de matrizes
A matriz soma das matrizes A e B (que devem ser do mesmo tipo) é a
matriz C obtida pela soma dos elementos correspondentes: C = A + B.
2
8
6
3
9
20
12
8
7
2
0
5
A B C
=
-15
+
9
+
5
+
-1
+
0
+
14
+
+ =
26. Adição de matrizes
A matriz soma das matrizes A e B (que devem ser do mesmo tipo) é a
matriz C obtida pela soma dos elementos correspondentes: C = A + B.
2
8
6
3
9
20
12
8
7
2
0
5 15 9
5 1
0 14
A B C
=
+ =
27. Matriz oposta
A matriz oposta de A (representada por – A) é obtida pela troca de
sinais dos elementos de A, de modo que A + (– A) seja a matriz nula.
0
7
1
8
2
11
– A 0
A
+
0
7
1
8
2
11
=
+
0
+
0
+
0
+
0
+
0
+
0
+ =
28. Matriz oposta
A matriz oposta de A (representada por – A) é obtida pela troca de
sinais dos elementos de A, de modo que A + (– A) seja a matriz nula.
0
7
1
8
2
11
– A 0
A
+
0
7
1
8
2
11
0
0
0
0
0
0
=
+ =
29. Multiplicação de um número real por matriz
Seja um número real, a matriz A é a matriz obtida a partir de A
multiplicando-se todos os seus elementos pelo número real .
8
5
0
3
1
2
A = 5
e
5A
X 5
10
X 5
5
X 5
–15
0
X 5
25
X 5
40
X 5
30. Seja um número real, a matriz A é a matriz obtida a partir de A
multiplicando-se todos os seus elementos pelo número real .
8
5
0
3
1
2
A = 5
e
40
25
0
15
5
10
5A
Multiplicação de um número real por matriz
31. Multiplicação de matrizes
Condição: O produto AB entre as matrizes A e B existe se e somente se
o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B.
8
5
0
3
1
2
A
3 colunas
1
3
0
4
0
1
5
1
1
3
4
9
B
3 linhas
=
Existe a matriz
produto AB
32. Tipo da matriz produto
A matriz produto AB tem a quantidade de linhas da matriz A e a
quantidade de colunas da matriz B.
8
5
0
3
1
2
A
1
3
0
4
0
1
5
1
1
3
4
9
B
3
2
A 4
3
B
Condição
para existir AB
4
2
AB
?
?
?
?
?
?
?
?
AB
33. Cálculo dos elementos da matriz AB
Cada elemento é obtido multiplicando-se, ordenadamente, os elementos de uma linha
da matriz A pelos elementos de uma coluna da matriz B e somando-se os produtos.
8
5
0
3
1
2
A
1
3
0
4
0
1
5
1
1
3
4
9
B
?
?
?
?
?
?
?
?
AB
18 + 1 + 12 = 31
34. Cada elemento é obtido multiplicando-se, ordenadamente, os elementos de uma linha
da matriz A pelos elementos de uma coluna da matriz B e somando-se os produtos.
8
5
0
3
1
2
A
1
3
0
4
0
1
5
1
1
3
4
9
B
?
?
?
?
?
?
?
AB
18 + 1 + 12 = 31
31
Cálculo dos elementos da matriz AB
37. Cada elemento é obtido multiplicando-se, ordenadamente, os elementos de uma linha
da matriz A pelos elementos de uma coluna da matriz B e somando-se os produtos.
8
5
0
3
1
2
A
1
3
0
4
0
1
5
1
1
3
4
9
B
?
?
?
?
?
?
13
31
AB
6 + 1 + 9 = 16
Cálculo dos elementos da matriz AB
38. Cada elemento é obtido multiplicando-se, ordenadamente, os elementos de uma linha
da matriz A pelos elementos de uma coluna da matriz B e somando-se os produtos.
8
5
0
3
1
2
A
1
3
0
4
0
1
5
1
1
3
4
9
B
6 + 1 + 9 = 16
?
?
?
?
?
13
31
AB
16
Cálculo dos elementos da matriz AB