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Quantidades de matérias-primas em concretos
- 1. Á Álgebra Linear lgebra Linear Capítulo 1 Matrizes Matrizes Prof. João Sérgio Fossa
- 2. Á Álgebra Linear lgebra Linear Bibliografia Básica: BOLDRINI, J. L. et. al. Álgebra Linear. 3ª ed. Harbra editora Bibliografia Complementar: STEIMBRUCH, A., WINTERLE, P. Álgebra Linear. 2ª ed. Pearson editora LIPSCHUTZ, S., PIPSON, M. Álgebra Linear - Coleção Shaum. 3ª ed. Bookman editora HOWARD, A. Álgebra Linear com Aplicações. 8ª ed. Bookman editora Avaliações: 2 Provas: 40,0 pontos Trabalhos: 20,0 pontos Reavaliação: 40 pontos
- 3. Matrizes Matrizes Introdução Denomina-se Matriz m x n (m e n ∈ N*) uma tabela de elementos dispostos em m linhas e n colunas formadas por m.n elementos. Exemplo: * Consumo de material a cada m3 de concreto
- 4. Matrizes Matrizes Introdução Denomina-se Matriz m x n (m e n ∈ N*) uma tabela de elementos dispostos em m linhas e n colunas formadas por m.n elementos. Exemplo em notação matricial: * A notação matricial foi adotada pela primeira vez pelo matemático inglês James Joseph Sylvester (1814 – 1897) 198 441 564 208 202 420 538 297 189 405 524 387 226 363 465 514
- 5. Matrizes Matrizes Introdução Denomina-se Matriz m x n (m e n ∈ N*) uma tabela de elementos dispostos em m linhas e n colunas formadas por m.n elementos. Exemplo em notação matricial: * A notação matricial foi adotada pela primeira vez pelo matemático inglês James Joseph Sylvester (1814 – 1897) 198 441 564 208 202 420 538 297 189 405 524 387 226 363 465 514 Linha
- 6. Matrizes Matrizes Introdução Denomina-se Matriz m x n (m e n ∈ N*) uma tabela de elementos dispostos em m linhas e n colunas formadas por m.n elementos. Exemplo em notação matricial: * A notação matricial foi adotada pela primeira vez pelo matemático inglês James Joseph Sylvester (1814 – 1897) 198 441 564 208 202 420 538 297 189 405 524 387 226 363 465 514 coluna
- 7. Matrizes Matrizes Introdução Denomina-se Matriz m x n (m e n ∈ N*) uma tabela de elementos dispostos em m linhas e n colunas formadas por m.n elementos. Outros exemplos de notação matricial: * A notação matricial foi adotada pela primeira vez pelo matemático inglês James Joseph Sylvester (1814 – 1897) 198 441 564 208 202 420 538 297 189 405 524 387 226 363 465 514 198 441 564 208 202 420 538 297 189 405 524 387 226 363 465 514
- 8. Matrizes Matrizes Introdução Denomina-se Matriz m x n (m e n ∈ N*) uma tabela de elementos dispostos em m linhas e n colunas formadas por m.n elementos. Representação de uma matriz A de m linhas e n colunas: = × mn 2 m 1 m n 2 22 21 n 1 12 11 n m a a a a a a a a a A L M M M L L ordem da matriz
- 9. Exerc Exercí ícios cios Represente a matriz A = (aij)2x3, tais que aij = 2i + j + 1. 1.
- 10. Exerc Exercí ícios cios Represente a matriz A = (aij)2x2, tais que: 2. = = 0 a j i sen a ij ij π , se i ≠ j , se i = j
- 11. Exerc Exercí ícios cios Calcule a soma dos elementos da 2ª linha da matriz B = (bij)4x3, sendo bij = (-1)i + (-1)j 3.
- 12. Classifica Classificaç ção de Matrizes ão de Matrizes 1. Matriz Retangular Denomina-se matriz retangular aquela que possui o número de linhas diferente do número de colunas (m ≠ n) Exemplos: [ ] 9 6 4 A = ( ) 7 2 B = 1.1 Matriz Linha Denomina-se matriz linha a matriz retangular composta por somente 1 linha
- 13. Classifica Classificaç ção de Matrizes ão de Matrizes 1. Matriz Retangular Denomina-se matriz retangular aquela que possui o número de linhas diferente do número de colunas (m ≠ n) Exemplos: = 4 2 A = 10 8 5 B 1.2 Matriz Coluna Denomina-se matriz coluna a matriz retangular composta por somente 1 coluna
- 14. Classifica Classificaç ção de Matrizes ão de Matrizes 2. Matriz Zero ou Nula Denomina-se matriz nula aquela em que todos seus elementos são iguais a zero, ou seja, aij = 0 para todo i e j. Exemplos: = 0 0 0 0 A 0 0 0 B =
- 15. Classifica Classificaç ção de Matrizes ão de Matrizes 3. Matriz Quadrada Denomina-se matriz quadrada de ordem n aquela cujo número de linhas é igual ao número de colunas (m = n) Exemplos: = 33 32 31 23 22 21 13 12 11 a a a a a a a a a A Diagonal principal (i = j) Diagonal secundária (índice dos elementos n + 1)
- 16. Classifica Classificaç ção de Matrizes ão de Matrizes 3. Matriz Quadrada Define-se traço de uma matriz A, denotado por tr(A) como sendo a soma dos elementos da diagonal principal de A. Exemplo: − = 1 2 5 11 2 8 4 3 1 A Traço de uma matriz quadrada: ( ) 2 1 2 1 A tr = − + = Denomina-se matriz quadrada de ordem n aquela cujo número de linhas é igual ao número de colunas (m = n)
- 17. Classifica Classificaç ção de Matrizes ão de Matrizes 3. Matriz Quadrada Denomina-se matriz quadrada de ordem n aquela cujo número de linhas é igual ao número de colunas (m = n) 3.1 Matriz Diagonal Denomina-se matriz diagonal toda matriz quadrada que apresenta todos os elementos não pertencentes à diagonal principal iguais a zero, ou seja aij = 0 para i ≠ j Exemplo: = 7 0 0 0 5 0 0 0 2 A ( ) 7 5 2 diag A , , =
- 18. Classifica Classificaç ção de Matrizes ão de Matrizes 3. Matriz Quadrada Denomina-se matriz quadrada de ordem n aquela cujo número de linhas é igual ao número de colunas (m = n) 3.2 Matriz Identidade Denomina-se matriz identidade uma matriz diagonal que apresenta todos os elementos não pertencentes à diagonal principal iguais a 1, ou seja aii = 1 e aij = 0 Exemplo: = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 I A função delta de Kronecker δij é definida por: Assim a matriz identidade pode ser definida por I = [δij] = 1 0 ij δ se i ≠ j se i = j
- 19. 4. Matrizes Idênticas Duas matrizes A e B de mesma ordem são classificadas como idênticas quando seus elementos correspondentes são iguais. Classifica Classificaç ção de Matrizes ão de Matrizes Exemplo: = 22 21 12 11 a a a a A = 22 21 12 11 b b b b B Se A = B, então: a11 = b11, a12 = b12, a21 = b21 e a22 = b22.
- 20. 5. Matriz Transposta Duas matrizes Amxn e At nxm (ou Anxm’) são transpostas quando as colunas de A correspondem ordenadamente às linhas de At. Classifica Classificaç ção de Matrizes ão de Matrizes Exemplo: = 10 3 8 4 9 6 5 2 A = 10 9 3 6 8 5 4 2 At
- 21. 5.1. Matriz Simétrica Uma matriz quadrada A = (aij)mxn é simétrica quando m = n e aij = aji; assim A = At. Classifica Classificaç ção de Matrizes ão de Matrizes Exemplo: − − = 5 0 1 0 2 3 1 3 4 A
- 22. 5.2. Matriz Anti-Simétrica Uma matriz quadrada A = (aij)mxn é anti-simétrica quando m = n e aij = -aji; assim A = -At. Classifica Classificaç ção de Matrizes ão de Matrizes Exemplo: − − − = 0 3 2 3 0 1 2 1 0 A
- 23. Exerc Exercí ícios cios Sabendo que as matrizes: e são iguais, determine x, y e z. 4. + + = 3 5 z 1 1 2 z x A − − = 3 5 2 z y 2 x B
- 24. Exerc Exercí ícios cios Calcule x, y e z de modo que a matriz seja anti-simétrica. 5. − − + − = 0 z y 7 x 0 x 1 x z 3 0 A
- 25. Introdução Considere que em uma obra sejam utilizados 5 m3 do concreto C40 e 10 m3 do concreto C10. As tabelas a seguir apresentam as quantidades das composições de matérias primas básicas empregadas em cada 1 m3 de cada aplicação. Para a situação apresentada, determine a quantidade total de cada componente empregado nesta etapa da obra. Opera Operaç ções com Matrizes ões com Matrizes
- 26. Introdução Considere que em uma obra sejam utilizados 5 m3 do concreto C40 e 10 m3 do concreto C10. As tabelas a seguir apresentam as quantidades das composições de matérias primas básicas empregadas em cada 1 m3 de cada aplicação. Para a situação apresentada, determine a quantidade total de cada componente empregado nesta etapa da obra. Opera Operaç ções com Matrizes ões com Matrizes [ ] [ ] 198 441 564 208 10 226 363 465 514 5 ⋅ + ⋅ [ ] [ ] 1980 4410 5640 2080 1130 1815 2325 2570 + [ ] 3110 6225 7965 4650
- 27. 1. Multiplicação por Escalar Opera Operaç ções com Matrizes ões com Matrizes Considere uma matriz A e um número real k. O produto kA é obtido multiplicando cada elemento de A por k. Exemplo: − = − ⋅ 6 3 6 12 9 3 2 1 2 4 3 1 3 Propriedades: • k(A + B) = kA + kB • (k1 + k2)A = k1A + k2A • k1(k2A) = k1k2A
- 28. 2. Adição de Matrizes Opera Operaç ções com Matrizes ões com Matrizes Dadas duas matrizes A e B de mesma ordem m x n, a matriz soma A + B é obtida efetuando-se a soma dos elementos correspondentes das matrizes. Exemplo: = + − 1 3 5 5 4 3 3 2 3 1 1 2 2 1 2 4 3 1 Propriedades: • A + B = B + A (comutatividade) • (A + B) + C = A + (B + C) (associativa) • (A + B)t = At + Bt
- 29. Opera Operaç ções com Matrizes ões com Matrizes 3. Multiplicação de Matrizes Considere que em uma obra sejam utilizados 5 m3 do concreto C40 e 10 m3 do concreto C10. As tabelas a seguir apresentam as quantidades das composições de matérias primas básicas empregadas em cada 1 m3 de cada aplicação. Para a situação apresentada, determine a quantidade total de cada componente empregado nesta etapa da obra.
- 30. Opera Operaç ções com Matrizes ões com Matrizes 3. Multiplicação de Matrizes Considere que em uma obra sejam utilizados 5 m3 do concreto C40 e 10 m3 do concreto C10. As tabelas a seguir apresentam as quantidades das composições de matérias primas básicas empregadas em cada 1 m3 de cada aplicação. Para a situação apresentada, determine a quantidade total de cada componente empregado nesta etapa da obra. [ ] [ ] 3110 6225 7965 4650 198 441 564 208 202 420 538 297 189 405 524 387 226 363 465 514 10 0 0 5 = ×
- 31. 3. Multiplicação de Matrizes Opera Operaç ções com Matrizes ões com Matrizes Quando multiplicamos uma matriz A por outra matriz B é necessário que o número de colunas da primeira matriz seja igual ao número de linhas da segunda matriz.O resultado dessa multiplicação será uma matriz com o número de linhas da primeira e numero de colunas da segunda matriz: O elemento cij (i-ésima linha e j-ésima coluna da matriz-produto) é obtido multiplicando-se os elementos da i-ésima linha da primeira matriz pelos elementos correspondentes da j-ésima coluna da segunda matriz e somam-se estes produtos Amxn x Bnxp = Cmxp
- 32. 3. Multiplicação de Matrizes Opera Operaç ções com Matrizes ões com Matrizes Exemplo: A2x3.B3x2 = 5 4 2 3 1 2 B = 2 1 3 3 2 1 A = ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ = 15 17 20 20 5 2 2 1 1 3 4 2 3 1 2 3 5 3 2 2 1 1 4 3 3 2 2 1 AB
- 33. 3. Multiplicação de Matrizes Opera Operaç ções com Matrizes ões com Matrizes Exemplo: ( ) ( ) ( ) = ⋅ + − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ + ⋅ = − × 7 5 4 4 2 2 4 3 1 5 0 3 1 5 4 2 1 4 0 2 1 4 4 1 1 2 0 1 1 2 4 0 1 1 3 5 2 4 1 2 2 x 3 2 x 2 2 x 3 Propriedades: • Em geral AB ≠ BA • A(B + C) = AB + AC • (AB)t = Bt + At
- 34. 4. Matriz Inversa Opera Operaç ções com Matrizes ões com Matrizes = 3 1 5 2 A Uma matriz quadrada A de ordem n é chamada de inversível se e somente se existir uma matriz B também quadrada e de ordem n tal que: A matriz B é denominada inversa de A e pode ser indicada por A-1. Exemplo: e − − = 2 1 5 3 B = + − − + − − = 1 0 0 1 6 5 3 3 10 10 5 6 AB = + − + − − − = 1 0 0 1 6 5 2 2 15 15 5 6 BA * No próximo capítulo será apresentado outro método de se calcular a inversa de uma matriz AB = BA = I
- 35. Exerc Exercí ícios cios Sendo , e obtenha a matriz X tal que: A + X = 2B -3C 6. = 3 2 1 0 A − − = 1 3 1 2 B − = 3 0 0 4 C
- 36. Exerc Exercí ícios cios Sendo e obtenha as matrizes X e Y tais que: 7. = 1 2 4 5 A = 3 1 2 0 B = − = + B Y X A Y X
- 37. Exerc Exercí ícios cios Sendo e obtenha: a) (A + B)2 b) A2 + 2AB + B2 c) A2+ AB + BA + B2 8. = 0 3 2 1 A − = 4 2 1 3 B
- 38. Exerc Exercí ícios cios Sendo as matrizes e determine AB 9. − − = 5 2 4 1 3 2 A − − − = 2 2 1 4 1 5 3 1 6 0 1 2 B
- 39. Exerc Exercí ícios cios Determine, se existir, a matriz inversa de: a) b) 10. = 1 2 1 3 A = 2 1 6 3 B
- 40. Exerc Exercí ícios cios Sejam A = diag (1, 2, -3) e B = diag (2, -5, 0), determine o traço de AB. 11.
- 41. Exerc Exercí ícios cios Sabe-se que o produto escalar entre dois vetores é o resultado do produto do módulo (também chamado de norma) de B pela projeção escalar de A em B (ver figura abaixo) cuja magnitude pode ser determinada por A·B = A.B.cosθ. Tal operação é aplicada em várias áreas do conhecimento tais como no cálculo do fluxo de um fluido ou no trabalho de uma força. Entretanto o resultado do produto escalar também pode ser obtido pela multiplicação entre duas matrizes A e B desde que se conheçam as componentes de cada vetor. Dessa forma encontre o produto escalar de dois vetores e tais que e . 12. u r ( ) 7 5 1 u , , − = r v r ( ) 5 8 6 v , ,− = r
- 42. Exerc Exercí ícios Propostos cios Propostos • BOLDRINI, J. L., COSTA, S. I. R., FIGUEIREDO, V. L., WETZLER, H. G. Álgebra Linear. Vol único, 3ª ed. Harbra ed. (1986) Capítulo 1: Matrizes Exercícios: 1, 2, 3, 6, 7, 9, 10, 13, 14, 15