O documento apresenta uma introdução às matrizes, definindo o que é uma matriz e seus principais tipos. Apresenta exemplos de operações com matrizes, como igualdade, adição e tipos especiais de matrizes.

1. 1
André Gustavo de A. Santos

2. 2
APRESENTAÇÃO
Este trabalho nasceu no dia-a-dia da sala de aula, nas observações atentas das
dificuldades dos estudantes dos cursos de engenharia, numa disciplina que na Bahia é
chamada de “Álgebra de lenhar”, menção ao grau de dificuldade da disciplina em seus
aspectos abstratos e teóricos. Este trabalho é marcado pelo compromisso com a
aprendizagem dos alunos, pela abordagem didática, linguagem simples, muito exercício
resolvido, sem deixar de lado o rigor matemático exigido pela disciplina. Não há uma
preocupação exagerada com a linguagem formal matemática, a única preocupação
exagerada é com o entendimento do aluno que cruza o caminho da Álgebra Linear.

3. 3
Introdução as Matrizes
Uma empresa produz soda cáustica (hidróxido de sódio - NaOH) pelo processo
chamado eletrólise (lise – quebra; eletro – eletricidade) do cloreto de sódio (NaCI) em
água. Os subprodutos desse processo também vendidos pela empresa, são os gases cloro
(Cl2) e hidrogênio (H2). Suponhamos que essa empresa tenha duas unidades produtoras
e que a unidade I produza mensalmente 80t de NaOH, 70t de Cl2 e 1 t de H2 e a unidade
II produza 60t de NaOH, 54t de Cl2 e 0,8t de H2 . Construa a matriz unidade produtora 
quantidade de produtos.
Unidade/Produto Soda Cáustica
(NaOH)
Cloro
(Cl2)
Hidrogênio
(H2)
I 80 70 1
II 60 54 0,8
Solução comentada: Utilizando somente os números dispostos na ordem, isto é,
cada um em sua respectiva linha e coluna, temos o que chamamos de matriz,
nesse caso, temos uma matriz formada por 2 linhas e 3 colunas que se lê,
matriz 2 por 3) e pode ser representada por:








8,0
1
54
70
60
80
ou 





8,0
1
54
70
60
80
1. Definição: Chama-se matriz do tipo mn toda tabela com (m.n) elementos
dispostos em m linhas e n colunas.
Exemplos:
a)
22
3
42









A b)
34
3
7
0
1
5
2
0
6
1
3
4
1
0

















B c)   415203 
2. Representação de uma Matriz Genérica
Consideremos a matriz unidade produtora  quantidade de produtos dada na introdução
desse tópico:






8,0
1
54
70
60
80
Os números que aparecem na matriz são chamados “elementos da matriz”, nela
podemos observar que:
Dispostos = arrumados

4. 4
O elemento 80 está na 1ª linha e na 1ª coluna, indicamos sua posição por uma letra
minúscula acompanhada de dois índices, o primeiro indica a linha e o segundo a coluna
em que os elementos estão representados, assim, o elemento 80 é indicado por 11a .
Representemos os outros elementos dessa matriz:
 7012 a
 113 a
 6021 a
 5422 a
 7023 a
Generalizando a representação dos seus elementos temos:















mn
n
n
mm
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A





2
1
2
22
12
1
21
11
Exercício resolvido: Escrever a matriz 23)(  ijaA , tal que 423  jiaij .
Solução: A matriz deve ter 3 linha e 2 colunas, ou seja:







































9
6
3
11
8
5
942.23.3
1141.23.3
642.22.3
841.22.3
342.21.3
541.21.3
32
31
22
21
12
11
32
22
12
31
21
11
A
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A
3. Tipos Especiais de Matrizes
- Matriz Nula; é aquela em que .,,0 jiaij 
Exemplo: 






0
0
0
0
0
0
A
- Matriz linha; é toda matriz do tipo nijaA  1)(
Exemplo:   413203 A
- Matriz coluna; é toda matriz do tipo 1)(  mijaA

5. 5
Exemplo:
15
6
1
0
9
0

















A
- Matriz Quadrada; é toda matriz do tipo nnijaA  )( Dizemos que A é uma
matriz de ordem n.
Exemplo:
a)











730
112
011
A b) 






00
01
A
Obs. Numa matriz quadrada de ordem n, os elementos nnaaaa ,332211 ,, forma a
diagonal principal da matriz, ou seja,  jiaij / .
A outra diagonal da matriz é denominada “diagonal secundária”, onde
 njiaij  1/ .
- Matriz Diagonal; é a matriz quadrada em que os elementos que não estão na
diagonal principal são nulos.
Exemplo:











400
050
002
A
- Matriz Escalar; é a matriz diagonal em que os elementos da diagonal principal são
iguais.
Exemplo:











900
090
009
A
- Matriz Identidade; é a matriz diagonal em que os elementos da diagonal
principal são iguais a 1.
Exemplo:















1000
0100
0010
0001
A

6. 6
- Matriz Triangular Superior; é a matriz quadrada em que todos os elementos
abaixo da diagonal principal são iguais a zero, isto é 0, .ija se i j 
Exemplo:















3000
000
900
1108


sen
A
- Matriz Triangular inferior; é a matriz quadrada em que todos os elementos
acima da diagonal principal são iguais a zero, isto é 0, .ija se i j 
Exemplo:












921
021
009
A
- Matriz Periódica: É a matriz A tal que An
= A, n  2. Se “n” é o menor inteiro
para o qual An
= A, diz que o periódico de A é n-1.
- Matriz Idempotente: É a matriz periódica A tal que A2
= A, ou seja, se
A2
= A, então A3
= A4
= A5
= ... = An
= A
- Matriz Nilpotente: Uma matriz A é nilpotente se existir um número inteiro
positivo “p” tal que Ap
= 0. Se “p” é o menor inteiro positivo tal que Ap
= 0, diz-se que
A é nilpotente de índice “p”, Se A3
= 0, então A4
= ... = An
= 0.
4. Operações com Matrizes:
4.1 Igualdade de Matrizes: Duas matrizes nmijaA  )( e qpijbB  )( são
iguais se possuem a mesma ordem, isto é, m = p e n = q e .,, jiba ijij 
Exemplo: Determinar x e y para que sejam iguais as matrizes 







yx
yx
332
223
e








32
27
A .
Solução:

7. 7




















1
3347374372.23
2105
333
723
)1(333
723
x
xxxx
yy
yx
yx
yx
yx
Substituindo x e y na matriz temos 





 32
27
.
4.2 Adição de Matrizes: Para que possamos adicionar matrizes devemos observar:
a) somente se adicionam matrizes de mesma ordem ou tipo;
b) a soma de duas ou mais matrizes tem a mesma ordem que as matrizes que as matrizes
parcelas:
Exemplo: 





2
1
0
0
2
1







 
1
0
2
1
3
2












12
01
20
10
32
21








3
1
2
1
5
3
Definição: Se nmijaA  )( e nmijbB  )( , então A + B é a matriz nmijcC  )( tal
que ijc ija ijb ., ji 
Obs. A diferença é a soma de A com a oposta de B, isto é A + (-B).
Exemplo: Suponhamos que a produção de feijão, milho e soja, em milhares de
toneladas, durante o ano de 2003, em três regiões do país, A, B e C, seja dada pela
tabela:
Feijão Milho Soja
Região A 300 500 2500
Região B 200 700 350
Região C 1200 150 2000
A matriz associada a essa tabela é:










20001501200
350700200
2500500300
Durante o ano de 2004, a produção é descrita pela matriz










25002501800
500800250
3000600450
Determine:
a) a matriz que representa a produção de 2003 e 2004, conjuntamente;

8. 8
b) a matriz que representa a produção de 2002, sabendo que a produção de feijão, milho
e soja for igual a produção de 2004 menos a de 2003.
Solução:
a) deve-se adicionar as duas matrizes:










20001501200
350700200
2500500300
+










25002501800
500800250
3000600450
=










45004003000
8501500450
55001100750
b) para a produção de 2002, vou subtrair as matrizes de 2004 e 2003.











25002501800
500800250
3000600450










20001501200
350700200
2500500300
=










500100600
15010050
500100150
Propriedades da Adição de Matrizes:
As matrizes (na adição) têm o mesmo comportamento dos números reais quanto as suas
propriedades, portanto valem as seguintes propriedades para adição de matrizes:
I. Associativa: A + (B + C) = (A + B) + C.
II. Comutativa: A + B = B + A
III. Elemento Neutro: A + 0 = 0 + A = A (0 é a matriz nula).
IV. Elemento Oposto: A + (-A) = (-A) + A
V. Cancelamento: A + C = B + C  A = B
4.3. Multiplicação de um Número real por uma Matrizes:
Vimos que, no problema anterior , se a produção de feijão, milho e soja , em milhares
de toneladas, durante 2004, em três regiões A, B e C é dada por










25002501800
500800250
3000600450
.
Calcule , a produção no ano de 2005 sabendo que ela foi a metade do ano anterior.
Solução:
Devemos calcular 











25002501800
500800250
3000600450
2
1










1250125900
250400125
1500300225

9. 9
Definição: Seja nmijaA  )( e k um escalar (número real). Definimos a matriz k.A
como sendo a matriz B = k.A, onde nmijbB  )( tal que .kbij  ija , isto é,
multiplicamos todos os elementos de A por k.
4.4. Multiplicação de Matrizes:
Uma indústria fabrica certa máquina em dois modelos diferentes, A e B. O modelo A
utiliza 4 condensadores, 3 interruptores e 7 válvulas; o modelo B utiliza 3
condensadores, 2 interruptores e 9 válvulas. Colocando esses dados em uma tabela
peças  modelo, teremos:
Peças/ Modelo A B
Condensadores 4 3
Interruptores 3 2
Válvulas 7 9
Ou em forma de matriz










9
2
3
7
3
4
que é a matriz peças  modelo. Em novembro foram
encomendadas 3 máquinas do modelo A e 2 do modelo B; e em dezembro, 2 máquinas
do modelo A e 1 do modelo B. Dispondo desses dados em forma de tabela temos;
Modelo/Mês NOVEMBRO DEZEMBRO
A 3 2
B 2 1
Em forma de matriz temos 





12
23
que é a matriz modelo  mês. Qual será o número
necessário de condensadores, interruptores e válvulas em cada um dos meses para
fabricar essas encomendas?
Solução: Para sabermos quantos condensadores serão utilizados em novembro,
usaremos as informações da 1ª linha da matriz peças  modelos e da 1ª coluna da matriz
modelo  mês.
4.3 + 3.2 = 12 + 6 = 18
Usando os elementos da 1ª linha da matriz peças  modelos e da 2ª coluna da matriz
modelo  mês, obtemos o número de condensadores utilizados em dezembro.
4.2 + 3.1 = 8 + 3 = 11
Usando os elementos da 2ª linha da matriz peças  modelos e da 1ª coluna da matriz
modelo  mês, obtemos o número de interruptores utilizados em novembro.
3.3 + 2.2 = 9 + 4 = 13

10. 10
Usando os elementos da 2ª linha da matriz peças  modelos e da 2ª coluna da matriz
modelo  mês, obtemos o número de interruptores utilizado em dezembro.
3.2 + 2.1 = 6 + 2 = 8
O número de válvulas utilizadas em novembro será dado pela 3ª linha da matriz peças 
modelos e pela 1ª coluna da matriz modelo  mês.
7.3 + 9.2 = 21 + 18 = 39
Já o número de válvulas utilizadas em dezembro será dado pela 3ª linha da matriz
peças  modelos e pela 2ª coluna da matriz modelo  mês.
7.2 + 9.1 = 14 + 9 = 23
Podemos dispor os resultados numa tabela:
PEÇAS/MÊS NOVEMBRO DEZEMBRO
Condensadores 18 11
Interruptores 13 8
Válvulas 39 23
Ou em forma de matriz










23
8
11
39
13
18
que é a matriz peças  mês.
Definição: Sejam as matrizes nmijaA  )( e pnjkbB  )( chama-se produto AB a
matriz pmikcC  )( tal que ikc é igual ao produto da linha i de A pela coluna k de B.
Algumas observações importantes:
 Somente é possível multiplicar matrizes onde o número de colunas é igual ao
número de linhas da segunda matriz.
pmpnnm CBA  .
 O número de linhas da matriz – produto C é igual ao número de linhas de A. O
número de colunas de C é igual ao número de B.
Exemplos:
a) 353225 .   CBA
b) :. 4232  BA O produto não está definido.

11. 11
  
termosn
n
AAAAAAAAAAAA ...,..,. 32

Exemplo:
a)
2
444444 .   AAA
b) 35A não admite
2
A , pois o produto .35A 35A não está definido.
 Se 0. BA não podemos concluir que 0A ou 0B
Exemplo: .
00
01












10
00






00
00
 A matriz identidade é o elemento neutro multiplicativo nas operações de
multiplicações de matrizes.
Exemplo: .
21
23













10
01






 21
23
No problema dos condensadores, interruptores e válvulas, poderíamos solucioná-lo da
seguinte forma:










9
2
3
7
3
4
. 





12
23

















1.92.7
1.22.3
1.32.4
2.93.7
2.23.3
2.33.4










23
8
11
39
13
18
O que fizemos foi multiplicar a matriz peças  modelo pela matriz modelo  mês,
obtendo como resultado a matriz peças  mês.
Outra Aplicação: Uma indústria fabrica três modelos diferentes de aparelhos de som.
Entre os componentes usados para fabricação desses aparelhos estão válvulas e de alto-
falantes usados em cada aparelho. A tabela (I) mostra o número de válvulas e de alto
falantes usados em cada aparelho.
TABELA (I)
Aparelho/Modelo Modelo A Modelo B Modelo C
Válvulas 10 12 15
Alto - Falantes 2 2 3
Considere que o planejamento feito para janeiro e fevereiro por essa fábrica supões a
produção dada pela tabela (II).
TABELA (II)
Modelo/mês Janeiro Fevereiro
Modelo A 20 8
Modelo B 15 10
Modelo C 10 5

12. 12
Quantas válvulas e quantos alto-falantes são necessários para os meses de janeiro e
fevereiro?
Solução: A matriz associada às tabelas (I) e (II) são 






3
15
2
12
2
10
A e











5
10
8
10
15
20
B respectivamente.
Observe que 222332 .   CBA . Portanto, fazendo A.B temos:






3
15
2
12
2
10












5
10
8
10
15
20








5.310.28.210.315.220.2
5.1510.128.1010.1515.1220.10






51100
275530
Portanto; são necessárias 530 válvulas para janeiro e 275 para fevereiro e 100 alto-
falantes para janeiro e 51 para fevereiro.
Propriedades da Multiplicação de Matrizes:
I. A multiplicação de matrizes não é comutativa, ou seja, AB  BA.
II. A multiplicação de matrizes é associativa, ou seja, (AB)C = A (BC)
III. Distributiva em relação a adição, ou seja, A(B + C) = AB + AC
IV. No conjunto das matrizes quadradas de ordem n, o elemento neutro da multiplicação
é a matriz identidade.
4.5. Transposição de Matrizes: Dada uma matriz nmijaA  )( , chamamos de
transposta da matriz A e indicamos por At
, a matriz mnji
t
aA  )'( , tal que ijji aa ' .
Em outras palavras, as linhas da matriz transposta são as colunas de A e as colunas da
matriz transposta são as linhas de A.
Exemplo: Se













3
4
2
3
1
3
1
2
0
7
0
1
A , então











3
1
0
4
3
7
2
1
0
3
2
1
t
A
Propriedades da Matriz transposta:
i) AA tt
)(
ii) ttt
BABA  )(
iii) tt
AkAk .).( 
iv) ttt
BABA .).( 

13. 13
5. Matriz Simétrica e Matriz Anti-Simétrica.
Uma matriz quadrada é dita simétrica se ela é igual a sua transposta, ou seja At
= A. No
caso em que At
= - A dizemos que a matriz é anti-simétrica.
Exemplo:
a)












132
340
201
A é uma matriz simétrica, pois At
= A.
b)














032
301
210
B é uma matriz anti-simétrica Bt
= - B.
Obs. a) Se nnijaA  )( é uma matriz simétrica, os elementos dispostos em relação a diagonal
principal são iguais, isto é; jiij aa  .
b) O produto de uma matriz quadrada A pela sua transposta At
é uma matriz simétrica.
c) Se nnijaA  )( é uma matriz anti-simétrica, os elementos dispostos simetricamente em
relação à diagonal principal são opostos, isto é; jiij aa  ou jiij aa  e os elementos da
diagonal principal são nulos.
Exemplo: Determine, se possível, x  IR para que a matriz












01
40
120
3
2
xx
xx
x
seja:
a) simétrica b) anti-simétrica
Solução: a) Para que uma matriz seja simétrica, é necessário, que os elementos
dispostos em relação à diagonal principal sejam iguais. Daí temos:
 200)2(022 '''22
 xxxxxxxx .
 011  xx .
 2200)4(044 ''''''233
 xxxxxxxxx
Observemos que; para que os elementos dispostos em relação à diagonal principal
sejam iguais basta que façamos x = 0, pois para x =  2 os elementos jiij aa  .
a) Para que uma matriz seja anti-simétrica, os elementos dispostos simetricamente em
relação à diagonal principal são opostos e os elementos da diagonal principal são nulos.
 200)2(022 '''22
 xxxxxxxx
 211  xx
 00)4(044 '233
 xxxxxxx , pois em 042
x , não
existe x  IR para que a matriz seja anti-simétrica.

14. 14
6. Matrizes Equivalentes: Dada duas matrizes de mesma ordem, diz-se que a
matriz A é equivalente a matriz B e se representa por B ~ A, se for possível transformar
A em B por meio das seguintes operações elementares.
a) Troca de linhas. Indicamos por ji LL 
b) Substituição de uma linha pela sua soma com outra linha, multiplicada por um
escalar diferente de zero. 0,  kkLLL jii
c) Multiplicação ou divisão de uma linha por um escalar diferente de zero. ii kLL 
Exemplo 1: Vamos mostrar que a matriz













3
0
8
3
1
4
2
1
4
1
1
2
A é equivalente a
matriz :
3321
4310
4221















B
Solução:
11
2
1
3321
0111
8442
LL 















122
3321
0111
4221
LLL 















Logo A ~ B.
Exemplo 2: Mostre que a matriz














1
0
1
1
2
1
1
1
4
3
2
1
A é equivalente a matriz
















2
2
1
2
0
1
0
1
1
0
0
1
B , e indique (na ordem) as operações elementares utilizadas
sobre as linhas das matrizes.
Determinantes
A teoria propriamente dita dos determinantes apareceu pela primeira vez em
trabalhos de Leibniz (1646 – 1716) e Seki Kowa (1642 – 1708). Os dois matemáticos
chegaram às mesmas conclusões, embora em lugares diferentes, Leibniz na Alemanha e
Kowa no Japão, ambos tratando de problemas que envolviam equações lineares. Kowa
foi o primeiro matemático que discutiu problemas relativos aos determinantes e até















3321
4310
4221

15. 15
acerca dos sinais de cada termo. A notação de determinantes como conhecemos hoje,
foi introduzida pelo matemático inglês Arthur Cayley:
Matemáticos como Jacobi (1804 – 1851), Kronecker (1823 – 1891), Fontené (1848 –
1923) e Rouché (1832 – 1910) contribuíram também de forma significativa na teoria
dos determinantes. Uma das utilizações de determinantes é encontrar área de
regiões(subdivididas em triângulo) por meio das coordenadas dos pontos extremos
dessas regiões, artifício muito utilizado por satélites devido a impossibilidade de se
obterem as medidas de determinadas regiões , como áreas de queimadas na selva
amazônica.
1. Determinante de uma matriz de 2a
ordem.
21122211
22
12
21
11
aaaa
a
a
a
a

Exemplo: Calcular o determinante associado à matriz 




 

2
1
5
3
A
Solução: 15)1(2)3(
2
1
5
3
)( 

ADet
2. Determinante de uma matriz de 3a
ordem.
Regra de Sarrus.
Exemplo: Calcule det(A), sendo













512
431
210
A .
= 0 + 8 + 2 + 5 + 0 + 12 = 27. Logo, o Det (A) = 27.
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
....
............................
....
....
21
22221
11211

16. 16
2.1 Aplicações de determinantes
 Cálculo de Áreas
Problema 1: Na atualidade, a agropecuária é a grande responsável pelo aumento de
queimadas na Amazônia em áreas onde houve redução de desmatamento. É o que
mostra um estudo de pesquisadores brasileiros publicado na revista Science1
. Segundo a
pesquisa, que analisou o período entre 1998 e 2007, os registros de fogo aumentaram
59% nas regiões que tiveram redução das taxas de desflorestamento. Isso significa que
as emissões de gases de efeito estufa economizadas pela diminuição do desmate podem
ser anuladas com as emissões provenientes de queimadas. O fogo é usado para limpar as
áreas abaixo da copa das árvores, que muitas vezes escondem os estragos que poderiam
ser vistos por imagens de satélites. Com o auxilio dos satélites, medem-se coordenadas
dos pontos extremos da região onde ocorrem as queimadas, subdividindo a região em
triângulos. Suponha que uma destas áreas localizadas por um satélite tem como
coordenadas dos pontos extremos da região os pontos A(10, 20), B(0, 2) e C(0, 0).
Determine a área queimada desta região em u.a
Solução:
Sabemos que área de um triângulo qualquer é obtida pela fórmula
2
.hb
A  . Para
calcularmos a área desmatada pela queimada vamos usar











1
1
1
det
2
1
3
2
1
3
2
1
y
y
y
x
x
x
S (módulo do determinante da matriz A).











1
1
1
0
2
20
0
0
10
det
2
1
S como 20
1
1
1
0
2
20
0
0
10

então  20
2
1
S auS .10
2
|20|

Problema 2: Suponha que as coordenadas dos pontos extremos obtidas por este satélite
seja A(54, -19), B(75, -81) e C(-30, 52). Qual área queimada identificada pelo satélite?
Solução:
















1
1
1
52
81
19
30
75
54
det
2
1
S como o determinante da matriz é igual a -3717 temos:
1
Referência no artigo publicado no site:
http://www.canalrural.com.br/canalrural/jsp/default.jsp?uf=1&local=1&id=2926702&action=noticias

17. 17
auS .5,1858
2
|3717|



 Cálculo de Volumes
Se ),,( 321 aaaa  , ),,( 321 bbbb  e ),,( 321 cccc  são vetores não coplanares do
espaço, então o paralelepípedo determinado por eles tem volume V dado pelo módulo
do produto misto











3
3
3
2
2
2
1
1
1
det),,(
c
b
a
c
b
a
c
b
a
cba
|),,(| cbaV 
Problema 3: Dados os vetores )0,0,1(a , )1,2,1( b e )0,2,3( c ,
determine o volume do paralelepípedo determinado por eles.
Solução:
2
0
2
3
1
2
1
0
0
1





. Como |),,(| cbaV  , temos que vuV .2|2| 
Problema 4: Uma Empresa de Engenharia deseja implantar um tanque em forma de
paralelepípedo num prédio que será construído para fins comerciais. Suponha que o
tanque possua arestas AB, AC e AD, sendo A(20, 10, 30); B(20, 70, 40);
C(30, 20, 30) e D(10, -20, 30). Determine o volume do tanque que será implantado
nesse prédio em m³.
Resposta: 2000m³
Obs. Lembre-se que um vetor AB = B – A
Sistemas Lineares
1. Problema Introdutório: Os combustíveis têm enxofre (S) como impureza.
Quando queimados, formam óxidos (SO2 e SO3) que são os principais responsáveis pela
formação da chuva ácida nas grandes cidades. Sabe-se que a massa molecular do SO2 é
64u (unidade de massa atômica) e a do SO3 é 80u. Considerando a massa atômica do
oxigênio x e y a do enxofre, determine x e y.

18. 18
Solução: Seja x a massa atômica do oxigênio e y a do enxofre. Então:
16
803
642
803
)1(642












x
xy
xy
xy
xy
, portanto, a massa atômica do
oxigênio é 16u.
Para determinarmos a massa atômica do enxofre, vamos substituir a massa atômica do
oxigênio em qualquer uma das equações:
y + 3x = 80  y + 3.16 = 80  y + 48 = 80  y = 32
1.2 Definição: Denomina-se sistema linear de m equações nas n incógnitas x1, x2,
x3,..., xn a todo sistema da forma:












mnmnmmm
nn
nn
nn
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
S
...
...........................................................
...
...
...
332211
33333232131
22323222121
11313212111
em que a11, a12, a13,..., a1n, b1, b2, b3,..., bm são números reais.
Se o conjunto ordenado de números reais satisfizer todas as
equações do sistema, será denominado solução do sistema linear.
Se o termo independente de todas as equações do sistema for nulo, isto é,
b1 = b2 = b3 =...= bm = 0, o sistema linear será dito homogêneo.
Uma solução do sistema linear homogêneo












0...
...........................................................
0...
0...
0...
332211
3333232131
2323222121
1313212111
nmnmmm
nn
nn
nn
xaxaxaxa
xaxaxaxa
xaxaxaxa
xaxaxaxa
é, por exemplo, (0, 0, 0,...,0). Essa solução chama-se solução trivial do sistema
homogêneo. Se o sistema homogêneo admitir outra solução onde as incógnitas não são
todas nulas, a solução será chamada não trivial.

19. 19
1.3 Representação Matricial de um Sistema
Todo sistema pode ser representado na forma matricial, assim, considerando um sistema
S com m equações a n incógnitas:












nnnnnn
nn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
S
...
................................................
...
...
...
2211
33232131
22222121
11212111
a representação matricial do sistema será dada da seguinte forma:




















nnninn
ni
ni
ni
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
......
..........................................
......
......
......
21
333231
222221
111211
.






















nx
x
x
x

3
2
1
.























nb
b
b
b

3
2
1
Exemplo: Faça a representação matricial do sistema








079
4752
10423
yx
zyx
zyx
Solução:












079
752
423
















z
y
x
.

















0
4
10
1.4 Matriz dos Coeficientes e Matriz Ampliada de um Sistema.
Dado um sistema linear S de m equações e n incógnitas:












nnnnnn
nn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
S
...
................................................
...
...
...
2211
33232131
22222121
11212111
Chamamos de matriz dos coeficientes, a matriz formada pelos coeficientes das
incógnitas do sistema:

20. 20




















nnninn
ni
ni
ni
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
......
..........................................
......
......
......
21
333231
222221
111211
Chamamos de matriz ampliada do sistema, a matriz formada pelos coeficientes das
incógnitas e os termos independentes do sistema:




















nnnninn
ni
ni
ni
baaaa
baaaa
baaaa
baaaa
......
................................................
......
......
......
21
3333231
2222221
1111211
Exemplo: Represente as matriz dos coeficientes e a matriz ampliada do sistema








079
4752
10423
yx
zyx
zyx
Solução:
Matriz dos coeficientes do sistema












079
752
423
Matriz ampliada do sistema












0079
4752
10423

21. 21
1.5 Sistemas Lineares Equivalentes
Dois sistemas lineares que admitem o mesmo conjunto solução são ditos equivalentes.
Por exemplo, os sistemas:





42
32
yx
yx
e





52
543
yx
yx
São equivalentes, pois ambos apresentam o mesmo conjunto solução
S = {(1, 2)}.
2. Matriz escalonada por linhas
Uma matriz está escalonada por linhas quando satisfaz as seguintes condições:
 Todas as linhas que consistem inteiramente de zeros, estão na parte
inferior da matriz.
 Em cada linha não nula, o primeiro elemento não nulo (chamado de
elemento líder) está em uma coluna à esquerda de qualquer outro
elemento líder abaixo dele.
Para escalonar a matriz ampliada de um sistema linear, deve-se aplicar as operações
elementares sobre as linhas da matriz, observando as regras citadas acima.
Exemplo:
a)










700
410
231
b)










00100
00000
20010
c)











00000
11100
40515
É escalonada Não satisfaz B É escalonada
3. Solução de um Sistema Linear AX = B.
Dizemos que a seqüência ou ênupla ordenada de reais é solução de
um sistema linear S, se for solução de todas as equações de S, isto é












mnmnmmm
nn
nn
nn
baaaa
baaaa
baaaa
baaaa




...
...........................................................
...
...
...
332211
33333232131
22323222121
11313212111

22. 22
Exemplo: Dê a solução do sistema S abaixo, se possível.
Solução: Vamos escalonar o sistema S abaixo, usando as operações elementares sobre
as linhas de uma matriz.
S:








332
0
8442
zyx
zyx
zyx
Inicialmente vamos escrever a matriz ampliada do sistema.
11
2
1
3321
0111
8442
LL 















122
3321
0111
4221
LLL 















133
3321
4310
4221
LLL 















22
1100
4310
4221
LL 

















211 2
1100
4310
4221
LLL 

















322 3
1100
4310
4401
LLL 

















311 4
1100
7010
4401
LLL 


































1100
7010
8001
Logo, temos que:
)1,7,8( S

23. 23
Exercícios:
4. Discussão de um Sistema Linear AX = B.
Discutir um sistema linear significa classificá-lo em sistema impossível (SI), sistema
possível determinado (SPD) ou sistema possível e indeterminado (SPI). Assim:
a) Sistema compatível e incompatível: Um sistema é dito compatível (ou possível)
quando há valores para as incógnitas ix que satisfazem as equações do sistema
simultaneamente. Caso isso não aconteça, ele é dito Incompatível (ou impossível).
b) Sistema indeterminado: O sistema é dito indeterminado quando admite infinitas
soluções, ou seja, existem infinitos valores de ix que verificam as equações
simultaneamente.
Podemos resumir os itens a) e b) da seguinte forma:
5. Posto de uma Matriz:
Seja a matriz Amxn, Chamamos de posto da matriz A o número de linhas não nulas de
qualquer uma de suas formas escalonadas por linhas.
Exemplo: Determine o posto das seguintes matrizes:






















3
2
1
3
2
1
6
1
1
1
1
1
)
242
121
200
) AbAa








132
2
122
)
zyx
zyx
zyx
a








1423
0
8
)
zy
yx
zyx
b

24. 24
5.1 Teorema do Posto: Seja AX = B um sistema de m equações e n incógnitas,
e A’= (A|B) sua matriz ampliada. Suponha que os postos de A e A’ são iguais, ou seja
p(A) = p(A’). definimos grau de liberdade do sistema AX = B como sendo o número
n - p(A), daí:
 Se p(A) ≠ p(A’) então o sistema é impossível.
 Se p(A) = p(A’) o sistema é possível, além disso, nesse caso, temos:
- Se p(A) = n então o sistema é determinado, tem solução única.
- Se p(A) < n então o sistema é indeterminado, com grau de liberdade n - p(A)
Obs. O grau de liberdade exprime o quanto está sobrando de incógnitas em relação ao número
de equações do sistema.
Exemplo 1: Considere um sistema AX = B com 5 equações e 4 incógnitas x, y, z, w.
Suponha que depois de escalonado, tenhamos obtido que p(A) = 3 e p(A’) = 3. Ou seja,
a matriz aumentada A’ = (A|B) ficou com 3 linhas não nulas (e duas linhas nulas).
Nesse caso, o grau de liberdade do sistema é n - p(A) = 4 -3 = 1. Assim, as 3 equações
(que ficaram) e 4 incógnitas nos deram uma variável livre. As demais escritas em
função dela.
1) Discutir e resolver, se possível, os sistema abaixo:
a)





2432
13
zyx
zyx
b)





2693
6462
zyx
zyx
c)








22
03
12
zx
zyx
zymx
6. Aplicações de Sistemas Lineares
 Análise de redes
Os problemas relacionados a redes aparecem em várias situações práticas, como
exemplos podemos citar as redes de transporte e redes de comunicação. Em
particular, os fluxos existentes através de redes são de maior interesse na solução de

25. 25
problemas importantes no que tange o fluxo de veículos através de redes de estradas,
as informações que fluem através de rede de dados bem como o fluxo de bens e
serviços que flui através de uma rede econômica.
Uma rede consiste basicamente em um número finito de nós, conectado por uma
série de segmentos dirigidos, conhecidos como ramos ou arcos. Cada ramo é
rotulado com um fluxo que representa a quantidade de alguma mercadoria que pode
fluir ao longo ou através daquele ramo na direção indicada. A regra fundamental que
governa o fluxo através de rede é chamada de conservação de fluxo.
Em cada nó, o fluxo de entrada é igual ao fluxo de saída.
Rede com dois ramos entrando em um nó e dois saindo.
Problema 1. Descreva os possíveis fluxos máximos e mínimos em cada ramo
através de rede de dutos de petróleo onde o fluxo é medido em litros por minuto.
10
f1 f2
70
Fluxo em um nó: f1 + f2 = 80
5
10 f1 10
A B
f4 f2
f3
20 5
C D
30

26. 26
Solução:
Vamos escrever as equações que representam a conservação do fluxo em cada nó
com as variáveis do lado esquerdo e a constante do lado direito, obtendo um sistema
linear. Assim temos:
1 4
1 2
2 3
4 3
15
10
5 30
20
f f
f f
f f
f f
 
  

  
  
1 4
1 2
2 3
3 4
15
10
25
20
f f
f f
f f
f f
 
  

 
  
A matriz ampliada correspondente a esse sistema é:
1 0 0 1 15
1 1 0 0 10
0 1 1 0 25
0 0 1 1 20
 
 
 
 
 
  
Vamos escalonar a matriz ampliada
2 2 1
1 0 0 1 15
1 1 0 0 10
0 1 1 0 25
0 0 1 1 20
L L L
 
 
  
 
 
  
3 3 2
1 0 0 1 15
0 1 0 1 5
0 1 1 0 25
0 0 1 1 20
L L L
 
 
    
 
 
  
4 4 3
1 0 0 1 15
0 1 0 1 5
0 0 1 1 20
0 0 1 1 20
L L L
 
 
    
 
 
  
1 0 0 1 15
0 1 0 1 5
0 0 1 1 20
0 0 0 0 0
 
 
   
 
 
  
( ) 3, ( `) 3 4
( ) ( `)
( )
( )
4 3 1
p A p A n
p A p A SP
p A n SPI
gl n p A
gl
   
 
 
 
  
De L3 temos: 3 4 3 420 20f f f f    
De L2 temos: 2 4 2 4 2 45 5 5f f f f f f          
De L1 temos: 1 4 1 415 15f f f f    

27. 27
f4 é a varável livre, portanto, cada uma dessas equações descrevem todos os fluxos, o
que nos dá a possibilidade de analisar a rede. Se o controle do fluxo no ramo AD for de
tal modo que f4 = 5L/min, os outros fluxos serão f1 = 10, f2 = 0 e f3 = 25.
Para encontrar os fluxos máximos e mínimos em cada ramo, devemos observar que cada
um dos fluxos deve ser não negativo, por exemplo:
Em 1 415f f  percebemos que f4 não pode ser maior do que 15, pois, caso contrário
f1 seria negativo, portanto 4 15f  .
De modo análogo, em 2 45f f  temos 4 5f  , pois caso contrário f2 seria negativo. A
terceira equação 3 420f f  não traz restrições novas, daí temos que:
110 15f 
20 5f 
320 25f 
40 5f 
Obs. Como foi dito acima, a terceira equação não traz novas restrições para f4, então
deduzimos que 40 5f  , combinando esse resultado com as 4 equações.
Concluímos com isso que com tal descrição temos os possíveis fluxos de petróleo que
fluem através da rede.
Método de Gauss - Jordan
1. Definição: Dizemos que uma matriz A m x n é linha reduzida à forma escada
(LRFE) se satisfaz as condições a seguir:
(i) O primeiro elemento não nulo de uma linha não nula é 1.
(ii) Cada coluna que contém o primeiro elemento não nulo de alguma linha possui
todos os
seus outros elementos iguais a zero.
(iii) Toda linha nula ocorre abaixo de todas as linhas não nulas.
(iv) Se as linhas 1, ... , r são as linhas não nulas, e se o primeiro elemento não nulo da
linha i ocorre na coluna ki , então k k kr1 2   .

28. 28
2. Procedimentos para aplicação do Método de Eliminação de Gauss –
Jordan (Matriz Linha reduzida a forma escada).
a) Escreva a Matriz Ampliada do sistema de equações lineares
b) Use operações elementares sobre as linhas da matriz para transformá-la “Matriz
Linha Reduzida a Forma Escada”.
c) Transforme o elemento lider de cada linha não nula em 1 (esse elemento será
chamado de Pivô).
d) Cada coluna que contém um Pivô, deve ter zeros em todas as outras posições.
Exemplo: Consideremos a matriz A dada a seguir,
A 












0 1 3 0 4 0 2
0 0 0 1 5 0 0
0 0 0 0 0 1 3
0 0 0 0 0 0 0
Observemos inicialmente que: a primeira linha de A é não nula, o primeiro elemento
não nulo desta linha é 1 e se encontra na coluna 2, que possui todos os outros elementos
iguais a zero, satisfazendo assim as condições (i) e (ii) da definição anterior. É fácil
verificar que as linhas 2 e 3 também satisfazem as estas condições. Além disso, a coluna
em que aparece o primeiro elemento não nulo da linha 1 é a coluna 2, ou seja, k1 2 . A
coluna em que ocorre o primeiro elemento não nulo da linha 2 é a coluna 4, daí k2 4 .
E k3 6 pois, a coluna em que aparece o primeiro elemento não nulo da linha três é a
coluna 6. Como k k k1 2 3  , a matriz A satisfaz também a quarta condição.
Finalmente, a quarta linha de A é nula e ocorre abaixo de todas as outras linhas. Assim,
a matriz A satisfaz também a condição (iii), e portanto A é uma matriz linha reduzida à
forma escada.
Observemos que quarta condição equivale a dizer que o
número de zeros que precede o primeiro elemento não nulo de
uma linha aumenta a cada linha, até que sobrem somente linhas
nulas, se houver, dando assim a forma escada à matriz.
Exemplos:
As matrizes dadas a seguir são linha reduzida à forma escada:
























4100
3010
,
00
10
,
00
01
,
10
01
Observemos que matrizes quadradas LRFE ou é a matriz identidade ou possui uma
linha nula.
As matrizes dadas a seguir não são linha reduzida à forma escada:

29. 29
0 1
1 0
2 0
0 1
0 0
1 0























, ,
1 0 6 7
0 0 1 0
,
Consideremos agora uma matriz que não é LRFE, por exemplo, a matriz A dada a
seguir:
A 










2 4 0 0
1 0 0 0
0 0 1 0
Podemos efetuar operações sobre as linhas de A de modo a obtermos uma matriz B
na forma LRFE. De fato:
A B
L L
L L L L L











 










 










 












  
2 0 0 0
1 0 0 1
0 0 1 0
1 0 0 0
1 0 0 1
0 0 1 0
1 0 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0
1 0 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
1 1
2 2 1 2 3
1
2
Exemplo: Escalonar a matriz
3
4
1
3
2
2
1
2
1












A pelo Método de Gauss – Jordan.
Solução:
3
4
1
3
2
2
1
2
1
122 2LL
 












  L
A
2
6
1
1
2
2
0
0
1
32
2
1
L
 



















 L
2
3
1
1
1
2
0
0
1
233 LL
 















 L
1
2
1
0
1
2
0
0
1
323 L2
 












LL
Que é a matriz na forma LRFE
1
0
1
0
1
2
0
0
1
311 LL
 











 
 L
1
0
0
0
1
2
0
0
1
211 2LL
 












 L
3
6
1
3
2
2
1
0
1
133 LL
 












  L
1
0
0
0
1
0
0
0
1













30. 30
2. Matriz inversa
Teorema1. Se 






dc
ba
A então A será invertível se ad – bc ≠ 0, caso em que:
11










ac
bd
bcad
A
Se ad – bc = 0, A não é invertível. Lembre-se que ad – bc = det(A).
Exemplo: Ache as inversas de
43
21






A e
54
1512








B se elas existirem.
Solução (a): det(A) = (1)(4) – 2(3) = - 2
12
34
2
11









A
211
2321









A
Teorema 2. Se A é uma matriz invertível nn , o sistema de equações AX = B tem
uma única solução BAX 1
  B n
.
2.1 Inversa de uma Matriz de ordem nn
Teorema: Se uma matriz A pode ser reduzida a uma matriz identidade por uma
sequência de operações elementares com linhas, então A é inversível e a matriz inversa
de A é obtida a partir da matriz identidade aplicando-se a mesma sequência de
operações com linhas. Na prática, operamos simultaneamente com as matrizes A e I
através de operações elementares, até chegarmos a matriz I na posição correspondente a
matriz A. A matriz obtida no lugar correspondente à matriz I será a inversa de A.
Exemplo:
Seja a matriz
0
1
0
1
3
0
2
2
1














A . Usando o teorema calcule, se possível, A-1
.
Solução:
2L-LL
100
010
001
0
1
0
1
3
0
2
2
1
122
1
















A

31. 31
2LLL
100
012
001
0
1
0
1
3
0
2
0
1
133 














LL
102
012
001
0
1
0
1
3
0
0
0
1
23 










 3L-L
012
102
001
1
0
0
3
1
0
0
0
1
233 L













LL
318
102
001
1
0
0
0
1
0
0
0
1
33 












 318
102
001
1
0
0
0
1
0
0
0
1













Logo
318
102
001
1












A
Exercícios
1) Calcular a Inversa da matriz












211
441
602
A pelo Método de Gauss – Jordan.
2) Resolver, se possível, o sistema Linear








2062
53
2
:
zx
yx
zy
S Pelo método de Gauss –
Jordan.
3) Discutir e, se possível, resolver os sistemas abaixo pelo método do escalonamento
por linhas:








953
2223
622
)
zx
zyx
zyx
a





2
4
)
zyx
zyx
b











333
142
2222
12
)
wx
wzyx
wzyx
wzyx
c





3252
4
)
zyx
zyx
d








577
3252
4
)
zyx
zyx
zyx
e

32. 32
4) Dê exemplos, se possível, de matrizes satisfazendo as condições dadas a seguir:
a) A2x3, p(A) = 2 b) B3x2, p(B) = 3 c) C2x4, p(C) = 3
5) Determinar o volume de um paralelepípedo de arestas AB, BC e CD tais que
A(0, 1, 2), B(1, 0, -1), C(-1, 1, -1) e D(3, 5, -2).
6) Dada as matrizes 







42
13
A e 






22
50
B calcule:
a) 2A – 3B
b) A-1
. Bt
c) det(B-1
) + 2At
7) Determine x, y e z de modo que a matriz













02
10
240
zy
zxA seja:
a) Simétrica b) Anti-simétrica
Espaços Vetoriais
Espaços Vetoriais são conjuntos em que podemos somar seus elementos e
multiplicá-los por um número real. Além disso, essas operações possuem propriedades
úteis, como associatividade, comutatividade, elemento neutro que possibilitam a
resolução de problemas.
Os espaços vetoriais que vamos estudar são três:
1º Tipo: Espaços Euclidianos n
IRIRIRIR ,...,,, 432
2º Tipo: Espaços das Matrizes nmMMMM  ,...,,, 433222
3º Tipo: Espaços dos Polinômios )(),...,(),( 32 IRPIRPIRP n
Como já foi dito, “Espaços Vetoriais”, são conjuntos cujos elementos são
chamados de “vetores”, que podem ser adicionados e multiplicados por um número real
(escalar)  .
Como na maioria dos casos não podemos visualizar o aspecto geométrico de
determinados espaços, enfatizaremos os aspectos geométricos nos espaços IR² e IR³,
espaços estes que possibilitam tais representações.
Quando o espaço for constituído de matrizes ou polinômios, só é possível efetuar
cálculos com eles. Nesse caso, não é possível fazer figuras com setas, paralelogramos
ou triângulos.
O caráter da Álgebra Linear consiste em tratar os objetos desses espaços de um
modo algébrico, através de suas propriedades sem se preocupar com seus aspectos.

33. 33
ESPAÇOS EUCLIDIANOS n
IRIRIRIR ,...,,, 432
 
 
 
 IRxxxxIR
IRwzyxwzyxIR
IRzyxyxIR
IRyxyxIR
in
n




);,,,(
...
,,,);,,,(
,,);,(
,);,(
21
4
3
2

Em 2
IR , têm - se vetores em duas coordenadas, por exemplo: u = (3, 2) e v = (-1, 1)
Em 3
IR , têm - se vetores em três coordenadas, por exemplo: w = (3, 2, 4)
Em 4
IR , têm - se vetores em quatro coordenadas, por exemplo: t = (-1, 2, 4, 3)
Representação Geométrica em 2
IR Representação Geométrica em 3
IR
Note que representações em espaços maiores do que 4 não podem ser visualizados
geometricamente.

34. 34
OPERAÇÕES NO
n
IR
A adição de vetores no n
IR é feita de modo simples, somando as coordenadas
correspondentes de cada vetor. Da mesma forma é feita a multiplicação por um
escalar . É necessário ressaltar a importância das operações nos espaços vetoriais que
decorrem de suas propriedades.
Definição 1. Sejam dois vetores  nxxxu ,,, 21  e  nyyyv ,,, 21  .
Dizemos que estes vetores são iguais quando suas coordenadas correspondentes forem
iguais, ou seja, niyxvu ii ,,2,1,  .
Definição 2. Sejam dois vetores  nxxxu ,,, 21  e  nyyyv ,,, 21  ,
definimos a soma de u e v como sendo o vetor obtido de u e v somando-se suas
coordenadas correspondentes. Em símbolos  nn yxyxyxvu  ,,, 2211 
Definição 3. Dado um vetor  nxxxu ,,, 21  e IR , definimos u. como
o vetor obtido de v multiplicando-se as coordenadas de u pelo escalar .
Simbolicamente, temos: u. = .  nxxx ,,, 21   nxxx  ,,, 21 
Exemplo 1: Dados os vetores u = (2, 0, -3, 1), v = (0, 1, -2, 1) do 4
IR , determine
o vetor w = -2u + 3v.
Solução: w = -2u + 3v = -2(2, 0, -3, 1) + 3(0, 1, -2, 1) =
= (-4, 0, 6, -2) + (0, 3, -6, 3) = (-4, 3, 0, 1).
Exemplo 2: Dados os vetores u = (1, -1, 0, 2), w = (-1, 3, 2, 0) resolva a equação
u + 2w = v .
Solução: Os vetores u e w pertencem a 4
IR . Como queremos determinar um vetor v tal
que u + 2w = v, podemos escrever então 2w = v – u  2w = (-1, 3, 2, 0) - (1, -1, 0, 2)
 2w = (-2, 4, 2, -2)  w = (-1, 2, 1, -1).
Propriedades dos Espaços Vetoriais - Operações no n
IR
Nos espaços euclidianos podemos efetuar a adição de 3 ou mais vetores em
qualquer ordem, por causa da propriedade associativa. Podemos trocar a ordem de 2
vetores na adição, em virtude da propriedade comutativa, além disso, temos várias
outras propriedades que explicitaremos a seguir:
Sejam u, v, w  n
IR e ,   IR, então, valem as seguintes propriedades:
1) u + (v + w) = (u + v) + w
2) u + v = v + u

35. 35
3) Existe um elemento neutro O = (0, 0,...,0) da operação de adição
4) Dado  nxxxu ,,, 21   n
IR , existe  nxxxu  ,,, 21  tal que
u + (-v) =O .
5) (u + v) = u + v
6) ( +  )u = u + u
7) ( )u = ( u)
8) 1.u = u
Obs. Para mostrar que um determinado conjunto é um espaço vetorial, devemos
demonstrar as oito propriedades descritas acima.
Exemplo 3: Dados os vetores u = (2, 0, -2), w = (0, 2, 4), determine o vetor
v = (x, y, z)  3
IR tal que 2(u + v) = 3(u + w).
Solução: Como 2(u + v) = 3(u + w) temos pelas propriedades vistas que
2u + 2v = 3u + 3w  2v = (3u + 3w) – 2u  2v = u – 3w 
2v = (2, 0, -2) – 3(0, 2, 4)  2v = (2, -6, -14). Logo, v = (1, -3, -7).
Propriedades Adicionais dos espaços vetoriais
Seja V um espaço vetorial real, as seguintes propriedades são conseqüências da
definição de espaço vetorial:
P1: n
IR  tem-se O = O
Demonstração:
O =  )( OO O + O . Pelo cancelamento temos O = O .
P2: n
IRv  , temos Ov .0 . Demonstração análoga.
SUBESPAÇOS VETORIAIS
Definição: Seja V um espaço vetorial sobre  e seja W um subconjunto de de V.
Chamamos de subespaço vetorial de V o subconjunto de W, se e somente se, W
também é um espaço vetorial sobre  com as operações fechadas de adição e
multiplicação por um escalar definidas em V.
Proposição 1. O conjunto W Vé um subespaço vetorial de V se:
i) 0  W, onde 0 é o vetor nulo ou elemento neutro da adição em V.
ii)  w1, w2  W  (w1+ w2)  W
iii)  w1  W;     w1    (w1)  W.

36. 36
IMPORTANTE: a) Se alguma das três condições não for verdadeira, o conjunto W
não será um subespaço vetorial do espaço vetorial V.
b) Se as três condições forem verdadeiras, o subconjunto W será um subespaço
vetorial do espaço vetorial V, e torna-se desnecessário verificar se são válidos em W
os oito axiomas que definem os espaços vetoriais.
c) Os subespaços vetoriais V e {0} são chamados de subespaços triviais, pois
satisfazem as condições da definição de subespaços vetoriais.
Exemplos:
1) Seja V = 3
e W = {(x, y, z)  3
| x = 0}. Verifique se W é um subespaço
vetorial de V.
Solução:
Para mostrar que um conjunto é um subespaço vetorial, devemos verificar as
condições (i), (ii) e (iii).
i) Como x = 0, se y = z = 0 então, obviamente, 0 = (0, 0, 0)  W.
Para verificarmos as condições (b) e (c), consideremos:





),,0(),,(
),,0(),,(
2222222
1111111
zywWzyxw
zywWzyxw
ii) w1+ w2 = (0, y1, z1) + (0, y2, z2) = (0+0, y1+ y2, z1+ z2) = (0, y1+ y2, z1+ z2)  W.
iii) w1 = (0, y1, z1) = (0, y1, z1) = (0, y1, z1)  W.
Como as três condições são satisfeitas, W é um subespaço vetorial de V.
2) Seja V = 2
e W = {(x, y)  2
| y = x2
}. Verifique se W é um subespaço vetorial
de V.
Solução: b) Verifiquemos se 0  W.
W )0,0(0






),(),(
),(),(
2
2
22222
1
2
11111
yxwWyxw
yxwWyxw
w1+ w2 = ),(),(),( 2
2
2
121
2
22
2
11 xxxxxxxx   W.
Logo, S não é subespaço de V, pois x1
2
+ x2
2
≠ (x1 + x2)2

37. 37
Contra-exemplo: Para u = (1, 1) e v = (3, 9) temos:
u + v = (1, 1) + (3, 9) = (4, 10)  W.
3) Seja V = M2() e }0|)({ 2 





 tRM
tz
yx
AW . Verifique se W é um
subespaço vetorial de V.
a) Como t = 0, se x = y = z = 0 então, obviamente, W






00
00
0
Para verificarmos as condições (b) e (c), consideremos:

































0
0
2
22
2
22
22
2
1
11
1
11
11
1
z
yx
wW
tz
yx
w
z
yx
wW
tz
yx
w
b) 




















0000 21
2121
2
22
1
11
21
zz
yyxx
z
yx
z
yx
ww W
zz
yyxx








021
2121
c) W
z
yx
z
yx
w 












00 1
11
1
11
1



Exercícios de Subespaços
1) Verificar se o conjunto S = {(x1, x2, x3, x4, x5)  5
/ x1 = 0} é um subespaço
vetorial com as operações usais.
2) Verificar quais dos conjuntos abaixo são subespaços vetoriais de IR2
relativamente as operações de adição e multiplicação por escalar.
a) W = {(x, y)/ y = - x}
b) W = {(x, x2
); x }
c) W = {(x, y)/ x + 3y = 0}
d) W = {(x, y)/ y = x + 1}
3) Verificar quais dos conjuntos abaixo são subespaços vetoriais de IR3
relativamente as operações de adição e multiplicação por escalar. Para os que são
subespaço, mostrar que as duas condições estão satisfeitas. Caso contrário, ctar um
contra-exemplo.
a) S = {(x, y, z)/ x = 4y e z = 0}
b) S = {(x, y, z)/ z = 2x - y}
c) S = {(x, x, x)/ x  }
d) S = {(x, x, 0)/ x  }

38. 38
4) Verificar se os subconjuntos abaixo são espaços vetoriais de M(2, 2):
a)
b)
c)
d)
e)
INTERSECÇÃO DE SUBESPAÇOS VETORIAIS
Definição: Sejam U e V subespaços vetoriais de um mesmo espaço vetorial W. O
conjunto intersecção é por definição U  V = {u  W/ u  U e v  V} e U  V
também é um espaço vetorial de W.
Exemplo: Seja W  3
e consideremos os seguintes subespaços de W:
U = {(x, y, z)/ x = 0} e V = {(x, y, z)/ y = z = 0}. Se o vetor w = (a, b c)  U  V,
então a = b = c = 0, e daí U  V = {0}.
SOMA DIRETA DE SUBESPAÇOS VETORIAIS
Definição: Sejam U e V subespaços vetoriais de um mesmo espaço vetorial W. Se
U + V = W e U  V = {0}, a soma U + V é chamada de “soma direta”, e é indicada
por U  V.
Exemplo 1: Seja W  3
, U = {(x, y, z)/ x = 0} e V = {(x, y, z)/ y = z = 0}. Nesse
caso a intersecção dos subespaços é U  V = {(0, 0, 0)} contém apenas o vetor
nulo, logo a soma é direta. Portanto, se tomarmos um vetor (3, 2, 5), podemos
escrevê – lo de uma única maneira:


VU
VU

)0,0,3()5,2,0()5,2,3( 3
Exemplo 1: Seja W  3
, U = {(x, y, z)/ x = y} e V = {(x, y, z)/ z = 0}. Nesse caso
a intersecção é U  V = {(x, x, 0)};  x   não contém apenas o vetor nulo, logo
a soma não é direta. Isso significa que tomando um vetor qualquer de W ele pode
ser escrito de infinitas maneirascomo soma de um vetor do subespaço U com um
vetor do subespaço V. se tomarmos um vetor (3, 2, 5), podemos escrevê – lo de
infinitas maneiras:




)0,0,1()5,2,2()0,1,2()5,1,1()5,2,3(
VU

39. 39
COMBINAÇÕES LINEARES – ESTUDO DA
DEPENDÊNCIA LINEAR
Definição de Combinação Linear: Seja V um espaço vetorial sobre , e
consideremos um subconjunto finito W de vetores do espaço vetorial W =
{w1,w2,...,wn}, o vetor v é uma combinação linear dos vetores de W se existirem os
escalares a1, a2,...,an tais que v = a1w1+ a2w2 +...+ wnan.
Exemplo 1: Todo vetor do 2
pode ser escrito como combinação linear dos
vetores e1 = (1, 0) e e2 = (0, 1). De fato:
(x, y) = x(1,0) + y(0, 1) = xe1 + ye2
Exemplo 2: Todo vetor do 3
pode ser escrito como combinação linear dos
vetores i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0) e k = (0, 0, 1). De fato:
(x, y, z) = x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) + k(0, 0, 1) = xi + yj + zk

40. 40
Exemplo 3: Verifique quais dos seguintes vetores abaixo são combinação linear
dos vetores u = (0, -2, 2) e v = (1, 3, -1).
a) w1 = (2, 2, 0) b) w2 = (3, 1, 5) c) w3 = (0, 0, 0)
Comentário inicial: Devemos encontrar escalares a e b  tais que:
a) w1 = au + bv
b) w2 = au + bv
c) w3 = au + bv
Solução:
a) (2, 2, 0) = a(0, -2, 2) + b(1, 3, -1)
(2, 2, 0) = (0, -2a, a) + (b, 3b, -b)
(2, 2, 0) = ( b, -2a + 3b, a – b)








0
232
2
ba
ba
b
Como b = 2, tem –se que a – 2 = 0  a = 2.
Vamos verificar se o sistema tem solução substituindo a e b na segunda equação.
- 2.2 + 3.2 = 2  - 4 + 6 = 2 (V).
Logo, u e v é combinação linear de w1 = (2, 2, 0), ou seja, w1 = 2u + 2v.
b) (3, 1, 5) = a(0, -2, 2) + b(1, 3, -1)
(3, 1, 5) = (0, -2a, a) + (b, 3b, -b)
(3, 1, 5) = ( b, -2a + 3b, a – b)








5
132
3
ba
ba
b
Como b = 3, tem –se que a – 3 = 5  a = 8.
Vamos verificar se o sistema tem solução substituindo a e b na segunda equação.
- 2.8 + 3.3 = 1  - 16 + 9 = 1 (F).

41. 41
Logo, u e v não é combinação linear de w2 = (3, 1, 5).
c) (0, 0, 0) = a(0, -2, 2) + b(1, 3, -1)
(0, 0, 0) = (0, -2a, a) + (b, 3b, -b)
(0, 0, 0) = ( b, -2a + 3b, a – b)








0
032
0
ba
ba
b
Como b = 0, tem – se que a – 0 = 0  a = 0.
Vamos verificar se o sistema tem solução substituindo a e b na segunda equação.
0 + 0 = 0 (V). Logo, u e v é combinação linear de w1 = (0, 0, 0), ou seja,
w1 = 0.u + 0.v.
Exemplo 4: Verifique se a matriz 





01
21
é combinação linear das matrizes






01
11
, 





00
11
, 





00
01
.
Solução: Devemos encontrar escalares a, b e c  tais que:






01
21
= a 





01
11
+ b 





00
11
+ c 





00
01
Daí tem –se:






01
21
= 





0a
aa
+ 





00
bb
+ 





00
0c






01
21
= 




 
0a
bacba








1
2
1
a
ba
cba
Como a = 1 temos que 1 + b = 2  b = 1
Daí temos que o valor de c poderá ser obtido na 1ª equação substituindo a e b.

42. 42
1 + 1 + c = 1  2 + c = 1  c = -1.
Logo 





01
21
é combinação linear de 





01
11
, 





00
11
, 





00
01
ou seja;






01
21
= 1. 





01
11
+ 1. 





00
11
+ -1. 





00
01
Exemplo 5: Verifique se o polinômio v = 7x² + 11x – 26 é uma combinação
linear dos polinômios u = 5x² - 3x + 2 e w = -2x² + 5x – 8.
Solução: Devemos encontrar escalares a e b   tal que v = au + bw.
Para resolver problemas de combinação linear com polinômios, basta escrever os
vetores dados com apenas seus coeficientes. Assim temos:
(7, 11, -26) = a(5, -3, 2) + b(-2, 5, -8)
(7, 11, -26) = (5a, -3a, 2a) + (-2b, 5b, -8b)
(7, 11, -26) = (5a – 2b, -3a + 5b, 2a – 8b)








2682
1153
725
ba
ba
ba
Vamos resolver usando a técnica do escalonamento por linhas:
13
2682
1153
725
LL 













11
2
1
725
1153
2682
LL 













133
122
5
3
725
1153
1341
LLL
LLL















22
7
1
72180
2870
1341
LL 












233 18
72180
410
1341
LLL 









 









 
000
410
1341
Como b = 4 então:
a – 4b = -13  a – 4.4 = -13  a – 16 = -13  5a = -13 + 16  a = 3
Logo, v = 3u + 4w (v é combinação linear de u e w)

43. 43
Exemplo 6: Determine m para que a matriz 





02
1m
seja uma combinação linear dos
vetores 





10
21
, 





21
10
, 





11
31
.
Solução:






02
1m
= a 





10
21
+ b 





21
10
+ c 





11
31






02
1m
= 





a
aa
0
2
+ 





bb
b
2
0
+ 





cc
cc 3






02
1m
= 







cbacb
cbaca
2
32











02
2
132
cba
cb
cba
mca
144
122 2
0121
2110
1312
101
LLL
LLL
m
















244
233
2
020
2110
12110
101
LLL
LLL
m
m
m


















43
24200
12000
12110
101
LL
m
m
m
m



































12000
24200
12110
101
m
m
m
m
2
1
012  mm .

44. 44
Exercícios
SUBESPAÇO GERADO E CONJUNTO GERADOR DE
UM SUBESPAÇO
Em Geometria Analítica, os vetores v1 = (1, 0, 0) e v2 = (0, 1, 0)  3
são os
geradores do plano XOY. Isto significa que todo vetor v = (x, y, 0) desse plano é
combinação linear de v1 e v2. De forma análoga, dados n vetores v1, v2,...,vn fixos em
um determinado espaço vetorial V, alguns vetores de V podem ser combinação linear
desses vetores v1, v2,...,vn e outros não. O conjunto W de todos os vetores que podem
ser obtidos como combinação lnear de v1, v2,...,vn é um subespaço vetorial de V,
chamado subespaço gerado pelos vetores v1, v2,...,vn.
Teorema: Seja V espaço vetorial. Considere v1, v2,...,vn  V e a1, a2,...,an  .
Então o conjunto W = {v  V / v = a1v1 + a2v2 +...+ anvn} de todas as combinações
lineares de é um subespaço vetorial v1, v2,...,vn é um subespaço vetorial de V.
W é chamado de subespaço gerado por v1, v2,...,vn e denotado por [v1, v2,...,vn].
Os vetores v1, v2,...,vn são chamados de geradores de W.
Exemplo 1: Considerando o vetor v = (1, 0) do plano e W = [(1, 0)]. O espaço
gerado por v é o conjunto de todas as combinações lineares do vetor (1, 0), o que no
plano cartesiano corresponde ao eixo OX. Em resumo
[(1, 0)] = {(x,0); x  }.

45. 45
Exemplo 2: W = [(1, 1)] é o conjunto de todas as combinações lineares do vetor
(1, 1), o que corresponde no plano a reta y = x (1ª bissetriz)
Exemplo 3: Determine geradores para os seguintes subespaços:
a) W = {(x,y,z)  3
; x – y – z = 0}
b) W = {(x,y,z)  3
; x – y – z = 0 e x + 2y = 0}
Solução a) A solução geral do sistema homogêneo é x = y + z. Assim:
(x, y, z) = (y + z, y, z) = (y, y, 0) + (z, 0, z) = y(1, 1, 0) + z(1, 0, 1), y e z  .
Logo, W = [(1, 1, 0), (1, 0, 1)] é o conjunto de geradores do subespaço
W = {(x,y,z)  3
; x – y – z = 0}.
Solução b) Vamos determinar a solução geral do sistema homogêneo





02
0
yx
zyx
x = -2y, então -2y – y – z = 0  -3y = z. Daí:
(x, y, z) = (-2y, y, -3y) = y(-2, 1, -3) y  . Logo, W = [(-2, 1, -3)]. Podemos observar
que o vetor (-2, 1, -3) satisfaz as equações dos sistema.
Exemplo 4: Verificar se W = {(x,y)  2
; x + y = 0} é um subespaço vetorial de
V = 2
, caso seja, mostrar o conjunto de geradores do subespaço W, caso não seja,
mostrar um contra-exemplo.
Devemos verificar as condições (i), (ii) e (iii) de subespaço vetorial.
i) Se colocarmos x em função de y obtemos x = -y. Se y = 0  x = 0, então:
0 = (0, 0)  W.
Para verificarmos as condições (ii) e (iii), consideremos:





),(),(
),(),(
222222
111111
yywWyyw
yywWyyw
ii) w1+ w2 = (- y1, y1) + (-y2, y2) = (-y1 - y2, y1+ y2) = (-(y1+ y2), y1+ y2)  W.
iii) w1 = (- y1, z1) = ( -y1, y1)  W.
Como as três condições são satisfeitas, W é um subespaço vetorial de V.
Vamos identificar os geradores desses subespaço:
Sendo x = -y  (x, y) = (-y, y) = y(-1, 1). Logo W = [(-1, 1)] é o conjunto de
geradores do subespaço W = {(x,y)  2
; x + y = 0}.

46. 46
Exemplo 5: Considere os vetores u = (0, 3, 1) e v = (-5, 0, 3) do 3
, determine
geometricamente qual é o subespaço vetorial gerado por esses vetores e dê sua equação.
Solução:
O subespaço vetorial gerado por esses vetores é o plano , que contém a origem e os
vetores dados. A equação desse plano é escrevendo um
vetor qualquer (genérico) do 3
como combinação linear
dos vetores u e v. Portanto, a equação do plano 
(subespaço gerado por esses vetores é:
(x, y, z) = a(0, 3, 1) + b(-5, 0, 3)
(x, y, z) = (0, 3a, a) + (-5b, 0, 3b)
(x, y, z) = (0 – 5b, 3a + 0, a + 3b)
(x, y, z) = (-5b, 3a, a + 3b)








zba
ya
xb
3
3
5
01559
1595
15
95
5
3
35
.3
335










yx
zxyz
xy
z
xy
z
xy
e
y
a
x
b
DEPENDÊNCIA E INDEPENDENCIA LINEAR
Já vimos que quando um vetor n
IRv  e é escrito na forma
nnvavavav  2211 dizemos que v é combinação linear dos vetores
nvvv ,, 21 .
1. Dependência Linear: Dado n vetores nvvv ,, 21 com n ≥ 1, dizemos
que os mesmos são linearmente dependentes (LD), quando a combinação linear deles é
nula, havendo pelo menos um dos escalares .0ia Ou seja:
02211  nn vavava  , onde nem todos os coeficientes ia são nulos.
Exemplo 1. O vetor )3,2,1(1 v e o vetor )6,4,2(2 v são linearmente
dependentes, pois 2v 12v . Daí temos que; um vetor v é dependente de outro vetor u se
e somente se v é um múltiplo de u, isto é uv .


47. 47
Assim, podemos enunciar o seguinte teorema:
Teorema 1: Dois vetores são LD se, e somente se, são colineares (ou paralelos).
Obs. Dado dois vetores não nulos e paralelos, existe um único escalar , tal que:
21 .vv 
Exemplo: Os vetores )2,1(1 v e 2v )4,2( são LD, pois 12 2vv  .
Representação Gráfica
1.2 Condição para que 3 vetores sejam linearmente dependentes.
Sejam os vetores ),,( 3211 aaav  , ),,( 3212 bbbv  e ),,( 3213 cccv  em ³ se eles
são LD, podemos tomar qualquer um deles como combinação linear dos outros dois.
Para verificar se 21,vv e 3v são LD devemos verificar se o determinante formado
pelas suas coordenadas é nulo, caso seja, 21,vv e 3v é LD. Ou seja:
0
321
321
321

ccc
bbb
aaa
Obs. Três vetores são coplanares se, e somente se, o determinante obtido de suas
coordenadas for nulo.
Exemplo 2. Verifique se os vetores )1,3,4(1 v , 2v )3,1,2(  e 3v )7,1,0(
são LD.
Resp. São LD.

48. 48
1.3 Independência Linear: Dado n vetores nvvv ,, 21 com n ≥ 1,
dizemos que os mesmos são linearmente independentes (LI), quando a combinação
linear deles é nula, sendo todos os escalares .0ia
02211  nn vavava  , onde todos os coeficientes ia são nulos.
Obs. Dois vetores são LI se, e somente se, não são colineares (ou não paralelos). Sendo
assim, se dois vetores são LI, 21 .vv  .
Exemplo 3. O vetor )1,3(v NÃO depende linearmente de )2,1(u , e vice –
versa, pois uv . . Neste caso, (em que v não depende de u nem u depende de v)
dizemos que u e v são vetores linearmente independentes.
Representação Gráfica
Obs. Três vetores são linearmente independentes (não coplanares) se, e somente se, o
determinante obtido de suas coordenadas for NÃO nulo. Por isso, se considerarmos os
vetores ),,( 3211 aaav  , ),,( 3212 bbbv  e ),,( 3213 cccv  em ³ se eles são LI, então:
0
321
321
321

ccc
bbb
aaa
Exemplo 3. Verifique se os vetores )3,1,2(1 v , 2v )0,6,0( e 3v )2,2,4( são
LI ou LD.
Resposta. LI

49. 49
Exercício 1: Estude a dependência linear dos vetores:
I)  1,4,21 u e  28,42 u LD
II)    3,0,2,1,0,3  vu e  4,0,1 w LD
III)  1,3,41 V e  2,5,82 V LI
IV)    1,1,3,2,2,1 21  mm e  0,0,01 m LD
V) )0,1,0(1 v , 2v )1,6,2(  e 3v )0,2,0( LD
Exercício 2: Determine k de modo que o conjunto {(1,0,k), (1,1,k),(1,k,k²)} seja LI.
Exercício 3: Verifique se os conjuntos abaixo são LI ou LD.
a) {(1,-1,3),(5,2,4),(4,1,7)}
b) {(1,2,-3,1),(2,3,-7,1),(1,4,1,5),(0,3,5,5)}
c)
1 1 1 1 1 1 1 0
, , ,
1 1 1 1 1 1 1 1
         
        
            
d)
2 0 1 1 3 1 1 2
, , ,
3 1 2 4 5 3 10 6
           
        
        
BASE E DIMENSÃO
1. Definição A: Um conjunto  1 2, , , nS u u u de vetores é uma base de V se valem as
seguintes condições:
(i) 1 2, , , nu u u são linearmente independentes
(ii) 1 2, , , nu u u geram V.
2. Definição B: Um conjunto  1 2, , , nB u u u de vetores é uma base de V se todo
vetor v  V pode escrever-se de maneira única como combinação linear dos vetores
base.
Diz-se que um espaço vetorial V tem dimensão finita n, ou que é n – dimensional, e se
escreve DimV n se V tem uma base com n elementos.
Teorema 1: Seja V um espaço vetorial de dimensão finita. Então toda base vetorial de
V tem o mesmo número de elementos.
Obs. Por definição, o espaço vetorial {0} tem dimensão 0.

50. 50
Lema2
: Suponhamos que  1 2, , , nv v v gere V, e que  1 2, , , mw w w seja linearmente
independente. Então m n e V é gerado por um conjunto de
forma 11, , , , , n mm i iw w v v 
. Assim, em particular, quaisquer 1n  ou mais vetores
em V são linearmente dependentes.
Teorema 2: Seja V um espaço vetorial de dimensão finita n.
(i) Quaisquer 1n  ou mais vetores em V são linearmente dependentes.
(ii) Qualquer conjunto linearmente independente  1 2, , , nS u u u com n elementos é
uma base de V.
(iii) Qualquer conjunto gerador  1 2, , , nT v v v de V com n elementos é uma base de
V.
Teorema 3: Suponha que S gere um espaço vetorial V.
(i) Qualquer número máximo de vetores linearmente independentes em S forma uma
base de V.
(ii) Suponhamos que se elimine de S cada vetor que seja combinação linear dos
precedentes. Então os vetores restantes formam uma base de V.
Teorema 4: Sejam V um espaço vetorial de dimensão finita e  1 2, , , nS u u u um
conjunto de vetores linearmente independentes em V. Então S é parte de uma base de V,
isto é, S pode ser estendido para uma base de V.
Teorema 5: Seja W um subespaço de um espaço vetorial V n-dimensional.
Então DimW n . Em particular, se dimW n então W = V.
Exemplos 1: Verifique se W = {(1,0,-1), (1,1,0), (1,1,-1)} é uma base vetorial de R3
.
Solução: Inicialmente verifiquemos se o conjunto dado é LI. Sabemos que três vetores
são linearmente independentes se, e somente se, o determinante obtido de suas
coordenadas for NÃO nulo.
1 0 1
1 1 0 1
1 1 1

 

Portanto, W = {(1,0,-1), (1,1,0), (1,1,-1)}é LI.
2
Substituímos m dos vetores do conjunto gerador pelos m vetores independentes, mantendo ainda um
conjunto gerador.

51. 51
Verifiquemos agora se W gera o R3
. Para isso, devemos escrever o vetor genérico do
R3
como combinação linear dos vetores de W.
(x, y, z) = a(1,0,-1) + b(1,1,0) + c(1,1,-1)
(x, y, z) = (a + b + c, b + c, – a – c)
a b c x
b c y
a c z
  

 
  
Escalonando o sistema temos:
3 3 1
1 11
0 1 1
01 1
x
y L L L
z
 
 
  
  
 
3 3 2
1 1 1
0 1 1
0 1 0
x
y L L L
z x
 
 
  
 
 
11 1
0 1 1
0 0 1
x
y
z x y
 
 
 
   
 
Portanto:
c z x y c x y z        
( )b c y b y c b y x y z b x z             
a b c x a x b c a x x z x y z a x y                
Se qualquer vetor de do ³ puder ser escrito como combinação linear dos vetores de W,
então o conjunto de vetores de W geram o ³. Dessa forma:
( , , ) ( )(1,0, 1) ( )(1,1,0) ( )(1,1, 1)x y z x y z x z x y         
( , , ) ( , , )x y z x y z
Portanto W gera R3
.
Como W é LI e gera R3
, então W = {(1,0,-1), (1,1,0), (1,1,-1)} é uma base do R3
.
Obs. Pelo Teorema 2, poderíamos concluir que W é uma base do R3
.
3. Algoritmo do espaço linha para determinação de uma Base
Suponhamos dados os vetores  1 2, , , ru u u em Kn
. Seja W = 1 2( , , , )rger u u u .
O subespaço de Kn
gerado pelos vetores dados. O algoritmo do espaço linha nos dá uma
base (e consequentemente a dimensão) de W.
Passo 1: Forme a matriz A cujas linhas são os vetores dados.
Passo 2: Reduza A por linhas à forma escalonada.
Passo 3: Destaque as linhas não nulas na matriz escalonada.

52. 52
Exemplos 2: Determine uma base e a dimensão para o seguinte subespaço vetorial:
4. Coordenadas
Consideremos V um espaço vetorial n-dimensional sobre o corpo K. Suponhamos que
 1 2, , , rS u u u é uma base de V. Então qualquer vetor v  V pode expressar-se de
maneira única como combinação linear dos vetores de S, ou seja:
v = a1u1+ a2u 2 +...+ a nu n
Os escalares a1, a2,..., a n são chamados de coordenadas de v em relação à base S; e eles
formam a ênupla [a1, a2,..., a n] chamada vetor das coordenadas, ou coordenada vetorial,
de v em relação a S. Denotaremos este vetor por [v]S ou simplesmente [v] quando S está
subentendido. Daí:
[v]S = [a1, a2,..., a n]
5. Isomorfismo de V e Kn
.
Consideremos uma base  1 2, , , nS u u u de um espaço vetorial V sobre um corpo K.
Já sabemos que cada vetor v de V corresponde a uma única ênupla [v]S em Kn
. Por outro
lado, a qualquer ênupla [c1, c2,..., c n]  Kn
, corresponde ao vetor c1u1 + c2u2 +...+cnun
em V. Dessa forma, a base S induz uma correspondência biunívoca entre os vetores em
V e as ênuplas em Kn
. Além disso, pode-se mostrar que a correspondência biunívoca
entre V e Kn
conserva as operações de soma vetorial e multiplicação por escalar, Assim,
dizemos que V e Kn
são isomorfos, e denotaremos por V  Kn
.
5.1 Teorema: Seja V um espaço vetorial n-dimensional sobre o corpo K. Então V e Kn
.
são isomorfos.
       
     
3 3 1
4 4 2
4 4 3
1,0,0 , 0,5, 2 , 1,0,2 , 0,5,0
1 0 0 1 0 0
0 5 2 0 5 2
1 0 2 0 0 2
0 5 0 0 5 0
1 0 0 1 0 0
0 5 2 0 5 2
0 0 2 0 0 2
0 0 2 0 0 0
1,0,0 , 0,5, 2 , 0,0,2 3
W
L L L
L L L
L L L
W DimW
    
   
   
    
     
     
   
   
   
    
   
   
    
    

53. 53
1) Exemplo: Verifique se o conjunto de matrizes
2 3 1 1 1 3
, ,
4 2 3 3 1 5
A B C
        
        
      
são linearmente independentes em 22M .
Solução: Os vetores coordenadas das matrizes acima em relação à base usual de 22M são:
A = (2, -3, 4, 2), B = (1, -1, 3, 3) e C = (-1, 3, 1, 5)
formemos a matriz M cujas linhas são os vetores das coordenadas acima:
2 3 4 2
1 1 3 3
1 51 3
M
 
 
  
 
 
Reduzamos M por linha à forma escalonada:
1 2
2 3 4 2
1 1 3 3
1 51 3
L L
 
 
  
 
 
2 2 1
3 3 1
1 1 3 3
2
2 3 4 2
1 51 3
L L L
L L L
 
   
 
  
 
3 3 2
3 31 1
0 1 2 4 2
0 2 4 8
L L L
 
 
     
 
 
2 2
3 31 1
0 1 2 4
0 0 0 0
L L
 
 
     
 
 
11 3 3
0 1 2 4
0 0 00
 
 
 
 
 
Como a matriz escalonada tem apenas duas linhas não nulas, os vetores das coordenadas [A],
[B] e [C] geram um subespaço de dimensão 2 e, assim, são linearmente dependentes (LD).
6. Mudança de Base.
Já sabemos que é possível representar cada vetor de um espaço vetorial V por meio de
uma ênupla, desde que tenhamos escolhido uma base S de V. Vamos redefinir aqui
alguns termos para responder a seguinte pergunta:
Como se modificará essa representação se escolhermos outra base?

54. 54
Consideremos a1, a2,..., a n as coordenadas de um vetor v em relação a uma base S de V.
Então representamos v por seu vetor coluna das coordenadas, denotado e definido por:
[v]S =
1
2
n
a
a
a
 
 
 
 
 
 
= (a1, a2,..., a n)
T
Obs. [v]S é uma matriz n  1, e não apenas um elemento de Kn
.
Seja  1 2, , , nS u u u uma base de um espaço vetorial V, e suponhamos outra base
 1 2` , , , nS v v v . Como S é uma base, cada vetor S’ pode escrever-se de maneira única
como combinação linear dos elementos de S, digamos:
1 11 1 12 2 1n nv c u c u c u   
2 21 1 22 2 2n nv c u c u c u   
1 1 1 2 2
............................................
n n nn nv c u c u c u   
Seja P a transposta da matriz de coeficientes acima:
111 12
21 22 2
1 2
n
n
n n nn
cc c
c c c
P
c c c
 
 
 
 
  
 
ou seja; ( )ijP P onde Pij = cij. Então P é chamada matriz de mudança de base da “velha
base de S” para a “nova base de S’”.
Obs. Como os vetores nvvv ,, 21 em S’ são linearmente independentes, a matriz P é
invertível. De fato, sua inversa P-1
é a matriz “mudança de base S’ ” de volta a base S.
Exemplo 1: Sejam  = {(2, -1), (3, 4)} e ’ = { (1, 0), (0, 1)} bases de 2
. Determine
[I] `
 .
Solução: Inicialmente, consideremos:
 1 2 1 2, (2, 1) (3,4)v v v e v     
 1 2 1 2` , (1,0) (0,1)w w w e w    
Seja 1 1 2 (1,0) (2, 1) (3,4)w av bv a b     

55. 55
2 3 1
4 0
4 1
11 11
a b
a b
a b
 

  
 
Seja 2 1 2 (0,1) (2, 1) (3,4)w cv dv c d     
2 3 0
4 1
3 2
11 11
c d
c d
a b
 

  
  
Portanto; [I] `
 =
34
11 11
1 2
11 11
a b
c d
 
       
 
Exemplo 2: Sejam S = { 1u = (1, 2), 2u = (1, -1)} e E = { 1e = (1, 0), 2e = (0, 1)} bases de
2
.
1 1 2
1 1 2
(1,0) (1,2) (1, 1)
(1,0) ( ,2 ) ( , ) (1,0) ( ,2 )
1
2 0
1 2
3 3
1 2
3 3
De e au bu a b
a a b b a b a b
a b
a b
a b
Logo e u u
     
       
 
 
 
 
 
2 1 2
2 1 2
(0,1) (1,2) (1, 1)
(0,1) ( ,2 ) ( , ) (0,1) ( ,2 )
0
2 1
1 1
3 3
1 1
3 3
De e au bu a b
a a b b a b a b
a b
a b
a b
Logo e u u
     
       
 
 
 
  
 
Daí temos que:

56. 56
1 1 2
2 1 2
1 2
3 3
1 1
3 3
e u u
e u u

 

  

Escrevendo os coeficientes de 1u e 2u como colunas, obtemos a matriz de transição P da
base S para a base usual E.
1 1
3 3
2 1
3 3
P
 
 
 
 
Como E é base usual, tem-se
1 1 2
1 1 2
(1,2) (1,0) (0,1)
(1,2) ( ,0) (0, ) (1,2) ( , )
2 ( )
De u ae be a b
a b a b
u e e I
    
    
  
2 1 2
2 1 2
(1, 1) (1,0) (0,1)
(1, 1) ( ,0) (0, ) (1, 1) ( , )
( )
De u ae be a b
a b a b
u e e II
     
      
  
De (I) e (II) temos:
1 1 2
2 1 2
2u e e
u e e
 

 
Escrevendo os coeficientes de 1e e 2e como colunas, obtemos a matriz Q de mudança
de base da base E de volta à base S.
1 1
2 1
Q
 
   
.
Obs. Observe que P e Q são inversas:
1 1
3 3
2 1
3 3
 
 
 
 
1 1
2 1
 
  
=
1 0
0 1
I
 
 
 
.
Teorema: Seja P a matriz de transição de uma base S para uma base S’ em um espaço
vetorial V. Então, para qualquer vetor v  V temos:
  `S
P v   S
v e daí  1
S
P v
   `S
v