áLgebra linear 01 aula 01-matrizes e cálculo determinantes (2)

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áLgebra linear 01 aula 01-matrizes e cálculo determinantes (2)

  1. 1. PROF. NILO
  2. 2. As matrizes foram utilizadaspela primeira vez pelomatemático e advogadoinglês James Sylvester quedefiniu Matriz como “arranjooblongo de termos”.Seu colega também inglêsArthur Cayley instituiualgumas operações básicasentre as matrizes, em“Memoir on the Theory ofMatrices”, em 1858.A multiplicação matricialdeveu-se ao matemáticoalemão Gotthold Eisenstein,considerado por Gauss, ummatemático do mesmo nívelque Newton e Arquimedes.
  3. 3. São tabelas retangulares de valores dispostos ordenadamente em linhas e colunas.Dentre suasaplicações podemos citar:armazenamento emanipulação deinformaçõestabuladas e asferramentas paratransmissão deimagens e sonsdigitalizados pelainternet.
  4. 4. As matrizes são indicadas por letras maiúsculas do alfabetolatino e representadas por parênteses ou colchetes ou duplasbarras laterais.     ( ) m – número de linhas da matrizSão tabelas retangulares de valores dispostos ordenadamente emm linhas e n colunas. n – número de colunas da matriz *A = (aij )mxn i, j,m,n ∈N onde 10≤≤j i≤≤n. onde m. j i––número da colunada matriz, número da linha da matriz,
  5. 5. j – número da coluna da m – número de linhas matriz, onde 0 < j < n. n – número de colunas da matrizi – número da linha damatriz, onde 0 < i < m. A = (aij )m x n  a11 a12 a13 ... a1n  linha 1   a a 22 a 23 ... a 2n  linha 2 21    A = (a ij )m x n =  a 31 a 32 a 33 ... a 3n  linha 3    ... ... ... ... ...    am1 am2  am3 ... amn  linha n coluna 3 coluna m coluna 1 coluna 2
  6. 6. EXEMPLO 01Dada a matriz A = (aij)3x2 através de sua lei deformação, escreva essa matriz.  i + j , se i ≤ j  aij =   i − j , se i > j  SOLUÇÃO  a11 a12   2 3     A = (aij )3 x 2 = a 21 a 22  =  1 4          a 31 a 32   2 1 
  7. 7. EXEMPLO 02Uma indústria automobilística produz três modelos de veículos empregando diferentes peças para a montagem do motor. Na matriz abaixo, cada elemento aij representa a quantidade de peças do tipo j utilizada na fabricação de um veículo modelo i. 15 10 12    A = 10 11 13      14 12 11a) Quantas peças do tipo 1 serão utilizadas para fabricar um veículo do modelo 2?b) Quantas peças de cada tipo são necessárias para fabricar oito veículos modelo 1, três veículos modelo 2 e dois veículos modelo 3?Resposta: 312 do tipo 1; 99 do tipo 2 e 72 do tipo 3.
  8. 8. Matriz Linha – É toda matriz com apenas 1 linha,ou seja, é toda matriz do tipo 1 x n. −1 4   3 −2 0    0 3 2 π   matriz 1 x 2 matriz 1 x 3 matriz 1 x 4Matriz Coluna – É toda matriz com apenas 1coluna, ou seja, é toda matriz do tipo n x 1. 4  6  3       0  −2       −5         1   −7   matriz 2 x 1 matriz 3 x 1  3   matriz 4 x 1
  9. 9. Matriz Nula – É toda matriz em que todos oselementos são iguais a zero. 0 0   0 0 0    0 0 0 0   matriz 1 x 2 matriz 1 x 3 matriz 1 x 4 0 0   0 0 0 0 0    0 0 0   0 0 0  0 0  0 0 0      0  0  0 0 0matriz 2 x 3 matriz 4 x 2 matriz 3 x 3
  10. 10. Matriz Quadrada de ordem n – É toda matriz dotipo n x n, isto é, que possui igual número delinhas e colunas.  a11 a12 a13 ... a1n    a a 22 a 23 ... a 2n   21    A = (aij )m x n =  a 31 a 32 a 33 ... a 3n     ... ... ... ... ...    an1  an2 an3 ... ann  Diagonal Diagonal Principal Secundária ( i = j) ( i+j = n+1)
  11. 11.  2 −1  3 − 2 0   6 − 2 −1 5      4 3   5 1 −3   0 3 2 −3         5 1 2 4  −6 0 2      −2 3 4 0   
  12. 12. Matriz Triangular – É toda matriz quadradacomposta apenas de zeros nos elementos acimaou abaixo da diagonal principal. 3 −2 5   3 0 0    0 1 −3   4 1 0      0 0 2  −2 5 6 Triangular Superior Triangular Inferior
  13. 13. Matriz Diagonal – É toda matriz quadrada em queos elementos que não pertencem à diagonalprincipal são iguais a zero. 2 0 4 0 0 5 0 0      0 3  0 −2 0  0 2 0          0 0 5 0 0 0 0 0  0 0 
  14. 14. Matriz Identidade ( ou Unitária ) – É toda matrizdiagonal, com ordem igual ou superior a 2, emque os elementos da diagonal principal são iguaisa 1. 1 0I2 =   0 1 1 0 0     1 0 0 0 I 3 = 0 1 0     0 1 0 0   I4 =   0 0 1   0 0 1 0   0  0 0 1 
  15. 15. Dadas duas matrizes A = (aij)mxn e B = (bij)pxq ,essas matrizes serão iguais quando as matrizesforem da mesma ordem e todos os elementoscorrespondentes de uma e outra forem iguais. 4 2  4 2 =  ambas são 2 x 2 −1 3   −1 3     são iguais 5 − 1 3   5 −1 3     0 4 2 ≠ 0 4 1 ambas são 3 x 3       não são iguais 2 − 3 1   2 −3 1 
  16. 16. EXEMPLO 03 Determine x, y, z e t, para que se tenha:  x 2 y   25 −4         10 3z  = 10 9         4x t   20 − t    SOLUÇÃO As duas matrizes são de ordem 3 x 2. Falta agora fazer a igualdade entre os termos correspondentes.  x=5  ; 4x = 20 ⇒ x = 5 2x = 25 ⇒ x = ± 25 = ±5   x = −5  ; t = − t ⇒ 2t = 0 ⇒ t = 0y = −4 ; 10 = 10 ; 3z = 9 ⇒ z = 3
  17. 17. EXEMPLO 04 Calcule a soma de matrizes abaixo.Soma de Matrizes – É umaoperação de soma dos  6 3   2 −4 elementos correspondentes    de duas matrizes de 10 4  +  −1 0     mesma ordem, gerando    uma nova matriz de mesma  5 1   10 −1 ordem. SOLUÇÃO  8 − 1As duas matrizes são de ordem  3 x 2. Então a soma é 9 4     15 0 
  18. 18. I ) A+(B+C)=(A+B)+C Enfermeira, estou com febre !II ) A + B = B + AIII) A + 0 = 0 + AIV) A + (−A) = −A + A = 0
  19. 19. Multiplicação de Escalar por Matriz – É umaoperação similar a uma soma de matrizes, ondetodas essas matrizes são iguais. Portanto, bastamultiplicar o escalar por cada elemento da matriz. EXEMPLO 05Calcule o resultado SOLUÇÃOda multiplicação deescalar por matriz  2 −1 3   10 −5 15 indicada abaixo. 5.  =   6 4 −2   30 20 −10       2 −1 3  5.    6 4 −2   
  20. 20. I ) ( λ. µ ).A = λ.(µ.A)II ) ( λ + µ ).A = λ.A + µ.AIII) ( λ − µ ).A = λ.A − µ.AIV) λ.( A + B ) = λ.A + λ.BV) 1 A = A
  21. 21. Oposta de Matriz – É obtida multiplicando o escalar−1 pela matriz dada. EXEMPLO 06Calcule o resultado SOLUÇÃOda oposta da matrizindicada abaixo.  3 − 1   −3 1   3 −1         −4 2   4 −2   −4 2  ( −1).  =         5 0   −5 0        5 0  2 −3   −2 3         2 −3   
  22. 22. Subtração de Matrizes – É uma operação de somade uma matriz com a oposta da segunda. EXEMPLO 07Calcule o resultado SOLUÇÃOda diferença dematrizes indicada  6 3   2 −4   4 7 abaixo.       10 4  −  −1 0  =  11 4  6 3   2 −4                10 4  −  −1 0   5 1   10 −1  −5 2        5 1   10 −1
  23. 23. Produto de Matrizes – Dadas duas matrizes A= (aij)m x n e B = (bij)p x q , chama-se produto dasmatrizes A e B, a matriz C = (cij)m x q , onde só épossível efetuar essa operação se n = p.Só é possível efetuar o produto de duas matrizes,se o número de colunas da primeira for igual aonúmero de linhas da segunda.A ordem da matriz produto é obtida pelo númerode linhas da primeira matriz e o número decolunas da segunda matriz.
  24. 24. I ) ( A.B ).C = A.( B.C )II ) ( A + B ).C = A.C + B.CIII) C.( A + B ) = C.A + C.BIV) ( α.A ).B = A .(α.B ) = α (A.B) onde α ∈ IRV) A.B ≠ B.A , em geral. Se A.B = B.A, então A e Bcomutam.VI) Se A.B = 0, não é necessário que A = 0 ouB = 0, porém se A.B = 0, qualquer que seja B, então A = 0. Da mesma forma se A.B = 0, qualquer queseja A, então B = 0.
  25. 25. EXEMPLO 08 SOLUÇÃOCalcule o resultado do  1 − 1 Matriz produto de matrizes   1 2 3 Produtoindicado abaixo. 2 2  .   é 3x  1 − 1    4 −5 1  3 Produto   1 2 3     2 2  .  3 4   possível    4 −5 1  3x2 2x3     = 3 4  1 1 1 2 1 3 −1 4 −1 −5 −1 1Matriz −3 7 2Produto 2 1 2 2 2 3 é da 10 −6 8 2 4 2 −5 2 1 forma: 3 1 3 2 3 3 19 −14 13 4 4 4 −5 4 1
  26. 26. 0A = In 1A =A 2A = A.A 3A = A.A.A nA = A.A.A....A
  27. 27. EXEMPLO 09Dada a matriz A abaixo, calcule A0 , A2 e A3.  4 2 SOLUÇÃOA=   −1 3  1 0   A0 = I 2 =   0 1    4 2   4 2   14 14 A 2 = A.A =  . =   − 1 3   − 1 3   −7 7         14 14   4 2   42 70 A 3 = A 2 .A =  . =   −7 7   −1 3   −35 7       
  28. 28. EXEMPLO 10 Dada a matriz A abaixo, calcule A1 + A2 + A3 + ... + A200. 1 0  SOLUÇÃO A=  1 0  1 0  1 0 1 0    A 2 = A.A =  . =  A matriz A é IDEMPOTENTE.  1 0  1 0  1     0  1 0  1 0  1 0 A 3 = A 2 .A =  . =  1 0  1 0  1 0        1 0  1 0  1 0 A 200 =  . =  1 0  1 0  1 0        1 0   200 0 A1 + A 2 + ... + A 200 = 200.  =  1 0   200    0 
  29. 29. EXEMPLO 11Uma indústria fabrica certa máquina em doismodelos diferentes, A e B. O modelo A utiliza4 condensadores, 3 interruptores e 7 válvulas; omodelo B utiliza 3 condensadores, 2 interruptores e9 válvulas. Em novembro, foram encomendadas 3máquinas do modelo A e 2 do modelo B; e emdezembro, 2 máquinas do modelo A e 1 do modeloB. Qual o número de condensadores, interruptores eválvulas em cada um dos meses para fabricar essasencomendas?Sugestão: monte primeiramente uma tabela peças x modelos eposteriormente monte uma tabela modelo x meses.
  30. 30. Transposição de Matrizes – Dada uma matrizA = (aij)m x n sua transposta é a matriz At = (aji)n x m.Na prática é a operação de troca de posição doselementos da linha i para a coluna i. EXEMPLO 12Obtenha a transposta SOLUÇÃOda matriz abaixo.  6 −2   6 −3 2 1  A=     −2 4 0 −4   −3 4    At =     2 0    1 −4   
  31. 31. Matrizes Simétrica – É uma matriz em que A = At, isto é, uma a b cmatriz em que os elementos a b     ; b d edispostos simetricamente em b  d    relação à diagonal principal são  c e figuais.Matrizes Anti-Simétrica – É umamatriz em que A = −At, isto é, uma matriz em que os 0 a belementos dispostos 0 a     ;  −a 0 csimetricamente em relação à −a  0    diagonal principal são simétricos.  −b −c 0 Os elementos da diagonalprincipal são iguais a zero.
  32. 32. I ) ( A + B )t = At + BtII ) ( λ.A )t = λ.At Cuidado com a Propriedade V,III) (At)t = A que ela induz ao erro !IV) (−A)t = −AtV) (A.B)t = Bt.At
  33. 33. Determinante de uma Matriz – Considerando apenasas matrizes quadradas M de elementos reais, odeterminante dessa matriz quadrada, representadapor det M, será o número obtido pela operação deseus elementos da seguinte forma:Se a matriz quadrada é de ordem n = 1, temos:M = a11  ⇒ det M=det a11  = a11 = a11    Se a matriz quadrada é de ordem n = 2, temos:  a11 a12   a11 a12 M=  ⇒ det M=det  = a a 22  a a 22   21   21  a11 a12 = = a11 .a 22 − a12 .a 21 a 21 a 22 − +
  34. 34. Se a matriz quadrada é de ordem n = 3, temos:  a11 a12 a13   a11 a12 a13     M = a 21 a 22 a 23  ⇒ det M=det a 21 a 22 a 23  =         a 31 a 32 a 33  a 31 a 32 a 33  a11 a12 a13 a11 a12 = a 21 a 22 a 23 a 21 a 22 = a 31 a 32 a 33 a 31 a 32− − − + + +
  35. 35. = a11 .a 22 .a 33 + a12 .a 23 .a 31 + a13 .a 21 .a 32− a13 .a 22 .a 31 − a11 .a 23 .a 32 − a12 .a 21 .a 33 Pierre Frédéric Sarrus (1789-1861)
  36. 36. Se a matriz quadrada é de ordem n natural, onden ≥ 4, aplicaremos o Teorema de Laplace, quetambém é válido para determinantes de ordens 1,2 e 3. Para tanto, basta escolhermos uma linha ou coluna do determinante e calcular os somatórios dos produtos dos elementos da fila escolhida pelos respectivos co-fatores.  a11 a12 ... a1j ... a1n  Pierre Simon   a ... a 2n  Laplace 21 a 22 ... a 2j (1749-1827) M=    Físico,  ... ... ... ... ... ...  Astrônomo e   Matemático an1 an2 ... an3 ... ann   
  37. 37. Vamos escolher uma coluna genérica j, teremos:  a11 a12 ... a1j ... a1n    a ... a 2n  21 a 22 ... a 2jM=    j  ...  ... an1 an2 ... ... ... anj ... ...  ... ann   det M = ∑ anj .Anj   n =1onde :Anj = ( −1)n + j .Dnj Determinante de ordem uma unidade abaixo, obtido eliminando-se a linha e a coluna onde se encontra anj.
  38. 38. Se escolhermos uma linha genérica i, teremos:  a11 a12 ... a1n    a ... a 2n  21 a 22     i  ... ∑ ain .Ain ... ... ... M=  det M =  ai1 ai1 ... ain    n =1  ... ... ... ...    a ... ann   n1 an2  onde : i+n A in = ( −1) .Din Determinante de ordem uma unidade abaixo, obtido eliminando-se a linha e a coluna onde se encontra anj.
  39. 39. EXEMPLO 13Calcule o valor dos determinantes das matrizesabaixo. 2 1 3  3 2   a)A =   b)B =  1 4 2 1 4       5 3 1 1 2 3 −4 2    2 4 2 4 0 1 0 0 0     0 1 1 0   d)D =  0 4 0 2 1c)C =       1 0 2 3  0 −5 5 1 4     3  0 1 0  0 1  0 −1 2  
  40. 40. Inversão de Matrizes – Se A é uma matriz quadrada de ordem n, dizemos que A é matriz inversível se existir uma matriz B tal que A.B = B.A = In.Dada uma matrizinversível M, chama-seinversa de A, a matriz M−1, que é única, tal que M. M−1 = M−1 .M = In.Quando uma matriz Mnão é inversível, ela édita matriz singular.
  41. 41. I ) (A−1)−1 = AII ) A matriz unidade é a sua própria inversa.III) (α.A)−1 = (1/α). A−1Se A e B são matrizes quadradas de mesmaordem, temos:IV) ( α.A ).B = A .(α.B ) = α (A.B) onde α ∈ IR
  42. 42. Lembrando que M. M−1 = In.Por meio de determinantes, temos: M−1 é a matriz M invertida. 1 . ( M ) −1 t det M é o determinante da M = det M matriz M a inverter. (M’)t é a matriz de cofatores transposta de M.Por meio de operações elementares.
  43. 43. EXEMPLO 12Obtenha a matriz inversa das matrizes abaixo,pelos 3 processos. 1 0 2 1 2  a)A =   c)C =  2 1 3  3 4       3 1 0 1 4 7    3 6b)B =   d)D =  2 5 8     2 4      3 6 9
  44. 44. SOLUÇÃO I −1 1 2 x z A.A = I2 ⇒   .A −1 = I 2 A −1 =   3 4 y w      2x2 2x2 2x2 1 2  x z   1 0  x + 2y z + 2w   1 0   . = ⇒  =  3 4  y w   0 1       3x + 4y 3z + 4w   0 1      AGORA É SÓ RESOLVER OS SISTEMAS
  45. 45.  1 2  x z   1 0  x + 2y z + 2w   1 0   . = ⇒  =  3 4  y w   0 1       3x + 4y 3z + 4w   0 1       x + 2y = 1   z + 2w = 0     3x + 4y = 0   3z + 4w = 1  1 2 1 1 2 0 3 4 0 3 4 1 −2 −3 −2 1 y = 3/2 w = −1/2 x = −2 z=1  x z   −2 1  A −1 =  =   y w   3 / 2 −1/ 2     
  46. 46. SOLUÇÃO II 1 1 . ( M ) . ( A) −1 t −1 t M = A = det M det A 1 2 1 2A=  ;det A = = 1.4 − 2.3 = −2 3 4   3 4A11 = ( −1)1+1 . 4 = 4 A12 = ( −1)1+ 2 . 3 = −3A 21 = ( −1)2+1 . 2 = −2 A 22 = ( −1)2+ 2 . 1 = 1  4 −3   4 −2  A =   ⇒ (A)t =    −2 1     −3 1    1  4 −2   − 2 1  A −1 = . =  −2  −3 1   3 / 2 −1/ 2     
  47. 47. SOLUÇÃO III 1 2 1 2 1 0 L1 = 2.L1 − L2  − 1 0 2 − 1 A= ⇒      3 4  3 4 0 1    3 4 0 1   L2 = L2 + 3.L1  − 1 0 2 −1  L1 = − L1  1 0 −2 1       0 4 6 −2    L4 = L4 : 4  0 1 3 / 2 − 1/ 2    PERCEBERAM QUE OS RESULTADOS BATERAM ?
  48. 48. Está caindouma chuva de Matrizes eDeterminantes!

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