Teste Cálculo - Integrais

1. Teste de Avalia¸c˜ao de C´alculo - Janeiro 2020
Nome do aluno:
Aprecia¸c˜ao:
Responda de forma clara e justificada a todas as quest˜oes que constituem este teste.
Miguel Fernandes
1. Seja f uma fun¸c˜ao de classe C1
em [a, b]. Mostre que
2
b
a
f (x)f(x) dx = f(b)2
− f(a)2
.
2. Calcule o valor dos seguintes integrais definidos.
2.1.
π
−π
cos x + 1 dx
2.2.
π
0
x2
sin x dx
3. Calcule o valor do integral
1
−2
x2
+2x−1 dx e justifique que ´e poss´ıvel aplicar o Teorema do Valor M´edio
para Integrais, identificando a constante a que se refere esse teorema.
4. Calcule a ´area da zona do plano delimitada pelos gr´aficos das fun¸c˜oes definidas por f(x) = e−x
+ 1 e
g(x) = ex
no intervalo [−1, 1].
5. Seja f uma fun¸c˜ao ´ımpar e cont´ınua. Mostre que
a
−a
f(x) dx = 0
onde a ∈ Df .
6. Considere a fun¸c˜ao g : R −→ R+
0 de classe C1
e crescente e a fun¸c˜ao f definida por
f(x) =
g(x)
0
g (t) dt
6.1. Indique o dom´ınio de f e justifique que a mesma ´e cont´ınua nesse dom´ınio.
6.2. Justifique que f ´e deriv´avel e escreva a express˜ao da sua derivada.
6.3. Conclua que f ´e crescente. Como poderia chegar a essa conclus˜ao sem recorrer `a express˜ao da
derivada de f?
7. Determine a fun¸c˜ao f de classe C1
que verifica



f(x2
− 1) +
x2
−1
0
f (t) dt = x, x > 1
f(0) = 3
Fim da Prova
Cota¸c˜ao (por ordem das quest˜oes):
1,5val - 2 val - 2,5 val - 2,5 val - 2,5 val - 1,5 val - 1,5 val - 2 val - 1,5 val - 2,5 val