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Matemática Discreta 1

Discreta1

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UEPB/CCT/DC/BC 
Matemática Discreta I - 
Lista de Exercícios – Funções 
1. Marque com um X as relações abaixo que são funções de S®S; S={a,b,c,d}. 
[ ] a. {(b,a), (b,c), (a,b), (c,d), (d,a)} [ ] c. {(a,c), (b,c), (c,b), (d,b)} 
[ ] b. {(a,a),(b,a),(b,b),(c,b),(c,c), (d,d)} [ ] d. {(a,b), (b,c), (c,d), (d,a)} 
Idem ao item acima para S={1,2,3,4}; S®S 
[ ] e. {(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)} [ ] g. {(1,2), (2,1), (2,3), (3,4), (4,1)} 
[ ] f. {(1,4), (2,4), (3,2), (4,2)} [ ] h. {(1,1),(2,1),(2,2),(3,2),(3,3), (4,4)} 
2. Marque com um X os diagramas abaixo que representam funções de S em T: 
S T S T S T S T 
[ ] [ ] [ ] [ ] 
S T S T S T S T 
[ ] [ ] [ ] [ ] 
3. Marque com um X os gráficos abaixo que são próprios de funções: 
[ ] [ ] [ ] [ ] 
[ ] [ ] [ ] [ ] 
4. Marque com um X as relações abaixo que são funções: 
[ ] a. h: N®N, h(x) = -x+1 [ ] e. g:R®R, g(x) = 2x3 + x2 -1 
[ ] b. t: Z®Z, t(x) = (x-4)/2 [ ] f. f: N®Z, f(x) = |x| 
[ ] c. f: Z®N, f(x) = |x| [ ] g. h: N®N, h(x) = x-1 
[ ] d. g:R®R, g(x) = -2x3 - x2 + 1 [ ] h. t: Z®Z, t(x) = (x-2)/4
5. Classifique as funções abaixo em Injetora, Sobrejetora, Bijetora ou NenhumaDessas: 
? S={a,b,c,d} e T={a,b,c} (Atenção para o domínio e o contradomínio) 
a f:S®S; f = {(a,b), (b,c), (c,d), (d,b)} 
b g:S®S; g = {(a,b), (b,c), (c,d), (d,a)} 
c h:S®T; h = {(a,b), (b,c), (c,d), (d,d)} 
d t:T®S; t = {(a,b), (b,c), (c,d)} 
? S={1,2,3,4} e T={1,2,3} (Atenção para o domínio e o contradomínio) 
e u:T®S, u = {(1,2), (2,3), (3,4)} 
f v:S®T, v = {(1,2), (2,3), (3,1), (4,1)} 
g w:S®S, w = {(1,2), (2,3), (3,4), (4,1)} 
h z:S®S, z = {(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)} 
6. Classifique as funções abaixo em Injetora, Sobrejetora, Bijetora ou NenhumaDessas: 
S T S T S T S T 
[ ] [ ] [ ] [ ] 
S T S T 
[ ] [ ] [ ] [ ] 
7. Classifique as funções abaixo em Injetora, Sobrejetora, Bijetora ou NenhumaDessas: 
[ ] a. f: R®R, f(x) = x3 [ ] e. h: N®Z, h(x) = x2 
[ ] b. g:R®R, g(x) = x2 [ ] f. t: Z®N, t(x) = x2 
[ ] c. f: R+®R, f(x) = logx [ ] g. h: R®R+, g(x) = ex 
[ ] d. g:R®R, g(x) = ex [ ] h. t: Z®Z, t(x) = x2 
8. Classifique as funções abaixo em Injetora, Sobrejetora, Bijetora ou NenhumaDessas: 
N®Z R®R R®R Z®N 
[ ] [ ] [ ] [ ] 
R®R 
[ ] [ ] [ ] [ ] 
Z®Z 
S T S T 
R®R+
9. Dadas f: R®R, f(x) = x2-1; g: R®R, g(x) = 2x+1. Encontre gof(-1.0) e fog(3.0). 
gof(-1.0) = ________ 
fog(3.0) = ________ 
10. Dadas f: R®R, f(x) = x2+1; g: R®R, g(x) = 2x-1. Encontre gof(-1.0) e fog(3.0). 
gof(-1.0) = ________ 
fog(3.0) = _________ 
f (x) = 2x - , encontre f -1(x). 
10. Dada f: R®R, 3 
5 
R - f -1(x) = _______. 
f (x) = 5x - , encontre f -1(x). 
11. Dada f: R®R, 2 
3 
R - f -1(x) = _______. 
12. A={a,b,c,d,e}. f: A®A, f = {(a,d), (b,b), (c,c), (d,e), (e,a)}. Escreva f em arranjo 
retangular e ciclo. 
fæ 
ö 
= f = ( ) 
÷ ÷ø 
ç çè 
13. A={1,2,3,4,5}. f: A®A, f = {(1,4), (2,2), (3,3), (4,5), (5,1)}. Escreva f em arranjo 
retangular e ciclo. 
fæ 
ö 
= f = ( ) 
÷ ÷ø 
ç çè 
14. A={a,b,c,d,e}, f, g Î SA. f = (c,b,d,e), g = (a,b,c,d). Encontre gof e fog e as 
escreva em forma de arranjo retangular e ciclo.
÷ g÷ø 
f æ 
ö 
 =÷ ÷ø 
ç çè 
ö 
æ 
fg= 
ç çè 
g  f = f  g = 
15. A={1,2,3,4,5}, f, g Î SA. f = (1,2,3,4), g = (3,2,4,5). Encontre gof e fog e as 
escreva em forma de arranjo retangular e ciclo. 
÷ g÷ø 
f æ 
ö 
 =÷ ÷ø 
ç çè 
ö 
æ 
fg= 
ç çè 
g  f = f  g = 
16. Marque com X o grupo cujas funções são da mesma ordem de grandeza: 
[ ] a. ex-logx2; e2x-logx2; e3x -logx2-1 [ ] e. x3; 100x-450x2+25x3; 100x3+20x 
[ ] b. 25x2-4x+2; x2-15x-3; 0,01x3+40x2 [ ] f. xlogx3; 2xlogx2; 5xlogx 
[ ] c. x3; 10x-45x2+5x3; x3+20x-10 [ ] g. 2x2-x+2; x2+5x-1; -0,01x3+40x2 
[ ] d. ex-3logx2; ex-logx3; ex -5logx4-1 [ ] h. 4xlogx; 2x2logx; x3logx 
17. Dada a função recursiva abaixo, calcule f(3,4). 
î í ì 
f x = 
x 
( ,0) ; 
f x y R – f(3,4) = ______. 
= 
( , 1) ( , ) 1 
( , ) 
f x y f x y 
+ = + 
18. Dada a função recursiva abaixo, calcule f(3,4). 
î í ì 
= 
( ,0) 0; 
= 
f x y f x y x 
( , ) R – f(3,4) = ______. 
+ = + 
f x 
f x y 
( , 1) ( , )
19. Dada a função recursiva abaixo, calcule f(47). 
= 
= 
( 1) ( 1) ( ) 
î í ì 
(1) 1; 
( ) 
f x + = x + × 
f x 
f 
f x R – f(5) = ______. 
20. Dada a função recursiva abaixo, calcule f(4,3). 
ì 
ï ï 
f y 
(0, ) 1; 
(1,0) 2; 
f 
f x y R – f(4,3) = ______. 
= 
í 
( 1, 1) ( ( , 1), ) 
ï ï 
î 
= 
= 
f x x x 
= + ³ 
( ,0) 2, 2; 
+ + = + 
( , ) 
f x y f f x y y 
21. Mostre que os conjuntos Z- e Q+ são equivalentes. 
22. Mostre que os conjuntos Z+ e Q- são equivalentes. 
As questões 21 e 22 podem ser resolvidas de duas maneiras: 
1. Fazendo um mapeamento direto de Z? em Q?, tendo o cuidado de não omitir nem 
acrescentar nenhum elemento de Q? quando estiver “tirando” os elementos de Q? do 
esquema de diagonalização; 
2. Fazendo um mapeamento de Z? em N e um mapeamento de N em Q?; assim cada 
elemento de Z? vai corresponder a um elemento de N que por sua vez irá 
corresponder a um elemento de Q?; mais uma vez tem que ter cuidado com a listagem 
dos elementos de Q?. Esse esquema é equivalente a fazer uma composição de 
funções. 
f : Z? ® Q? equivalente a u o g : Z? ® Q?, com g : Z? ® N e u : N ® Q?
19. Dada a função recursiva abaixo, calcule f(47). 
= 
= 
( 1) ( 1) ( ) 
î í ì 
(1) 1; 
( ) 
f x + = x + × 
f x 
f 
f x R – f(5) = ______. 
20. Dada a função recursiva abaixo, calcule f(4,3). 
ì 
ï ï 
f y 
(0, ) 1; 
(1,0) 2; 
f 
f x y R – f(4,3) = ______. 
= 
í 
( 1, 1) ( ( , 1), ) 
ï ï 
î 
= 
= 
f x x x 
= + ³ 
( ,0) 2, 2; 
+ + = + 
( , ) 
f x y f f x y y 
21. Mostre que os conjuntos Z- e Q+ são equivalentes. 
22. Mostre que os conjuntos Z+ e Q- são equivalentes. 
As questões 21 e 22 podem ser resolvidas de duas maneiras: 
1. Fazendo um mapeamento direto de Z? em Q?, tendo o cuidado de não omitir nem 
acrescentar nenhum elemento de Q? quando estiver “tirando” os elementos de Q? do 
esquema de diagonalização; 
2. Fazendo um mapeamento de Z? em N e um mapeamento de N em Q?; assim cada 
elemento de Z? vai corresponder a um elemento de N que por sua vez irá 
corresponder a um elemento de Q?; mais uma vez tem que ter cuidado com a listagem 
dos elementos de Q?. Esse esquema é equivalente a fazer uma composição de 
funções. 
f : Z? ® Q? equivalente a u o g : Z? ® Q?, com g : Z? ® N e u : N ® Q?

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Discreta1

  • 1. UEPB/CCT/DC/BC Matemática Discreta I - Lista de Exercícios – Funções 1. Marque com um X as relações abaixo que são funções de S®S; S={a,b,c,d}. [ ] a. {(b,a), (b,c), (a,b), (c,d), (d,a)} [ ] c. {(a,c), (b,c), (c,b), (d,b)} [ ] b. {(a,a),(b,a),(b,b),(c,b),(c,c), (d,d)} [ ] d. {(a,b), (b,c), (c,d), (d,a)} Idem ao item acima para S={1,2,3,4}; S®S [ ] e. {(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)} [ ] g. {(1,2), (2,1), (2,3), (3,4), (4,1)} [ ] f. {(1,4), (2,4), (3,2), (4,2)} [ ] h. {(1,1),(2,1),(2,2),(3,2),(3,3), (4,4)} 2. Marque com um X os diagramas abaixo que representam funções de S em T: S T S T S T S T [ ] [ ] [ ] [ ] S T S T S T S T [ ] [ ] [ ] [ ] 3. Marque com um X os gráficos abaixo que são próprios de funções: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 4. Marque com um X as relações abaixo que são funções: [ ] a. h: N®N, h(x) = -x+1 [ ] e. g:R®R, g(x) = 2x3 + x2 -1 [ ] b. t: Z®Z, t(x) = (x-4)/2 [ ] f. f: N®Z, f(x) = |x| [ ] c. f: Z®N, f(x) = |x| [ ] g. h: N®N, h(x) = x-1 [ ] d. g:R®R, g(x) = -2x3 - x2 + 1 [ ] h. t: Z®Z, t(x) = (x-2)/4
  • 2. 5. Classifique as funções abaixo em Injetora, Sobrejetora, Bijetora ou NenhumaDessas: ? S={a,b,c,d} e T={a,b,c} (Atenção para o domínio e o contradomínio) a f:S®S; f = {(a,b), (b,c), (c,d), (d,b)} b g:S®S; g = {(a,b), (b,c), (c,d), (d,a)} c h:S®T; h = {(a,b), (b,c), (c,d), (d,d)} d t:T®S; t = {(a,b), (b,c), (c,d)} ? S={1,2,3,4} e T={1,2,3} (Atenção para o domínio e o contradomínio) e u:T®S, u = {(1,2), (2,3), (3,4)} f v:S®T, v = {(1,2), (2,3), (3,1), (4,1)} g w:S®S, w = {(1,2), (2,3), (3,4), (4,1)} h z:S®S, z = {(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)} 6. Classifique as funções abaixo em Injetora, Sobrejetora, Bijetora ou NenhumaDessas: S T S T S T S T [ ] [ ] [ ] [ ] S T S T [ ] [ ] [ ] [ ] 7. Classifique as funções abaixo em Injetora, Sobrejetora, Bijetora ou NenhumaDessas: [ ] a. f: R®R, f(x) = x3 [ ] e. h: N®Z, h(x) = x2 [ ] b. g:R®R, g(x) = x2 [ ] f. t: Z®N, t(x) = x2 [ ] c. f: R+®R, f(x) = logx [ ] g. h: R®R+, g(x) = ex [ ] d. g:R®R, g(x) = ex [ ] h. t: Z®Z, t(x) = x2 8. Classifique as funções abaixo em Injetora, Sobrejetora, Bijetora ou NenhumaDessas: N®Z R®R R®R Z®N [ ] [ ] [ ] [ ] R®R [ ] [ ] [ ] [ ] Z®Z S T S T R®R+
  • 3. 9. Dadas f: R®R, f(x) = x2-1; g: R®R, g(x) = 2x+1. Encontre gof(-1.0) e fog(3.0). gof(-1.0) = ________ fog(3.0) = ________ 10. Dadas f: R®R, f(x) = x2+1; g: R®R, g(x) = 2x-1. Encontre gof(-1.0) e fog(3.0). gof(-1.0) = ________ fog(3.0) = _________ f (x) = 2x - , encontre f -1(x). 10. Dada f: R®R, 3 5 R - f -1(x) = _______. f (x) = 5x - , encontre f -1(x). 11. Dada f: R®R, 2 3 R - f -1(x) = _______. 12. A={a,b,c,d,e}. f: A®A, f = {(a,d), (b,b), (c,c), (d,e), (e,a)}. Escreva f em arranjo retangular e ciclo. fæ ö = f = ( ) ÷ ÷ø ç çè 13. A={1,2,3,4,5}. f: A®A, f = {(1,4), (2,2), (3,3), (4,5), (5,1)}. Escreva f em arranjo retangular e ciclo. fæ ö = f = ( ) ÷ ÷ø ç çè 14. A={a,b,c,d,e}, f, g Î SA. f = (c,b,d,e), g = (a,b,c,d). Encontre gof e fog e as escreva em forma de arranjo retangular e ciclo.
  • 4. ÷ g÷ø f æ ö  =÷ ÷ø ç çè ö æ fg= ç çè g  f = f  g = 15. A={1,2,3,4,5}, f, g Î SA. f = (1,2,3,4), g = (3,2,4,5). Encontre gof e fog e as escreva em forma de arranjo retangular e ciclo. ÷ g÷ø f æ ö  =÷ ÷ø ç çè ö æ fg= ç çè g  f = f  g = 16. Marque com X o grupo cujas funções são da mesma ordem de grandeza: [ ] a. ex-logx2; e2x-logx2; e3x -logx2-1 [ ] e. x3; 100x-450x2+25x3; 100x3+20x [ ] b. 25x2-4x+2; x2-15x-3; 0,01x3+40x2 [ ] f. xlogx3; 2xlogx2; 5xlogx [ ] c. x3; 10x-45x2+5x3; x3+20x-10 [ ] g. 2x2-x+2; x2+5x-1; -0,01x3+40x2 [ ] d. ex-3logx2; ex-logx3; ex -5logx4-1 [ ] h. 4xlogx; 2x2logx; x3logx 17. Dada a função recursiva abaixo, calcule f(3,4). î í ì f x = x ( ,0) ; f x y R – f(3,4) = ______. = ( , 1) ( , ) 1 ( , ) f x y f x y + = + 18. Dada a função recursiva abaixo, calcule f(3,4). î í ì = ( ,0) 0; = f x y f x y x ( , ) R – f(3,4) = ______. + = + f x f x y ( , 1) ( , )
  • 5. 19. Dada a função recursiva abaixo, calcule f(47). = = ( 1) ( 1) ( ) î í ì (1) 1; ( ) f x + = x + × f x f f x R – f(5) = ______. 20. Dada a função recursiva abaixo, calcule f(4,3). ì ï ï f y (0, ) 1; (1,0) 2; f f x y R – f(4,3) = ______. = í ( 1, 1) ( ( , 1), ) ï ï î = = f x x x = + ³ ( ,0) 2, 2; + + = + ( , ) f x y f f x y y 21. Mostre que os conjuntos Z- e Q+ são equivalentes. 22. Mostre que os conjuntos Z+ e Q- são equivalentes. As questões 21 e 22 podem ser resolvidas de duas maneiras: 1. Fazendo um mapeamento direto de Z? em Q?, tendo o cuidado de não omitir nem acrescentar nenhum elemento de Q? quando estiver “tirando” os elementos de Q? do esquema de diagonalização; 2. Fazendo um mapeamento de Z? em N e um mapeamento de N em Q?; assim cada elemento de Z? vai corresponder a um elemento de N que por sua vez irá corresponder a um elemento de Q?; mais uma vez tem que ter cuidado com a listagem dos elementos de Q?. Esse esquema é equivalente a fazer uma composição de funções. f : Z? ® Q? equivalente a u o g : Z? ® Q?, com g : Z? ® N e u : N ® Q?
  • 6. 19. Dada a função recursiva abaixo, calcule f(47). = = ( 1) ( 1) ( ) î í ì (1) 1; ( ) f x + = x + × f x f f x R – f(5) = ______. 20. Dada a função recursiva abaixo, calcule f(4,3). ì ï ï f y (0, ) 1; (1,0) 2; f f x y R – f(4,3) = ______. = í ( 1, 1) ( ( , 1), ) ï ï î = = f x x x = + ³ ( ,0) 2, 2; + + = + ( , ) f x y f f x y y 21. Mostre que os conjuntos Z- e Q+ são equivalentes. 22. Mostre que os conjuntos Z+ e Q- são equivalentes. As questões 21 e 22 podem ser resolvidas de duas maneiras: 1. Fazendo um mapeamento direto de Z? em Q?, tendo o cuidado de não omitir nem acrescentar nenhum elemento de Q? quando estiver “tirando” os elementos de Q? do esquema de diagonalização; 2. Fazendo um mapeamento de Z? em N e um mapeamento de N em Q?; assim cada elemento de Z? vai corresponder a um elemento de N que por sua vez irá corresponder a um elemento de Q?; mais uma vez tem que ter cuidado com a listagem dos elementos de Q?. Esse esquema é equivalente a fazer uma composição de funções. f : Z? ® Q? equivalente a u o g : Z? ® Q?, com g : Z? ® N e u : N ® Q?