Este documento apresenta exercícios sobre funções e movimento de partículas. Inclui questões sobre funções pares, cálculo de comprimentos de curvas, posição e velocidade de uma partícula em movimento segundo a função x(t)=3t2, gráfico e comprimento estimado de uma parábola, e equação de uma reta tangente a uma parábola em um ponto.
1. Ficha de trabalho de Matemática A – 9.º Ano
Funções
2019/2020
Miguel Fernandes
1. Uma função 𝑓 ∶ ℝ ⟶ ℝ diz-se par se o seu gráfico for simétrico em relação ao eixo 𝑂𝑦 do referencial.
Dá exemplos de funções pares (funções de diferentes tipos).
2. Determina o comprimento das seguintes curvas.
2.1. 𝑦 = 3, 𝑥 ∈ [−5, 10]
2.2. 𝑦 = 2𝑥 + 1, 𝑥 ∈ [−1, 4]
2.3. 𝑦 = 𝑥, 𝑥 ∈ [−100, 100]
3. Uma partícula move-se na reta real segundo a lei 𝑥( 𝑡) = 3𝑡2
, onde 𝑥 = 𝑥(𝑡) é a posição da partícula na reta no
instante 𝑡, em segundos, do movimento.
3.1. Indica a posição inicial da partícula.
3.2. Justifica que a partícula se move no sentido positivo da reta.
3.3. Indica 𝑥(2) e 𝑥(8) e interpreta no contexto do problema.
3.4. Indica o instante em que a distância da partícula à origem é igual a 10 e justifica que esse instante é único.
3.5. Comenta as seguintes afirmações:
3.5.1. A velocidade da partícula é constante ao longo do movimento.
3.5.2. Existe um instante 𝑡0 que verifica 𝑥( 𝑡0) = 𝑡0.
4. Considera a função 𝑓 ∶ [−2, 2] ⟶ ℝ definida por 𝑓(𝑥) = 2𝑥2
.
4.1. Esboça o gráfico da função num referencial. De que curva se trata?
4.2. Considera uma partícula que se move a uma velocidade constante ao longo desse gráfico, partindo do ponto
de abcissa −2 e terminando o percurso no ponto de abcissa 2. Admite que a partícula demorou 20 segundos
a completar esse trajeto.
4.2.1. Em que instante a partícula atinge a origem do referencial? Justifica a tua resposta.
4.2.2. Para estimar o comprimento da curva que representa o gráfico de 𝑓, procede da seguinte maneira:
• Indica (por ordem crescente) os nove pontos 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥9 igualmente distribuídos do intervalo [−2, 2],
sendo dois desses pontos os extremos do intervalo.
• Determina 𝑓(𝑥1), 𝑓(𝑥2), … , 𝑓(𝑥9).
• Determina as distâncias entre os pontos (𝑥1, 𝑓( 𝑥1)) e (𝑥2, 𝑓( 𝑥2)), (𝑥2, 𝑓( 𝑥2)) e (𝑥3, 𝑓( 𝑥3)), e assim
sucessivamente.
• Soma essas distâncias. Essa será a estimativa para o comprimento do troço da parábola considerada.
4.2.3. Usando o valor encontrado na alínea anterior, determina a velocidade a que a partícula executou o
movimento.
4.2.4. Argumenta a razão pela qual o método da alínea 4.2.3. é útil para encontrar uma estimativa do
comprimento da parábola (ou mais geralmente, de qualquer curva que não seja uma reta).
4.2.5. Se aumentássemos o números de pontos do passo 1 desse método, a estimativa para o comprimento
da curva seria melhor? Justifica.
5. Considera a parábola 𝑦 = −𝑥2
.
5.1. Justifica que o ponto de coordenadas 𝐴(2, −4) pertence à parábola.
5.2. Escreve a equação da reta que interseta a parábola apenas no ponto 𝐴.
![Ficha de trabalho de Matemática A – 9.º Ano
Funções
2019/2020
Miguel Fernandes
1. Uma função 𝑓 ∶ ℝ ⟶ ℝ diz-se par se o seu gráfico for simétrico em relação ao eixo 𝑂𝑦 do referencial.
Dá exemplos de funções pares (funções de diferentes tipos).
2. Determina o comprimento das seguintes curvas.
2.1. 𝑦 = 3, 𝑥 ∈ [−5, 10]
2.2. 𝑦 = 2𝑥 + 1, 𝑥 ∈ [−1, 4]
2.3. 𝑦 = 𝑥, 𝑥 ∈ [−100, 100]
3. Uma partícula move-se na reta real segundo a lei 𝑥( 𝑡) = 3𝑡2
, onde 𝑥 = 𝑥(𝑡) é a posição da partícula na reta no
instante 𝑡, em segundos, do movimento.
3.1. Indica a posição inicial da partícula.
3.2. Justifica que a partícula se move no sentido positivo da reta.
3.3. Indica 𝑥(2) e 𝑥(8) e interpreta no contexto do problema.
3.4. Indica o instante em que a distância da partícula à origem é igual a 10 e justifica que esse instante é único.
3.5. Comenta as seguintes afirmações:
3.5.1. A velocidade da partícula é constante ao longo do movimento.
3.5.2. Existe um instante 𝑡0 que verifica 𝑥( 𝑡0) = 𝑡0.
4. Considera a função 𝑓 ∶ [−2, 2] ⟶ ℝ definida por 𝑓(𝑥) = 2𝑥2
.
4.1. Esboça o gráfico da função num referencial. De que curva se trata?
4.2. Considera uma partícula que se move a uma velocidade constante ao longo desse gráfico, partindo do ponto
de abcissa −2 e terminando o percurso no ponto de abcissa 2. Admite que a partícula demorou 20 segundos
a completar esse trajeto.
4.2.1. Em que instante a partícula atinge a origem do referencial? Justifica a tua resposta.
4.2.2. Para estimar o comprimento da curva que representa o gráfico de 𝑓, procede da seguinte maneira:
• Indica (por ordem crescente) os nove pontos 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥9 igualmente distribuídos do intervalo [−2, 2],
sendo dois desses pontos os extremos do intervalo.
• Determina 𝑓(𝑥1), 𝑓(𝑥2), … , 𝑓(𝑥9).
• Determina as distâncias entre os pontos (𝑥1, 𝑓( 𝑥1)) e (𝑥2, 𝑓( 𝑥2)), (𝑥2, 𝑓( 𝑥2)) e (𝑥3, 𝑓( 𝑥3)), e assim
sucessivamente.
• Soma essas distâncias. Essa será a estimativa para o comprimento do troço da parábola considerada.
4.2.3. Usando o valor encontrado na alínea anterior, determina a velocidade a que a partícula executou o
movimento.
4.2.4. Argumenta a razão pela qual o método da alínea 4.2.3. é útil para encontrar uma estimativa do
comprimento da parábola (ou mais geralmente, de qualquer curva que não seja uma reta).
4.2.5. Se aumentássemos o números de pontos do passo 1 desse método, a estimativa para o comprimento
da curva seria melhor? Justifica.
5. Considera a parábola 𝑦 = −𝑥2
.
5.1. Justifica que o ponto de coordenadas 𝐴(2, −4) pertence à parábola.
5.2. Escreve a equação da reta que interseta a parábola apenas no ponto 𝐴.](https://image.slidesharecdn.com/fichadetrabalhodematematica9-copia-200106202159/85/Ficha-de-trabalho-de-matematica-9ano-funcoes-1-320.jpg)
