Séries fourier cap_2 Relações Trigonométricas Elementares

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Séries fourier cap_2 Relações Trigonométricas Elementares

  1. 1. Fabiano J. Santos 6 2.1. Relações Trigonométricas Elementares Antes de examinarmos com mais detalhes Séries Trigonométricas da forma (11) do Capítulo 01 investigaremos algumas propriedades importantes das funções que a definem. Comecemos relembrando, da trigonometria elementar, as fórmulas para o seno e cosseno da soma e da diferença:  seno da soma: )sen()cos()cos()sen()sen( bababa  , (1)  cosseno da soma: )sen()sen()cos()cos()cos( bababa  , (2)  seno da diferença: )sen()cos()cos()sen()sen( bababa  , (3)  cosseno da diferença: )sen()sen()cos()cos()cos( bababa  . (4) A partir destas obtemos três outras relações que utilizaremos adiante no cálculo de algumas integrais.  Fazendo (2) + (4) obtemos: )cos()cos(2)cos()cos( bababa  , (5)  Fazendo (1) - (3) obtemos: )sen()cos(2)sen()sen( bababa  , (6)  Fazendo (4) - (2) obtemos: )sen()sen(2)cos()cos( bababa  , (7) 2.2. Relações de Ortogonalidade1 Teorema: se * ,  znm (inteiros positivos), então:                    nmL nm dt L tn L tm L L , ,0 coscos  ; (8) (9) 1 Maiores detalhes ortogonalidade ver Capítulo 05 – Álgebra Linear com Aplicações – Steven J. Leon – Quarta Edição – Editora LTC.
  2. 2. Capítulo 02 7 nmdt L tn L tm L L ,,0sencos                ;                    nmL nm dt L tn L tm L L , ,0 sensen  . (10) As relações (8), (9) e (10) são chamadas relações de ortogonalidade e mostram que as funções  L xmcos e  L xnsen formam um conjunto ortonormal com relação ao produto escalar    L L dttgtf L gf )()( 1 , , (11) definido para o espaço vetorial  LLC , . As relações de ortogonalidade nos mostram que: i) quando nm  , as funções  L tmcos e  L tnsen são ortogonais, pois (11) se anula, ii) quando nm  , as funções  L tmcos e  L tnsen são unitárias, pois (11) torna-se unitário. Provaremos a relação (8) e deixamos (9) e (10) a como exercício (problemas 03 e 04). Prova de (8): Caso nm  : utilizando a relação (05) podemos escrever:                           L L L L dt L tn L tm L tn L tm dt L tn L tm  coscos 2 1 coscos                        L L dtt L nm t L nm )( cos )( cos 2 1 
  3. 3. Fabiano J. Santos 8 = L L t T nm nm L t L nm nm L                        )( sen )( )( sen )(2 1               0)(sen)(sen )( )(sen)(sen )(2 1             nmnm nm L nmnm nm L     , pois como m e n são inteiros ( nm  ), temos que nm  e nm  são inteiros não nulos. Como o seno de múltiplos inteiros de  é zero, todas as parcelas na última igualdade se anulam. Caso nm  : nesta caso (8) fica:                     L L L L dt L tn dt L tn L tm  2 coscoscos L L L L L tn n L tdtt L n                         2 sen 22 12 cos1 2 1     Ln n L Ln n L L            2sen 2 2sen 22 1 pois uma vez que n é inteiro os senos se anulam. 2.3. Séries Trigonométricas Novamente Voltemos agora às séries trigonométricas da forma                 1 0 sencos n nn L tn b L tn aa  , (12) na qual observamos que todas as infinitas parcelas da série são periódicas de período LT 2 . No conjunto de valores para t onde (12) converge, ela define uma função periódica f de período LT 2 . Dizemos então que (12) é a Série de Fourier 2 para f e escrevemos                 1 0 sencos)( n nn L tn b L tn aatf  , (13) 2 Jean Baptiste Joseph Fourier, Físico-Matemático francês (1768 – 1830). Fourier utilizou séries da forma (13) em seu famoso trabalho "Théorie Analytique de la Chaleur", onde estudou os fenômenos de condução de calor.
  4. 4. Capítulo 02 9 onde os coeficientes ,...,,...,,, 21210 bbaaa são chamados Coeficientes de Fourier da Série de Fourier de f . 2.4. Determinação dos Coeficientes de Fourier Agora nosso próximo objetivo é: dada uma função f periódica de período LT 2 , determinar os Coeficientes de Fourier para esta função em particular. Em outras palavras, determinar a Série de Fourier para uma dada função. Para tal fim lançaremos mão das relações de ortogonalidade anteriormente discutidas. Determinação de 0a : integrando ambos os membros de (13) sobre o intervalo  LL, obtemos3 :                                 1 0 sencos)( n L L nn L L L L dt L tn b L tn adtadttf    L Ln nn L L L L L tn n L b L tn n L atadttf                          1 0 cossen)(               Lann n L bnn n L aLadttf n nn L L 0 1 0 2coscossensen2)(                , pois os senos são nulos (múltiplos inteiros de  ) e     nn  coscos . Logo    L L dttf L a )( 2 1 0 . (14) Observe que, geometricamente, o valor do coeficiente 0a é a razão da área algébrica sob a curva em um período pelo tamanho do próprio período. Determinação de na : multiplicando ambos os membros de (13) por       L tm cos e integrando ambos os membros sobre o intervalo  LL, obtemos 3 Uma série de funções pode ser derivada e integrada termo a termo somente se esta for uniformemente convergente. Este é o caso das Séries de Fourier. Veja os Capítulos 02 3 03 – Análise de Fourier e Equações Diferenciais Parciais – Djairo Guedes de Figueiredo – Quarta Edição – Editora do IMPA (Instituto de Matemática Pura e Aplicada).
  5. 5. Fabiano J. Santos 10         L L dt L tm tf  cos)(                                                         1 0 cossencoscoscos n L L n L L n L L dt L tm L tn bdt L tm L tn adt L tm a  onde a primeira integral do membro direito é nula (verifique os cálculos) e também a segunda integral do do somatório, pela relação de ortogonalidade (9). Pela relação de ortogonalidade (8), a primeira integral do somatório é nula se nm  e vale L se nm  . Assim, fazendo nm  , obtemos Ladt L tn tf n L L          cos)( , donde          L L n dt L tn tf L a  cos)( 1 . (15) Determinação de nb : multiplicando ambos os membros de (13) por       L tm sen e integrando ambos os membros sobre o intervalo  LL, obtemos         L L dt L tm tf  sen)(                                                        1 0 sensensencossen n L L n L L n L L dt L tm L tn bdt L tm L tn adt L tm a  , onde a primeira integral do membro direito é nula (verifique os cálculos) e também a primeira integral do do somatório, pela relação de ortogonalidade (9). Pela relação de ortogonalidade (10), a segunda integral do somatório é nula se nm  e vale L se nm  . Assim, fazendo nm  , obtemos Lbdt L tn tf n L L          sen)( , donde
  6. 6. Capítulo 02 11          L L n dt L tn tf L b  sen)( 1 . (16) Os relações obtidas em (14), 15) e (16) são chamadas Fórmulas de Euler-Fourier, e se destinam ao cálculo dos Coeficientes de Fourier da série (13) para uma dada função f . Estas três relações serão os nossos principais instrumentos de cálculo a partir de agora. Problemas 01. Verifique a relação (02). 02. A partir da relação (02) verifique as relações (01), (03) e (04). 03. Verifique a relação (9). (Sugestão: utilize a relação 06 e integre) 04. Verifique a relação (10). (Sugestão: utilize a relação 07 e integre. Atenção: deve-se verificar os dois caos: nm  e nm  ) 05. Refaça (cuidadosamente) todos os cálculos para a determinação de (14), (15) e (16).

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