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Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES
________________________________________________________________________________________________________
Halliday, Resnick, Walker - Fund.de Física 1 - 8
a
Ed. - LTC - 2009. Cap. 02 – Movimento Retilíneo
1
HALLIDAY, RESNICK, WALKER, FUNDAMENTOS DE FÍSICA, 8.ED., LTC, RIO DE
JANEIRO, 2008.
FÍSICA 1
CAPÍTULO 2 – MOVIMENTO RETILÍNEO
01. Um automóvel viaja em uma estrada retilínea por 40 km a 30 km/h. Em seguida, continuando
no mesmo sentido, percorre outros 40 km a 60 km/h. (a) Qual é a velocidade média do carro
durante este percurso de 80 km? (Suponha que o carro se move no sentido positivo de x.) (b)
Qual é a velocidade escalar média? (c) Trace o gráfico de x em função de t e mostre como
calcular a velocidade média a partir do gráfico.
(Pág. 33)
Solução.
(a) A velocidade média (vm) no percurso total corresponde à razão entre o deslocamento total ( x12)
e o intervalo de tempo total ( t):
12 1 2
1 2 1 2
2
m
x x x x
v
t t t t t
(1)
Na Eq. (1), as grandezas com índice 1 referem-se à primeira etapa da viagem e as com índice 2 à
segunda etapa da viagem, como descrito no enunciado. O termo 2 x é devido à igualdade entre x1
e x2. Em relação às etapas da viagem, suas velocidades médias valem:
1
1
m
x
v
t
2
2
m
x
v
t
Explicitando o tempo de cada etapa, teremos:
1
1m
x
t
v
(2)
2
2m
x
t
v
(3)
Substituindo (2) e (3) em (1):
1 2
2 1
1 2
2 30 km/h 60 km/h22
60 km/h 30 km/h
m m
m
m m
m m
v vx
v
x x v v
v v
40 km/hmv
O estudante deve ter percebido que o cálculo da velocidade média é função apenas das velocidades
médias de cada uma das etapas. Isso é conseqüência da igualdade entre os deslocamentos
envolvidos nessas etapas.
(b) A velocidade escalar média (vem) é a razão entre a distância total percorrida (s) e o intervalo de
tempo ( t). No presente caso, temos s = x12. Portanto:
Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES
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Halliday, Resnick, Walker - Fund.de Física 1 - 8
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Ed. - LTC - 2009. Cap. 02 – Movimento Retilíneo
2
12
em m
xs
v v
t t
40 km/hemv
(c) No gráfico a seguir são mostrados os deslocamentos e intervalos de tempo parciais e totais. A
linha I corresponde à primeira etapa da viagem e a II à segunda etapa. A linha tracejada III
corresponde ao trajeto total. As declividades dessas correspondem às velocidades médias dos
trajetos correspondentes.
02. Um carro sobe uma ladeira com uma velocidade constante de 40 km/h e desce a ladeira com
uma velocidade constante de 60 km/h. Calcule a velocidade escalar média da viagem de ida e
volta.
(Pág. 33)
Solução.
Como os deslocamentos envolvidos na subida e descida têm o mesmo módulo, a situação é
semelhante à do Probl. 1. Usaremos os índices S para subida e D para descida.
2SD S D
em
SD S D S D
s s s s
v
t t t t t (1)
Na equação acima, s é o comprimento da ladeira. Explicitando o tempo de cada etapa, teremos:
S
S
s
t
v
(2)
D
D
s
t
v
(3)
Substituindo (2) e (3) em (1):
2 40 km/h 60 km/h22
60 km/h 40 km/h
S D
em
D S
S D
v vs
v
s s v v
v v
48 km/hemv
17. A posição de uma partícula que se move ao longo do eixo x é dada em centímetros por x = 9,75
+ 1,50 t3
, onde t está em segundos. Calcule (a) a velocidade média durante o intervalo de tempo
de t = 2,00 s a t = 3,00 s; (b) a velocidade instantânea em t = 2,00 s; (c) a velocidade instantânea
em t = 3,00 s; (d) a velocidade instantânea em t = 2,50 s; (e) a velocidade instantânea quando a
partícula está na metade da distância entre suas posições em t = 2,00 s e t = 3,00 s. (f) Plote o
t (h)1 2
40
80
x (km)
x2
x1
t1 t2
x12
t12
I
IIIII
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3
gráfico de x em função de t e indique suas respostas graficamente.
(Pág. 34)
Solução.
(a) Chamando de x0 a posição da partícula em t0 = 2,00 s e de x1 sua posição em t1 = 3,00 s, os
valores de x0 e x1 serão:
3
0 9,75 1,50 2,00 21,75 cmx
3
1 9,75 1,50 3,00 50,25 cmx
A velocidade média da partícula no intervalo de tempo t1 t0 será:
1 0
,01
1 0
50,25 cm 21,75 cm
3,00 s 2,00 s
m
x xx
v
t t t
,01 28,5 cm/smv
(b) A velocidade instantânea v corresponde à derivada da função x(t) em relação a t:
3 2
9,75 1,50 4,50
dx d
v t t
dt dt
Logo, para t0 = 2,00 s teremos:
2
0 4,50 2,00v
0 18,0 cm/sv
(c) Para t1 = 3,00 s teremos:
2
1 4,50 3,00v
1 40,5 cm/sv
(d) Para t2 = 2,50 s teremos:
2
2 4,50 2,50 28,125 cm/sv
2 28,1 cm/sv
(e) A metade da distância entre as posições da partícula em t0 = 2,00 s e t1 = 3,00 s corresponde à
posição x3, definida por:
0 1
3
21,75 cm 50,25 cm
36 cm
2 2
x x
x
A partícula alcança a posição x3 no instante de tempo t3, que vale:
3
3 39,75 1,50x t
3
3
36 9,75
2,5962 s
1,50
t
Logo, a velocidade v3 da partícula no instante t3 será:
2
3 4,50 2,5962 30,3322 cm/sv
3 30,3 cm/sv
(f)
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4
41. A Fig. 2-28 mostra um carro vermelho e um carro verde que se movem um em direção ao outro.
A Fig. 2-29 é um gráfico do movimento dos dois carros que mostra suas posições x0verde = 270
m e x0vermelho = 35,0 m no instante t = 0. O carro verde tem uma velocidade constante de 20,0
m/s e o carro vermelho parte do repouso. Qual é o módulo da aceleração do carro vermelho?
Fig. 2-28 Problemas 40 e 41
Fig. 2-29 Problema 41
(Pág. 36)
Solução.
Vamos utilizar os índices r e g para os carros vermelho (red) e verde (green), respectivamente. O
carro verde possui movimento com velocidade constante. Logo:
0 0x x v t
1 0 1g gx x v t
1 270 m 20 m/s 12 sx
1 30 mx
x1 é a coordenada x correspondente ao instante de tempo t1 = 12 s. O carro vermelho possui
movimento com aceleração constante. Logo, sua equação de movimento será:
2
0 0
1
2
x x v t at
t (s)1 2
x (cm)
x3
x1
t1
x0
t0
3
t3
Declividade = v1
Declividade = v0
Declividade = v3
Declividade = vm01
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5
2
1 0 1
1
0
2
r rx x a t
1 0
2
1
2 r
r
x x
a
t
Substituindo-se o valor de x1 calculado anteriormente:
2
2
2 30 m 35 m
0,90277 m/s
12 s
Ra
2
0,90 m/sRa
Observação: Você deve ter notado que os sinais negativos de xr0 e de vg não foram dados no
enunciado. Essas informações foram obtidas a partir do gráfico fornecido.
70. Duas partículas se movem ao longo do eixo x. A posição da partícula 1 é dada por x = 6,00 t2
+
3,00 t + 2,00, onde x está em metros e t em segundos; a aceleração da partícula 2 é dada por a =
8,00 t, onde a está em metros por segundo ao quadrado e t em segundos. No instante t = 0 a
velocidade é de 20 m/s. Em que instante as duas partículas têm a mesma velocidade?
(Pág. 38)
Solução.
Sendo a posição da partícula 1 dada por:
2
1 6,00 3,00 2,00x t t
Sua velocidade em função do tempo será:
1 12,0 3,00
dx
v t
dt
(1)
Sendo a aceleração da partícula 2 dada por:
2 8,00a t
Sua velocidade em função do tempo será:
2 8,00
dv
a t
dt
8,00dv t dt
2
0 0
8,00
v t
v t
dv t dt
2 2
0
2 0 8,00
2
t t
v v
Foi mencionado que em t0 = 0 a velocidade da partícula 2 é v0 = 20 m/s. Logo
2
2
0
20 m/s 8,00
2
t
v
2
2 20 4,00v t (2)
Igualando-se (1) e (2), teremos:
2
12,0 3,00 20 4,00t t
2
4,00 12,0 17 0t t
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As raízes dessa equação são 1,0495...s e 4,0495...s. O instante de tempo positivo corresponde à
solução do problema. Portanto:
1,1 st
88. Uma pedra é lançada verticalmente para cima a partir da borda do terraço de um edifício. A
pedra atinge a altura máxima 1,60 s após ter sido lançada. Em seguida, após quase se chocar
com o edifício, a pedra chega ao solo 6,00 s após ter sido lançada. Em unidades SI: (a) com que
velocidade a pedra foi lançada? (b) Qual a altura máxima atingida pela pedra em relação ao
terraço? (c) Qual a altura do edifício?
(Pág. 39)
Solução.
Considere o seguinte esquema da situação:
(a) Análise do percurso entre os instantes de tempo t0 e t1:
1 0 1v v gt
0 10 v gt
2
0 9,8 m/s 1,60 s 15,68 m/sv
0 16 m/sv
(b) A altura máxima acima do edifício corresponde a h – H. Para determiná-la, vamos novamente
analisar o percurso entre os instantes de tempo t0 e t1:
2
1 0 1
1
2
y y vt gt
22 2
1
1 1
0 9,8 m/s 1,60 s 12,544 m
2 2
h H gt
13 mh H
y
y h1 =
y2 = 0
y H0 =
a
( )t0 = 0,00 s
(t1 = 1,60 s)
( )t2 = 6,00 s
Trajetória da pedra
v0
v1 = 0
v2
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a
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(c) A altura do edifício corresponde a H. Para determiná-la, vamos analisar o percurso entre os
instantes de tempo t0 e t2:
2
2 0 0 2
1
2
y y v t gt
2
0 2 2
1
0
2
H v t gt
22 2
0 2 2
1 1
15,68 m/s 6,00 s 9,8 m/s 6,00 s 82,32 m
2 2
H v t gt
82 mH
99. Um certo malabarista normalmente arremessa bolas verticalmente até uma altura H. A que
altura as bolas devem ser arremessadas para passarem o dobro de tempo no ar?
(Pág. 40)
Solução.
Considere o seguinte esquema da situação:
Vamos utilizar a seguinte equação na coordenada y para analisar o movimento de subida das bolas
nas situações A e B:
2
0
1
2
y y vt gt
Na situação A, teremos:
21
0 0
2
A AH g t
21
2
A AH g t (1)
Na situação B, teremos:
221 1
0 0 2
2 2
B B AH g t g t
2
2B AH g t (2)
Dividindo-se (2) por (1), teremos:
Sit. A
y =0 0
y
HB
HA
Sit. B
tA
tB= t2 A
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a
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8
2
2
2
1
2
B A
A
A
H g t
H g t
4B AH H
106. Deixa-se cair uma pedra, sem velocidade inicial, do alto de um edifício de 60 m. A que
distância do solo está a pedra 1,2 s antes de chegar ao solo?
(Pág. 40)
Solução.
Considere o seguinte esquema da situação:
Primeiro vamos analisar o movimento de queda da pedra do alto do edifício (índice 0) até o solo
(índice 2). A equação geral do movimento é:
2
0 0
1
2
y y v t gt
Aplicando-se os índices corretos, teremos:
2
2 0 2
1
0
2
y y gt
2
2
1
0
2
H gt
2
2
3,4992 s
H
t
g
O valor de t1 é igual a t2 1,2 s. Logo:
1 2,2992 st
Agora podemos analisar o movimento de queda da pedra desde o alto do edifício até a coordenada
y1:
2
0 0
1
2
y y v t gt
Aplicando-se os índices corretos, teremos:
y
y h1 =
y2 = 0
y H0 =
a
( )t0
( = 1,2 st1 t2 )
( )t2
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Halliday, Resnick, Walker - Fund.de Física 1 - 8
a
Ed. - LTC - 2009. Cap. 02 – Movimento Retilíneo
9
2
1 0 1
1
0
2
y y gt
2
1
1
2
h H gt
2 2
1
1 1
60 m 9,8 m/s 2,2992 s 34,0954 m
2 2
h H gt
34 mh
Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES
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Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4
a
Ed. - LTC - 1996. Cap. 2 – Movimento Unidimensional
10
RESNICK, HALLIDAY, KRANE, FÍSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 1996.
FÍSICA 1
CAPÍTULO 2 – MOVIMENTO UNIDIMENSIONAL
01. Que distância seu carro percorre, a 88 km/h, durante 1 s em que você olha um acidente à
margem da estrada?
(Pág. 28)
Solução.
Como o problema trata de um movimento que ocorre com velocidade constante, deve-se utilizar a
Eq. (1).
tvxx x0 (1)
A distância procurada corresponde ao deslocamento x = x x0.
0 xx x x v t
1 m/s
(88 km/h) (0,50 s) 12,222 m
3,6 km/h
x
A resposta deve ser expressa com apenas um algarismo significativo:
10 mx
02. Um jogador de beisebol consegue lançar a bola com velocidade horizontal de 160 km/h, medida
por um radar portátil. Em quanto tempo a bola atingirá o alvo, situado a 18,4 m?
(Pág. 28)
Solução.
Apesar do movimento da bola ser bidimensional (ao mesmo tempo em que a bola viaja até a base
horizontalmente, ela sofre ação da gravidade e cai verticalmente) só precisamos nos preocupar com
o seu movimento horizontal. Isto é devido a esse movimento ser o responsável pela situação exposta
no enunciado. O movimento horizontal da bola não está sujeito à aceleração da gravidade ou a
qualquer outra aceleração (exceto, é claro, à aceleração causada pela força de resistência do ar, que
é desprezada) e deve ser tratado como movimento com velocidade constante.
vtxx 0
0 (18,4 m)
1 m/s
(160 km/h)
3,6 km/h
x x x
t
v v
s414,0t
08. Um avião a jato pratica manobras para evitar detecção pelo radar e está 35 m acima do solo
plano (veja Fig. 24). Repentinamente ele encontra uma rampa levemente inclinada de 4,3o
, o
que é difícil de detetar. De que tempo dispõe o piloto para efetuar uma correção que evite um
choque com o solo? A velocidade em relação ao ar é de 1.300 km/h.
Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES
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Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4
a
Ed. - LTC - 1996. Cap. 2 – Movimento Unidimensional
11
(Pág. 28)
Solução.
O avião desloca-se em movimento retilíneo com velocidade constante. Considere o esquema abaixo
para a resolução do problema.
h0 x
d
v
Analisando o movimento do avião no eixo x, temos:
0x x vt
0 d vt
d
t
v (1)
Como o valor de d não foi dado, é preciso calculá-lo.
tan
h
d
tan
h
d
(2)
Substituindo-se (2) em (1):
o
(35 m)
1,289035... s
tan 1.300
km/h tan 4,3
3,6
h
t
v
1,3 st
11. Calcule sua velocidade escalar média nos dois casos seguintes. (a) Você caminha 72 m à razão
de 1,2 m/s e depois corre 72 m a 3,0 m/s numa reta. (b) Você caminha durante 1,0 min a 1,2 m/s
e depois corre durante 1,0 min a 3,0 m/s numa reta.
(Pág. 28)
Solução.
(a) Precisamos lembrar que a velocidade escalar média é a razão entre a distância percorrida (não o
deslocamento) e o intervalo de tempo decorrido no percurso.
Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES
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a
Ed. - LTC - 1996. Cap. 2 – Movimento Unidimensional
12
1 2 1 2
1 11 2
1 1
72 m 72 m 2
1,714 m/s
1 172 m 72 m
1,2 m/s 3,0 m/s1,2 m/s 3,0 m/s
em
s s s s
v
s st t
v v
1,7 m/semv
(b)
1 2 1 1 2 2
1 2 1 2
1,2 m/s 60 s 3,0 m/s 60 s 1,2 m/s 3,0 m/s
60 s 60 s 2
em
s s v t v t
v
t t t t
2,1 m/semv
12. Dois trens, cada um com a velocidade escalar de 34 km/h, aproximam-se um do outro na mesma
linha. Um pássaro que pode voar a 58 km/h parte de um dos trens quando eles estão distantes
102 km e dirige-se diretamente ao outro. Ao alcançá-lo, o pássaro retorna diretamente para o
primeiro trem e assim sucessivamente. (a) Quantas viagens o pássaro pode fazer de um trem ao
outro antes de eles se chocarem? (b) Qual a distância total que o pássaro percorre?
(Pág. 28)
Solução.
Neste problema vamos resolver primeiro o item (b) e em seguida o item (a).
vA vB
Trem A Trem B
d
vP
d/2 d/2
1 Encontroo
2d/34d/9
2 Encontroo
x0
(b) Como os trens viajam à mesma velocidade, porém em sentidos contrários, o choque dar-se-á na
coordenada d/2. O tempo ( t) do percurso de cada trem será igual ao tempo de vôo do pássaro.
Logo, para o trem A:
t
d
t
x
vA
2/
Av
d
t
2
Para o pássaro:
t
s
vp
A
A
v
d
vs
2
2
ds
Portanto, o pássaro percorre uma distância igual à separação inicial dos trens, ou seja:
102 kms
(a) Em primeiro lugar, vamos calcular a coordenada x do primeiro encontro (x1).
1 0P Px x v t (1)
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a
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13
tvxx BB01 (2)
Nestas equações, x0p = 0 e x0B = d são as posições do pássaro e do trem B no instante zero e vP = 2
vB e vB são as velocidades do pássaro e do trem B. Como no momento do primeiro encontro o
pássaro e o trem B estarão na mesma coordenada (x1), podemos igualar (1) e (2).
0 0B B P Px v t x v t
tvtvd BB )2(0
Bv
d
t
3
(3)
Substituindo-se (3) em (1):
1 0 0 ( 2 )
3
P P B
B
d
x x v v
v
3
2
1
d
x
De maneira semelhante, pode-se demonstrar que o segundo encontro se dará na coordenada 4d/9.
Como conseqüência, do primeiro para o segundo encontro o pássaro percorre uma distância igual a
2d/3 4d/9 = 2d/9, que é igual a 2/3 de d/3. Também pode ser demonstrado que do segundo para o
terceiro encontro ele percorre uma distância igual a 2/3 de 1/3 de d/3, e assim por diante. Em
resumo:
Viagem do pássaro Distância percorrida
1 2/3 d = 2/3 d
2 2/3 . 1/3 . d = 2/32
d
3 2/3 . 1/3. 1/3 . d = 2/33
d
… … …
n 2/3 . 1/3 . …. 1/3 . d = 2/3n
d
A soma das distâncias percorridas em cada trecho de ida e vinda do pássaro deve ser igual a d
(resposta do item b):
ddddd n
3
2
3
2
3
2
3
2
32

Ou seja:
2
1
3
1
3
1
3
1
3
1
32 n

2
1
3
1
1
n
i
i
(4)
Pode-se demonstrar que (4) somente será verdadeira se n = (Utilize sua calculadora para verificar
esta afirmação). Portanto, em teoria, o pássaro fará um número infinito de viagens.
14. Que distância percorre em 16 s um corredor cujo gráfico velocidade-tempo é o da Fig. 25?
Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES
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a
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14
(Pág. 28)
Solução.
Conhecendo-se a função x(t) que descreve a posição x de um objeto em qualquer instante de tempo t,
pode-se calcular sua velocidade em qualquer instante a partir da derivada de x(t) em relação a t.
( )
( )
t
t
dx
v
dt
No caso inverso, conhecendo-se a velocidade v(t) de um objeto em qualquer instante t, pode-se
determinar sua posição x em qualquer instante, bem como seu deslocamento, no intervalo de tempo
considerado.
( ) ( )t tdx v dt
0 0
( ) ( )
x v
t tx v
dx v dt
0
0 ( )
v
tv
x x v dt
De acordo com esta, o deslocamento x x0 corresponde à área sob a curva do gráfico v(t) = f(t). Cada
quadrado mostrado no gráfico possui área equivalente a (2 m/s) (2 s) = 4 m. Portanto,
contabilizando toda a área sob a curva mostrada no gráfico, chegaremos ao seguinte resultado:
t (s) x (m)
0 2 8
2 10 64
10 12 12
12 16 16
Total 100
Portanto:
(16) (0) 100 mx x
29. Para decolar, um avião a jato necessita alcançar no final da pista a velocidade de 360 km/h.
Supondo que a aceleração seja constante e a pista tenha 1,8 km, qual a aceleração mínima
necessária, a partir do repouso?
(Pág. 29)
Solução.
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15
Trata-se de movimento retilíneo com aceleração constante. O cálculo pode ser feito por meio da Eq.
(1).
xavv 22
0
2
(1)
2
2
2 2
20
3
1 m/s
360 km/h 0
3,6 km/h
2,7777 m/s
2 2 (1,80 10 m)
v v
a
x
2
m/s78,2a
31. A cabeça de uma cascavel pode acelerar 50 m/s2
ao atacar uma vítima. Se um carro pudesse
fazer o mesmo, em quanto tempo ele alcançaria a velocidade escalar de 100 km/h a partir do
repouso?
(Pág. 29)
Solução.
Trata-se, naturalmente, de movimento retilíneo com aceleração constante. A velocidade inicial, v0, é
igual a zero. O cálculo do tempo (t) é feito através da Eq. 1.
atvv 0 (1)
0
2
1 m/s
(100 km/h) 0
3,6 km/h
0,55556 s
(50 m/s )
v v
t
a
s56,0t
33. Um elétron, com velocidade inicial v0 = 1,5 105
m/s, entra numa região com 1,2 cm de
comprimento, onde ele é eletricamente acelerado (veja Fig. 29). O elétron emerge com
velocidade de 5,8 106
m/s. Qual a sua aceleração, suposta constante? (Tal processo ocorre no
canhão de elétrons de um tubo de raios catódicos, utilizado em receptores de televisão e
terminais de vídeo.)
(Pág. 30)
Solução.
Trata-se de movimento retilíneo com aceleração constante. O cálculo pode ser feito através da Eq.
(1).
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16
xavv 22
0
2
(1)
2 2 6 2 5 2
15 20
-2
(5,8 10 m/s) -(1,5 10 m/s)
1,4007 10 m/s
2 2(1,2 10 m)
v v
a
x
15 2
1,4 10 m/sa
34. A maior velocidade em terra já registrada foi de 1.020 km/h, alcançado pelo coronel John P.
Stapp em 19 de março de 1954, tripulando um assento jato-propulsado. Ele e o veículo foram
parados em 1,4 s; veja a Fig. 30. Que aceleração ele experimentou? Exprima sua resposta em
termos da aceleração da gravidade g = 9,8 m/s2
. (Note que o corpo do militar atua como um
acelerômetro, não como um velocímetro.)
(Pág. 30)
Solução.
Trata-se de movimento retilíneo com aceleração (negativa ou desaceleração) constante. O cálculo
pode ser feito através da Eq. (1).
atvv 0 (1)
20
1 m/s
0 (1.020 km/h)
3,6 km/h
202,38095 m/s
(1,4 s)
v v
a
t
Para obter a aceleração em termos de unidades g, basta dividir a aceleração obtida pelo valor da
aceleração da gravidade.
2
2
( 202,38095 m/s )
20,6511
(9,8 m/s )
a
g
ga 21
41. Um trem de metrô acelera a partir do repouso a 1,20 m/s2
em uma estação para percorrer a
primeira metade da distância até a estação seguinte e depois desacelera a 1,20 m/s2
na segunda
metade da distância de 1,10 km entre as estações. Determine: (a) o tempo de viagem entre as
estações e (b) a velocidade escalar máxima do trem.
(Pág. 30)
Solução.
Considere o esquema abaixo para auxiliar a resolução:
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x =0 0 xx = d/21
-aa
x = d2
(a) Sabendo-se que o tempo gasto na primeira metade do caminho (acelerado) é igual ao tempo
gasto para percorrer a segunda metade do caminho (desacelerado), o tempo de viagem entre as
estações pode ser calculado da seguinte forma (trecho x0 x1):
2 2
0 0 0 1 1
1 1
2 2
x x v t at v t at
2
1
0 0
2 2 2
d t
a
3
2
4 4(1,10 10 m)
60,553... s
(1,2 m/s )
d
t
a
60,6 st
(b) A velocidade escalar máxima do trem (v1), que é atingida em x1 = d/2, pode ser calculada da
seguinte forma (trecho x0 x1):
2 2
0 02 ( )v v a x x
2 2
1 0 1 02 ( )v v a x x
2
1 0 2 ( 0)
2
d
v a
2 3
1 (1,20 m/s )(1,10 10 m) 36,331... m/sv ad
1 36,3 m/sv
45. No momento em que a luz de um semáforo fica verde, um automóvel arranca com aceleração de
2,2 m/s2
. No mesmo instante um caminhão, movendo-se à velocidade constante de 9,5 m/s,
alcança e ultrapassa o automóvel. (a) A que distância, além do ponto de partida, o automóvel
alcança o caminhão? (b) Qual será a velocidade do carro nesse instante? (É instrutivo desenhar
um gráfico qualitativo de x(t) para cada veículo.).
(Pág. 31)
Solução.
Considere o esquema abaixo para a resolução do problema. Observe que tanto o caminhão quanto o
automóvel percorrem a mesma distância em tempos iguais.
x =0 0 xx = d = ?
a
vC vC
v =0A 0 v =A ?
d
(a) O movimento do caminhão (C) ocorre com velocidade constante.
0x x vt
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0 Cx x v t
Cx v t (1)
O movimento do automóvel ocorre com aceleração constante, partindo do repouso em x0 = 0.
2
0 0
1
2
x x v t at
2
0 0
1
2
Cx x v t at
21
0
2
d at
21
2
d at (2)
Substituindo-se o valor de t de (1) em (2):
2
2
2
1
2 2c c
d a d
d a
v v
2 2
2
2 2(9,5 m/s)
82,045045... m
(2,2 m/s )
cv
d
a
82 md
(a) A velocidade com que o automóvel alcança o caminhão (vA) vale:
2 2
0 02 ( )v v a x x
2 2
0 02 ( )A Av v a x x
2
0 2Av ad
2
2 2(2,2 m/s )(82,04545... m) 18,999... m/sAv ad
19 m/sAv
49. No manual de motorista diz que um automóvel com bons freios e movendo-se a 80 km/h pode
parar na distância de 56 m. Para a velocidade de 48 km/h a distância correspondente é 24
m.Suponha que sejam iguais, nas duas velocidades, tanto o tempo de reação do motorista,
durante o qual a aceleração é nula, como a aceleração quando aplicados os freios. Calcule (a) o
tempo de reação do motorista e (b) a aceleração.
(Pág. 31)
Solução.
Considere o seguinte esquema para a resolução do problema:
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x =0 0 x
Situação A
Situação B
Tempo de
reação (B)
Tempo de
reação (A)
Frenagem (A)
Frenagem (B)
x1B x1A x2B x2A
v0A v1A = v0A v =2A 0
v0B v = v1B 0B v =2B 0
(a) Vamos inicialmente analisar a situação A. Durante o tempo de reação, o carro desloca-se com
velocidade constante.
0x x vt
1 0 0A A A Rx x v t
Mas:
0 0Ax
Logo:
1 0A A Rx v t (1)
Análise do movimento de frenagem na situação A.
2 2
0 02 ( )v v a x x
2 2
2 1 2 12 ( )A A A Av v a x x
Mas:
1 0A Av v
Logo:
2
0 2 10 2 ( )A A Av a x x (2)
Substituindo-se (1) em (2):
2
2 0 02 ( )A A R Aa x v t v (3)
A análise da situação B através do caminho seguido pelas Eqs. (1) a (3) conduz ao seguinte
resultado:
2
2 0 02 ( )B B R Ba x v t v (4)
Dividindo-se (3) por (4):
2
2 0 0
2
2 0 0
A A R A
B B R B
x v t v
x v t v
Logo:
2 2
0 2 0 2
0 0 0 0( )
A B B A
R
A B A B
v x v x
t
v v v v
(5)
0,72 sRt
(b) Substituindo-se (5) em (3):
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20
2
20
2 0
6,17284... m/s
2( )
A
A A R
v
a
x v t
2
6,2 m/sa
54. Uma rocha despenca de um penhasco de 100 m de altura. Quanto tempo leva para cair (a) os
primeiros 50 m e (b) os 50 m restantes?
(Pág. 31)
Solução.
(a) Considere o seguinte esquema para a situação:
y
y1 = 50 m
y2 = 100 m
y0 = 0
g
Trata-se de movimento retilíneo (vertical) com aceleração constante. O cálculo do tempo de queda
nos primeiros 50 m pode ser feito através da Eq. (1). De acordo com o esquema ao lado, a
aceleração da gravidade tem o mesmo sentido do referencial adotado e, portanto, possui sinal
positivo.
2
1001
2
1
tatvyy yy (1)
Como v0y = 0:
1 0 1 0
1
2( ) 2( )
y
y y y y
t
a g
2
1 2
2[(50 m) 0)
10,20408 s 3,19438 s
(9,81 m/s )
t
s2,31t
(b) Para calcular o tempo de queda dos 50 m seguintes (y1 = 50 m a y2 = 100m), primeiramente
vamos calcular o tempo de queda de y0 = 0 a y2 = 100m.
2
2002
2
1
tatvyy yy
2 0
2
2( )y y
t
g
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21
2
2 2
2[(100 m) 0)
20,40816 s 4,51753 s
(9,81 m/s )
t
O cálculo do tempo de queda y1 a y2 (t12) é feito por diferença:
s32315,1)s19438,3()s51753,4(1212 ttt
s3,112t
59. Enquanto pensava em Isaac Newton, uma pessoa em pé sobre uma passarela inadvertidamente
deixa cair uma maçã por cima do parapeito justamente quando a frente de um caminhão passa
exatamente por baixo dele. O veículo move-se a 55 km/h e tem 12 m de comprimento. A que
altura, acima do caminhão, está o parapeito, se a maçã passa rente à traseira do caminhão?
(Pág. 31)
Solução.
Considere o seguinte esquema da situação:
A solução deste problema consiste em analisar as equações do movimento horizontal do caminhão e
vertical da maçã e combiná-las, pois são sincronizadas no tempo. Movimento do caminhãoem x:
0 xx x v t
0 Cl v t
C
l
t
v
(1)
Movimento da maçã em y:
2
0 0
1
2
y y v t at
21
0 0 ( )
2
h g t
21
2
h gt (2)
Inicial
Final
y
l
v1
x
x0 = 0 x l1=
y h0 =
y1 = 0
v0 = 0
vC
vC
h
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Substituindo-se (1) em (2):
2
2
2 12 m1 1
9,81 m/s 3,026 m
m/s2 2
55 km/h 3,6
km/h
C
l
h g
v
3,0 mh
61. Um jogador de basquete, no momento de “enterrar” a bola, salta 76 cm verticalmente. Que
tempo passa o jogador (a) nos 15 cm mais altos do pulo e (b) nos 15 cm mais baixos? Isso
explica por que esses jogadores parecem suspensos no ar no topo de seus pulos.
(Pág. 32)
Solução.
Considere o seguinte esquema para a resolução do problema.
Como a aceleração é a mesma na subida e na descida, temos que:
AB FGt t 15 2B ABt t 15
2
B
AB
t
t
CD DEt t 15 2A CDt t 15
2
A
CD
t
t
onde tAB é o tempo para ir de do ponto A ao ponto B e t15A e t15B são os tempos em que o jogador
passa nos 15 cm mais altos e mais baixos, respectivamente.
A velocidade inicial do jogador (vA) pode ser calculada pela análise do movimento no trecho AD.
2 2
0 02 ( )v v a y y
2 2
2( )( )D A D Av v g y y 1)
2
0 2 ( 0)A Dv g y
2
2 2(9,81 m/s )(0,76 m) 3,8615022... m/sA Dv gy
(a) Análise do movimento no trecho CD.
2
0
1
2
y y vt at
21
( )
2
D C D CD CDy y v t g t
2
151
(0,15 m) 0
2 2
At
g
yD
y = yA G = 0
a = -g
y
15 cm mais
altos
15 cm mais
baixosA
B
C
D
E
F
G
y yC E=
y yB F=
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23
15 2
8(0,15 m)
0,3497... s
(9,81 m/s )
At
15 0,35 sAt
(b) Análise do movimento no trecho AB.
2
0 0
1
2
y y v t at
21
( )
2
B A A AB ABy y v t g t
2
15 151
(0,15 m)
2 2 2
B B
A
t t
v g
2
15 15
(9,81 m/s ) (3,8615022... m/s)
(0,15 m) 0
8 2
B Bt t (1)
A Eq. (1) é uma equação do segundo grau cujas raízes são:
15
15
' 1,492560... s
'' 0,081955... s
B
B
t
t
Como t15B deve ser menor do que t15A:
15 0,082 sBt
64. O laboratório de pesquisa da gravidade nula do Centro de Pesquisa Lewis da NASA (EUA) tem
uma torre de queda de 145 m. Trata-se de um dispositivo vertical onde se fez vácuo e que, entre
outras possibilidades, permite estudar a queda de uma esfera com diâmetro de 1 m, que contém
equipamentos. (a) Qual o tempo de queda do equipamento? Qual sua velocidade ao pé da torre?
(c) Ao pé da torre a esfera tem uma aceleração média de 25 g quando sua velocidade é reduzida
a zero. Que distância ela percorre até parar?
(Pág. 32)
Solução.
(a) Considere o seguinte esquema da situação:
Acel.
Desacel.
y2
y0 = 0
y1 = 145 m
g
y
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Trata-se de movimento retilíneo (vertical) com aceleração constante. O cálculo do tempo de queda
livre pode ser feito através da Eq. (1). De acordo com o esquema, a aceleração da gravidade tem o
mesmo sentido do referencial adotado e, portanto, possui sinal positivo.
2
1001
2
1
tatvyy yy (1)
Como v0y = 0:
1 0
1
2( )
y
y y
t
a
1 0
1
2( )y y
t
g
1 2
2[(145 m) 0)
5,43706 s
(9,81 m/s )
t
s44,51t
(b) O cálculo da velocidade de chegada da esfera à base da torre também é direto.
101 tavv yyy
2
1 0 (9,81 m/s )(5,43706 s) 53,337604 m/syv
m/s3,531yv
(c) A desaceleração ocorre entre as posições y1 e y2.
)(2 1
2
1
2
2 yyavv yyyy
2 2 2 2 2 2
2 1 2 1
2
0 (53,337604 m/s)
5,8 m
2 2 25 2 (25 9,81 m/s )
y y y y
y
v v v v
y
a g
5,8 my
Obs.: O diâmetro da esfera não tem utilidade na resolução dos itens pedidos. Ele só foi dado para
ilustrar a situação.
70. Um balão está subindo a 12,4 m/s à altura de 81,3 m acima do solo quando larga um pacote. (a)
Qual a velocidade do pacote ao atingir o solo? (b) Quanto tempo ele leva para chegar ao solo?
(Pág. 32)
Solução.
O balão desloca-se em movimento retilíneo para cima, com velocidade constante. Considere o
esquema abaixo para a resolução do problema. Como o balão está em movimento, a velocidade
inicial do pacote é a mesma do balão.
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a
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25
y = h0
y = 0
a = -g
v =0 vBy
(a) A velocidade (v) do pacote ao atingir o chão pode ser calculada da seguinte forma:
2 2
0 02 ( )v v a y y
2 2
2( )(0 )Bv v g h
2 2
2Bv v gh
2 2 2
(12,4 m/s) 2(9,81 m/s )(81,3 m)v
41,819445... mv
41,8 mv
(a) O tempo (t) gasto para o pacote atingir o chão pode ser calculado da seguinte forma:
0 0
1
( )
2
y y v v t
1
0 ( )
2
Bh v v t
2
B
h
t
v v
2(81,3 m)
5,5269567... s
(12,4 m/s) (41,819445... m/s)
t
5,53 st
73. No Laboratório Nacional de Física da Inglaterra (o equivalente ao nosso Instituto Nacional de
Pesos e Medidas) foi realizada uma medição de g atirando verticalmente para cima uma bola de
vidro em um tubo sem ar e deixando-a retornar. A Fig. 35 é o gráfico da altura da bola em
função do tempo. Seja tL o intervalo de tempo entre duas passagens consecutivas da bola pelo
nível inferior, tU o intervalo de tempo entre duas passagens consecutivas pelo nível superior e
H a distância entre os dois níveis. Prove que
2 2
8
L U
H
g
t t
.
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26
(Pág. 32)
Solução.
Considere o seguinte esquema para a resolução do problema.
A
B
C
yA
0
y
yB
yC
Movimento do ponto A ao ponto C é dado por:
2
0
1
2
y y vt at
21
( )
2
C A Cy y v t g t
No ponto C a velocidade da bola (vC) é zero.
2
1
0
2 2
L
C A
t
y y g
21
8
C A Ly y g t (1)
De maneira idêntica, o movimento do ponto B ao ponto C é dado por:
21
8
C B Uy y g t (2)
Subtraindo-se (2) de (1):
2 21
( ) ( ) ( )
8
C A C B B A L Uy y y y y y H g t t
Portanto:
2 2
8
L U
H
g
t t
74. Uma bola de aço de rolamento é largada do teto de um edifício com velocidade inicial nula. Um
observador em pé diante de uma janela com 120 cm de altura nota que a bola gasta 0,125 s para
ir do topo da janela ao parapeito. A bola continua a cair, chocando-se elasticamente com uma
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27
calçada horizontal e reaparece no parapeito da janela 2,0 s após passar por ela ao descer. Qual a
altura do edifício? (Após uma colisão elástica, a velocidade escalar da bola em dado ponto é a
mesma ao subir e ao descer.)
(Pág. 33)
Solução.
Considere o seguinte esquema da situação:
Vamos analisar o movimento de queda livre da esfera entre os pontos 0 (topo do edifício) e 2
(parapeito da janela):
2 2
0 02v v a y y
2 2
2 0 22v v g y H
2
2 20 2v g y H
2
2
2
2
v
H y
g
(1)
Agora vamos analisar o movimento da esfera entre os pontos 1 (topo da janela) e 2 (parapeito da
janela):
2
0
1
2
y y vt at
2
2 1 2 2 2
1
2
y y v t g t
2
2 2 2
1
2
h v t g t
2 2 2
2
1,20 m1 1 m
9,81 0,125 s
2 0,125 s 2 s
h
v g t
t
2 10,213125 m/sv
y1
v0 = 0
y
y2 = y4
a j= g
y = H0
H
h
y =3 0
v1
v2
v3
v3
v4 = v3
t1
t3
t2
Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES
________________________________________________________________________________________________________
Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4
a
Ed. - LTC - 1996. Cap. 2 – Movimento Unidimensional
28
Finalmente, vamos analisar o movimento da esfera entre os pontos 2 (parapeito da janela) e 3 (solo).
Note que o tempo requerido para a esfera ir do parapeito ao solo e retornar ao parapeito é de 2,0 s.
Logo, o tempo para ir do parapeito ao solo é de t3 = 1,0 s.
2
0 0
1
2
y y v t at
2
3 2 2 3 3
1
2
y y v t g t
2
2 2 3 3
1
0
2
y v t g t
2 22
2 3 2 3 2
1 1 m
9,81 1,0 s 10,213125 m/s 1,0 s
2 2 s
y g t v t
2 15,118125 my
Substituindo-se os valores de v2 e y2 em (1), teremos a resposta do problema:
2
2
10,213125 m/s
15,118125 m 20,434532 m
2 9,81 m/s
H
20 mH
75. Um cachorro avista um pote de flores passar subindo e a seguir descendo por uma janela com
1,1 m de altura. O tempo total durante o qual o pote é visto é de 0,74 s. Determine a altura
alcançada pelo pote acima do topo da janela.
(Pág. 33)
Solução.
O tempo no qual o vaso é visto subindo (tS) é igual ao tempo no qual ele é visto descendo (tD).
Portanto:
2S D St t t t
0,34 s
2
S
t
t
Considere o esquema abaixo para a resolução do problema.
y1
y =0 0
y
y2
a = -g
Cálculo da velocidade do vaso na coordenada y1 (v1):
Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES
________________________________________________________________________________________________________
Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4
a
Ed. - LTC - 1996. Cap. 2 – Movimento Unidimensional
29
2
0
1
2
y y vt at
2
1 0 1
1
( )
2
S Sy y v t g t
2
1 0
1
1
2
S
S
y y gt
v
t
2 2
1
1
(1,1 m) 0 (9,81 m/s )(0,37 s)
2
(0,37 s)
v
1 1,15812297... m/sv
Cálculo da distância acima da janela atingida pelo vaso (y2 y1):
2 2
0 02 ( )v v a y y
2 2
2 1 2 12( )( )v v g y y
2 2
1 2
2 1
2
v v
y y
g
2
2 1 2
(1,15812297... m/s) 0
0,068361... m
2(9,81 m/s )
y y
2 1 6,8 cmy y

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  • 1. Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES ________________________________________________________________________________________________________ Halliday, Resnick, Walker - Fund.de Física 1 - 8 a Ed. - LTC - 2009. Cap. 02 – Movimento Retilíneo 1 HALLIDAY, RESNICK, WALKER, FUNDAMENTOS DE FÍSICA, 8.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 2008. FÍSICA 1 CAPÍTULO 2 – MOVIMENTO RETILÍNEO 01. Um automóvel viaja em uma estrada retilínea por 40 km a 30 km/h. Em seguida, continuando no mesmo sentido, percorre outros 40 km a 60 km/h. (a) Qual é a velocidade média do carro durante este percurso de 80 km? (Suponha que o carro se move no sentido positivo de x.) (b) Qual é a velocidade escalar média? (c) Trace o gráfico de x em função de t e mostre como calcular a velocidade média a partir do gráfico. (Pág. 33) Solução. (a) A velocidade média (vm) no percurso total corresponde à razão entre o deslocamento total ( x12) e o intervalo de tempo total ( t): 12 1 2 1 2 1 2 2 m x x x x v t t t t t (1) Na Eq. (1), as grandezas com índice 1 referem-se à primeira etapa da viagem e as com índice 2 à segunda etapa da viagem, como descrito no enunciado. O termo 2 x é devido à igualdade entre x1 e x2. Em relação às etapas da viagem, suas velocidades médias valem: 1 1 m x v t 2 2 m x v t Explicitando o tempo de cada etapa, teremos: 1 1m x t v (2) 2 2m x t v (3) Substituindo (2) e (3) em (1): 1 2 2 1 1 2 2 30 km/h 60 km/h22 60 km/h 30 km/h m m m m m m m v vx v x x v v v v 40 km/hmv O estudante deve ter percebido que o cálculo da velocidade média é função apenas das velocidades médias de cada uma das etapas. Isso é conseqüência da igualdade entre os deslocamentos envolvidos nessas etapas. (b) A velocidade escalar média (vem) é a razão entre a distância total percorrida (s) e o intervalo de tempo ( t). No presente caso, temos s = x12. Portanto:
  • 2. Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES ________________________________________________________________________________________________________ Halliday, Resnick, Walker - Fund.de Física 1 - 8 a Ed. - LTC - 2009. Cap. 02 – Movimento Retilíneo 2 12 em m xs v v t t 40 km/hemv (c) No gráfico a seguir são mostrados os deslocamentos e intervalos de tempo parciais e totais. A linha I corresponde à primeira etapa da viagem e a II à segunda etapa. A linha tracejada III corresponde ao trajeto total. As declividades dessas correspondem às velocidades médias dos trajetos correspondentes. 02. Um carro sobe uma ladeira com uma velocidade constante de 40 km/h e desce a ladeira com uma velocidade constante de 60 km/h. Calcule a velocidade escalar média da viagem de ida e volta. (Pág. 33) Solução. Como os deslocamentos envolvidos na subida e descida têm o mesmo módulo, a situação é semelhante à do Probl. 1. Usaremos os índices S para subida e D para descida. 2SD S D em SD S D S D s s s s v t t t t t (1) Na equação acima, s é o comprimento da ladeira. Explicitando o tempo de cada etapa, teremos: S S s t v (2) D D s t v (3) Substituindo (2) e (3) em (1): 2 40 km/h 60 km/h22 60 km/h 40 km/h S D em D S S D v vs v s s v v v v 48 km/hemv 17. A posição de uma partícula que se move ao longo do eixo x é dada em centímetros por x = 9,75 + 1,50 t3 , onde t está em segundos. Calcule (a) a velocidade média durante o intervalo de tempo de t = 2,00 s a t = 3,00 s; (b) a velocidade instantânea em t = 2,00 s; (c) a velocidade instantânea em t = 3,00 s; (d) a velocidade instantânea em t = 2,50 s; (e) a velocidade instantânea quando a partícula está na metade da distância entre suas posições em t = 2,00 s e t = 3,00 s. (f) Plote o t (h)1 2 40 80 x (km) x2 x1 t1 t2 x12 t12 I IIIII
  • 3. Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES ________________________________________________________________________________________________________ Halliday, Resnick, Walker - Fund.de Física 1 - 8 a Ed. - LTC - 2009. Cap. 02 – Movimento Retilíneo 3 gráfico de x em função de t e indique suas respostas graficamente. (Pág. 34) Solução. (a) Chamando de x0 a posição da partícula em t0 = 2,00 s e de x1 sua posição em t1 = 3,00 s, os valores de x0 e x1 serão: 3 0 9,75 1,50 2,00 21,75 cmx 3 1 9,75 1,50 3,00 50,25 cmx A velocidade média da partícula no intervalo de tempo t1 t0 será: 1 0 ,01 1 0 50,25 cm 21,75 cm 3,00 s 2,00 s m x xx v t t t ,01 28,5 cm/smv (b) A velocidade instantânea v corresponde à derivada da função x(t) em relação a t: 3 2 9,75 1,50 4,50 dx d v t t dt dt Logo, para t0 = 2,00 s teremos: 2 0 4,50 2,00v 0 18,0 cm/sv (c) Para t1 = 3,00 s teremos: 2 1 4,50 3,00v 1 40,5 cm/sv (d) Para t2 = 2,50 s teremos: 2 2 4,50 2,50 28,125 cm/sv 2 28,1 cm/sv (e) A metade da distância entre as posições da partícula em t0 = 2,00 s e t1 = 3,00 s corresponde à posição x3, definida por: 0 1 3 21,75 cm 50,25 cm 36 cm 2 2 x x x A partícula alcança a posição x3 no instante de tempo t3, que vale: 3 3 39,75 1,50x t 3 3 36 9,75 2,5962 s 1,50 t Logo, a velocidade v3 da partícula no instante t3 será: 2 3 4,50 2,5962 30,3322 cm/sv 3 30,3 cm/sv (f)
  • 4. Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES ________________________________________________________________________________________________________ Halliday, Resnick, Walker - Fund.de Física 1 - 8 a Ed. - LTC - 2009. Cap. 02 – Movimento Retilíneo 4 41. A Fig. 2-28 mostra um carro vermelho e um carro verde que se movem um em direção ao outro. A Fig. 2-29 é um gráfico do movimento dos dois carros que mostra suas posições x0verde = 270 m e x0vermelho = 35,0 m no instante t = 0. O carro verde tem uma velocidade constante de 20,0 m/s e o carro vermelho parte do repouso. Qual é o módulo da aceleração do carro vermelho? Fig. 2-28 Problemas 40 e 41 Fig. 2-29 Problema 41 (Pág. 36) Solução. Vamos utilizar os índices r e g para os carros vermelho (red) e verde (green), respectivamente. O carro verde possui movimento com velocidade constante. Logo: 0 0x x v t 1 0 1g gx x v t 1 270 m 20 m/s 12 sx 1 30 mx x1 é a coordenada x correspondente ao instante de tempo t1 = 12 s. O carro vermelho possui movimento com aceleração constante. Logo, sua equação de movimento será: 2 0 0 1 2 x x v t at t (s)1 2 x (cm) x3 x1 t1 x0 t0 3 t3 Declividade = v1 Declividade = v0 Declividade = v3 Declividade = vm01
  • 5. Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES ________________________________________________________________________________________________________ Halliday, Resnick, Walker - Fund.de Física 1 - 8 a Ed. - LTC - 2009. Cap. 02 – Movimento Retilíneo 5 2 1 0 1 1 0 2 r rx x a t 1 0 2 1 2 r r x x a t Substituindo-se o valor de x1 calculado anteriormente: 2 2 2 30 m 35 m 0,90277 m/s 12 s Ra 2 0,90 m/sRa Observação: Você deve ter notado que os sinais negativos de xr0 e de vg não foram dados no enunciado. Essas informações foram obtidas a partir do gráfico fornecido. 70. Duas partículas se movem ao longo do eixo x. A posição da partícula 1 é dada por x = 6,00 t2 + 3,00 t + 2,00, onde x está em metros e t em segundos; a aceleração da partícula 2 é dada por a = 8,00 t, onde a está em metros por segundo ao quadrado e t em segundos. No instante t = 0 a velocidade é de 20 m/s. Em que instante as duas partículas têm a mesma velocidade? (Pág. 38) Solução. Sendo a posição da partícula 1 dada por: 2 1 6,00 3,00 2,00x t t Sua velocidade em função do tempo será: 1 12,0 3,00 dx v t dt (1) Sendo a aceleração da partícula 2 dada por: 2 8,00a t Sua velocidade em função do tempo será: 2 8,00 dv a t dt 8,00dv t dt 2 0 0 8,00 v t v t dv t dt 2 2 0 2 0 8,00 2 t t v v Foi mencionado que em t0 = 0 a velocidade da partícula 2 é v0 = 20 m/s. Logo 2 2 0 20 m/s 8,00 2 t v 2 2 20 4,00v t (2) Igualando-se (1) e (2), teremos: 2 12,0 3,00 20 4,00t t 2 4,00 12,0 17 0t t
  • 6. Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES ________________________________________________________________________________________________________ Halliday, Resnick, Walker - Fund.de Física 1 - 8 a Ed. - LTC - 2009. Cap. 02 – Movimento Retilíneo 6 As raízes dessa equação são 1,0495...s e 4,0495...s. O instante de tempo positivo corresponde à solução do problema. Portanto: 1,1 st 88. Uma pedra é lançada verticalmente para cima a partir da borda do terraço de um edifício. A pedra atinge a altura máxima 1,60 s após ter sido lançada. Em seguida, após quase se chocar com o edifício, a pedra chega ao solo 6,00 s após ter sido lançada. Em unidades SI: (a) com que velocidade a pedra foi lançada? (b) Qual a altura máxima atingida pela pedra em relação ao terraço? (c) Qual a altura do edifício? (Pág. 39) Solução. Considere o seguinte esquema da situação: (a) Análise do percurso entre os instantes de tempo t0 e t1: 1 0 1v v gt 0 10 v gt 2 0 9,8 m/s 1,60 s 15,68 m/sv 0 16 m/sv (b) A altura máxima acima do edifício corresponde a h – H. Para determiná-la, vamos novamente analisar o percurso entre os instantes de tempo t0 e t1: 2 1 0 1 1 2 y y vt gt 22 2 1 1 1 0 9,8 m/s 1,60 s 12,544 m 2 2 h H gt 13 mh H y y h1 = y2 = 0 y H0 = a ( )t0 = 0,00 s (t1 = 1,60 s) ( )t2 = 6,00 s Trajetória da pedra v0 v1 = 0 v2
  • 7. Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES ________________________________________________________________________________________________________ Halliday, Resnick, Walker - Fund.de Física 1 - 8 a Ed. - LTC - 2009. Cap. 02 – Movimento Retilíneo 7 (c) A altura do edifício corresponde a H. Para determiná-la, vamos analisar o percurso entre os instantes de tempo t0 e t2: 2 2 0 0 2 1 2 y y v t gt 2 0 2 2 1 0 2 H v t gt 22 2 0 2 2 1 1 15,68 m/s 6,00 s 9,8 m/s 6,00 s 82,32 m 2 2 H v t gt 82 mH 99. Um certo malabarista normalmente arremessa bolas verticalmente até uma altura H. A que altura as bolas devem ser arremessadas para passarem o dobro de tempo no ar? (Pág. 40) Solução. Considere o seguinte esquema da situação: Vamos utilizar a seguinte equação na coordenada y para analisar o movimento de subida das bolas nas situações A e B: 2 0 1 2 y y vt gt Na situação A, teremos: 21 0 0 2 A AH g t 21 2 A AH g t (1) Na situação B, teremos: 221 1 0 0 2 2 2 B B AH g t g t 2 2B AH g t (2) Dividindo-se (2) por (1), teremos: Sit. A y =0 0 y HB HA Sit. B tA tB= t2 A
  • 8. Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES ________________________________________________________________________________________________________ Halliday, Resnick, Walker - Fund.de Física 1 - 8 a Ed. - LTC - 2009. Cap. 02 – Movimento Retilíneo 8 2 2 2 1 2 B A A A H g t H g t 4B AH H 106. Deixa-se cair uma pedra, sem velocidade inicial, do alto de um edifício de 60 m. A que distância do solo está a pedra 1,2 s antes de chegar ao solo? (Pág. 40) Solução. Considere o seguinte esquema da situação: Primeiro vamos analisar o movimento de queda da pedra do alto do edifício (índice 0) até o solo (índice 2). A equação geral do movimento é: 2 0 0 1 2 y y v t gt Aplicando-se os índices corretos, teremos: 2 2 0 2 1 0 2 y y gt 2 2 1 0 2 H gt 2 2 3,4992 s H t g O valor de t1 é igual a t2 1,2 s. Logo: 1 2,2992 st Agora podemos analisar o movimento de queda da pedra desde o alto do edifício até a coordenada y1: 2 0 0 1 2 y y v t gt Aplicando-se os índices corretos, teremos: y y h1 = y2 = 0 y H0 = a ( )t0 ( = 1,2 st1 t2 ) ( )t2
  • 9. Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES ________________________________________________________________________________________________________ Halliday, Resnick, Walker - Fund.de Física 1 - 8 a Ed. - LTC - 2009. Cap. 02 – Movimento Retilíneo 9 2 1 0 1 1 0 2 y y gt 2 1 1 2 h H gt 2 2 1 1 1 60 m 9,8 m/s 2,2992 s 34,0954 m 2 2 h H gt 34 mh
  • 10. Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES ________________________________________________________________________________________________________ Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 a Ed. - LTC - 1996. Cap. 2 – Movimento Unidimensional 10 RESNICK, HALLIDAY, KRANE, FÍSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 1996. FÍSICA 1 CAPÍTULO 2 – MOVIMENTO UNIDIMENSIONAL 01. Que distância seu carro percorre, a 88 km/h, durante 1 s em que você olha um acidente à margem da estrada? (Pág. 28) Solução. Como o problema trata de um movimento que ocorre com velocidade constante, deve-se utilizar a Eq. (1). tvxx x0 (1) A distância procurada corresponde ao deslocamento x = x x0. 0 xx x x v t 1 m/s (88 km/h) (0,50 s) 12,222 m 3,6 km/h x A resposta deve ser expressa com apenas um algarismo significativo: 10 mx 02. Um jogador de beisebol consegue lançar a bola com velocidade horizontal de 160 km/h, medida por um radar portátil. Em quanto tempo a bola atingirá o alvo, situado a 18,4 m? (Pág. 28) Solução. Apesar do movimento da bola ser bidimensional (ao mesmo tempo em que a bola viaja até a base horizontalmente, ela sofre ação da gravidade e cai verticalmente) só precisamos nos preocupar com o seu movimento horizontal. Isto é devido a esse movimento ser o responsável pela situação exposta no enunciado. O movimento horizontal da bola não está sujeito à aceleração da gravidade ou a qualquer outra aceleração (exceto, é claro, à aceleração causada pela força de resistência do ar, que é desprezada) e deve ser tratado como movimento com velocidade constante. vtxx 0 0 (18,4 m) 1 m/s (160 km/h) 3,6 km/h x x x t v v s414,0t 08. Um avião a jato pratica manobras para evitar detecção pelo radar e está 35 m acima do solo plano (veja Fig. 24). Repentinamente ele encontra uma rampa levemente inclinada de 4,3o , o que é difícil de detetar. De que tempo dispõe o piloto para efetuar uma correção que evite um choque com o solo? A velocidade em relação ao ar é de 1.300 km/h.
  • 11. Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES ________________________________________________________________________________________________________ Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 a Ed. - LTC - 1996. Cap. 2 – Movimento Unidimensional 11 (Pág. 28) Solução. O avião desloca-se em movimento retilíneo com velocidade constante. Considere o esquema abaixo para a resolução do problema. h0 x d v Analisando o movimento do avião no eixo x, temos: 0x x vt 0 d vt d t v (1) Como o valor de d não foi dado, é preciso calculá-lo. tan h d tan h d (2) Substituindo-se (2) em (1): o (35 m) 1,289035... s tan 1.300 km/h tan 4,3 3,6 h t v 1,3 st 11. Calcule sua velocidade escalar média nos dois casos seguintes. (a) Você caminha 72 m à razão de 1,2 m/s e depois corre 72 m a 3,0 m/s numa reta. (b) Você caminha durante 1,0 min a 1,2 m/s e depois corre durante 1,0 min a 3,0 m/s numa reta. (Pág. 28) Solução. (a) Precisamos lembrar que a velocidade escalar média é a razão entre a distância percorrida (não o deslocamento) e o intervalo de tempo decorrido no percurso.
  • 12. Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES ________________________________________________________________________________________________________ Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 a Ed. - LTC - 1996. Cap. 2 – Movimento Unidimensional 12 1 2 1 2 1 11 2 1 1 72 m 72 m 2 1,714 m/s 1 172 m 72 m 1,2 m/s 3,0 m/s1,2 m/s 3,0 m/s em s s s s v s st t v v 1,7 m/semv (b) 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1,2 m/s 60 s 3,0 m/s 60 s 1,2 m/s 3,0 m/s 60 s 60 s 2 em s s v t v t v t t t t 2,1 m/semv 12. Dois trens, cada um com a velocidade escalar de 34 km/h, aproximam-se um do outro na mesma linha. Um pássaro que pode voar a 58 km/h parte de um dos trens quando eles estão distantes 102 km e dirige-se diretamente ao outro. Ao alcançá-lo, o pássaro retorna diretamente para o primeiro trem e assim sucessivamente. (a) Quantas viagens o pássaro pode fazer de um trem ao outro antes de eles se chocarem? (b) Qual a distância total que o pássaro percorre? (Pág. 28) Solução. Neste problema vamos resolver primeiro o item (b) e em seguida o item (a). vA vB Trem A Trem B d vP d/2 d/2 1 Encontroo 2d/34d/9 2 Encontroo x0 (b) Como os trens viajam à mesma velocidade, porém em sentidos contrários, o choque dar-se-á na coordenada d/2. O tempo ( t) do percurso de cada trem será igual ao tempo de vôo do pássaro. Logo, para o trem A: t d t x vA 2/ Av d t 2 Para o pássaro: t s vp A A v d vs 2 2 ds Portanto, o pássaro percorre uma distância igual à separação inicial dos trens, ou seja: 102 kms (a) Em primeiro lugar, vamos calcular a coordenada x do primeiro encontro (x1). 1 0P Px x v t (1)
  • 13. Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES ________________________________________________________________________________________________________ Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 a Ed. - LTC - 1996. Cap. 2 – Movimento Unidimensional 13 tvxx BB01 (2) Nestas equações, x0p = 0 e x0B = d são as posições do pássaro e do trem B no instante zero e vP = 2 vB e vB são as velocidades do pássaro e do trem B. Como no momento do primeiro encontro o pássaro e o trem B estarão na mesma coordenada (x1), podemos igualar (1) e (2). 0 0B B P Px v t x v t tvtvd BB )2(0 Bv d t 3 (3) Substituindo-se (3) em (1): 1 0 0 ( 2 ) 3 P P B B d x x v v v 3 2 1 d x De maneira semelhante, pode-se demonstrar que o segundo encontro se dará na coordenada 4d/9. Como conseqüência, do primeiro para o segundo encontro o pássaro percorre uma distância igual a 2d/3 4d/9 = 2d/9, que é igual a 2/3 de d/3. Também pode ser demonstrado que do segundo para o terceiro encontro ele percorre uma distância igual a 2/3 de 1/3 de d/3, e assim por diante. Em resumo: Viagem do pássaro Distância percorrida 1 2/3 d = 2/3 d 2 2/3 . 1/3 . d = 2/32 d 3 2/3 . 1/3. 1/3 . d = 2/33 d … … … n 2/3 . 1/3 . …. 1/3 . d = 2/3n d A soma das distâncias percorridas em cada trecho de ida e vinda do pássaro deve ser igual a d (resposta do item b): ddddd n 3 2 3 2 3 2 3 2 32  Ou seja: 2 1 3 1 3 1 3 1 3 1 32 n  2 1 3 1 1 n i i (4) Pode-se demonstrar que (4) somente será verdadeira se n = (Utilize sua calculadora para verificar esta afirmação). Portanto, em teoria, o pássaro fará um número infinito de viagens. 14. Que distância percorre em 16 s um corredor cujo gráfico velocidade-tempo é o da Fig. 25?
  • 14. Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES ________________________________________________________________________________________________________ Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 a Ed. - LTC - 1996. Cap. 2 – Movimento Unidimensional 14 (Pág. 28) Solução. Conhecendo-se a função x(t) que descreve a posição x de um objeto em qualquer instante de tempo t, pode-se calcular sua velocidade em qualquer instante a partir da derivada de x(t) em relação a t. ( ) ( ) t t dx v dt No caso inverso, conhecendo-se a velocidade v(t) de um objeto em qualquer instante t, pode-se determinar sua posição x em qualquer instante, bem como seu deslocamento, no intervalo de tempo considerado. ( ) ( )t tdx v dt 0 0 ( ) ( ) x v t tx v dx v dt 0 0 ( ) v tv x x v dt De acordo com esta, o deslocamento x x0 corresponde à área sob a curva do gráfico v(t) = f(t). Cada quadrado mostrado no gráfico possui área equivalente a (2 m/s) (2 s) = 4 m. Portanto, contabilizando toda a área sob a curva mostrada no gráfico, chegaremos ao seguinte resultado: t (s) x (m) 0 2 8 2 10 64 10 12 12 12 16 16 Total 100 Portanto: (16) (0) 100 mx x 29. Para decolar, um avião a jato necessita alcançar no final da pista a velocidade de 360 km/h. Supondo que a aceleração seja constante e a pista tenha 1,8 km, qual a aceleração mínima necessária, a partir do repouso? (Pág. 29) Solução.
  • 15. Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES ________________________________________________________________________________________________________ Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 a Ed. - LTC - 1996. Cap. 2 – Movimento Unidimensional 15 Trata-se de movimento retilíneo com aceleração constante. O cálculo pode ser feito por meio da Eq. (1). xavv 22 0 2 (1) 2 2 2 2 20 3 1 m/s 360 km/h 0 3,6 km/h 2,7777 m/s 2 2 (1,80 10 m) v v a x 2 m/s78,2a 31. A cabeça de uma cascavel pode acelerar 50 m/s2 ao atacar uma vítima. Se um carro pudesse fazer o mesmo, em quanto tempo ele alcançaria a velocidade escalar de 100 km/h a partir do repouso? (Pág. 29) Solução. Trata-se, naturalmente, de movimento retilíneo com aceleração constante. A velocidade inicial, v0, é igual a zero. O cálculo do tempo (t) é feito através da Eq. 1. atvv 0 (1) 0 2 1 m/s (100 km/h) 0 3,6 km/h 0,55556 s (50 m/s ) v v t a s56,0t 33. Um elétron, com velocidade inicial v0 = 1,5 105 m/s, entra numa região com 1,2 cm de comprimento, onde ele é eletricamente acelerado (veja Fig. 29). O elétron emerge com velocidade de 5,8 106 m/s. Qual a sua aceleração, suposta constante? (Tal processo ocorre no canhão de elétrons de um tubo de raios catódicos, utilizado em receptores de televisão e terminais de vídeo.) (Pág. 30) Solução. Trata-se de movimento retilíneo com aceleração constante. O cálculo pode ser feito através da Eq. (1).
  • 16. Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES ________________________________________________________________________________________________________ Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 a Ed. - LTC - 1996. Cap. 2 – Movimento Unidimensional 16 xavv 22 0 2 (1) 2 2 6 2 5 2 15 20 -2 (5,8 10 m/s) -(1,5 10 m/s) 1,4007 10 m/s 2 2(1,2 10 m) v v a x 15 2 1,4 10 m/sa 34. A maior velocidade em terra já registrada foi de 1.020 km/h, alcançado pelo coronel John P. Stapp em 19 de março de 1954, tripulando um assento jato-propulsado. Ele e o veículo foram parados em 1,4 s; veja a Fig. 30. Que aceleração ele experimentou? Exprima sua resposta em termos da aceleração da gravidade g = 9,8 m/s2 . (Note que o corpo do militar atua como um acelerômetro, não como um velocímetro.) (Pág. 30) Solução. Trata-se de movimento retilíneo com aceleração (negativa ou desaceleração) constante. O cálculo pode ser feito através da Eq. (1). atvv 0 (1) 20 1 m/s 0 (1.020 km/h) 3,6 km/h 202,38095 m/s (1,4 s) v v a t Para obter a aceleração em termos de unidades g, basta dividir a aceleração obtida pelo valor da aceleração da gravidade. 2 2 ( 202,38095 m/s ) 20,6511 (9,8 m/s ) a g ga 21 41. Um trem de metrô acelera a partir do repouso a 1,20 m/s2 em uma estação para percorrer a primeira metade da distância até a estação seguinte e depois desacelera a 1,20 m/s2 na segunda metade da distância de 1,10 km entre as estações. Determine: (a) o tempo de viagem entre as estações e (b) a velocidade escalar máxima do trem. (Pág. 30) Solução. Considere o esquema abaixo para auxiliar a resolução:
  • 17. Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES ________________________________________________________________________________________________________ Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 a Ed. - LTC - 1996. Cap. 2 – Movimento Unidimensional 17 x =0 0 xx = d/21 -aa x = d2 (a) Sabendo-se que o tempo gasto na primeira metade do caminho (acelerado) é igual ao tempo gasto para percorrer a segunda metade do caminho (desacelerado), o tempo de viagem entre as estações pode ser calculado da seguinte forma (trecho x0 x1): 2 2 0 0 0 1 1 1 1 2 2 x x v t at v t at 2 1 0 0 2 2 2 d t a 3 2 4 4(1,10 10 m) 60,553... s (1,2 m/s ) d t a 60,6 st (b) A velocidade escalar máxima do trem (v1), que é atingida em x1 = d/2, pode ser calculada da seguinte forma (trecho x0 x1): 2 2 0 02 ( )v v a x x 2 2 1 0 1 02 ( )v v a x x 2 1 0 2 ( 0) 2 d v a 2 3 1 (1,20 m/s )(1,10 10 m) 36,331... m/sv ad 1 36,3 m/sv 45. No momento em que a luz de um semáforo fica verde, um automóvel arranca com aceleração de 2,2 m/s2 . No mesmo instante um caminhão, movendo-se à velocidade constante de 9,5 m/s, alcança e ultrapassa o automóvel. (a) A que distância, além do ponto de partida, o automóvel alcança o caminhão? (b) Qual será a velocidade do carro nesse instante? (É instrutivo desenhar um gráfico qualitativo de x(t) para cada veículo.). (Pág. 31) Solução. Considere o esquema abaixo para a resolução do problema. Observe que tanto o caminhão quanto o automóvel percorrem a mesma distância em tempos iguais. x =0 0 xx = d = ? a vC vC v =0A 0 v =A ? d (a) O movimento do caminhão (C) ocorre com velocidade constante. 0x x vt
  • 18. Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES ________________________________________________________________________________________________________ Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 a Ed. - LTC - 1996. Cap. 2 – Movimento Unidimensional 18 0 Cx x v t Cx v t (1) O movimento do automóvel ocorre com aceleração constante, partindo do repouso em x0 = 0. 2 0 0 1 2 x x v t at 2 0 0 1 2 Cx x v t at 21 0 2 d at 21 2 d at (2) Substituindo-se o valor de t de (1) em (2): 2 2 2 1 2 2c c d a d d a v v 2 2 2 2 2(9,5 m/s) 82,045045... m (2,2 m/s ) cv d a 82 md (a) A velocidade com que o automóvel alcança o caminhão (vA) vale: 2 2 0 02 ( )v v a x x 2 2 0 02 ( )A Av v a x x 2 0 2Av ad 2 2 2(2,2 m/s )(82,04545... m) 18,999... m/sAv ad 19 m/sAv 49. No manual de motorista diz que um automóvel com bons freios e movendo-se a 80 km/h pode parar na distância de 56 m. Para a velocidade de 48 km/h a distância correspondente é 24 m.Suponha que sejam iguais, nas duas velocidades, tanto o tempo de reação do motorista, durante o qual a aceleração é nula, como a aceleração quando aplicados os freios. Calcule (a) o tempo de reação do motorista e (b) a aceleração. (Pág. 31) Solução. Considere o seguinte esquema para a resolução do problema:
  • 19. Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES ________________________________________________________________________________________________________ Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 a Ed. - LTC - 1996. Cap. 2 – Movimento Unidimensional 19 x =0 0 x Situação A Situação B Tempo de reação (B) Tempo de reação (A) Frenagem (A) Frenagem (B) x1B x1A x2B x2A v0A v1A = v0A v =2A 0 v0B v = v1B 0B v =2B 0 (a) Vamos inicialmente analisar a situação A. Durante o tempo de reação, o carro desloca-se com velocidade constante. 0x x vt 1 0 0A A A Rx x v t Mas: 0 0Ax Logo: 1 0A A Rx v t (1) Análise do movimento de frenagem na situação A. 2 2 0 02 ( )v v a x x 2 2 2 1 2 12 ( )A A A Av v a x x Mas: 1 0A Av v Logo: 2 0 2 10 2 ( )A A Av a x x (2) Substituindo-se (1) em (2): 2 2 0 02 ( )A A R Aa x v t v (3) A análise da situação B através do caminho seguido pelas Eqs. (1) a (3) conduz ao seguinte resultado: 2 2 0 02 ( )B B R Ba x v t v (4) Dividindo-se (3) por (4): 2 2 0 0 2 2 0 0 A A R A B B R B x v t v x v t v Logo: 2 2 0 2 0 2 0 0 0 0( ) A B B A R A B A B v x v x t v v v v (5) 0,72 sRt (b) Substituindo-se (5) em (3):
  • 20. Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES ________________________________________________________________________________________________________ Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 a Ed. - LTC - 1996. Cap. 2 – Movimento Unidimensional 20 2 20 2 0 6,17284... m/s 2( ) A A A R v a x v t 2 6,2 m/sa 54. Uma rocha despenca de um penhasco de 100 m de altura. Quanto tempo leva para cair (a) os primeiros 50 m e (b) os 50 m restantes? (Pág. 31) Solução. (a) Considere o seguinte esquema para a situação: y y1 = 50 m y2 = 100 m y0 = 0 g Trata-se de movimento retilíneo (vertical) com aceleração constante. O cálculo do tempo de queda nos primeiros 50 m pode ser feito através da Eq. (1). De acordo com o esquema ao lado, a aceleração da gravidade tem o mesmo sentido do referencial adotado e, portanto, possui sinal positivo. 2 1001 2 1 tatvyy yy (1) Como v0y = 0: 1 0 1 0 1 2( ) 2( ) y y y y y t a g 2 1 2 2[(50 m) 0) 10,20408 s 3,19438 s (9,81 m/s ) t s2,31t (b) Para calcular o tempo de queda dos 50 m seguintes (y1 = 50 m a y2 = 100m), primeiramente vamos calcular o tempo de queda de y0 = 0 a y2 = 100m. 2 2002 2 1 tatvyy yy 2 0 2 2( )y y t g
  • 21. Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES ________________________________________________________________________________________________________ Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 a Ed. - LTC - 1996. Cap. 2 – Movimento Unidimensional 21 2 2 2 2[(100 m) 0) 20,40816 s 4,51753 s (9,81 m/s ) t O cálculo do tempo de queda y1 a y2 (t12) é feito por diferença: s32315,1)s19438,3()s51753,4(1212 ttt s3,112t 59. Enquanto pensava em Isaac Newton, uma pessoa em pé sobre uma passarela inadvertidamente deixa cair uma maçã por cima do parapeito justamente quando a frente de um caminhão passa exatamente por baixo dele. O veículo move-se a 55 km/h e tem 12 m de comprimento. A que altura, acima do caminhão, está o parapeito, se a maçã passa rente à traseira do caminhão? (Pág. 31) Solução. Considere o seguinte esquema da situação: A solução deste problema consiste em analisar as equações do movimento horizontal do caminhão e vertical da maçã e combiná-las, pois são sincronizadas no tempo. Movimento do caminhãoem x: 0 xx x v t 0 Cl v t C l t v (1) Movimento da maçã em y: 2 0 0 1 2 y y v t at 21 0 0 ( ) 2 h g t 21 2 h gt (2) Inicial Final y l v1 x x0 = 0 x l1= y h0 = y1 = 0 v0 = 0 vC vC h
  • 22. Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES ________________________________________________________________________________________________________ Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 a Ed. - LTC - 1996. Cap. 2 – Movimento Unidimensional 22 Substituindo-se (1) em (2): 2 2 2 12 m1 1 9,81 m/s 3,026 m m/s2 2 55 km/h 3,6 km/h C l h g v 3,0 mh 61. Um jogador de basquete, no momento de “enterrar” a bola, salta 76 cm verticalmente. Que tempo passa o jogador (a) nos 15 cm mais altos do pulo e (b) nos 15 cm mais baixos? Isso explica por que esses jogadores parecem suspensos no ar no topo de seus pulos. (Pág. 32) Solução. Considere o seguinte esquema para a resolução do problema. Como a aceleração é a mesma na subida e na descida, temos que: AB FGt t 15 2B ABt t 15 2 B AB t t CD DEt t 15 2A CDt t 15 2 A CD t t onde tAB é o tempo para ir de do ponto A ao ponto B e t15A e t15B são os tempos em que o jogador passa nos 15 cm mais altos e mais baixos, respectivamente. A velocidade inicial do jogador (vA) pode ser calculada pela análise do movimento no trecho AD. 2 2 0 02 ( )v v a y y 2 2 2( )( )D A D Av v g y y 1) 2 0 2 ( 0)A Dv g y 2 2 2(9,81 m/s )(0,76 m) 3,8615022... m/sA Dv gy (a) Análise do movimento no trecho CD. 2 0 1 2 y y vt at 21 ( ) 2 D C D CD CDy y v t g t 2 151 (0,15 m) 0 2 2 At g yD y = yA G = 0 a = -g y 15 cm mais altos 15 cm mais baixosA B C D E F G y yC E= y yB F=
  • 23. Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES ________________________________________________________________________________________________________ Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 a Ed. - LTC - 1996. Cap. 2 – Movimento Unidimensional 23 15 2 8(0,15 m) 0,3497... s (9,81 m/s ) At 15 0,35 sAt (b) Análise do movimento no trecho AB. 2 0 0 1 2 y y v t at 21 ( ) 2 B A A AB ABy y v t g t 2 15 151 (0,15 m) 2 2 2 B B A t t v g 2 15 15 (9,81 m/s ) (3,8615022... m/s) (0,15 m) 0 8 2 B Bt t (1) A Eq. (1) é uma equação do segundo grau cujas raízes são: 15 15 ' 1,492560... s '' 0,081955... s B B t t Como t15B deve ser menor do que t15A: 15 0,082 sBt 64. O laboratório de pesquisa da gravidade nula do Centro de Pesquisa Lewis da NASA (EUA) tem uma torre de queda de 145 m. Trata-se de um dispositivo vertical onde se fez vácuo e que, entre outras possibilidades, permite estudar a queda de uma esfera com diâmetro de 1 m, que contém equipamentos. (a) Qual o tempo de queda do equipamento? Qual sua velocidade ao pé da torre? (c) Ao pé da torre a esfera tem uma aceleração média de 25 g quando sua velocidade é reduzida a zero. Que distância ela percorre até parar? (Pág. 32) Solução. (a) Considere o seguinte esquema da situação: Acel. Desacel. y2 y0 = 0 y1 = 145 m g y
  • 24. Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES ________________________________________________________________________________________________________ Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 a Ed. - LTC - 1996. Cap. 2 – Movimento Unidimensional 24 Trata-se de movimento retilíneo (vertical) com aceleração constante. O cálculo do tempo de queda livre pode ser feito através da Eq. (1). De acordo com o esquema, a aceleração da gravidade tem o mesmo sentido do referencial adotado e, portanto, possui sinal positivo. 2 1001 2 1 tatvyy yy (1) Como v0y = 0: 1 0 1 2( ) y y y t a 1 0 1 2( )y y t g 1 2 2[(145 m) 0) 5,43706 s (9,81 m/s ) t s44,51t (b) O cálculo da velocidade de chegada da esfera à base da torre também é direto. 101 tavv yyy 2 1 0 (9,81 m/s )(5,43706 s) 53,337604 m/syv m/s3,531yv (c) A desaceleração ocorre entre as posições y1 e y2. )(2 1 2 1 2 2 yyavv yyyy 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 0 (53,337604 m/s) 5,8 m 2 2 25 2 (25 9,81 m/s ) y y y y y v v v v y a g 5,8 my Obs.: O diâmetro da esfera não tem utilidade na resolução dos itens pedidos. Ele só foi dado para ilustrar a situação. 70. Um balão está subindo a 12,4 m/s à altura de 81,3 m acima do solo quando larga um pacote. (a) Qual a velocidade do pacote ao atingir o solo? (b) Quanto tempo ele leva para chegar ao solo? (Pág. 32) Solução. O balão desloca-se em movimento retilíneo para cima, com velocidade constante. Considere o esquema abaixo para a resolução do problema. Como o balão está em movimento, a velocidade inicial do pacote é a mesma do balão.
  • 25. Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES ________________________________________________________________________________________________________ Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 a Ed. - LTC - 1996. Cap. 2 – Movimento Unidimensional 25 y = h0 y = 0 a = -g v =0 vBy (a) A velocidade (v) do pacote ao atingir o chão pode ser calculada da seguinte forma: 2 2 0 02 ( )v v a y y 2 2 2( )(0 )Bv v g h 2 2 2Bv v gh 2 2 2 (12,4 m/s) 2(9,81 m/s )(81,3 m)v 41,819445... mv 41,8 mv (a) O tempo (t) gasto para o pacote atingir o chão pode ser calculado da seguinte forma: 0 0 1 ( ) 2 y y v v t 1 0 ( ) 2 Bh v v t 2 B h t v v 2(81,3 m) 5,5269567... s (12,4 m/s) (41,819445... m/s) t 5,53 st 73. No Laboratório Nacional de Física da Inglaterra (o equivalente ao nosso Instituto Nacional de Pesos e Medidas) foi realizada uma medição de g atirando verticalmente para cima uma bola de vidro em um tubo sem ar e deixando-a retornar. A Fig. 35 é o gráfico da altura da bola em função do tempo. Seja tL o intervalo de tempo entre duas passagens consecutivas da bola pelo nível inferior, tU o intervalo de tempo entre duas passagens consecutivas pelo nível superior e H a distância entre os dois níveis. Prove que 2 2 8 L U H g t t .
  • 26. Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES ________________________________________________________________________________________________________ Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 a Ed. - LTC - 1996. Cap. 2 – Movimento Unidimensional 26 (Pág. 32) Solução. Considere o seguinte esquema para a resolução do problema. A B C yA 0 y yB yC Movimento do ponto A ao ponto C é dado por: 2 0 1 2 y y vt at 21 ( ) 2 C A Cy y v t g t No ponto C a velocidade da bola (vC) é zero. 2 1 0 2 2 L C A t y y g 21 8 C A Ly y g t (1) De maneira idêntica, o movimento do ponto B ao ponto C é dado por: 21 8 C B Uy y g t (2) Subtraindo-se (2) de (1): 2 21 ( ) ( ) ( ) 8 C A C B B A L Uy y y y y y H g t t Portanto: 2 2 8 L U H g t t 74. Uma bola de aço de rolamento é largada do teto de um edifício com velocidade inicial nula. Um observador em pé diante de uma janela com 120 cm de altura nota que a bola gasta 0,125 s para ir do topo da janela ao parapeito. A bola continua a cair, chocando-se elasticamente com uma
  • 27. Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES ________________________________________________________________________________________________________ Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 a Ed. - LTC - 1996. Cap. 2 – Movimento Unidimensional 27 calçada horizontal e reaparece no parapeito da janela 2,0 s após passar por ela ao descer. Qual a altura do edifício? (Após uma colisão elástica, a velocidade escalar da bola em dado ponto é a mesma ao subir e ao descer.) (Pág. 33) Solução. Considere o seguinte esquema da situação: Vamos analisar o movimento de queda livre da esfera entre os pontos 0 (topo do edifício) e 2 (parapeito da janela): 2 2 0 02v v a y y 2 2 2 0 22v v g y H 2 2 20 2v g y H 2 2 2 2 v H y g (1) Agora vamos analisar o movimento da esfera entre os pontos 1 (topo da janela) e 2 (parapeito da janela): 2 0 1 2 y y vt at 2 2 1 2 2 2 1 2 y y v t g t 2 2 2 2 1 2 h v t g t 2 2 2 2 1,20 m1 1 m 9,81 0,125 s 2 0,125 s 2 s h v g t t 2 10,213125 m/sv y1 v0 = 0 y y2 = y4 a j= g y = H0 H h y =3 0 v1 v2 v3 v3 v4 = v3 t1 t3 t2
  • 28. Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES ________________________________________________________________________________________________________ Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 a Ed. - LTC - 1996. Cap. 2 – Movimento Unidimensional 28 Finalmente, vamos analisar o movimento da esfera entre os pontos 2 (parapeito da janela) e 3 (solo). Note que o tempo requerido para a esfera ir do parapeito ao solo e retornar ao parapeito é de 2,0 s. Logo, o tempo para ir do parapeito ao solo é de t3 = 1,0 s. 2 0 0 1 2 y y v t at 2 3 2 2 3 3 1 2 y y v t g t 2 2 2 3 3 1 0 2 y v t g t 2 22 2 3 2 3 2 1 1 m 9,81 1,0 s 10,213125 m/s 1,0 s 2 2 s y g t v t 2 15,118125 my Substituindo-se os valores de v2 e y2 em (1), teremos a resposta do problema: 2 2 10,213125 m/s 15,118125 m 20,434532 m 2 9,81 m/s H 20 mH 75. Um cachorro avista um pote de flores passar subindo e a seguir descendo por uma janela com 1,1 m de altura. O tempo total durante o qual o pote é visto é de 0,74 s. Determine a altura alcançada pelo pote acima do topo da janela. (Pág. 33) Solução. O tempo no qual o vaso é visto subindo (tS) é igual ao tempo no qual ele é visto descendo (tD). Portanto: 2S D St t t t 0,34 s 2 S t t Considere o esquema abaixo para a resolução do problema. y1 y =0 0 y y2 a = -g Cálculo da velocidade do vaso na coordenada y1 (v1):
  • 29. Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES ________________________________________________________________________________________________________ Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 a Ed. - LTC - 1996. Cap. 2 – Movimento Unidimensional 29 2 0 1 2 y y vt at 2 1 0 1 1 ( ) 2 S Sy y v t g t 2 1 0 1 1 2 S S y y gt v t 2 2 1 1 (1,1 m) 0 (9,81 m/s )(0,37 s) 2 (0,37 s) v 1 1,15812297... m/sv Cálculo da distância acima da janela atingida pelo vaso (y2 y1): 2 2 0 02 ( )v v a y y 2 2 2 1 2 12( )( )v v g y y 2 2 1 2 2 1 2 v v y y g 2 2 1 2 (1,15812297... m/s) 0 0,068361... m 2(9,81 m/s ) y y 2 1 6,8 cmy y