O documento discute funções pares e ímpares, definindo-as formalmente e fornecendo exemplos. Também apresenta propriedades da soma e do produto dessas funções, e como a paridade ou imparidade de uma função afeta sua série de Fourier.

1. Fabiano J. Santos
18
4.1. Funções Pares
Definição: uma função RRf : é dita par se
)()( tftf  , (1)
para todo t (evidentemente a definição implica que se t pertence ao domínio de f , então t
também pertence). Geometricamente o gráfico de uma função par é simétrico com relação ao eixo
y:
Figura 01 – Função Par
Observe que )()( afaf  , )()( bfbf  , etc.
Exemplos de funções pares são: n
t2
, || t , cte (função constante), )()cos( Rkkt  , etc.
4.2. Funções Ímpares
Definição: uma função RRf : é dita ímpar se
)()( tftf  , (2)
para todo t (evidentemente a definição implica que se t pertence ao domínio de f , então t
também pertence). Geometricamente o gráfico de uma função ímpar é anti-simétrico com relação ao
eixo y:

2. Capítulo 04
19
Figura 01 – Função Ímpar
Observe que )()( afaf  e )()( bfbf  .
Exemplos de funções ímpares são 12 n
t , )()sen( Rkkt  , etc.
Observações:
i) a única função que é par e ímpar ao mesmo tempo é a função identicamente nula
0)( tf , ou seja, a função cuja imagem é zero para todo o domínio;
ii) pela definição (2), se f é uma função ímpar que contenha 0 (zero) no domínio, então
obrigatoriamente teremos 0)0( f ;
iii) a grande maioria das funções que ocorrem não são nem pares nem ímpares. Estamos
particularmente interessados em tais funções pois suas expansões em séries de Fourier aparecem na
resolução de equações diferenciais parcias importantes da Engenharia.
4.3. Propriedades da Soma e do Produto das Funções Pares e Ímpares
A soma e o produto das funções pares e ímpares possuem propriedades importantes, as quais
listaremos abaixo. Tais propriedades são, em certo sentido, análogas às regras de sinais que já
conhecemos para números reais (o produto de dois números negativos é positivo, o produto de um
número positivo e um número negativo é negativo, etc).
(S1) A soma (diferença) de duas funções pares é par.
(S2) A soma (diferença) de duas funções ímpares é ímpar.
(S3) A soma (diferença) de uma função par e uma ímpar não é par nem ímpar.

3. Fabiano J. Santos
20
(P1) O produto (quociente) de duas funções pares é par.
(P2) O produto (quociente) de duas funções ímpares é par.
(P3) O produto (quociente) de uma função par e uma ímpar é ímpar
As provas são bastante simples. Provaremos (P2) e deixaremos as demais como exercício:
Prova de (P2): sejam 1f e 2f duas funções ímpares.
i) Defina o produto )()()( 21 tftftF  , logo temos:
)()()()]()][([)()()( 212121 tFtftftftftftftF  .
ii) Defina o quociente 0)(,
)(
)(
)( 2
2
1
 tfcom
tf
tf
tF , logo temos:
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
2
1
2
1
2
1
tF
tf
tf
tf
tf
tf
tf
tF 






Proposição 01: se f é uma função par integrável no intervalo ],[ aa então



aa
a
dttfdttf
0
)(2)( ,
(3)
Prova: geometricamente a proposição é óbvia, uma vez que sendo f par, a área sob a
curva no intervalo ]0,[ a é igual à área sob a curva no intervalo ],0[ a (veja Figura 01).
Formalmente temos:
 

a
a
a
a
dttfdttfdttf
0
0
)()()( ,
fazendo st  na primeira integral do membro direito, temos dsdt  , e podemos escrever
 

aaaaaa
a
a
a
dttfdttfdssfdttfdssfdttfdssfdttfdttf
000000
0
0
0
)(2)()()()()()()()(

4. Capítulo 04
21
Proposição 02: se f é uma função ímpar integrável no intervalo ],[ aa então
0)( 

a
a
dttf ,
(3)
Prova: geometricamente a proposição é óbvia, uma vez que sendo f ímpar a área sob a
curva no intervalo ]0,[ a é igual à área sob a curva no intervalo ],0[ a , porém com sinais
contrários (veja Figura 02). Formalmente temos:
 

a
a
a
a
dttfdttfdttf
0
0
)()()( ,
fazendo st  na primeira integral do membro direito, temos dsdt  , e podemos escrever
0)()()()()()()()(
00000
0
0
0
 

aaaaa
a
a
a
dttfdssfdttfdssfdttfdssfdttfdttf
Proposição 03: a série de Fourier de uma função par é uma série de cossenos.
Prova: seja f uma função par, então os coeficientes de Euler-Fourier tornam-se:
i)  

LL
L
dttf
L
dttf
L
a
0
0 )(
1
)(
2
1
, (proposição 01).
ii)  













LL
L
n dt
L
tn
tf
T
dt
L
tn
tf
L
a
0
cos)(
2
cos)(
1 
, (P1 e proposição 01) .
iii) 0sen)(
1






 

L
L
n dt
L
tn
tf
L
b

, (P3 e proposição 02).
Assim temos que a série de Fourier de uma função f , par e periódica de período LT 2 ,
é:

5. Fabiano J. Santos
22










1
0 cos)(
n
n
L
tn
aatf

, (4)
onde

L
dttf
L
a
0
0 )(
1
e
 






L
n dt
L
tn
tf
L
a
0
cos)(
2 
.
(5a)
(5b)
Exemplo 01: dada função 2
)( ttf  , 22  t , periódica com )2(4  LT , temos:
3
4
0 a e )cos(
16
22


n
n
an 
logo
        















1
222
3
2
1
2 2
cos
16
3
4
...2cos
16
1
cos
9
1
cos
4
1
cos
16
3
4
)(
k
tk
k
tttttf




,
ou seja, como f é par, seu desenvolvimento em série de Fourier é uma série de cossenos.
Proposição 04: a série de Fourier de uma função ímpar é uma série de senos.
Prova: seja f uma função ímpar, então os coeficientes de Euler-Fourier tornam-se:

6. Capítulo 04
23
i) 0)(
2
1
0  

L
L
dttf
L
a , (proposição 02).
ii) 0cos)(
1






 

L
L
n dt
L
tn
tf
L
a

, (P3 e proposição 02) .
iii)  













LL
L
n dt
L
tn
tf
L
dt
L
tn
tf
L
b
0
sen)(
2
sen)(
1 
, (P2 e proposição 01).
Assim temos que a série de Fourier de uma função f , ímpar e periódica de período
LT 2 , é:










1
sen)(
n
n
L
tn
btf

, (6)
onde
 






L
n dt
L
tn
tf
L
b
0
sen)(
2 
. (7)
Exemplo 02: dada função 3
)( ttf  , 11  t , periódica com )1(2  LT , temos:
    

nnn
n
bn cos2cos12
1 22
33


7. Fabiano J. Santos
24
logo
        ...4sen)(3sen)(2sen)(sen)122(
1
)( 16
32
2
1
9
42
3
2
2
322
3
 tttttf 

ou seja, como f é ímpar, seu desenvolvimento em série de Fourier é uma série de senos.
Problemas
1. Verifique os cálculos do exemplo 01.
2. Verifique os cálculos do exemplo 02.
3. Determine se as seguintes funções são pares, ímpares ou nenhum dos dois:
a) 3
x b) xx 23
 c) 123
 xx
d) )2( xtg e) )sec(x f) 3
|| x
g) x
e
h) |))sen(ln(| x i) 43
)2( xx 
4. Usando as propriedades das funções pares e ímpares avalie as seguintes integrais:
a) 

1
1
xdx b) 

1
1
4
dxx c) 



dxnxx )sen(
d) 

2
2
)
2
cos()
2
sen(
T
T
dx
T
xn
T
xn 
e) 



dxnxx )sen(4
f) 



dxnxx )cos(
Nos problemas a seguir encontre a série de Fourier pedida para a função dada. Esquematize o
gráfico da função para a qual a série converge utilizando 3 períodos.
5.






 4,sencos;
21,0
10,1
)( Tosdesérie
x
x
xf
6.






 4,sen;
21,1
10,
)( Tosdesérie
x
xx
xf
7. 2,sen;10,)(  Tosdesériexxxf

8. Capítulo 04
25
8. 2,cos;10,)(  Tenosdesériexxxf