Este documento apresenta os principais tópicos sobre cálculo diferencial e integral, incluindo integrais imediatas, mudança de variáveis, regras de integração e aplicações em coordenadas polares e cartesianas.

1. CÁLCULO DIFERENCIAL
E INTEGRAL II
2020-01
Bruna Amin Gonçalves
bruna.goncalves@anhanguera.com

2. As integrais imediatas
1) 𝑘𝑑𝑥 = 𝑘𝑥 + 𝑐
2) 𝑥𝑛𝑑𝑥 =
𝑥𝑛+1
𝑛 + 1
+ 𝑐 com 𝑛 ≠ −1
3)
1
𝑥
𝑑𝑥 = ln 𝑥 + 𝑐
4) 𝑒𝑥
𝑑𝑥 = 𝑒𝑥
+ 𝑐
5) 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = −𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑐
6) 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑐
7) sec2
𝑥 𝑑𝑥 = 𝑡𝑔𝑥 + 𝑐
8) sec 𝑥 𝑡𝑔 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑐𝑥 + 𝑐
9) 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐𝒙 𝑐𝑜𝑡𝑔𝒙 𝑑𝑥 = −𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝑥 + 𝑐
10) (𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝑥)2
𝑑𝑥 = −𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥 + 𝑐
11) ln 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 ln 𝑥 − 𝑥 + 𝑐

3. Mudança de variáveis – Método da Substituição
𝑓 𝑢(𝑥) ∙ 𝑢′(𝑥) 𝑑x = 𝑓 𝑢 𝑑𝑢
PASSOS
1- DEFINIR U
2- DERIVAR U EM RELAÇÃO A X :
𝑑𝑈
𝑑𝑋
3- Isolar dX

4. EXEMPLO (1) :Resolva
𝑥𝑐𝑜𝑠 𝑥2 𝑑𝑥 =

5. EXEMPLO (2) :Resolva
𝑥3
+ 4 10
(3𝑥2
)𝑑𝑥 =

6. EXEMPLO (3) :Resolva
2𝑥 2 − 3𝑥2𝑑𝑥 =

7. 2𝑥 2 − 3𝑥3𝑑𝑥 =
NÃO É POSSÍVEL
EXEMPLO (4) :Resolva

8. EXEMPLO (5) :Resolva
𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑑𝑥 =

9. Consequência
Seja n um número real
𝑠𝑒𝑛 (𝑛𝑥) 𝑑𝑥 = −
1
𝑛
cos(𝑛𝑥) + 𝑐
Seja n um número real
𝑐𝑜𝑠 (𝑛𝑥) 𝑑𝑥 =
1
𝑛
sen(𝑛𝑥) + 𝑐
Seja n um número real
𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 =
1
𝑛
𝑒𝑛𝑥 + 𝐶
𝑠𝑒𝑛 3𝑥 𝑑𝑥 = −
1
3
cos 3x + 𝐶
cos 8𝑥 𝑑𝑥 =
1
8
sen 8x + 𝐶
𝑒 3𝑥 𝑑𝑥
=
1
3
𝑒3𝑥
+ 𝐶

10. REGRA LIATE ---(L- funções logarítmicas, I- funções inversas, A- funções ALGEBRICAS , T- funções trigonométricas, E- funções exponencial )
𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − 𝑣 𝑑𝑢

11. EXEMPLO (6) :Resolva
𝑥𝑒𝑥
𝑑𝑥 =
LIATE

12. EXEMPLO (7) :Resolva
𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥𝑑𝑥 =
LIATE

13. EXEMPLO (8) :Resolva
𝑥 + 3 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 =

14. EXEMPLO (9) :Resolva
𝑥 ln 𝑥 𝑑𝑥 =
LIATE

15. Situação Problema (1): Um objeto inicialmente em
repouso acelera a uma taxa de a(t) = tsent
(metros/segundo) . Qual é sua velocidade após 
segundos?

16. Situação Problema (2) A base do
leito de um córrego será cimentada
conforme desenho abaixo. Se forem
utilizadas as curvas 𝑦 =
1
3
1+2𝑥 2
, 𝑥 = 0 e
𝑥 = 13 . O valor da área cimentada em
unidades de área ao quadrado é?
𝑦 =
1
3
1 + 2𝑥 2
A= 0
13 1
3
1+2𝑥 2
𝑑𝑥 = 0
13
1 + 2𝑥 −
2
3𝑑𝑥

17. Em coordenadas polares
cos 𝜃 =
𝑥
𝑟
sen 𝜃 =
𝑦
𝑟

19. Exemplo (9): Considere o ponto Q (1,
𝜋
4
) em coordenadas polares.
Como se escreve esse ponto em coordenadas retangulares?
𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑦 = 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2

20. Exemplo (10): Considere o ponto Q (0,3) em coordenadas
retangulares. Como se escreve esse ponto em coordenadas
polares?
𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑦 = 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2

21. Aplicação (3) A decolagem do avião é um dos momentos mais críticos do
voo, por exigir maior potência dos motores e cuidados extras com a
tripulação e passageiros. Para que o avião atinja a altitude desejada num
determinado tempo, deve-se seguir uma trajetória pré determinada como
mostra a Figura 2.21. Observa-se que a posição do ponto B foi fornecida
ao piloto do avião em coordenadas cartesianas, sendo B (10;7), mas é
necessário que essa coordenada seja polar. O que você fará para
converter?
𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑦 = 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2