I. As proposições I, III e IV são corretas. II. O documento fornece exercícios sobre funções trigonométricas com respostas de múltipla escolha. III. As questões abordam conceitos como período, domínio, gráficos e equações envolvendo funções seno, cosseno e tangente.

1. APOSTILA DE EXERCÍCIOS
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

2. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
1
01. (Acafe 2014) Sobre funções trigonométricas, analise as proposições abaixo.
l. A expressão senx 2m 3
= − é verdadeira, com x pertence ao 3º Q se, e somente se, m pertencer ao intervalo
3
1, .
2
 
 
 
II. A soma dos valores máximo e mínimo da função 2
1
f(x) 1 cos x
3
= + é
7
.
3
III. Sendo cossec x 1,333 ,
=  com x pertence ao 2º Q, então, cotgx vale
7
.
3
lV. Sendo f(x) 1 tg 2x ,
6
π
 
=
+ +
 
 
então, o período e o domínio da função f, valem, respectivamente,
2
π
e
�𝑥𝑥 ∈ ℝ|𝑥𝑥 ≠
𝜋𝜋
6
+
𝑘𝑘𝑘𝑘
2
, 𝑘𝑘 ∈ ℤ�.
Todas as afirmações corretas estão em
a) I - II - III
b) II - III - IV
c) I - III - IV
d) I - II - IV
02. (Esc. Naval 2014) Sejam A a matriz quadrada de ordem 2 definida por
2cos 2x cos(x )
A 2
cosx 1
π
π
 
 
− +
 
 
=  
 
 
 
e f a
função real de variável real tal que ( )
t
f(x) det A A ,
= + onde t
A representa a matriz transposta de A. O gráfico que
melhor representa a função y f(x)
= no intervalo x
π π
− ≤ ≤ é
a)
b)
c)
d)
e)

3. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
2
03. (Epcar 2014) Sejam f e g funções reais dadas por
sen2x
f(x)
cosx
= e g(x) 2,
= cada uma definida no seu domínio
mais amplo possível. Analise as informações abaixo.
I. O conjunto solução da equação f(x) g(x)
= contém infinitos elementos.
II. No intervalo
3 5
, ,
4 4
π π
 
 
 
a função f é crescente.
III. O período da função f é p .
π
=
Sobre as afirmações é correto afirmar que
a) apenas III é verdadeira.
b) apenas I e II são verdadeiras.
c) todas são falsas.
d) apenas II e III são verdadeiras.
04. (Acafe 2014) Com o objetivo de auxiliar os maricultores a aumentar a produção de ostras e mexilhões, um
engenheiro de aquicultura fez um estudo sobre a temperatura da água na região do sul da ilha, em Florianópolis. Para
isso, efetuou medições durante três dias consecutivos, em intervalos de 1 hora. As medições iniciaram às 5 horas da
manhã do primeiro dia (t 0)
= e os dados foram representados pela função periódica
t
T(t) 24 3cos ,
6 3
π π
 
=
+ +
 
 
em
que t indica o tempo (em horas) decorrido após o início da medição e T(t), a temperatura (em C)
° no instante t. O
período da função, o valor da temperatura máxima e o horário em que ocorreu essa temperatura no primeiro dia de
observação valem, respectivamente
a) 6 h, 25,5 C
° e 10 h.
b) 12 h, 27 C
° e 10 h.
c) 12 h, 27 C
° e 15 h.
d) 6 h, 25,5 C
° e 15 h.
05. (Ime 2014) Seja 𝑓𝑓: ℝ → ℝ uma função real definida por 2
f(x) x x.
π
= − Sejam também a, b, c e d números reais
tais que: 1 1
a sen ;
3
−  
=  
 
1 5
b tan ;
4
−  
=  
 
1 1
c cos
3
−  
= −
 
 
e 1 5
d cotg .
4
−  
= −
 
 
A relação de ordem, no conjunto dos reais,
entre as imagens f(a), f(b), f(c) e f(d) é
a) f(b) f(a) f(d) f(c)
> > >
b) f(d) f(a) f(c) f(b)
> > >
c) f(d) f(a) f(b) f(c)
> > >
d) f(a) f(d) f(b) f(c)
> > >
e) f(a) f(b) f(d) f(c)
> > >

4. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
3
06. (Esc. Naval 2013) Para que valores de m vale a igualdade 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 =
𝑚𝑚−1
𝑚𝑚−2
, 𝑥𝑥 ∈ ℝ?
a) m 2
<
b)
3
m
2
≤
c)
3
m
2
≤ ou m 2
≥
d)
5
m
2
≤ e m 2
≠
e)
7
m
2
≤ e m 2
≠
07. (Epcar 2013) Sejam as funções reais f, g e h definidas por ( ) sen x cos x
f x ,
cossec x sec x
= + ( )
g x sec x
= e
( )
h x cossec x ,
= nos seus domínios mais amplos contidos no intervalo [ ]
0,2 .
π
A(s) quantidade(s) de interseção(ões) dos gráficos de f e g; f e h; g e h é(são), respectivamente
a) 0, 0 e 4
b) 3, 1 e 4
c) 2, 3 e 4
d) 0, 2 e 3
08. (Epcar 2013) Uma piscina com ondas artificiais foi programada de modo que a altura da onda varie com o tempo
de acordo com o modelo ( )
x x x
f x 3 sen sen sen
2 4 4 2
π π π π
     
= +
     
     
em que ( )
y f x
= é a altura da onda, em metros, e
x o tempo, em minutos.
Dentre as alternativas que seguem, assinale a única cuja conclusão NÃO condiz com o modelo proposto.
a) A altura de uma onda nunca atinge 2 metros.
b) Entre o momento de detecção de uma crista (altura máxima de uma onda) e o de outra seguinte, passam-se 2
minutos.
c) De zero a 4 minutos, podem ser observadas mais de duas cristas.
d) As alturas das ondas observadas com 30, 90, 150,... segundos são sempre iguais.
09. (Esc. Naval 2013) Considerando a função f(x) cosx,
= 0 x ,
π
≤ ≤ é inversível, o valor de
2
tg arccos
5
 
 
 
é
a)
21
5
−
b)
4
25
−
c)
21
2
−
d)
21
25
e)
21
2

5. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
4
10. (Epcar 2012) Considere A o conjunto mais amplo possível na função real 𝑓𝑓: 𝐴𝐴 → ℝ, dada por
( )
senx cosx
f x .
cossec x sec x
= + Sobre a função f é correto afirmar que
a) 𝐴𝐴 = �𝑥𝑥 ∈ ℝ | 𝑥𝑥 ≠
𝑘𝑘𝑘𝑘
2
, 𝑘𝑘 ∈ ℤ�.
b) é periódica com período igual a .
π
c) é decrescente se 𝑥𝑥 ∈ �𝑥𝑥 ∈ ℝ |
𝜋𝜋
2
+ 2𝑘𝑘𝑘𝑘 < 𝑥𝑥 < 𝜋𝜋 + 2𝑘𝑘𝑘𝑘, 𝑘𝑘 ∈ ℤ�.
d) é ímpar.
11. (Espcex (Aman) 2012) A função real f(x) está representada no gráfico abaixo.
A expressão algébrica de f(x) é
a) ( )


= 
≥


- senx , se x < 0
f x
cosx , se x 0
b) ( )


= 
≥


cosx , se x < 0
f x
senx , se x 0
c) ( )


= 
≥


- cosx , se x < 0
f x
senx , se x 0
d) ( )


= 
≥


senx , se x < 0
f x
cosx , se x 0
e) ( )
−

= 
≥

senx, se x < 0
f x
cosx, se x 0
12. (Esc. Naval 2013) A soma das soluções da equação trigonométrica cos3x cos2x cosx 1
− + =
no intervalo [ ]
0,2 ,
π
é
a) 8π
b) 6π
c)
8
3
π
d) 5π
e)
5
2
π

6. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
5
13. (Ime 2012) Seja
3
arcsenx arcseny arcsenz ,
2
π
+ + =
onde x, y e z são números reais pertencentes ao intervalo
[–1,1]. Determine o valor de 100 100 100
101 101 101
9
x y z .
x y z
+ + −
+ +
a) –2
b) –1
c) 0
d) 1
e) 2
14. (Ita 2012) Seja 𝑆𝑆 = �𝑥𝑥 ∈ ℝ|𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 sen �
𝑒𝑒−𝑥𝑥−𝑒𝑒𝑥𝑥
2
� + 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 �
𝑒𝑒𝑥𝑥−𝑒𝑒−𝑥𝑥
2
� =
𝜋𝜋
2
�. Então
a) S = ∅
b) { }
S 0
=
c) { }
S 0
+
= 
d) 𝑆𝑆 = ℝ+
e) 𝑆𝑆 = ℝ
15. (Ime 2011) O valor de x que satisfaz a equação sen(arccotg(1 + x)) = cos(arctg(x))
a)
3
2
b)
1
2
c)
1
4
d)
1
2
−
e)
3
2
−
16. (Ita 2010) A equação em x, arctg (ex
+ 2) – arccotg }
{0
R
x
,
4
π
1
e
e
2x
x
∈
=








−
a) admite infinitas soluções, todas positivas.
b) admite uma única solução, e esta é positiva.
c) admite três soluções que se encontram no intervalo
5 3
, .
2 2
 
−
 
 
d) admite apenas soluções negativas.
e) não admite solução.
17. (Ita 1997) Seja S o conjunto de todas as soluções reais da equação x
x
1 5
sec arctg arctg (1 e ) .
2
1 e
 
− − =
 
+
 
Então
a) S = ∅
b) 𝑆𝑆 = ℝ
c) S [1, 2]
⊂
d) S [ 1,1]
⊂ −
e) S [ 1, 2[
= −

7. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
6
18. (Ita 1995) Seja a função 𝑓𝑓: ℝ → ℝ definida por:
a x se x
2 2
f(x)
a
senx se x
2 x 2
π π
π π
  
+ <
  
  
= 
 − ≥


, onde a 0
> é uma constante.
Considere 𝐾𝐾 = {𝑦𝑦 ∈ ℝ; 𝑓𝑓(𝑦𝑦) = 0}. Qual o valor de a, sabendo-se que f( 2) K?
π ∈
a)
4
π
b)
2
π
c) π
d)
2
2
π
e) 2
π
19. (Ita 2008) O conjunto imagem e o período de f(x) = 2 sen2
(3x) + sen (6x) - 1 são, respectivamente,
a) [-3, 3] e 2ð
b) [ -2, 2] e 2ð/3
d) [ -1, 3] e ð/3
e) [ -1, 3] e 2ð/3
GABARITO
1 - D 2 - D 3 - A 4 - C 5 - D
6 - B 7 - A 8 - C 9 - E 10 - A
11 - A 12 - B 13 - C 14 - B 15 - D
16 - B 17 - D 18 - D 19 - C