1. Velocidade Média
Como já foi dito acima, o movimento do centro de massa do volante pode ser
representado pela tabela que relaciona suas posições aos instantes de tempo e
também pelo gráfico posição x tempo. Agora vamos discutir uma outra representação,
esta baseada em expressões matemáticas. Para início de conversa vamos definir
velocidade média.
Se o volante ocupa a posição x1 no instante de tempo t1 e a posição x2 no
instante de tempo t2, definimos o vetor velocidade média do volante entre os instantes
t1 e t2 como:
v( t 1, t 2 ) =
x 2 − x1
t 2 − t1
Escrevendo ∆x = x2 − x1 para o vetor deslocamento e ∆t = t2 − t1 para o
correspondente intervalo de tempo, a expressão acima fica:
v( t 1 , t 2 ) =
∆x
∆t
Em palavras: a velocidade média num certo intervalo de tempo é o cociente do
deslocamento pelo intervalo de tempo levado para percorrê-lo. Como o deslocamento
é um vetor, a velocidade média também é um vetor. Ainda, a notação matemática
v(t1,t2) enfatiza que a velocidade média é função de dois instantes de tempo.
Conclusão
A partir da Fig.10 concluímos que, para calcular o módulo da velocidade média
entre os instantes de tempo t1 e t2, podemos seguir os seguintes passos:
• Marcamos, no gráfico, os pontos correspondentes aos instantes de tempo
dados. Como A e B na figura acima.
• Traçamos um segmento de reta secante ao gráfico unindo os pontos
marcados.
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2. • Construímos um triângulo retângulo tendo esse segmento de reta secante
como hipotenusa. Como o triângulo ABC na figura acima.
• Estabelecemos, pela observação direta do desenho, os valores de ∆x e ∆t.
• Calculamos o cociente de ∆x por ∆t e o resultado é o módulo da velocidade
média entre os instantes de tempo considerados.
Trigonometria
Num triângulo retângulo, o lado oposto ao ângulo reto é chamado de
hipotenusa. Os outros dois lados são chamados de catetos. Na Fig.10, o triângulo
ABC é um triângulo retângulo, com ângulo reto em C. O segmento AB é a hipotenusa,
o segmento BC é o cateto oposto ao ângulo α e o segmento CA é o cateto adjacente
ao ângulo α.
A partir de um triângulo retângulo podemos definir as funções seno, cosseno e
tangente. Assim, para o triângulo ABC temos, respectivamente:
sen α =
BC
AB
cos α =
AC
AB
e
tg α =
BC
AC
Sendo assim, o módulo da velocidade média pode ser escrito:
v(t1,t2) = tg α
Exemplo 1
Com relação ao movimento do centro de massa do volante que estamos
estudando, consideremos os instantes de tempo t1 = 3 s e t2 = 8 s. A esses instantes
de tempo correspondem, respectivamente, as posições x1 ≈ 10,0 cm e x2 ≈ 70,0 cm.
Essas posições são determinadas a partir do gráfico posição x tempo (Fig.10). O
módulo da velocidade média do volante nesse intervalo de tempo é:
v(3s,8s) ≈
70,0 m − 10,0 m
≈ 12,0 cm / s
8,00 s − 3,00 s
Assim, a velocidade média do centro de massa do volante entre 3,00 s e 8,00 s
tem módulo de 12,0 cm/s. Em outras palavras, para cada segundo, o centro de massa
percorre, em termos médios, doze centímetros. Como o resultado é positivo, o sentido
do vetor velocidade média é o mesmo que o do eixo X escolhido. A direção é,
certamente, aquela do eixo X.
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3. Exemplo 2
Consideremos outro movimento do centro de massa do volante. O volante é
posto sobre a calha e impulsionado para cima. O seu centro de massa passa, por
exemplo, pela posição x1 = 100 cm em t1 = 1s, alcança a posição x2 = 50 cm em t2 = 4s
(onde atinge o repouso) e, retornando, passa pela posição x3 = 80 cm em t3 = 9s. O
módulo da velocidade média do volante no intervalo de tempo que vai desde t1 = 1s
até t3 = 9s é:
v(1s,9s) =
80 cm − 100 cm
= − 2,5 cm / s
9 s − 1s
O sinal negativo indica que o sentido do vetor velocidade média no intervalo de
tempo considerado é oposto ao sentido do eixo X escolhido. A direção é, certamente,
aquela do eixo X.
Velocidade Escalar Média
Podemos definir também a velocidade escalar média (vE) como o quociente da
distância percorrida pelo intervalo de tempo levado para percorrê-la.
No caso do exemplo 1 acima, a velocidade escalar média tem o mesmo valor
que o módulo da velocidade média. No caso do exemplo 2 acima, o mesmo não
acontece porque:
vE =
50 cm + 30 cm
= 10 cm / s
9 s − 1s
Pela definição dada deve ficar claro que a velocidade escalar média é, como o
próprio nome já indica, um escalar. E mais, um escalar positivo, de modo que essa
velocidade não pode incorporar o sentido do movimento do móvel.
Por esses e outros motivos, o conceito de velocidade escalar média é pouco
relevante para a Física. Mas para o leigo, no uso cotidiano, esse é o conceito de
velocidade mais interessante. Por exemplo, para avaliar a velocidade média de um
automóvel numa viagem de uma cidade a outra, o motorista pode dividir a distância
percorrida, que é indicada pelo odômetro do automóvel, pelo tempo de viagem.
Exercício 1
Um atleta corre por uma estrada retilínea. Num referencial fixo na estrada, ele
se movimenta com velocidade de módulo 5 m/s durante 40 s e, em seguida, com
velocidade de módulo 4 m/s durante 60 s. (a) Construa o gráfico da posição do atleta
em função do tempo. (b) Calcule a sua velocidade escalar média nos 100 s
considerados.
Exercício 2
Um ciclista pretende percorrer 1060 m de uma estrada retilínea em 100 s. Num
referencial fixo na estrada, ele percorre os primeiros 400 m com velocidade de módulo
8 m/s e os 200 m seguintes com velocidade de módulo 10 m/s. Calcule o módulo da
velocidade que ele deve ter no trecho restante para que consiga completar o percurso
no tempo previsto.
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4. Exercício 3
Faça o gráfico da posição em função do tempo e o gráfico do módulo da
velocidade em função do tempo para o movimento do ciclista mencionado no exercício
anterior.
Exercício 4
Um automóvel percorre uma estrada retilínea. A Fig.11 representa o gráfico da
posição desse automóvel num referencial fixo na estrada em função do tempo.
Calcule (a) o módulo do deslocamento e a distância percorrida pelo automóvel
entre t = 0 e t = 8h e (b) o módulo da velocidade média e a velocidade escalar média
do automóvel entre t = 0 e t = 8h.
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