1) O documento discute teoria dos grafos e apresenta exercícios sobre grafos planares e não planares, dualidade de grafos, biparticidade e ciclos. 2) É mostrado como construir grafos com sequências de graus específicas, e propriedades de grafos autoduais e eulerianos. 3) Fórmulas relacionam número de arestas, vértices e cintura em grafos planares.

1. Teoria dos Grafos - Exercícios do Capítulo 9
Michel Alves dos Santos ∗
Junho de 2011
Conteúdo
Lista de Figuras 1
1 Construa um grafo com a sequência de graus (4,4,3,3,3,3): (a) que seja planar,
(b) que não seja planar. 1
2 Um grafo é autodual se GD
é isomorfo a G. 2
3 Mostre que um grafo planar é bipartido se e só se GD
for euleriano. 2
4 A cintura de um grafo, notação g(G) é o comprimento do seu menor ciclo.
Mostre que em um grafo planar temos: m [(n − 2)g]/(g − 2) 2
5 (a) Seja G um grafo maximal planar com n > 4. Mostre que os vértices de grau
3, se existirem, formam um subconjunto independente dos vértices de G. (b)
Seja G um grafo maximal planar com 5 vértices. Quantas faces triangulares
tem G. (c) Seja G no item b. Produzimos um grafo G’, incluindo um vértice de
grau 3 em cada face triangular, como sugere a figura a seguir. Quantos vértices
tem G’? Quantos vértices de grau 3 tem G’? Mostre que G’ não é hamiltoniano.
(d) Adapte a construção mostrada acima e construa um grafo planar maximal
sem vértices de grau 3. 4
Lista de Figuras
1 A esquerda grafo planar, a direita grafo não planar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2 Grafo planar maximal sem vértices de grau 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1 Construa um grafo com a sequência de graus (4,4,3,3,3,3):
(a) que seja planar, (b) que não seja planar.
Ver figura 1.
∗Bacharelando em Ciência da Computação, Universidade Federal do Estado de Alagoas(UFAL). E-mails: mi-
chel.mas@gmail.com, michelalavessantos@hotmail.com. Disciplina: Teoria dos Grafos. Docente Responsável: Leo-
nardo Viana Pereira.
1

2. Figura 1: A esquerda grafo planar, a direita grafo não planar.
2 Um grafo é autodual se GD
é isomorfo a G.
a) Mostre que se G é autodual então 2n = m + 2
b) Mostre que os grafos roda Rn são autoduais.
• a)
Se G é autodual, então GD
é isomorfo a G, pelo Teorema de Euler, temos que se um grafo
G é planar, então f − m + n = 2. Reformulando temos que o número de faces desse grafo é
f = m − n + 2. Analisando agora o grafo dual de G, GD
, pela definição de dualidade, possui
um vértice associado para cada face de G, logo o numero de vértices de GD
será igual ao
numero de faces de G, como pela hipótese os dois são isomorfos (então possuem o mesmo
número de arestas e vértices), se substituirmos f = n em f = m − n + 2, temos 2n = m + 2.
Provando o que queríamos.
• b)
Sabemos que o número de faces de uma Roda Rn será igual ao número de vértices, logo pela
definição de dualidade, o grafo GD
dual a roda, será também uma roda, pois ela possui o
número de faces de uma roda é o seu número de vértices. Dessa forma, o grafo dual da roda
é isomórfico à ela, mostrando então que qualquer roda é autodual.
3 Mostre que um grafo planar é bipartido se e só se GD
for
euleriano.
Se GD
é euleriano então ele só terá ciclos pares, cada ciclo par corresponde à uma face par em
um grafo planar. Se cada face é par no dual de G, então em G cada vértice terá grau par, o que
corresponde à todos os ciclos de G serem pares. Pelo teorema de grafo bipartido: um grafo G é
bipartido se e somente se não possuir ciclos impares. Como G possui apenas ciclos pares então ele
é bipartido.
4 A cintura de um grafo, notação g(G) é o comprimento do
seu menor ciclo. Mostre que em um grafo planar temos:
m [(n − 2)g]/(g − 2)
Para demonstrar tal propriedade devemos recorrer ao conceito de gêneros de superfícies e
grafos. O gênero de uma superfície é o número de alças e furos que ela possui; por exemplo, o
plano e a esfera têm gênero zero e o toro, gênero 1.
O gênero l(G) de um grafo é o da superfície de menor gênero que admita uma imersão de G.
Os grafos planares tem portanto gênero zero. A discussão sobre gênero de superfícies e de grafos
permite a generalização de diversos resultados de grafos planares para grafos quaisquer. Um desses
resultados é exibido a seguir:
Teorema 1. (Relação entre Cintura e Gênero) Se a cintura (comprimento do menor ciclo)
2

3. de um grafo G for g(G), então
l(G)
m
2
1 −
2
g(G)
−
n
2
+ 1
Executando as devidas transformações teremos:
l(G)
m
2
1 −
2
g(G)
−
n
2
+ 1
l(G)
m
2
g(G)
g(G)
−
2
g(G)
−
n
2
+ 1
l(G)
m
2
g(G) − 2
g(G)
−
n
2
+ 1
l(G)
m
2
g(G) − 2
g(G)
−
n
2
+
2
2
l(G)
m
2
g(G) − 2
g(G)
+
2 − n
2
l(G)
m
2
·
[g(G) − 2]
g(G)
+
2 − n
2
l(G)
m
2
·
[g(G) − 2]
g(G)
+
g(G)
g(G)
·
[2 − n]
2
l(G)
m · [g(G) − 2]
2 · g(G)
+
g(G) · [2 − n]
2 · g(G)
l(G)
m · [g(G) − 2] + g(G) · [2 − n]
2 · g(G)
l(G) · 2 · g(G) m · [g(G) − 2] + g(G) · [2 − n]
2 · l(G) · g(G) m · [g(G) − 2] + g(G) · [2 − n]
2 · l(G) · g(G) m · [g(G) − 2] − g(G) · [n − 2]
Como os grafos planares possuem gênero zero, logo:
2 · l(G) · g(G) m · [g(G) − 2] − g(G) · [n − 2]
2 · 0 · g(G) m · [g(G) − 2] − g(G) · [n − 2]
0 m · [g(G) − 2] − g(G) · [n − 2]
−m · [g(G) − 2] −g(G) · [n − 2]
−m · [g(G) − 2] −g(G) · [n − 2] × (−1)
m · [g(G) − 2] g(G) · [n − 2]
m (g(G) · [n − 2])/[g(G) − 2]
Executando as devidas substituições, que nesse caso seria apenas a troca de notação de g(G) por
apenas g, teremos finalmente:
m [(n − 2) · g]/(g − 2)
3

4. 5 (a) Seja G um grafo maximal planar com n > 4. Mos-
tre que os vértices de grau 3, se existirem, formam um
subconjunto independente dos vértices de G. (b) Seja G
um grafo maximal planar com 5 vértices. Quantas faces
triangulares tem G. (c) Seja G no item b. Produzimos
um grafo G’, incluindo um vértice de grau 3 em cada face
triangular, como sugere a figura a seguir. Quantos vér-
tices tem G’? Quantos vértices de grau 3 tem G’? Mos-
tre que G’ não é hamiltoniano. (d) Adapte a construção
mostrada acima e construa um grafo planar maximal sem
vértices de grau 3.
a)
b) Para grafo planar maximal temos: m=3n-6, com n=5, temos m=9, aplicando o teorema de
euler temos f-m+n=2, substituindo m e n, temos f=6.
c) 11 vértices. 6 vértices de grau 3. Ao tentar construir um ciclo hamiltoniano, veremos que
sempre vai sobrar ao menos um vértice. Dessa forma, o grafo G’ é não hamiltoniano.
d) Solução deste quesito:
Figura 2: Grafo planar maximal sem vértices de grau 3.
4