Este documento discute os princípios fundamentais da mecânica quântica, incluindo operadores, autovalores, autofunções, equação de Schrödinger independente do tempo e operadores de spin. Apresenta exemplos como a partícula livre, átomo de hidrogênio e operadores de spin com suas respectivas equações de autovalores.

1. Aula 5
Equações de autovalores (ESIT)
Operadores e autoestados de spin
Comutadores
Princípios da mecânica quântica
Operadores, autovalores, autofunções

2. Mecânica Quântica
Mecânica clássica
F = m a
a =
d2
x
dt2F =
@V
@x
d2
x
dt2
=
1
m
@V
@x
V ! x(t)
Mecânica quântica
x(t) ! (x, t)
i ~
@
@t
=
~2
2 m
@2
@x2
+ V
Equação de Schrödinger
V ! (x, t)
(versão de Schrödinger)

3. i ~
@
@t
=
~2
2 m
@2
@x2
+ V
(x, t) = (x) e i E t/~Ansatz :
i ~ (
i E
~
) (x) e i E t/~
=
~2
2 m
@2
(x)
@x2
e i E t/~
+ V (x) e i E t/~
E =
~2
2 m
@2
@x2
+ V
~2
2 m
@2
@x2
+ V = ˆH
E = ˆH
ˆH = E
Definição :
Equação de Schrödinger
Independente do Tempo
(ESIT)

4. Operador = instrução, prescrição Precisa agir sobre uma função !
ˆH = E
operador função funçãonúmero
(autovalor)
Equação de autovalores !
(autofunção)(autofunção)
(autoestado)(autoestado)
ˆH =
~2
2 m
@2
@x2
+ V Operador Hamiltoniano

5. operador autovalorautoestado autoestado
O autoestado contém informações sobre as propriedades observáveis
O operador as extrai !

6. ˆH =
~2
2 m
@2
@x2
+ V Operador Hamiltoniano
Definimos o operador momento:
ˆp = i ~
@
@x
ˆp2
2 m
=
1
2 m
( i) ~
@
@x
( i) ~
@
@x
=
~2
2 m
@2
@x2
energia cinética !
ˆH =
~2
2 m
@2
@x2
+ Venergia cinética + energia potencial = energia total do sistema
ˆH = E resolvemos e encontramos a função de onda e a energia !

7. Exemplo da primeira lista. Partícula livre:
ˆp (x, t) = const ( i ~)
@
@x
ei (p x E t)/~
= const p ei (p x E t)/
p ei (p x E t)/~
= p (x, t) p definido e com valores contínuos
Partícula em movimento sem restrições !
Nenhuma informação sobre spin !
(x, t) = N ei (p x E t)/~
ˆp (x, t) = N ( i ~)
@
@x
ei (p x E t)/~
= N p ei (p x E t)/~
=
ˆp = i ~
@
@x
Pauli

8. (x, t) = N ei (p x E t)/~
ˆH =
~2
2 m
@2
@x2
+ V
Energia da partícula livre:
ˆH =
p2
2 m
E =
p2
2 m

9. ”Átomo de hidrogênio 2.0”
V =
Ze2
4 ⇡ ✏0
1
r
ˆH = E
Partícula em movimento confinado !
Esperamos quantização !
Quantização emergente !!!
ˆH n = En n 1
2
3
ˆH =
~2
2 m
✓
@2
@x2
+
@2
@y2
+
@2
@z2
◆
+ V
energia potencial

10. ˆH = E
E =
m
2
✓
Z e2
4 ⇡ ✏0 ~
◆2
1
n2

11. Princípios da Mecânica Quântica
1) Para as grandezas observáveis existem operadores, autofunções
e autovalores.
2) Os operadores são hermitianos: [ ˆO]†
= ˆO
[ ˆO]†
= [ [ ˆO ]⇤
]T
ˆA =
✓
0 i
i 0
◆
ˆA⇤
=
✓
0 i
i 0
◆
(adjunto ou conjugado hermitiano de O)
ˆA†
=
✓
0 i
i 0
◆
ˆA†
= ˆA A é hermitiano !
ˆH = E

12. ˆH =
~2
2 m
✓
@2
@x2
+
@2
@y2
+
@2
@z2
◆
+ V
ˆH†
= ˆH H é hermitiano !
3) Os operadores hermitianos possuem autovalores reais
4) O resultado de uma medida é sempre um dos autovalores
do operador do observável
ˆH n = En n
ˆH n = En n

13. Dois operadores A e B comutam se o comutador entre eles for zero:
[ ˆA, ˆB] = 0
[ ˆA, ˆB] = ˆA ˆB ˆB ˆA = 0Comutador :
Operadores compatíveis :
5) Operadores compatíveis admitem conjuntos de autofunções
simultâneas
Dois operadores são compatíveis se eles comutam

14. Stern - Gerlach
Phipps -Taylor
Sz = ms ~
s =
1
2
ms =
1
2
, +
1
2
Spin
z / F
F / ms
ms observável,
real e discreto
ms ! s
s  ms  + s
s observável,
real e discreto
S2
= s (s + 1) ~2

15. Equação de autovalores para o spin
ˆS2
= s (s + 1) ~2
ˆSz = ms ~
?
Autofunção Autoestado
! | i
Dois autovalores e
dois autoestados
ms ~ =
1
2
~
ms ~ =
1
2
~
1
2

16. Equação de autovalores para o spin
| " i1 = |
1
2
, +
1
2
i
2 = |
1
2
,
1
2
i | #i
ˆSz |
1
2
, +
1
2
i =
1
2
~ |
1
2
, +
1
2
i
ˆSz |
1
2
, +
1
2
i =
1
2
~ |
1
2
, +
1
2
i
ˆSz | " i = +
1
2
~ | " i
ˆSz | # i =
1
2
~ | # i
s = | s , ms i
ou
ou
ou
ou

17. Função de onda da partícula livre com spin
(x, t) = N ei (p x E t)/~
s
Operadores e autofunções de spin não dependem das coordenadas !
s = | s , ms i
ˆSz | " i = +
1
2
~ | " isão matrizes !!!
ˆSz =
~
2
✓
1 0
0 1
◆
| " i =
✓
1
0
◆
| # i =
✓
0
1
◆
é hermitiano !
s = | s , ms i

18. ˆSz =
~
2
✓
1 0
0 1
◆
| " i =
✓
1
0
◆
| # i =
✓
0
1
◆
ˆSz | " i = +
1
2
~ | " i
~
2
✓
1 0
0 1
◆ ✓
1
0
◆
=
~
2
✓
1
0
◆
ˆSz | # i =
1
2
~ | # i
~
2
✓
1 0
0 1
◆ ✓
0
1
◆
=
~
2
✓
0
1
◆

19. Equação de autovalores para o spin
ˆS2
= s (s + 1) ~2
ˆSz = ms ~
?
ˆSx =
~
2
✓
0 1
1 0
◆
ˆSy =
~
2
✓
0 i
i 0
◆
ˆS2
= ˆS2
x + ˆS2
y + ˆS2
z
ˆSz =
~
2
✓
1 0
0 1
◆
z =
✓
1 0
0 1
◆
y =
✓
0 i
i 0
◆
x =
✓
0 1
1 0
◆
Matrizes de Pauli

20. ˆS2
= ˆS2
x + ˆS2
y + ˆS2
z
ˆS2
=
~
2
✓
0 1
1 0
◆
~
2
✓
0 1
1 0
◆
+
~
2
✓
0 i
i 0
◆
~
2
✓
0
i
1
0
◆
+
~
2
✓
0 i
i 0
◆
~
2
✓
0 i
i 0
◆
+
~
2
✓
1 0
0 1
◆
~
2
✓
i
0
◆
+
~
2
✓
1 0
0 1
◆
~
2
✓
1 0
0 1
◆
ˆS2
=
3 ~2
4
✓
1 0
0 1
◆

21. = 1 = | " i =
✓
1
0
◆
ˆS2
| " i =
3 ~2
4
✓
1 0
0 1
◆ ✓
1
0
◆
=
3 ~2
4
✓
1
0
◆
=
3 ~2
4
|
ˆS2
| " i =
3 ~2
4
| " i
ˆS2
=
3 ~2
4
✓
1 0
0 1
◆
ˆS2
= s (s + 1) ~2
=
3 ~2
4

22. Operadores A e B comutam se o comutador deles for zero
[ ˆA, ˆB] = 0
[ ˆA, ˆB] = ˆA ˆB ˆB ˆA = 0Comutador :
Operadores compatíveis :
Operadores compatíveis têm autofunções simultâneas
Dois operadores são compatíveis se eles comutam

23. Comutadores e operadores compatíveis
[ Sx , Sy ] = i ~ Sz
[ Sy , Sz ] = i ~ Sx
[ Sz , Sx ] = i ~ Sy
[ S2
, Sx ] = 0
[ S2
, Sy ] = 0
[ S2
, Sz ] = 0
Não têm autoestados comuns !
Não ser conhecidos ao mesmo tempo !