1) O documento apresenta um conjunto de exercícios sobre intervalos, inequações e aproximações para o 9o ano. 2) O segundo exercício pede para determinar a interseção e união de dois conjuntos de números reais. 3) O terceiro exercício resolve uma inequação em função de um parâmetro.

1. MIGUEL FERNANDES
Ano Letivo 2018/2019
9.º Ano
Ficha de Trabalho n.º 2 – Intervalos, Inequações, Aproximações
AS RESPOSTAS DEVERÃO SER DADAS NUMA FOLHA À PARTE!
1. Constrói três intervalos 𝐴, 𝐵 e 𝐶 tais que:
 𝐴 ∩ 𝐵 é constituído apenas por um número e 𝐵 ∩ 𝐶 é o conjunto-vazio;
 𝐶 está contido em 𝐴;
 𝐴 ∪ 𝐵 = ]1, 2[.
2. Considera os conjuntos 𝐴 = {𝑥 ∈ ℝ ∶ −2𝑥 + 1 < 10 ∧ ( 𝑥 + 1)2
+ 1 > 0 } e 𝐵 = ]−∞, 20].
2.1. O intervalo 𝐵 é limitado? Justifica a tua resposta.
2.2. Determina 𝐴 ∩ 𝐵 e 𝐴 ∪ 𝐵.
3. Resolve, em função do parâmetro 𝑎, 𝑎 ≠ 0, a seguinte inequação:
−𝑥+𝑎
2𝑎
+ 2𝑥 ≥ −1 +
𝑥
2
4. O número 𝜙 =
√5+1
2
é conhecido como número de ouro.
4.1. O número de ouro é um número…
Assinala a opção correta.
(A) Racional e igual a
4
2√5−1
.
(B) Irracional e igual a
4
2√5−1
.
(C) Racional e igual a
4
2√5−2
.
(D) Irracional e igual a
4
2√5−2
.
4.2. Seja 𝑟 o erro cometido quando se toma 2 como aproximação do número de ouro.
Qual das seguintes afirmações é verdadeira?
Assinala a opção correta.
(A) 0,2 < 𝑟 < 0,3.
(B) 0,3 < 𝑟 < 0,4.
(C) 0,4 < 𝑟 < 0,5.
(D) 0,5 < 𝑟 < 0,6.
4.3. Resolve a inequação −
−𝑥− 𝜙
2
< 2𝜙 e indica quantos números inteiros positivos satisfazem a mesma.
5. Há vários retângulos cujo comprimento é o triplo da largura.
Em particular, podemos considerar que as mesmas medidas são números inteiros.
Qual é a área do retângulo nas condições descritas e cujo perímetro é inferior a 100𝑚 e superior a 95𝑚?
Mostra como obtiveste a tua resposta.

2. MIGUEL FERNANDES
Ano Letivo 2018/2019
9.º Ano
Ficha de Trabalho n.º2 – Intervalos, Inequações, Aproximações
Correção
1. Exemplos (não únicos): 𝐴 = ]1; 1,5], 𝐵 = [1,5; 2[ e 𝐶 = ]1; 1,2[.
2.
2.1. O intervalo 𝐵 = ]−∞, 20] não é limitado, pois é possível escolher um número pertencente a 𝐵 que seja tão
pequeno quanto se queira.
2.2. O conjunto 𝐴 = {𝑥 ∈ ℝ ∶ −2𝑥 + 1 < 10 ∧ ( 𝑥 + 1)2
+ 1 > 0 } pode ser escito na forma de um intervalo
de números reais, tendo em conta que:
 ( 𝑥 + 1)2
+ 1 > 0 é uma condição verdadeira para todo o número real e, portanto, podemos dizer
que a mesma condição funciona como elemento neutro da conjunção dada.
 −2𝑥 + 1 < 10 ⇔ −2𝑥 < 9 ⇔ 𝑥 > −
9
2
.
Assim, 𝐴 = ]−
9
2
, +∞[.
Estamos, agora, em condições de determinar a interseção e reunião dos conjuntos:
𝐴 ∩ 𝐵 = ]−
9
2
, +∞[ ∩ ]−∞, 20] = ]−
9
2
, 20] e 𝐴 ∪ 𝐵 = ]−
9
2
, +∞[ ∪ ]−∞, 20] = ℝ.
3. Para 𝑎 ≠ 0, tem-se:
−𝑥+𝑎
2𝑎
+ 2𝑥 ≥ −1 +
𝑥
2
⇔
−𝑥+𝑎
2𝑎
+
4𝑎𝑥
2𝑎
≥
−2𝑎
2𝑎
+
𝑎𝑥
2𝑎
 Caso 1: 𝑎 > 0
−𝑥+𝑎
2𝑎
+
4𝑎𝑥
2𝑎
≥
−2𝑎
2𝑎
+
𝑎𝑥
2𝑎
⇔ −𝑥 + 𝑎 + 4𝑎𝑥 ≥ −2𝑎 + 𝑎𝑥 ⇔ −𝑥 + 3𝑎𝑥 ≥ −3𝑎 ⇔
⇔ (−1 + 3𝑎) 𝑥 ≥ −3𝑎
o Se −1 + 3𝑎 = 0 ⇔ 𝑎 =
1
3
> 0
(−1 + 3𝑎) 𝑥 ≥ −3𝑎 ⇔ 0 ≥ −1, uma condição verdadeira. Logo, 𝐶. 𝑆. = ℝ.
o Se −1 + 3𝑎 > 0 ⇔ 𝑎 >
1
3
> 0
(−1 + 3𝑎) 𝑥 ≥ −3𝑎 ⇔ 𝑥 ≥
−3𝑎
−1+3𝑎
. Logo, 𝐶. 𝑆. = [
−3𝑎
−1+3𝑎
, +∞[.
o Se −1 + 3𝑎 < 0 ⇔ 𝑎 <
1
3
, sendo que 𝑎 é também superior a 0, ou seja, 0 < 𝑎 <
1
3
(−1 + 3𝑎) 𝑥 ≥ −3𝑎 ⇔ 𝑥 ≤
−3𝑎
−1+3𝑎
. Logo, 𝐶. 𝑆. = ]−∞,
−3𝑎
−1+3𝑎
].
 Caso 2: 𝑎 < 0
−𝑥+𝑎
2𝑎
+
4𝑎𝑥
2𝑎
≥
−2𝑎
2𝑎
+
𝑎𝑥
2𝑎
⇔ −𝑥 + 𝑎 + 4𝑎𝑥 ≤ −2𝑎 + 𝑎𝑥 ⇔ −𝑥 + 3𝑎𝑥 ≤ −3𝑎 ⇔
⇔ (−1 + 3𝑎) 𝑥 ≤ −3𝑎
o Tendo em conta que 𝑎 < 0, apenas temos de testar o caso −1 + 3𝑎 < 0 ⇔ 𝑎 <
1
3
, ou seja,
todos os números reais negativos.
(−1 + 3𝑎) 𝑥 ≤ −3𝑎 ⇔ 𝑥 ≥
−3𝑎
−1+3𝑎
. Logo, 𝐶. 𝑆. = [
−3𝑎
−1+3𝑎
, +∞[.
A resposta resume-se na seguinte tabela:
𝑎 0
1
3
Conjunto
solução
[
−3𝑎
−1+3𝑎
, +∞[ Não definido ]−∞,
−3𝑎
−1+3𝑎
] ℝ [
−3𝑎
−1+3𝑎
, +∞[
Observação: Este exercício trata-se de um desafio para quem procura questões mais avançadas sobre o tema
em causa. Com efeito, o mesmo aborda métodos de resolução que ultrapassam o nível de exigência a alunos do
nível de escolaridade em causa, pelo que poderá ser ignorado.

3. MIGUEL FERNANDES
4.
4.1. Opção correta: D (a máquina calculadora poderia auxiliar na resposta).
4.2. O número de ouro é aproximadamente igual a 1,618 e, atendendo a que 2 − 1,618 = 0,382, conclui-
se que o erro cometido quando se toma 2 como uma sua aproximação é um número inferior a 0,382.
Por outro lado, dado que o número de ouro é inferior a 1,7 e 2 − 1,7 = 0,3, conclui-se que o erro deverá
também ser superior a 0,3. Assim, a opção correta é B.
4.3. −
−𝑥− 𝜙
2
< 2𝜙 ⇔ 𝑥 + 𝜙 < 4𝜙 ⇔ 𝑥 < 3𝜙. Logo, 𝐶. 𝑆. = ]−∞, 3𝜙[.
Como 3𝜙 ≈ 4,85, conclui-se que existem exatamente quatro números inteiros positivos que satisfazem
a inequação.
5. Seja 𝑐 o comprimento do retângulo e 𝑙 a largura do mesmo. No contexto do problema, temos 𝑐 = 3𝑙. Assim, se
𝑃 denotar o perímetro do retângulo, resulta que 𝑃 = 2𝑐 + 2𝑙 = 6𝑙 + 2𝑙 = 8𝑙.
E de acordo com as restantes condições do problema:
𝑃 < 100 ∧ 𝑃 > 95 ⇔ 8𝑙 < 100 ∧ 8𝑙 > 95 ⇔ 𝑙 <
100
8
∧ 𝑙 >
95
8
e o único 𝑙 inteiro nessas condições é o 12.
Portanto, 𝑙 = 12𝑚 e 𝑐 = 3 × 12 = 36𝑚. Logo, a área do retângulo em causa é 𝐴 = 36 × 12 = 432𝑚2
.