1. O GEOGEBRA NO ENSINO E APRENDIZAGEM DA MATEMÁTICA
2011
ACTIVIDADES DE FUNÇÕES
Tarefa 1: Derivada e Tangente de uma Função
Use o GeoGebra para construir a função f(x) = sen(x), sua derivada e sua tangente em
um ponto de inflexão em f juntamente com o triângulo de inclinação.
Procedimento:
1ª versão:
1. Escreva a função f(x) = sin(x) dentro do campo de entrada de texto e pressione a tecla
Enter.
2. Escolha a ferramenta
em f.
“Novo Ponto“ e clique na função f para criar um ponto A
3. Depois escolha a ferramenta
“Tangentes“ e clique no ponto A e na função f.
Altere o nome da tangente para t (botão direito do rato, “Renomear”).
4. Digite o comando s = Declive[t].
5. Depois escolha a ferramenta
movimento da tangente.
“Mover“, arraste o ponto A com o rato e observe o
6. Digite B = (x(A), s) e modifique o estilo do traço do ponto B (clique no ponto com o
botão direito do rato e marque a opção “Activar traço”).
7. Escolha o modo
por B .
“Mover“ e arraste A com o rato e observe o tracejado formado
8. Desactive o traço do ponto B.
9. Digite o comando Derivada[f].O que observa?
Algumas dicas
 Escreva uma função diferente, ex. f(x) = x³ - 2x² dentro do campo de entrada de texto;
imediatamente aparecerá sua derivada e sua tangente.

Escolha a ferramenta
“Mover“ e arraste a função com o rato. Observe a
mudança das equações das funções e das derivadas.
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2ª versão:
Escolha “Arquivo – Novo” para abrir uma nova área de trabalho.
Em seguida, digite os comandos seguintes dentro do campo de entrada de texto e pressione
Enter ao fim de cada linha.
f(x) = sin(x)
a=2
T = (a, f(a))
t = Tangente[a, f]
s = Declive[t]
B = (x(T), s)
Derivada[f]
Escolha a ferramenta
“Mover“ e clique no número a. Surgirá um selector, assim pode
modificar o valor pressionando as teclas de seta. Ao mesmo tempo, o ponto T e a tangente
movem-se ao longo da função f.
Selector: Você pode também modificar o valor de a usando um selector: clique com o botão
direito no “a” da janela algébrica e escolha “exibir objecto”.
Dica: selectores e teclas de setas são muito usados para examinar parâmetros, por exemplo p
e q na equação quadrática y = x² + p x + q.
Tangente sem recorrer ao comando
GeoGebra também trabalha com vectores e com equações paramétricas. Assim é possível
construir uma tangente t com o comando Tangente[]. Para testar essa situação, remova a
tangente a partir de sua primeira construção clicando sobre ela com o botão direito do rato e
escolhendo “Apagar”. Então, digite os seguintes comandos:
v = (1, f'(a))
t: X = T + r v
v é o vector director da tangente t. Você também pode utilizar outra letra como parâmetro
sem ser o “r”.
Algumas dicas
 Existe uma possibilidade adicional para construir a tangente com a ajuda do vector
director: t = Recta[T, v].
 Tente também o comando Integral[f]
Tarefa 2: Representação de uma função num intervalo do domínio
Objectivo:
Representação gráfica de uma função num intervalo do domínio, algumas propriedades e
representação de uma recta tangente.
Para representarmos uma função definida pela sua expressão analítica num dado intervalo,
basta recorrermos ao comando:
Função[expressão da função,x_inicial, y_final]
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Procedimento:
1. Represente a função definida por 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 − 4 no intervalo [-2,3]. Pra representar
recorra ao comando Função[x^2-4,-2,3].
2. Represente graficamente os zeros da função através da ferramenta Intersectar duas
linhas ou do comando Raiz[f].
3. Represente graficamente o mínimo da função através do comando Extremo[f].
4. Esconda os pontos anteriores.
5. Represente graficamente as soluções da equação 𝑓 𝑥 = −2. Para isso represente
graficamente a função 𝑦 = −2 (o GeoGebra atribui o nome a à recta) e determine os
pontos de intersecção (D e E) através da ferramenta Intersectar duas linhas ou através
do comando Intersectar [f, a].
6. Calcule 𝒇( 𝟐). Através do comando f(sqrt(2)) poderá observar na zona algébrica o
valor pretendido, que será identificado por b.
7. Esconda os pontos anteriores e a recta.
8. Marque um ponto qualquer F sobre o gráfico de f. Represente a Tangente ao gráfico
de f que passa por F através do comando Tangente[F,f].
9. Movimente o Ponto F para ver a dinâmica da construção.
Tarefa 3: Construção de uma função cúbica. Extremos
Considere uma parábola 𝑓 𝑥 = 0,2(𝑥 − 3)2 + 𝑘, sendo k um parâmetro que toma valores
entre [0,1]. Considere ainda o rectângulo ABCD, onde A coincide com a origem do referencial
cartesiano, B é um ponto do semi-eixo positivo Ox e C é o ponto da parábola f com abcissa x
igual à de B. Então 𝑥 = 𝐴𝐵 e 𝑓 𝑥 = 𝐵𝐶 .
Seja g a função que associa a abcissa x de B à área do rectângulo ABCD, isto é, 𝑔 𝑥 = 𝑥. 𝑓(𝑥).
Então g é uma função cúbica.
Procedimento:
1. Na barra de ferramentas, seleccione a ferramenta
Selector e depois clique num
local vazio da Zona Gráfica. Aparecerá uma janela de diálogo com as propriedades do
selector.

Atribua ao selector o nome de k.

Defina o intervalo de variação: min=0 e Max=1

Defina o Incremento = 0,01
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
Clicar em “Aplicar”

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Use a ferramenta Mover para deslocar o selector k ou alterar o seu valor.
2. Na entrada de comandos, insira cada uma das seguintes expressões:

f(x)=0.2*(x-3)^2+k

A = Intersectar [EixoX,EixoY]

s = Semirecta[A,Vector[(1,0)]]

B = Ponto[s]

C = (x(B),f(x(B)))

D = A+C-B

R = Polígono[A,B,C,D]
Movimente o ponto B, para observar melhor o rectângulo
3. Criação da função g que associa a abcissa x de B à área do rectângulo ABCD.

Abra o menu Opções e desactive “Captura de Pontos”.

Crie o ponto E= (x(B),R), na Entrada de comandos.

Active o traço de E, usando o botão direito do rato.

Mova o ponto B e observe que o traço que E esboça uma função cúbica.

Desactive o traço de E.

Na Entrada de comandos, insira 𝑔 𝑥 = 𝑥 ∗ 𝑓(𝑥) (em vez de * pode deixar um
espaço)

Mova B e observe que o ponto E percorre o gráfico de g.
Para tornar mais nítida e mais sugestiva, pode alterar as propriedades dos objectos. Por
exemplo, pode alterar a cor ou a visibilidade (dos objectos ou apenas do rótulo).
Neste caso, para tornar a figura mais nítida, devemos esconder a semi-recta s, os segmentos a,
b, c, d que constituem os lados do rectângulo, e ainda os pontos A, C e D. Também devemos
alterar a cor da parábola f, para não se confundir com o preto dos eixos. Devemos atribuir ao
rectângulo R e á Cúbica g a mesma cor do ponto B, pois isso torna mais sugestiva a
dependência dos objectos.
As referidas alterações nas propriedades dos objectos podem ser feitas de duas maneiras:

Seleccionando, na zona gráfica ou na zona algébrica, um objecto (ou um grupo de
objectos) e com o botão direito do rato, pode aceder não só às propriedades dos
objectos seleccionados mas também de todos os outros objectos.

Abrindo o menu Editar e escolhendo Propriedades.
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5. O GEOGEBRA NO ENSINO E APRENDIZAGEM DA MATEMÁTICA
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Determinação dos Extremos locais da cúbica g
Será que a existência de um máximo local ou de mínimo local para a área do
rectângulo R modelada pela cúbica g é independente do parâmetro k?
4. Usando a ferramenta Mover, atribua valores ao parâmetro k. Para cada valor
atribuído, mova o ponto B, isto é, faça variar o rectângulo. Que conclui?
5. Esconda o rectângulo R e os pontos B e E.
Nos passos seguintes vamos usar o conceito de derivada para determinar os extremos
locais da cúbica g para o caso k=0,4.
6. Na entrada de comandos, insira cada uma das seguintes expressões:

T = Ponto[g]

t = Tangente[T,g]

m = Declive[t]
7. Mova o ponto T na cúbica g até que este lhe pareça estar localizado num ponto de
máximo ou de mínimo. Nesses casos, quanto vale o declive m da tangente t?
8. Na Entrada de comandos, crie o ponto Z = ( x(T),m).
9. Active o traço de Z e depois mova T. O que observa?
10. Desactive o traço de Z.
11. Na entrada de comandos, insira Derivada[g] e depois mova o ponto T. que observa?
12. Esconda o ponto Z e altere a cor de g’ e do declive de m para verde RGB= (0,255,0).
13. Na entrada de comandos, insira Raiz*g’+ e obtém os pontos F e G, os quais são as
intersecções do gráfico de g’ com os eixo das abcissas.
14. Na entrada de comandos, insira y_1=g(x(F)) e y_2=g(x(G)). Os números y1 = 1,28 e
y2=1,12 são respectivamente, valores aproximados do máximo e do mínimo da cúbica
g, isto é, da área do rectângulo R.
Tarefa 4: Representação gráfica de uma função definida por ramos
Represente a função definida por 𝑔 𝑥 =
𝑥 2 𝑠𝑒 𝑥 < 1
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𝑠𝑒 𝑥 ≥ 1
Analogamente ao que é feito nas folhas de cálculo (ex. Excel) uma função pode ser
representada graficamente pelo teste lógico “Se”. A expressão deverá ser introduzida na
entrada de comandos com a seguinte sintaxe:
g(x)=Se[teste_lógico, valor_se_verdadeiro, valor_se_falso]
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Procedimento:
1. Na entrada de comandos introduza o seguinte comando: g(x)= Se[x<1,x^2,3].
2. Para representar os pontos do gráfico que representam uma mudança de ramo,
recorra aos comandos, A= (1,1) e B=(1,3).
3. Em seguida altere as propriedades dos pontos de modo a obter um ponto “aberto” em
A e “fechado” em B. Esconda os rótulos e altere a cor para preto.
Tarefa 5: Representação gráfica de uma função definida por ramos encadeamento de
testes lógicos e uso da linguagem LaTex
𝑒 𝑥 𝑠𝑒 𝑥 < 0
Represente a função definida por 𝑓 𝑥 = 1 1 𝑠𝑒 𝑥 = 0
𝑠𝑒 𝑥 > 0
𝑥+1
Procedimento:
1. Na entrada de comandos introduza o seguinte comando:
f(x)= Se[x<0,e^x,Se[x>0,1/(x+1),1]].
A expressão anterior é composta por dois testes lógicos encadeados.
2. Se pretendermos juntar à representação gráfica da função f a sua expressão analítica,
teremos de recorrer à inserção de uma caixa de texto. Seleccione a ferramenta
.
3. Para que sejam inseridos caracteres matemáticos, teremos de recorrer à linguagem
LaTex. Depois de seleccionar a ferramenta
, surgirá uma caixa de diálogo. Active
Fórmula LaTex e seleccione uma a matriz 3X3 pré-definida.
O código produzido em LaTex é o seguinte:
left(begin{array}{} a & b & c d & e & f g & h & i end{array}right)
Significado:
left( ______right) – definição dos parênteses da Matriz.
begin{array}___________end{array}right) – definição do início e fim da matriz.
& - Mudança de coluna
- mudança de linha
Fazendo as alterações ao código anterior podemos obter o pretendido.
f(x)=left{begin{array} e^x & se & x<0 1& se & x=0 frac{1}{x+1} & se &x>0
end{array}
left{ - definição da chaveta
frac – definição da fracção
{1}{x+1} – definição do numerador e do denominador da fracção.
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Obtemos então a expressão analítica junto da sua representação gráfica.
Tarefa 6: Representação da função derivada.
Procedimento:
1. Represente graficamente a função f definida por 𝑓 𝑥 = 𝑥 3 + 3𝑥 2 + 𝑥 − 2.
2. Construa um ponto A sobre o gráfico da função f.
3. Recorra ao comando e=Tangente[A,f].
4. Calcule o declive da recta e.
5. Esconda o declive da recta.
6. Através da comando B=(x(A),m) é possível representar um ponto do gráfico da função
derivada, f’.
7. Active o traço de B.
8. Mova o ponto A e observe a representação do gráfico da função derivada.
9. Aceda às propriedades do ponto B e no separador Avançado defina duas condições
para o traço de B. Para valores da derivada positiva (m>0) o traço será verde, para os
valores de derivada negativa (m<0) o traço de B será azul. Analogamente ao ponto B,
introduza as cores dinâmicas para a recta e.
10. Construa uma caixa de verificação que permite mostrar/esconder o ponto B.
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