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TABELA DE FERRAMENTAS “GEOGEBRA 4” 
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Caminho poligonal 
definido por dois pontos objeto por um vetor 
Calculadora de probabilidade 
Rótulo 
Número Complexo ...
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Shift 
ATALHOS 
Seleciona a opção Mover 
Atualiza desenho. Apaga o “Rastro” deixado por um objeto 
Nova Janela 
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Vale ressaltar que existem comandos acessíveis no CAMPO DE ENTRADA e que não estão na Barra de Ferramentas. Como exempl...
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OPERADOR 
FUNÇÃO 
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Operador adição: adiciona o que está à esquerda com o que está à direita. 
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Operador subtração: ...
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Nas células da folha de cálculo pode inserir não só números, mas também todo tipo de objetos matemáticos suportados pel...
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4 CONSTRUÇÕES NO GEOGEBRA 
4.1 FUNÇÃO DO 1º GRAU 
- Insira dois seletores: (a) e (b) respectivamente, tendo eles mínimo...
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- Defina a intersecção da reta “c” com a função f(x). Denomine este ponto para “A”. 
- Construa uma reta perpendicular ...
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Concluiremos a construção da seguinte maneira. 
Essa nova construção nos leva a novos questionamentos pertinentes: 
- Q...
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- Insira dois seletores: (a) e (b) respectivamente, tendo eles mínimo (-10), máximo (10) e incremento (1). 
- No Campo...
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O conjunto de todas as soluções de uma inequação é o conjunto solução (S) ou conjunto verdade desta inequação. 
O proc...
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Faça o mesmo processo da observação anterior e analise a situação. 
Na inequação o conjunto solução, como já explicita...
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Movimentando o ponto (A) podemos verificar a solução da minha inequação. 
Para estudar outras sentenças é só mudar os ...
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Agora que sabemos identificar na planilha, iremos construir uma sequência de números na coluna A. 
- Digite na casa A1...
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Perceba na Janela Gráfica os pontos criados. 
Se não for possível visualizar todos os pontos, é preciso Reduzir o zoom...
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4.4 DEMONSTRAÇÕES 
4.4.1 TRIÂNGULOS 
Considerando três pontos não colineares A, B e C, podemos dizer que a união dos t...
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- Construa um círculo dados centro e raio. Primeiro clique sobre o ponto A, pertencente a um dos extremos do segmento ...
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- Construa um círculo dados centro e raio. Primeiro clique sobre o ponto A, pertencente a um dos extremos do segmento ...
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Ilustração do Exemplo 1. 
b) Triângulo Isósceles: dois lados congruentes; dois ângulos internos congruentes e o tercei...
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Ilustração do Exemplo 2. 
c) Triângulo Escaleno: a medida dos três lados diferentes. Ângulos internos diferentes. 
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Ilustração do Exemplo 3. 
d) Triângulo Retângulo: possui um dos ângulos internos, reto (90º graus). 
Exemplo 3. 
e) Tr...
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- Digite na Entrada de Comandos C = (1,2) e dê ENTER. 
- Encontre o ponto médio dos pontos C e B. Denomine-o de M. 
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- Agora faremos o mesmo processo, mas agora selecione primeiro o ponto B, o centro será o ponto M e o ângulo . Opção s...
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- Construa um segmento definido por dois pontos. Selecione primeiro o ponto P e depois S_1. Denomine-o de e_1. 
- Defi...
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Ciclo Trigonométrico 
4.4.4 ÁREA DO TRAPÉZIO 
- Construa uma reta definida por dois pontos. Denomine-a de a e os ponto...
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Dica: o símbolo de graus não pode ser digitado pelo teclado, deve ser selecionado janela de símbolos no canto. 
- Com ...
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- Modifique as propriedades/estilo/estilo da linha h para tracejada. 
- Modifique nas propriedades/estilo/preenchiment...
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6.1.1 PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS 
- Crie um seletor, denominado n de mínimo = 1, máximo = 6 e incremento = 1. 
- Digite n...
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Representação de uma sequência aritmética. 
6.1.3 MATRIZES 
Criar Matrizes: 
Exemplo: Digite na Entrada de Comandos. M...
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A terceira maneira é selecionando a flecha ao lado da opção Fórmula Latex, após na opção Matrizes e então selecionar u...
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Matrizes Dinâmicas 
- Crie quatro seletores, seletor a, b, c e d. 
- Digite na Entrada de Comandos, M = {{a, b},{c, d}...
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7 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
HOHENWARTER, Markus. GeoGebra. Disponível em: <www.geogebra.org>. Acessado em: 25 Out de...
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Sumário 
TABELA DE FERRAMENTAS...........................................................................................
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Apostila 2 geogebra

  1. 1. 1 TABELA DE FERRAMENTAS “GEOGEBRA 4” JANELA 1 JANELA 2 JANELA 3 JANELA 4 JANELA 5 JANELA 6 JANELA 7 JANELA 8 JANELA 9 JANELA 10 JANELA 11 JANELA 12 Mover Novo Ponto Reta definida por dois pontos Reta Perpendicular Polígono Círculo definido pelo centro e um dos seus pontos Elipse Ângulo Reflexão com relação a uma reta Inserir Texto Seletor Deslocar Eixos Girar em torno de um ponto Ponto em objeto Segmento definido por dois pontos Reta Paralela Polígono Regular Círculo dados centro e raio Hipérbole Ângulo com amplitude fixa Reflexão com relação a um ponto Incluir Imagem Caixa para Exibir/Esconder Objetos Ampliar Gravar para a Planilha de Cálculo Vincular/Desvincular ponto Segmento com comprimento fixo Mediatriz Polígono Rígido Compasso Parábola Distância, comprimento ou perímetro Inversão Caneta Inserir botão Reduzir Intersecção entre dois objetos Semirreta definida por dois pontos Bissetriz Polígono Semideformável Círculo definido por três pontos Cônica definida por cinco pontos Área Girar em torno de um ponto por um ângulo Relação entre dois Objetos Inserir Campo de Entrada Exibir/Esconder Objetos Ponto Médio Tangentes Semicírculo Inclinação Transladar Exibir/Esconder
  2. 2. 2 Caminho poligonal definido por dois pontos objeto por um vetor Calculadora de probabilidade Rótulo Número Complexo Vetor definido por dois pontos Reta Polar ou Diametral Arco circular dados o centro e dois pontos Criar lista Ampliar ou reduzir objetos dados centro e fator de homotetia Inspetor de funções Copiar Estilo Visual Vetor a partir de um ponto Reta de Regressão Linear Arco circuncircular dados três pontos Apagar Objeto Lugar Geométrico Setor circular dados o centro e dois pontos Setor circuncircular dados três pontos
  3. 3. 3 Shift ATALHOS Seleciona a opção Mover Atualiza desenho. Apaga o “Rastro” deixado por um objeto Nova Janela Mostrar/Esconder Janela de Álgebra Abrir Arquivo Ativa a opção Salvar Arquivo Seleciona vários objetos Desfazer uma ação Zoom 1 ENTRADA DE COMANDOS O Campo de Entrada fica no rodapé da Zona Gráfica do GeoGebra. Através deste campo, é possível operar com o GeoGebra, usando comandos escritos. Praticamente todas as ferramentas da Barra de Ferramentas podem ser usadas usando os comandos escritos.
  4. 4. 4 Vale ressaltar que existem comandos acessíveis no CAMPO DE ENTRADA e que não estão na Barra de Ferramentas. Como exemplo, sugerimos que digite no CAMPO DE ENTRADA e pressione ENTER.  A = (1, 3)  B = (3, 4)  Elipse [A, B, 2] Observamos que os dois primeiros comandos geram pontos, assim como a ferramenta NOVO PONTO (Janela 1). A diferença é que pela referida ferramenta o ponto é obtido através de um clique com mouse e perde em precisão (nas coordenadas cartesianas). No Campo de Entrada, podemos dizer EXATAMENTE onde o ponto aparecerá. O último comando está disponível também através da Barra de Ferramentas, (Janela 7). Basta clicar sobre este botão e depois sobre os pontos A e B e em um terceiro ponto por onde a elipse passará. Não iremos mostrar todas as ferramentas disponíveis nesta janela, mas há uma maneira de ir descobrindo-as. Comece a digitar o comando na Entrada de Comandos e você poderá perceber que o GeoGebra completa sua palavra ou seu comando. Se é o comando desejado, clique em ENTER e abrirá uma janela de diálogo mostrando o que é preciso para concluir o comando. 1.1 OPERADORES No GeoGebra, assim como em qualquer software que trabalhe com matemática, os operadores são ativados de forma bem simples. A seguir, encontra-se uma tabela com os principais operadores e suas funções.
  5. 5. 5 OPERADOR FUNÇÃO + Operador adição: adiciona o que está à esquerda com o que está à direita. - Operador subtração: subtrai o que está à esquerda do que está à direita. * Operador multiplicação: multiplica o que está à esquerda com o que está à direita. Obs.: o espaço também é entendido como multiplicação. Assim, escrever 2*x e 2 x, obtém-se o mesmo resultado. / Operador divisão: divide o que está à esquerda com o que está à direita. ^ Operador potência: o que está à esquerda é considerado base e o que está à direita o expoente. Por exemplo: x^2 é o mesmo que x². Alternativamente, pode-se usar combinações AltGr + 2 e AltGr + 3 (do teclado) para gerar ² e ³. Escrevendo x² e x³, o GeoGebra também aceita. sqrt(...) Operador raiz quadrada: extrai a raiz quadrada de “...”. cbrt(...) Operador raiz cúbica: extrai a raiz cúbica de “...”. log(...) ou ln(...) Operador logaritmo natural: calcula o logaritmo natural de “...”. ld(...) Operador de logaritmo binário: calcula o logaritmo binário de “...”, ou seja, calcula o logaritmo de “...”, mas na base 2. lg(...) Operador de logaritmo decimal: calcula o logaritmo decimal de “...”, ou seja, calcula o logaritmo de “...”, mas na base 10. sin(...) Operador seno: calcula seno de “...”. Obs.: medida em radianos. cos(...) Operador cosseno: calcula o cosseno de “...”. Obs.: medida em radianos. tan(...) Operador tangente: calcula a tangente de “...”. Obs.: medida em radianos. abs(...) Operador valor absoluto: calcula o valor absoluto de “...”. Lembre-se que | | = valor absoluto de x. 2 FOLHA DE CÁLCULO Na Folha de Cálculo, cada célula tem um nome específico que permite identificá-la diretamente. Por exemplo, a célula na coluna A e linha 1 é nomeada A1. Nota: O nome de uma célula pode ser usado em expressões e em comandos para identificar o conteúdo da célula correspondente. Exemplo: Usando numa expressão que represente uma função afim ( ) .
  6. 6. 6 Nas células da folha de cálculo pode inserir não só números, mas também todo tipo de objetos matemáticos suportados pelo GeoGebra (coordenadas de pontos, funções, comandos). Se possível, o GeoGebra mostra imediatamente na Zona Gráfica a representação gráfica do objeto inserido numa célula. O objeto assume o nome (rótulo) da célula usada para o criar (A5, C1). Nota: Injustificavelmente os objetos na folha de cálculo são classificados como Objetos Auxiliares na Zona Algébrica. As funções desta folha são semelhantes ao da Planilha do Excel. 3 TABELA DE COMANDOS Novo Ponto A = (a, b) Vetor u = (a,b) Módulo do Vetor u n_u = comprimento[u] Segmento de reta s = Segmento[A,B] Mediatriz de um segmento m = mediatriz[s] Ponto médio de um segmento de reta M = pontomédio[s] Ponto de intersecção de duas retas I = intersecção[f,g] Círculo/circunferência (Centro, ponto) C_1 = círculo[A,B] Círculo/circunferência (Centro, raio) C_1 = círculo[A,r]
  7. 7. 7 4 CONSTRUÇÕES NO GEOGEBRA 4.1 FUNÇÃO DO 1º GRAU - Insira dois seletores: (a) e (b) respectivamente, tendo eles mínimo (-10), máximo (10) e incremento (1). - No Campo de Entrada, digite a definição da equação do 1º Grau ( ) , seguindo como parâmetros os seletores (a) e (b). Após dê ENTER para finalizar a construção. - Para melhor entendimento do exercício, mova qualquer dos seletores e analise as mudanças do gráfico da função. Complementação da construção: - Crie um ponto sobre o eixo das abscissas com o comando Ponto[EixoX]. Denomine este Ponto para “P”. - Construa uma reta perpendicular do Ponto “P” em relação ao eixo das abscissas. Denomine esta reta de “c”. Abscissa de um ponto A A_x = x(A) Ordenada de um ponto A A_y = y(A) Equação reduzida de uma reta r: y = m*x+b Gráfico de uma função f(x)... Ponto móvel no gráfico M = ponto[f] Zero(s) de uma função x_1 = raiz[f] Extremo(s) de uma função E_1 = extremo[f] Gráfico de uma função num intervalo f(x) = função[g(x), a,b]
  8. 8. 8 - Defina a intersecção da reta “c” com a função f(x). Denomine este ponto para “A”. - Construa uma reta perpendicular do Ponto “A” em relação ao eixo das ordenadas. Denomine esta reta de “d”. - Defina a intersecção da reta “d” com o eixo das ordenadas. Denomine este ponto de “P_1”. - Esconda as retas “c” e “d”. - Crie um segmento definido por dois pontos, do ponto “A” à “P”. Denomine este segmento de “e”. - Crie um segmento definido por dois pontos, do ponto “A_1” à “P”. Denomine este segmento de “g”. - Modifique o Estilo destes segmentos “e” e “g”. Deixe-as tracejadas. - Edite nas Propriedades do Ponto A. Exibir Rótulo: Nome & Valor. - Edite nas Propriedades do Ponto P. Legenda: x(A); Exibir Rótulo: Legenda. - Edite nas Propriedades do Ponto P_1. Legenda: y(A); Exibir Rótulo: Legenda.
  9. 9. 9 Concluiremos a construção da seguinte maneira. Essa nova construção nos leva a novos questionamentos pertinentes: - Quando “x(A)” for 3, qual será sua correspondente “y(A)”? - Se substituirmos na função “f(x)” o “x” por 3, quanto será “y”? 4.1.1 DOMÍNIO E IMAGEM Sabemos pela definição de Funções do 1° Grau que o Domínio e Imagem desta, serão todos os Reais. 4.1.2 INTERVALOS Podemos ainda, trabalhar com intervalos.
  10. 10. 10 - Insira dois seletores: (a) e (b) respectivamente, tendo eles mínimo (-10), máximo (10) e incremento (1). - No Campo de Entrada, digite o comando de Função[ , -5, 5], seguindo como parâmetros os seletores (a) e (b). Após dê ENTER para finalizar a construção. - Para melhor entendimento do comando, digite na Entrada de Comandos Função[] e então ENTER. Será visualizada a seguinte janela: No caso do comando que nós atribuímos, foi Função , valor de x inicial = -5 e valor de x final = 5. 4.2 INEQUAÇÕES DO 1° GRAU Sendo um função do 1° Grau, uma inequação do 1° Grau é toda inequação redutível a uma das formas seguintes. Em uma inequação do 1° Grau, os valores da variável que transformam a inequação em uma desigualdade verdadeira recebem o nome de soluções da inequação.
  11. 11. 11 O conjunto de todas as soluções de uma inequação é o conjunto solução (S) ou conjunto verdade desta inequação. O processo de resolução de uma inequação do 1° Grau envolve descobrir os valores de x para os quais ou ou , o que é chamado de estudo do sinal de uma Função do 1° Grau. A seguir vamos construir a demonstração do conjunto solução da inequação do 1° Grau. - Insira na Entrada de Comandos, a = -2 e ENTER. - Insira na Entrada de Comandos, b = 1 e ENTER. Obs.: inserindo diretamente os valores, são criados seletores na Janela de Álgebra, após a construção é só clicar com o botão direito do mouse sobre eles na Janela de Álgebra e selecionar a opção Exibir Objetos. - Digite na Entrada de Comandos a expressão ( ) . - Crie um ponto sobre o EixoX. Na Janela 2, selecione a opção Novo Ponto (A) e então clique com o botão esquerdo do mouse sobre o eixo das abscissas. Obs.: Apertando ESC para selecionar a opção Mover. Mova o ponto (A) no eixo das abscissas. Perceba que este ponto está fixo no eixo. - Crie uma reta perpendicular(c) que passe pelo ponto criado no EixoX em relação ao eixo das Abscissas. - Marque a intersecção da reta(c) e a reta (f(x)). Criado o ponto, denomine-o de (P). Obs.: Apertando ESC para selecionar a opção Mover. Mova o ponto (A) e perceba o comportamento do ponto (P). - Habilite o rastro do ponto (P).
  12. 12. 12 Faça o mesmo processo da observação anterior e analise a situação. Na inequação o conjunto solução, como já explicita no início do capítulo é o conjunto verdade da sentença. Neste caso, gostaríamos de saber o conjunto verdade da sentença , ou seja, o conjunto solução é . Iremos então, representá-lo na reta o conjunto solução. Seguiremos os passos então: - Clique com o botão direito do mouse sobre o ponto (P) e selecione a opção Propriedades. - Selecione a janela Avançado. Nosso objetivo é demonstrar quais valores da minha equação torna a sentença verdadeira, ou seja, . Então vamos digitar na janela de diálogo de Condições para mostrar Objeto, x(A) < = 1 / 2 que neste caso seria o domínio da inequação.
  13. 13. 13 Movimentando o ponto (A) podemos verificar a solução da minha inequação. Para estudar outras sentenças é só mudar os parâmetros (a) e (b) da equação, no caso serão os seletores. 4.3 CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS – PLANILHA DE CÁLCULO Neste capítulo vamos trabalhar com construção de gráficos através da Planilha de Cálculo. A Planinha tem uma interface como a Microsoft Office Excel, nos dispõe também função semelhantes e também do Campo de Entrada do GeoGebra. 4.3.1 PONTOS Tradicionalmente, no estudo de funções, para a construção dos gráficos os professores usam a tabelinha. Neste caso não seria muito diferente, a vantagem seria uma abordagem eficaz e com ferramentas dinâmicas. Primeiramente vamos analisar como se determina elementos na grade. Como identificado o elemento da coluna A e linha 4? Semelhante às operações feitas no Excel, vamos identificá-lo como A4. No caso o elemento que está localizado na casa A4 é o 5.
  14. 14. 14 Agora que sabemos identificar na planilha, iremos construir uma sequência de números na coluna A. - Digite na casa A1 o número -5 e dê ENTER. - Digite na casa A2 o A1+1 e dê ENTER. - Digite na casa A3 o A2+1 e dê ENTER. - Repita o mesmo processo até a casa A11. Perceba que houve uma sequência, no qual a casa sucessora era resultado da casa antecessora + 1. Já sabemos então como definir valores independentes de x. A seguir vamos definir os valores dependentes de y na construção de pontos. Entendemos que os valores de y são encontrados através de f(x). - Na coluna B1, digite a expressão -2*(A1)+1. Note que A1 = -5. - Na coluna B2, digite a expressão -2*(A2) +1. Note que A2 = -4. - Repita o processo até B11. Temos então, as coordenadas x, y dos pontos definidos pela expressão . A seguir, vamos construir estes pontos na Janela Gráfica. Segue o processo: - Digite na casa C1 o seguinte: (A1, B1) e dê ENTER. - Digite na casa C2 o seguinte: (A2, B2) e dê ENTER. - Repita o processo até C11.
  15. 15. 15 Perceba na Janela Gráfica os pontos criados. Se não for possível visualizar todos os pontos, é preciso Reduzir o zoom. 4.3.2 ESBOÇO DO GRÁFICO Como na Entrada de Comandos, é possível inserir o comando de Função[] nas casa da Planilha de Cálculo. Seguindo o exemplo acima, temos como intervalos reais da função [-5, 5] e a expressão . Logo o Comando será Função . - Digite na casa A13 o comando Função e dê ENTER.
  16. 16. 16 4.4 DEMONSTRAÇÕES 4.4.1 TRIÂNGULOS Considerando três pontos não colineares A, B e C, podemos dizer que a união dos três segmentos ̅̅̅̅, ̅̅̅̅ e ̅̅̅̅, recebe é chamado de Triângulo. São classificados pela medida de seus lados ou ainda pelos seus respectivos ângulos internos. 4.4.1.1 CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA DE UM TRIÂNGULO Para que possa ser construído um triângulo é necessário que a medida de qualquer um dos lados seja menos que a soma das medidas dos outros dois e maior que o valor absoluto da diferença entre essas medidas. | | 1º Exemplo: Triângulo de lados 2, 3 e 4 cm. - Construa um segmento com comprimento fixo na Janela Gráfica. Irá abrir uma janela de diálogo pedindo o comprimento do segmento, digite 2.
  17. 17. 17 - Construa um círculo dados centro e raio. Primeiro clique sobre o ponto A, pertencente a um dos extremos do segmento já criado, então digite na janela de diálogo a medida do outro lado do triângulo, neste caso será 3. - Construa outro círculo dados centro e raio. Primeiro clique sobre o ponto B, pertencente ao outro extremo do segmento já criado, então digite na janela de diálogo a medida do terceiro lado do triângulo, neste caso 4. - Defina a intersecção destas duas circunferências. Denomine-o este ponto de C. - Construa um segmento ̅̅̅̅. - Construa um segmento ̅̅̅̅. 2º Exemplo: Triângulo de lados 1, 1 e 3. Construa um segmento com comprimento fixo na Janela Gráfica. Irá abrir uma janela de diálogo pedindo o comprimento do segmento, digite 1.
  18. 18. 18 - Construa um círculo dados centro e raio. Primeiro clique sobre o ponto A, pertencente a um dos extremos do segmento já criado, então digite na janela de diálogo a medida do outro lado do triângulo, neste caso será 1. - Construa outro círculo dados centro e raio. Primeiro clique sobre o ponto B, pertencente ao outro extremo do segmento já criado, então digite na janela de diálogo a medida do terceiro lado do triângulo, neste caso 3. - Defina a intersecção destas duas circunferências. (Impossível) 4.4.1.2 CLASSIFICAÇÃO DOS TRIÂNGULOS a) Triângulo Equilátero: três lados congruentes (medidas iguais); três ângulos internos congruentes (iguais) de 60º, sendo assim classificado como polígono regular. Exemplo 1: Triângulo de lados 2, 2 e 2cm. - Construa um segmento de comprimento fixo igual a 2. - Construa um círculo dados centro (A) e raio igual a 2. - Construa outro círculo dados centro (B) e raio igual a 2. - Define a intersecção entre as duas circunferências. Denomine-o este ponto de C. - Construa um segmento ̅̅̅̅. - Construa um segmento ̅̅̅̅. - Define o ângulo entre os pontos ̂ . Obs.: normalmente para se obter o ângulo interno, deve-se seguir a sequência no sentido anti-horário em relação ao centro. - Define o ângulo entre os pontos ̂ . - Define o ângulo entre os pontos ̂ .
  19. 19. 19 Ilustração do Exemplo 1. b) Triângulo Isósceles: dois lados congruentes; dois ângulos internos congruentes e o terceiro ângulo formado pelos lados congruentes é chamado de ângulo do vértice. Exemplo 2: Triângulo de lados 2, 2 e 1cm. - Construa um segmento de comprimento fixo igual a 1. - Construa um círculo dados centro (A) e raio igual a 2. - Construa outro círculo dados centro (B) e raio igual a 2. - Determine a intersecção entre as duas circunferências. - Construa um segmento ̅̅̅̅. - Construa um segmento ̅̅̅̅. - Define o ângulo entre os pontos ̂ . - Define o ângulo entre os pontos ̂ . - Define o ângulo entre os pontos ̂ .
  20. 20. 20 Ilustração do Exemplo 2. c) Triângulo Escaleno: a medida dos três lados diferentes. Ângulos internos diferentes. Exemplo 3: Triângulo de lados 3, 4 e 5 cm. - Construa um segmento de comprimento fixo igual a 5. - Construa um círculo dados centro (A) e raio igual a 3. - Construa outro círculo dados centro (B) e raio igual a 4. - Determine a intersecção entre as duas circunferências. - Construa um segmento ̅̅̅̅. - Construa um segmento ̅̅̅̅. - Define o ângulo entre os pontos ̂ . - Define o ângulo entre os pontos ̂ . - Define o ângulo entre os pontos ̂ .
  21. 21. 21 Ilustração do Exemplo 3. d) Triângulo Retângulo: possui um dos ângulos internos, reto (90º graus). Exemplo 3. e) Triângulo Obtusângulo: possui um dos três ângulos interno obtuso (maior que 90º graus). Seguindo os mesmos processos de construção, mas com medidas diferentes nos lados, encontramos o triângulo obtusângulo. Ilustração do Triângulo Obtusângulo no GeoGebra. a) Triângulo acutângulo: possui os três ângulos internos menores que 90º graus. Exemplo 1. 4.4.2 ÁREA DO TRIÂNGULO - Esconda a Malha. - Digite na Entrada de Comandos A = (0,0) e dê ENTER. - Digite na Entrada de Comandos B = (0,4) e dê ENTER.
  22. 22. 22 - Digite na Entrada de Comandos C = (1,2) e dê ENTER. - Encontre o ponto médio dos pontos C e B. Denomine-o de M. - Construa uma reta passando por A e B. Denomine-a de a. - Construa uma reta perpendicular a reta a e que passe pelo ponto C. Denomine-a de b. - Esconda os Eixos. - Defina a intersecção da reta b e da reta a. Denomine este ponto de H. - Esconda a reta b. - Construa um segmento ̅̅̅̅. Edite este segmento em Propriedades/Estilo/Estilo da Linha e escolha a forma tracejada. Também Esconda seu Rótulo. - Esconda a reta a. - Construa o Polígono ABC. Obs.: Para construir polígonos quaisquer, devem-se selecionar os vértices do polígono e fechá-lo sempre no primeiro ponto selecionado, ou seja, o primeiro vértice será o último também. - Crie na Janela Gráfica um Seletor de mínimo = 0, máximo = 1 e incremento = 0.1. Denomine-o de t. - Digite na Entrada de Comandos e dê ENTER. - Com a ferramenta Girar em torno de um ponto por um ângulo, será criado um ponto que gire em torno do ponto M pelo ângulo . Primeiro selecione o ponto A, o centro que será o ponto M e então defina o ângulo e escolha a opção sentido horário como na ilustração abaixo e dê OK. Será criado o ponto A . - Agora faremos o mesmo processo, mas agora selecione primeiro o ponto C, o centro será o ponto M e o ângulo . Opção sentido horário e OK.
  23. 23. 23 - Agora faremos o mesmo processo, mas agora selecione primeiro o ponto B, o centro será o ponto M e o ângulo . Opção sentido horário e OK. - Construa o Polígono A B C . Caso não consiga visualizar os pontos ou não selecioná- los, movimente o seletor para movimentar os pontos. - Defina o ângulo ̂ . - Construa o segmento definido por dois pontos ̅̅̅̅. - Construa o segmento definido por dois pontos ̅̅̅̅. 4.4.3 CICLO TRIGONOMÉTRICO - Esconda a Malha. - Defina a intersecção do eixo das abscissas e do eixo das ordenadas. Denomine-a de C. - Construa um círculo dados centro e raio. O centro será o ponto C e raio = 1. Denomine-a de “c”. - Construa um novo ponto na coordenada (1,0). Denomine-o de A. - Construa um novo ponto sobre a circunferência c. Denomine-o de P. - Construa uma reta definida por dois pontos. Selecione primeiro o ponto C e depois P. Denomine-a de a. - Construa uma reta perpendicular em relação ao eixo das ordenadas e que passe pelo ponto P. Denomine-a de b. - Defina a intersecção da reta b e o eixo das ordenadas. Denomine-o de S. - Construa um segmento definido por dois pontos. Selecione primeiro o ponto C e depois S. Denomine-o de d. - Construa um segmento definido por dois pontos. Selecione primeiro o ponto P e depois S. Denomine-o de b_1. - Construa uma reta perpendicular em relação ao eixo das abscissas e que passe pelo ponto P. Denomine-a de e. - Defina a intersecção da reta e e o eixo das abscissas. Denomine-o de S_1. - Construa um segmento definido por dois pontos. Selecione primeiro o ponto C e depois S_1. Denomine-o de d_1.
  24. 24. 24 - Construa um segmento definido por dois pontos. Selecione primeiro o ponto P e depois S_1. Denomine-o de e_1. - Defina o ângulo de ̂ . Na sequência, primeiro A, C e depois P. - Construa uma reta paralela ao eixo das ordenadas e que passe pelo ponto A. Denomine-a de f. - Defina a intersecção entre a reta f e a reta a. Denomine-o de T. - Construa um segmento definido por dois pontos. Selecione primeiro o ponto A e depois T. Denomine-o de f_1. - Arraste a ferramenta Mover na construção, como se fosse uma seleção de arquivos. Clique com o botão direito do mouse. Selecione a opção Esconder Rótulo. Fará que limpe a Zona Gráfica. - Modifique as propriedades dos segmentos d, f_1 e d_1. Mude a cor destes, uma diferente da outra. - Modifique as propriedades dos segmentos e_1 e b_1. Mude o estilo da linha para tracejada e de cor cinza. - Esconda os Objetos e, f, e b. - Selecione o ponto S_1, em propriedades/básico escolha a opção Exibir Rótulo e então Valor. - Faça o mesmo com os pontos S_1 e T.
  25. 25. 25 Ciclo Trigonométrico 4.4.4 ÁREA DO TRAPÉZIO - Construa uma reta definida por dois pontos. Denomine-a de a e os pontos de A e B. - Construa um novo ponto não pertencente a esta reta. Denomine-o de C. - Construa uma reta paralela a reta a que passe pelo ponto C. Denomine-a de b. - Construa um novo ponto sobre a reta b. Denomine-o de D. - Defina o ponto médio entre os pontos A e C. Denomine-o de E. - Defina o ponto médio entre os pontos B e D. Denomine-o de F. - Construa um polígono dos pontos A, B, C e D. Denomine-o de ABCD e seus segmentos de c_1, c_2, c_3 e c_4. - Construa um seletor de ângulo mínimo = 0º e máximo = 180º. Denomine-o de t. - Defina Condição para mostrar os Objetos ABCD, c_1, c_2, c_3 e c_4 para t = 0°.
  26. 26. 26 Dica: o símbolo de graus não pode ser digitado pelo teclado, deve ser selecionado janela de símbolos no canto. - Com a ferramenta girar em torno de um ponto por um ângulo, será criado um ponto que gire em torno do ponto F pelo ângulo definido pelo seletor. Primeiro selecione o ponto E, o centro que será o ponto F e então defina o ângulo e escolha a opção sentido horário como na ilustração abaixo e dê OK. Será criado o ponto E . - Faça o mesmo com os pontos C e D. Serão criados os pontos C e D . - Construa um polígono dos pontos A, B, E e F. Denomine-o de ABEF e seus segmentos de d_1, d_2, d_3 e d_4. - Construa um polígono dos pontos E , F, D e C . Denomine-o de E FD C e seus segmentos e_1, e_2, e_3 e e_4. - Defina Condições para mostrar os Objetos E FD C , e_1, e_2, e_3 e e_4 para t > 0º. - Defina Condições para mostrar os Objetos ABEF, d_1, d_2, d_3 e d_4 para t > 0º. - Defina Condições para mostrar os Objetos E, F, E , C e D para t > 0º. - Selecione todos os Objetos e esconda seus Rótulos. - Construa uma reta perpendicular a reta a e que passe por C. Denomine-a de f. - Defina a intersecção entre a reta f e a. Denomine o ponto de H. - Esconda os Objetos a, b e f. - Crie um segmento definido pelos pontos C e D. Denomine-o de g_1. - Crie um segmento definido pelos pontos A e B. Denomine-o de g_2. - Crie um segmento definido pelos pontos A e C. Denomine-o de g_3. - Crie um segmento definido pelos pontos B e D. Denomine-o de g_4. - Crie um segmento definido pelos pontos C e H. Denomine-o de h. - Crie um segmento definido pelos pontos A e H. Denomine-o de g_5. - Modifique as propriedades/estilo/estilo das linhas g_1, g_2, g_3, g_4 e g_5 para pontilhada e desmarque Exibir Rótulo.
  27. 27. 27 - Modifique as propriedades/estilo/estilo da linha h para tracejada. - Modifique nas propriedades/estilo/preenchimento dos polígonos ABCD, ABFE, E FD C e arraste até 100. - Defina o ponto médio do segmento h. Denomine-o de M. Área do Trapézio. 5 ATIVIDADES PARA O ENSINO FUNDAMENTAL - Construção de uma Casa com as formas geométricas conhecidas: Quadrado, retângulo, triângulo, paralelogramo. Poderão ser trabalhadas as formas geométricas, perímetro, área de superfícies planas. - Teorema de Tales. - Pontos notáveis do triângulo: Medianas e baricentro; Bissetrizes e incentro; Alturas e ortocentro; Mediatrizes e circuncentro. - Congruência de Triângulos: Casos de Congruência (LAL, ALA, LLL, LAAo, triângulos retângulos). 6 ATIVIDADES PARA O ENSINO MÉDIO - Teorema de Pitágoras. - Função Quadrática. - Função Exponencial. - Funções Trigonométricas. - Trigonometria no Triângulo Retângulo.
  28. 28. 28 6.1.1 PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS - Crie um seletor, denominado n de mínimo = 1, máximo = 6 e incremento = 1. - Digite na Entrada de Comandos: Segmento[(n - 1, 0), (n - 1, 2^(n - 1))] - Digite na Entrada de Comandos: Sequência[Segmento[(n - 1, 0), (n - 1, 2^(n - 1))], n, 1, 6] - Insira um Texto na Janela Gráfica, nesta janela vamos digitar as fórmulas da P.G.  Termo Geral: a_n = a_0 * q^{n-1}  Soma dos Termos: S_n = frac{ a_0*(q^n - 1) }{q -1 }  Razão: q = frac{ a_n }{a_{n-1} } - Modifique as propriedades dos objetos para que fique mais destacados. Representação de uma sequência geométrica. 6.1.2 PROGRESSÕES ARITMÉTICAS - Crie um seletor, denominado n de mínimo = 1, máximo = 6 e incremento = 1. - Digite na Entrada de Comandos: Segmento[(n - 1, 0), (n - 1, 2 (n - 1))] - Digite na Entrada de Comandos: Sequência[Segmento[(n - 1, 0), (n - 1, 2 (n - 1))], n, 1, 6] - Insira um Texto na Janela Gráfica, nesta janela vamos digitar as fórmulas da P.A. o Termo Geral: a_n = a_1+(n-1)*r o Soma dos Termos: S_n = n* frac{ a_1 + a_n }{2 } o Razão: r = a_n - a_{n-1} - Modifique as propriedades dos objetos para que fique mais destacado.
  29. 29. 29 Representação de uma sequência aritmética. 6.1.3 MATRIZES Criar Matrizes: Exemplo: Digite na Entrada de Comandos. M = {{1, 2}, {3, 4}} e ENTER. Observe a Matriz criada na Zona Algébrica. Definir a Matriz inversa: Digite na Entrada de Comandos, M_{-1} = MatrizInversa[M] e ENTER. Definir a Matriz identidade: Digite na Entrada de Comandos, I = M*M_{-1} e ENTER. Definir a Matriz transposta: Digite na Entrada de Comandos, M_t = MatrizTransposta[M] e ENTER. Definir a Determinante da Matriz: Digite na Entrada de Comandos, detM = Determinante[M] e ENTER. Inserir a Matriz na Zona Gráfica: Digite na Entrada de Comandos, TabelaDeTexto[M] e ENTER. Observe que não os delimitadores (parênteses) da Matriz. Há uma segunda maneira de inserir Matriz na Zona Gráfica. Selecione a ferramenta Inserir Texto e clique sobre na Zona Gráfica, selecione a opção fórmula LaTeX e escolha a opção Objetos: selecione M.
  30. 30. 30 A terceira maneira é selecionando a flecha ao lado da opção Fórmula Latex, após na opção Matrizes e então selecionar uma das opções disponíveis na janela – Matriz 1 x 3, 3 x 1, 2 x 2 ou ainda 3 x 3. Secionada a matriz desejada, irá abrir esta expressão na janela de texto. Nas letras a, b, c e d, substitua-os por 1, 2, 3 e 4 respectivamente, e clique em OK.
  31. 31. 31 Matrizes Dinâmicas - Crie quatro seletores, seletor a, b, c e d. - Digite na Entrada de Comandos, M = {{a, b},{c, d}} e ENTER. - Selecione a ferramenta Inserir Texto e clique sobre na Zona Gráfica, selecione a opção fórmula LaTeX e escolha a opção Objetos: selecione M. Manipule os seletores e analise a variação dos elementos da Matriz.
  32. 32. 32 7 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS HOHENWARTER, Markus. GeoGebra. Disponível em: <www.geogebra.org>. Acessado em: 25 Out de 2011. AQUINO, L. C. M. Mini curso do GeoGebra. Disponível em: <http://www.youtube.com/watch?v=9- orPBR1TXo&feature=results_main&playnext=1&list=PL8884F539CF7C4DE3>.Acessado em: 26 Out de 2011.
  33. 33. 33 Sumário TABELA DE FERRAMENTAS..............................................................................................1 ATALHOS................................................................................................................................3 1 ENTRADA DE COMANDOS .......................................................................................... 3 1.1 OPERADORES .......................................................................................................... 4 2 FOLHA DE CÁLCULO .................................................................................................... 5 3 TABELA DE COMANDOS ............................................................................................. 6 4 CONSTRUÇÕES NO GEOGEBRA ................................................................................. 7 4.1 FUNÇÃO DO 1º GRAU ............................................................................................ 7 4.1.1 DOMÍNIO E IMAGEM ....................................................................................... 9 4.1.2 INTERVALOS ..................................................................................................... 9 4.2 INEQUAÇÕES DO 1° GRAU ................................................................................. 10 4.3 CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS – PLANILHA DE CÁLCULO ......................... 13 4.3.1 PONTOS ............................................................................................................. 13 4.3.2 ESBOÇO DO GRÁFICO ................................................................................... 15 4.4 DEMONSTRAÇÕES ............................................................................................... 16 4.4.1 TRIÂNGULOS ................................................................................................... 16 4.4.2 ÁREA DO TRIÂNGULO .................................................................................. 21 4.4.3 CICLO TRIGONOMÉTRICO ........................................................................... 23 4.4.4 ÁREA DO TRAPÉZIO ...................................................................................... 25 5 ATIVIDADES PARA O ENSINO FUNDAMENTAL .................................................. 27 6 ATIVIDADES PARA O ENSINO MÉDIO .................................................................... 27 6.1.1 PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS ................................................................... 28 6.1.2 PROGRESSÕES ARITMÉTICAS .................................................................... 28 6.1.3 MATRIZES ........................................................................................................ 29 7 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ............................................................................ 32

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