Apresentação de tópicos de geometria analítica. Professor Luiz Gustavo da Silva.

1. GEOMETRIA ANALÍTICA
“Penso, logo existo”
René Descartes (1596 - 1650)
Pai da Geometria Analítica
Prof. Luiz Gustavo da Silva

2. O Plano Cartesiano

3. Eixos
• X  eixo das abscissas
• Y  eixo das ordenadas
• Z  eixo das cotas (3ª dimensão)
OBS: No momento vamos trabalhar somente
com duas dimensões (x,y).

4. Sinais dos quadrantes

5. Distância entre dois pontos

6. Razão de Secção

7. Ponto Médio

8. Baricentro de um triângulo

9. Condições de Alinhamento de 3 pontos
0
1
1
1
=
CC
BB
AA
yx
yx
yx

10. 3 pontos alinhados horizontalmente

11. 3 pontos alinhados verticalmente

12. 3 pontos numa reta não-paralela aos eixos

13. Se 0
1
1
1
≠
CC
BB
AA
yx
yx
yx
Os pontos A, B e C são vértices de um
triângulo!

15. Área de um Triângulo
2
1
1
1
CC
BB
AA
yx
yx
yx
Área =

16. Mediatriz

17. Simetria
A simetria é uma característica que pode ser observada em algumas formas
geométricas, equações matemáticas ou outros objetos

24. Equações da Reta
Equação Geral da Reta
0
1
1
1
=
BB
AA
yx
yx
yx
ax+by+c=0

25. Equação Segmentária da Reta
1=+
q
y
p
x

26. q = 3
p = 1

27. Equações Paramétricas da Reta
Se y = f(x), temos:
x = f(t)
e
y = g(t)
Rt ∈∀

28. Exemplo
Se ax + by + c = 0 ,
Vamos parametrizá-la!
Escolhendo x = t ,
Teremos,
at + by + c = 0
by + c = -at
by = -at – c
Portanto,
y = (-a/b)t – c/a

29. Equação Reduzida da Reta
y = mx + q
Onde,
m= -a/b
q (o mesmo da equação segmentária) = -c/b

30. Coeficiente angular da reta
x
y
xx
yy
b
a
tgm
AB
AB
∆
∆
−=
−
−
−=−==
)(
)(
θ

31. Equação de uma reta r
(conhecidos o coeficiente angular e um ponto P de r)
)(
)(
P
P
xx
yy
m
−
−
−=

32. Pra que servem essas Equações?
• Usadas na Química;
• Usadas na Física (Sxt no MU, vxt no MUV, etc....)
• Usadas em diversas disciplinas das mais variadas engenharias;
• Usadas em qualquer tipo de problema onde há um constante crescimento ou
decrescimento;
• E muito mais!

33. Representação gráfica de Retas
Basta plotarmos 2 pontos no plano cartesiano!
É aconselhável usarmos a equação Reduzida para isso!
Assim,
Teremos y = f(x) , que é uma função do 1º grau.
E sabemos que toda função do 1º grau gera uma reta!

34. Coordenadas do ponto de intersecção entre duas ou mais retas
Nada mais é do que o ponto comum entre elas!
Basta pegarmos a equação de cada reta e fazermos um sisteminha entre elas!

35. Posições relativas entre retas
• Duas ou mais retas são paralelas, se e somente se, tiverem
coeficientes angulares iguais!
• Duas ou mais retas são concorrentes, se e somente se, tiverem
coeficientes angulares diferentes!
• Duas retas são perpendiculares quando o produto entre seus
coeficientes angulares for ( - 1 )! Você pode dizer também que o
coeficiente angular de uma reta é o inverso negativo do
coeficiente angular da outra reta!

36. Ângulo entre duas Retas
sr
sr
sr
sr
mm
mm
arctg
mm
mm
tg
+
−
=⇒
+
−
=
11
θθ

37. Distância entre um Ponto e uma reta
²²
,
ba
cbyax
d PP
rP
+
++
=

38. Bissetrizes de duas retas
2222
,,
ss
sss
rr
rrr
sPrP
ba
cybxa
ba
cybxa
dd
+
++
±=
+
++
⇒=

39. EXERCÍCIOS...