Assuntos abordados: Plano cartesiano, Distância entre pontos, Mediana, Baricentro, Ponto Médio, Bissetriz e Retas.

1. GEOMETRIA
ANALÍTICA
PLANO CARTESIANO,
DISTÂNCIA ENTRE PONTOS,
PONTO MÉDIO, MEDIANA,
BARICENTRO, BISSETRIZ E
RETAS.
ISABELA COELHO MALAQUIAS

2. PLANO CARTESIANO
 Um ponto que está sobre o eixo X possui
sua ordenada igual a zero. (x,0)
 Um ponto que está sobre o eixo Y possui
sua abscissa igual a zero. (0,y)

3. PLANO CARTESIANO
 O plano cartesiano é constituído por duas retas
numéricas perpendiculares nas quais é possível
marcar localizações. Essas retas são chamadas de
eixos.
 A reta do eixo Y (vertical) é chamado de eixo das
ordenadas.
 A reta do eixo X (horizontal) é chamada de eixo
das abscissas.

4. PONTOS NO PLANO CARTESIANO
 Um ponto possui coordenadas X e Y. O
primeiro elemento da coordenada é o X
(abscissa) e o segundo elemento é o Y
(ordenada)
(X , Y)

5. DISTÂNCIA ENTRE PONTOS - DEMONSTRAÇÃO
 Constrói-se um segmento de reta que liga os
dois pontos que se quer calcular a distância. A
partir disso é possível visualizar um triângulo
retângulo.
 Sua hipotenusa é dada pelo segmento AB, e os
catetos são dados pelos segmentos AC e BC.
 Aplica-se então o teorema de Pitágoras:
𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2
𝐴𝐶2
+ 𝐵𝐶2
= 𝑑𝐴𝐵2
(𝑋𝑏 − 𝑋𝑎)2
+(𝑌𝑏 − 𝑌𝑎)2
= 𝑑𝐴𝐵2
𝑿𝒃 − 𝑿𝒂 𝟐 + (𝒀𝒃 − 𝒀𝒂)² = 𝒅𝑨𝑩

6. EXEMPLO CÁLCULO DISTÂNCIA ENTRE
PONTOS
A (-2,4) e E (2,1)
𝑿𝒆 − 𝑿𝒂 𝟐 + (𝒀𝒆 − 𝒀𝒂)² = 𝒅𝑨𝑬
( 𝟐 − (−𝟐) 𝟐+(𝟏 − 𝟒)² = 𝒅𝑨𝑬
(𝟒) 𝟐+(−𝟑)² = 𝒅𝑨𝑬
𝟏𝟔 + 𝟗 = 𝒅𝑨𝑬
𝟐𝟓 = 𝒅𝑨𝑬
5 = 𝒅𝑨𝑬

7. PONTO MÉDIO - DEMONSTRAÇÃO
Os triângulos AMN e ABP são semelhantes. Por isso:
AM
AB
=
AN
AP
Como M é o ponto médio do segmento AB então AB = 2.(AM)
AM
2AM
=
AN
AP
1
2
=
𝐴𝑁
𝐴𝑃
AP = 2.(AN)
(Xa – Xp) = 2.(Xa – Xm)
(Xa – Xb) = 2.(Xa – Xm)
Xa – Xb = 2.Xa – 2.Xm
Xa – Xb – 2.Xa = - 2.Xm
-Xa – Xb = - 2.Xm
𝑿𝒂 + 𝒙𝑩 = 𝑿𝒎
𝟐
Pelo mesmo processo é
possível demonstrar que:
𝒀𝒂 + 𝒀𝒃 = 𝒀𝒎
𝟐

8. EXEMPLO DE CÁLCULO – PONTO MÉDIO
A(4,-1) e B(-2,3)
Xa + Xb = Xm
2
4 + (−2) = Xm
2
2 = Xm
2
1 = 𝑿𝒎
Ya + Yb = Ym
2
−1 + 3 = Ym
2
2 = Ym
2
1= 𝒀𝒎
Pm (1,1)

9. MEDIANA E BARICENTRO
 A Mediana é o segmento de reta que une o
ponto médio de um lado do triângulo ao vértice
oposto.
 A Mediana divide qualquer triângulo em dois
triângulos menores e de áreas iguais.
 O Baricentro é o ponto de encontro das
Medianas (Ponto G no gráfico).
As medianas estão representadas pelos segmentos de retas laranja, rosa e preta

10. CÁLCULO MEDIANA
 1º calcula-se o ponto
médio do lado do
triângulo
D(-4, -4) e C(6,-4)
Xc + X𝑑 = Xm
2
6 + (−4) = Xm
2
2 = Xm
2
1 = 𝐗𝐦
Yc + 𝑌𝑑 = Ym
2
−4 + (−4) = Ym
2
−8 = Ym
2
-4 = Ym
(1,-4) – Ponto Médio
(Ponto E)
• 2º Calcula-se a distância
entre o ponto médio ao
vértice oposto (A)
A(1,2) e E(1,-4)
Xe − Xa 2 + (Ye − Ya)² =
dAE
1 − 1 2 + (−4 − 2)² =
dAE
0 2 + (−6)² = dAE
36 = dAE
6 = 𝒅𝑨𝑬 --- MEDIANA

11. CÁLCULO BARICENTRO
𝑋𝑎 + 𝑋𝑑 + 𝑋𝑐 = 𝑋𝐺
3
( 1 + −4 + 6 = 𝑋𝐺
3
3 = 𝑋𝐺
3
1= 𝑿𝑮
Vamos considerar um triângulo com vértices
A(1,2), C(6,-4) e D(-4,-4). As coordenadas
do Baricentro (G) é dada por:
𝑌𝑎 + 𝑌𝑑 + 𝑌𝑐 = 𝑌𝐺
3
2 + (−4) + (−4) = 𝑌𝐺
3
−6 = 𝑌𝐺
3
-𝟐 = 𝒀𝑮
(1,-2) – Baricentro (Ponto G)

12. BISSETRIZ
É UMA RETA QUE DIVIDE O ÂNGULO DOS QUADRANTES PARES E ÍMPARES EM DOIS
ÂNGULOS CONGRUENTES (MESMA MEDIDA)
 Bissetriz dos quadrantes ímpares: Os valores
de Y serão iguais ao valores de X (Y = X)
 Bissetriz dos quadrantes pares: Os valores de Y
são opostos aos valores de X (Y = - X)

13. RETAS
 É uma forma geométrica formada por
infinitos pontos alinhados.
 Para formarmos uma reta precisamos de
no mínimo dois pontos.

14. CONDIÇÃO DE ALINHAMENTO ENTRE TRÊS
PONTOS
 Três pontos estarão alinhados somente se pertencerem à mesma reta.
 Para saber se os pontos estão alinhados deve-se calcular o determinante pela regra de Sarrus. Caso
esse valor dê zero, então os pontos estarão alinhados.
Pontos:
A(1,2)
B(3,3)
C(5,4)
Como o determinante resultou em zero,
então os pontos estão alinhados!

15. ALGUNS TIPOS DE RETAS
 Retas paralelas: Não se encontram (Possuem o
mesmo coeficiente angular)
 Retas concorrentes: Possuem um único ponto em
comum.
 Retas perpendiculares: Possuem um único ponto
em comum e formam um ângulo de 90º (O
coeficiente angular é o oposto do inverso da
outra)
 Coincidentes: Retas em que dois ou mais pontos
de uma reta coincidem com outra.

16. EQUAÇÃO DA RETA
Geral
ax + by + c = 0
Reduzida
y = ax + b
Coeficiente
Angular
Coeficiente Linear

17. RETAS PARALELAS E PERPENDICULARES
 Paralelas: Digamos que uma reta A com equação y = -3x + 5 seja paralela a uma reta B. Essa reta B
terá coeficiente angular -3 pois retas paralelas possuem o mesmo coeficiente angular
 Perpendiculares: Digamos que uma reta B com equação y = 2x – 6 seja perpendicular a uma reta C.
Essa reta C terá coeficiente angular -1/2 pois o coeficiente angular da reta perpendicular é o oposto
do inverso do coeficiente angular da outra reta (oposto de 2 é -2 e o inverso de -2 é -1/2)