Geometria analítica

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Geometria analítica

  1. 1. Ponto, reta e circunferência<br />Geometria Analítica<br />
  2. 2. Distância entre dois pontos<br />Ponto médio<br />Razão de secção<br />Condição de alinhamento de três pontos<br />Estudo do ponto<br />
  3. 3. Distância entre dois pontos<br />Ponto médio<br />dA,B = √(xB-xA)² + (yB – yA)² <br />M = (xA + xB /2, yA + yB/2)<br />Estudo do ponto<br />
  4. 4. Origem, e extremidade<br />Ponto divisor<br />OP = r PE <br />Estudo do ponto – Razão de secção<br />
  5. 5. Condição de alinhamento de três pontos<br />xaya 1<br />xbyb 1 = 0<br />xc yc 1<br />
  6. 6. Equações da reta<br />Posições relativas entre retas<br />Ângulos entre retas<br />Distância entre <br /><ul><li>ponto e reta
  7. 7. Retas</li></ul>Inequações no plano<br />Estudo da reta<br />
  8. 8. Reduzida:<br />y = mx + p<br />Segmentária:<br />x/p + y/q = 1<br />Equações da reta<br />
  9. 9. Equação geral: <br />ax + by + c = 0<br />Equação fundamental:<br />y - yA = m (X- XA)<br />Equações da reta<br />
  10. 10. Posições relativas entre retas<br />Retas Paralelas<br />As retas r e s têm o mesmo coeficiente angular.<br />Assim para r//s, temos:<br />
  11. 11. Posições relativas entre retas<br />Retas Concorrentes<br />As retas r e s têm coeficientes angulares diferentes.<br />Assim para r e s concorrentes, temos:<br />
  12. 12. Posições relativas entre retas<br />Retas Perpendiculares<br />É um caso particular de reta concorrente. Duas retas são ditas perpendiculares quando os seus coeficientes angulares são tais que:<br />
  13. 13. Ângulos entre retas<br />
  14. 14. Distância entre ponto e reta<br />A distância entre um ponto e uma reta é calculada unindo o próprio ponto à reta através de um segmento perpendicular a reta. Para estabelecer a distância:<br />equação geral da reta s: ax0 + by0 + c = 0<br />coordenada do ponto: P(x0,y0)<br />
  15. 15. Distância entre retas<br />No caso geral:<br />Seja x = 0 em r:<br />a(0) + by + cr= 0<br />y = -cr/b<br />Logo:<br />P( 0, -cr/b)<br />Portanto:<br />dP,s = |a(0) + b(-cr/b) + cs|<br />√a² + b²<br />dP,s = |b(-cr/b) + cs|<br />√a² + b²<br />r<br />
  16. 16. Equação geral e reduzida da circunferência<br />Posições relativas<br /> Ponto e circunferência<br /> Reta e circunferência<br /> Circunferência e circunferência<br />Estudo da circunferência<br />
  17. 17. Equações da circunferência <br />Geral<br />x² – 2xa + a² + y² - 2by + b² = r²<br />Reduzida<br /> r2 = (x – a)2 + (y – b)2<br />
  18. 18. Ponto e circunferência<br />dQ,0 < Raio<br />Q é interno a λ<br />dP,0 = Raio<br />P é pertencente a λ<br />dL,0 < Raio<br />L é externo a λ<br />P<br />Q<br />y0<br />o<br />L<br />x0<br />
  19. 19. Reta externa<br />Reta tangente<br />A reta s é externa à circunferência de centro O e raio R, então podemos propor a seguinte situação: a distância do centro da circunferência à reta s é maior que o raio da circunferência. D > R.<br />A reta s é tangente à circunferência de centro O e raio R, isto é, a reta s possui um ponto em comum com a circunferência, por isso podemos dizer que a distância entre centro O até a reta s possui a mesma medida. D = R <br />Reta e circunferência<br />
  20. 20. Reta secante<br />A reta s é secante à circunferência de raio R e centro O, a reta intersecta a circunferência em dois pontos. Nesse caso constatamos que a medida do raio da circunferência é maior que a medida da reta secante.<br />Reta e circunferência<br />
  21. 21. Externa<br />Interna<br />dO1,O2 > r1 + r2<br />λ1 ∩ λ2 = Ø<br />dO1,O2 < r1 + r2<br />λ1 ∩ λ2 = Ø<br />Circunferência e circunferência – não possuem ponto comum<br />
  22. 22. Tangente interna<br />Tangente Externa<br />dO1,O2 = r1 + r2<br />λ1 ∩ λ2 = {P}<br />dO1,O2 > r1 - r2<br />λ1 ∩ λ2 = {P}<br />Circunferência e circunferência –Um ponto em comum<br />
  23. 23. Secante<br />Cocêntrica<br />|r1 – r2|< dO1,O2 < r1 + r2<br />λ1 ∩ λ2 = {A,B}<br />dO1,O2 = 0<br />λ1 ∩ λ2 = Ø ou<br />λ1 ∩ λ2 = λ1= λ2<br />Circunferência e circunferência – Dois pontos em comum<br />

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