1) O documento descreve o sistema de coordenadas cartesiano retangular, no qual pontos em um plano são representados por pares ordenados (x, y) em relação aos eixos x e y. 2) Explica como calcular a distância entre dois pontos e a inclinação de uma reta passando por dois pontos no plano cartesiano. 3) Apresenta a dedução da equação geral de uma circunferência a partir da fórmula de Pitágoras e como verificar se uma equação representa ou não uma circunferência.

1. SISTEMA DE COORDENADAS
CARTESIANAS RETANGULARES E A
EQUAC¸ ˜AO DA CIRCUNFERˆENCIA
Prof. Dr. Carlos A. P. Campani
SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS RETANGULA-
RES
Imaginemos um espa¸co bidimensional, representado aqui por este quadro
em branco.
Imaginemos que este quadrado se extende em um plano infinito em todas
as dire¸c˜oes.
1

2. Pontos sobre este plano podem ser referenciados por suas proje¸c˜oes nas
bordas do quadro, em rela¸c˜ao a uma origem, no caso o canto inferior es-
querdo do quadro. Assim, o ponto 1 ´e o com menor distˆancia da proje¸c˜ao na
borda horizontal do quadro, e o ponto 3 o com maiores proje¸c˜oes tanto na
horizontal, quanto na vertical.
Os pontos P sobre este plano podem ser assim representados por pares
ordenados (a, b), a ∈ R e b ∈ R, onde a ´e a proje¸c˜ao sobre a borda horizontal
e b ´e a proje¸c˜ao sobre a borda vertical. O ponto O ´e a origem.
Os pares ordenados (a, b) s˜ao resultantes do produto cartesiano R × R,
ou seja, (a, b) ∈ R × R, e este produto cartesiano define o plano num´erico ou
R2
.
Para referenciar os pontos sobre o plano num´erico, podemos definir dois
eixos ortogonais, eixo x e eixo y, chamados de eixo das abscissas e eixo das
ordenadas. O encontro destes dois eixos ´e chamado de origem ou (0, 0). O
cruzamento dos dois eixos define quatro quadrantes, como podemos ver na
seguinte figura.
2

3. Ent˜ao, os valores das proje¸c˜oes dos pontos sobre o eixo das abscissas ´e
positivo nos 1o
e 4o
quadrantes, negativo nos 2o
e 3o
quadrantes. Os valores
das proje¸c˜oes dos pontos sobre o eixo das ordenadas ´e positivo nos 1o
e 2o
quadrantes, negativo nos 3o
e 4o
quadrantes.
Este sistema coordenado ´e chamado de Sistema de Coordenadas Cartesi-
anas Retangulares.
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4. DISTˆANCIA ENTRE DOIS PONTOS
Sejam os pontos (xA, yA) e (xB, yB):
d = (yB − yA)2 + (xB − xA)2
INCLINAC¸ ˜AO DA RETA
Sejam (xA, yA) e (xB, yB) dois pontos distintos sobre uma reta l, n˜ao pa-
ralela ao eixo y, ent˜ao a inclina¸c˜ao da reta l, denotada por m, ser´a dada
por:
m =
yB − yA
xB − xA
4

5. DEDUC¸ ˜AO DA EQUAC¸ ˜AO DA CIRCUNFERˆENCIA
Ao triˆangulo retˆangulo CPZ podemos aplicar Pit´agoras:
CZ
2
+ ZP
2
= CP
2
Logo,
(x − a)2
+ (y − b)2
= r2
Onde: (a, b) ´e o centro da circunferˆencia e r ´e seu raio.
COMPLETAC¸ ˜AO DE QUADRADOS
Queremos tornar o seguinte polinˆomio em um quadrado perfeito:
x2
+ bx
Sabemos que um quadrado perfeito, ou quadrado da soma, ´e
(u + v)2
= u2
+ 2uv + v2
Observe que u = x, na express˜ao u2
+2uv quando comparada com x2
+bx.
Podemos determinar o termo v2
que est´a faltando:
2uv = bx ⇒ 2xv = bx ⇒ 2v = b ⇒ v =
b
2
Assim, o termo que deve ser somado a x2
+bx para completar o quadrado
deve ser b
2
2
.
5

6. VERIFICAC¸ ˜AO SE UMA EQUAC¸ ˜AO ´E UMA CIRCUNFERˆENCIA
Para determinar se uma equa¸c˜ao ´e uma circunferˆencia, devemos coloca-la
na forma canˆonica, (x − a)2
+ (y − b)2
= r2
e verificar o sinal de r2
. Se for
negativo, isso ´e imposs´ıvel e a equa¸c˜ao n˜ao ´e uma circunferˆencia.
Determine se as seguintes equa¸c˜oes s˜ao circunferˆencias, e caso sejam,
apresente as coordenadas da origem e seu raio:
a) x2
+ y2
− 4x + 2y + 1 = 0
1. (x2
− 4x) + (y2
+ 2y) + 1 = 0 [prop. associativa e comutativa]
2. x2
− 4x + −4
2
2
= (x − 2)2
[completa¸c˜ao de quadrados]
3. y2
+ 2y + 2
2
2
= (y + 1)2
[completa¸c˜ao de quadrados]
4. (x − 2)2
+ (y + 1)2
+ 1 − −4
2
2
− 2
2
2
= 0 [por 2 e 3]
5. (x − 2)2
+ (y + 1)2
− 4 = 0 [simplifica¸c˜ao]
6. (x − 2)2
+ (y + 1)2
= 4 [prop. das equa¸c˜oes]
Logo, r =
√
4 = 2 e o centro da circunferˆencia ´e (2, −1).
b) x2
+ y2
+ 12x − 12y + 73 = 0
1. (x2
+ 12x) + (y2
− 12y) + 73 = 0 [prop. associativa e comutativa]
2. x2
+ 12x + 12
2
2
= (x + 6)2
[completa¸c˜ao de quadrados]
3. y2
− 12y + −12
2
2
= (y − 6)2
[completa¸c˜ao de quadrados]
4. (x + 6)2
+ (y − 6)2
+ 73 − 12
2
2
− −12
2
2
= 0 [por 2 e 3]
5. (x + 6)2
+ (y − 6)2
+ 1 = 0 [simplifica¸c˜ao]
6. (x + 6)2
+ (y − 6)2
= −1 [prop. das equa¸c˜oes]
Como −1 n˜ao pode ser r2
, pois r =
√
−1 n˜ao existe, ent˜ao a equa¸c˜ao dada
n˜ao expressa uma circunferˆencia.
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